实 验 二 梯形递推化方法(变步长方法)
计算方法-4.6-4.7龙贝格、高斯求积公式
4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
引入 T1 (k 1),令
S n S 2 k 1
即
Sn S2 k 1 T1 ( k 1)
S 2 n T1 ( k )
--------(6)
当然
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10
因此由复合Simpson公式的余项
I S2 n 1 ( S2 n Sn ) 15
Cn
可得 令 即
1次,3次和5次
复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为
2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
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2
一、复合梯形公式的递推化
将定积分I f ( x)dx 的积分区间 [a , b]分割为n等份 a ba x a jh , j 0 , 1 , , n 各节点为 h j n 复合梯形(Trapz)公式为
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
b
--------(1)
如果将 [a, b]分割为2n等份，而h (b a) /n不变, 则
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 --------(2)
外推 加速 公式
(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点
计算方法教案新疆医科大学数学教研室张利萍一、课程基本信息1、课程英文名称：Numerical Analysis2、课程类别：专业基础课程3、课程学时：总学时544、学分：45、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》二、课程的目的与任务：计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。
其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。
通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
三、课程的基本要求：1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配：(一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节）1．教学内容：计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。
数值计算中应注意的一些问题。
2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。
数值计算中应注意的一些问题。
3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。
学会选用相对较好的数值计算方法。
A 算法B 误差第二讲典型例题第二章线性方程组的直接法（4学时）第三讲1．教学内容：线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。
2．重点难点：约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3．教学目标：了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。
梯形法的递推化
2012-2013（1）专业课程实践论文梯形法的递推化于灏，0818180105，R数学08-1班董育兵，0818180224，R数学08-2班变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n 点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。
下面，我们在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。
设将求积区间[a ，b]分成n 等份，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值n T ，需要提供n+1个函数值。
如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个。
将二分前后两个积分值联系起来加以考察，注意到每个子区间[k x ,1+k x ]经过二分只增加了一个分点()12121++=+k k kx x x ，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为))()(2)((4121++++k k k x f x f x f h。
注意，这里nab h -= 代表二分前的步长。
将每个子区间上的积分值相加，得∑∑-=-=++++=110)(2)]()([421!2n k n k k k k n x f h x f x f h T ， 从而利用公式可导出下列递推公式：∑-=++=1)(221212n k k n n x f h T T 主要公式：∑++=)(*)2(2212k n n x f hT T ;开始输入a,b及误差的值令k=0，x=a+(k+0.5)*hT 2n =Tn/2+(h/2)*Σf(xk+0.5)k<=n-1 kk→+1输出Tn，T2nNoYes三、算法程序#include"math.h"#include"iostream.h"double f(double x)//预先输入的待积分函数{double s;s=log(x*x);return(s);}double ffts(double a,double b,double eps){int n,k;double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;fa=f(a);fb=f(b);n=1;h=b-a;t1=h*(fa+fb)/2;p=eps+1;while(p>=eps){s=0;for(k=0;k<=n-1;k++){x=a+(k+0.5)*h;s=s+f(x);}t=t1/2+h*s/2;p=fabs(t1-t);cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;t1=t;n=n*2;h=h/2;}return(t);}void main(){double result,a,b,eps;cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;cout<<"输入边界值a="<<'\t';cin>>a;cout<<"输入边界值b="<<'\t';cin>>b;cout<<"输入误差限"<<'\t';cin>>eps;result=ffts(a,b,eps);cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl; }四、算法实现例1． 利用梯形法的递推公式计算()dx x x ⎰21*log 的值。
复化梯形法 复化矩形法 变步长梯形 变步长辛普森
陕西科技大学机械教改班用C++的积分其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。
一．积分的基本思想1、思路：微分—>求和—>取极限。
2、Newton —Leibniz 公式 ⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f的原函数。
3、用计算机积分的思路在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。
因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。
二．现有的理论1、一阶求积公式---梯形公式⎰=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2)( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。
2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ⎰=+++-=ba Sb f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。
三．四种实现方法1.复化矩形法将积分区间[a,b]等分成n 个子区间:],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh)hf(x ))f(x x (x I 11121=-=)()()x (22232x hf x f x I =-=............................)()()(111n ---=-=n n n n x hf x f x x I∑==ni i x hf T 1n )(源程序：#include <iostream.h>#include<math.h>double f(double x) //计算被积函数{double y;y=log(1+x)/(1+x*x); //被积函数return y;}double Tn(double a,double b,int n) //求Tn{double t=0.0;double xk; //区间端点值double t1,t2; //用来判断精度do{double h=(b-a)/n;for(int k=1;k<=n-1;k++) //每一小段的矩形叠加 {t1=t;xk=a+k*h;t+=h*f(xk);t2=t;}n++; //如果精度不够就对区间再次细分，直到达到精度要求 }while(fabs(t1-t2)<=1e-7); //判断计算精度return t;}void main(){double a=0.0; //积分下线double b=2.0; //积分上限int n=1024; //把区间分为1024段cout<<Tn(a,b,n)<<endl; //输出积分结果}执行结果：2.复化梯形法方法和复化矩形法类似，只是把原来的矩形小面积变成了梯形小面积，但是精确度明显提高了，也就是说达到同样的精度需要的时间少了。
Romberg算法
上例说明{Tn}收敛慢，求T128 要计算64个新增的函 数值，而将T8与T4重新组合可构造S8。
1 4 1 T23 (T23 T2 2 ) T8 T4 S 4 3 3 3
K
T2k
S2k-1 0.9461459 0.9460869 0.9460833 …
m
C2k-2
R2k-3
因此计算梯形序列{T2m}可按：
T2m hm ( f (a) f (b) 2 f (a khm )) 2 k 1
2m1
注意到每个子区间 xk , xk 1 经过等分只增加了一个分点： 1 x 1 ( xk xk 1 ) 用复化梯形公式可求得 xk , xk 1 上的积分值为 k 2 2
1 ~ 4 如, 当n 1 时， T T2 T1 3 3 4ba ab 1ba [ f (a) 2 f ( ) f ( b )] [ f ( a ) f ( b )] 3 4 2 3 2 ba ab [ f (a) 4 f ( ) f ( b )]. 6 2 4 1 即 S1 T2 T1 . 3 3
3、加密一次区间 ( 再分半)h2
ba ba , xk a kh2 a k, k 0,1, 2, 3,4 4 4 3 3 ba 1 1 h2 T4 ( f ( a ) ( f ( a kh2 ) f ( b )) ( f ( a ) f ( b ) 2 f ( a kh2 ) k 1 k 1 4 2 2 2
1 h n1 T2n Tn f ( xk 1 ) 2 2 2 k 0
此为复化梯形公式的递推公式
例2 利用变步长的梯形法求I dx 的近似值. x 1 T1 [ f (0) f (1)] 0.9207355 . 2 1 1 1 T2 T1 f ( ) 0.9397933 . 2 2 2 1 1 1 3 T4 T2 [ f ( ) f ( )] 0.9445135 . 2 4 4 4 1 1 1 3 5 7 T8 T4 [ f ( ) f ( ) f ( ) f ( )] 0.956909 . 2 8 8 8 8 8
c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容
c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容1. 引言1.1 概述数值积分是数学领域中重要的计算方法之一，广泛应用于工程、物理、经济学等多个学科。
它通过近似求解定积分来解决无法进行解析求解的复杂函数问题。
在数值积分方法中，复化Simpson公式和变步长梯形法都是常见且有效的技术手段。
1.2 文章结构本文将围绕复化Simpson公式和变步长梯形法展开讨论，并对它们进行比较与选择。
文章主要分为引言、复化Simpson公式、变步长梯形法、两者比较与选择以及结论部分。
1.3 目的本文旨在介绍复化Simpson公式和变步长梯形法这两种数值积分方法，探讨它们的基本原理、方法步骤以及在实际应用中的优势和适用场景。
通过对比与选择这两种方法，可以为读者提供更好地理解和运用数值积分技术的指导，并为未来研究方向和改进空间提供一定参考。
2. 复化Simpson公式:2.1 基本原理:复化Simpson公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
它基于简单的Simpson公式，并将区间等分为若干子区间，在每个子区间上应用Simpson公式来进行积分计算。
2.2 方法步骤:下面是复化Simpson公式的具体步骤：1. 将要积分的区间[a, b]等分为n个子区间，每个子区间宽度为h。
2. 根据Simpson公式，计算每个子区间的积分值。
3. 将所有子区间的积分值相加，得到整个区间[a, b]上的近似积分值。
具体而言，对于每个子区间[x(i-1), x(i)], i从1到n，使用Simpson公式进行积分近似。
即将该子区间均匀地划分为两部分，并以梯形面积和抛物线面积来逼近曲线下面积。
然后将所有n个子区间的近似积分值相加，得到最终的数值积分结果。
2.3 应用和优势:复化Simpson公式在数学和工程领域中广泛应用于需要进行定积分计算的问题。
它的优势包括：1. 相比于简单的Simpson公式，复化Simpson公式可以更准确地近似计算定积分的值。
复化求积分
)
实际计算中的递推公式为 b−a T1 = [ f (a ) + f (b )] 2 1 b − a n −1 b−a T2 n = Tn + ∑ f (a + (2 j + 1) 2n ), 2 2n j = 0
n = 1, 2, ⋯
直到 | T2n − Tn |≤ ε 为止，T2n作为积分的近似值。
假定f ''( x )在[a , b]上变化不大, 即有f ''(η1 ) ≈ f ''(η 2 )， 于是得
I − Tn ≈4 I − T2 n
1 1 ∴ I ≈ T2 n + (T2 n − Tn ) 或 I − T2 n ≈ (T2 n − Tn ) 3 3 1 I 当 T2 n − Tn ≤ ε 时 ， − T2 n ≤ ε ≤ ε 。 3 数值分析
数值分析
数值分析
同理可得变步长复化柯特斯公式
实际计算过程如下： 实际计算过程如下： T1 → T2 ↓ S1 → T4 ↓ S2 ↓
C1 →
→ →
T8 ↓ S4 ↓
C2 ↓ R1
→ →
T2 n =
1 1 Tn + H n 2 2
h2 h4
1 S n = ( 4T2 n − Tn ) 3
42 S 2n − S n Cn = 42 − 1 43 C 2n − C n Rn = 43 − 1
1 2 已 知 S n = Tn + H n 3 3 1 1 又 有 T2 n = Tn + H n 2 2 两式联立解得： 1 2 1 S n = Tn + （2T2 n − Tn） （4T2 n − Tn） = 3 3 3
梯形法的递推化
2012-2013（1）专业课程实践论文梯形法的递推化于灏，0818180105，R数学08-1班董育兵，0818180224，R数学08-2班变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n 点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。
下面，我们在变步长的过程中探讨梯形法的计算规律。
设将求积区间[a ，b]分成n 等份，则一共有n+1个分点，按梯形公式计算积分值n T ，需要提供n+1个函数值。
如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个。
将二分前后两个积分值联系起来加以考察，注意到每个子区间[k x ,1+k x ]经过二分只增加了一个分点()12121++=+k k kx x x ，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为))()(2)((4121++++k k k x f x f x f h。
注意，这里nab h -= 代表二分前的步长。
将每个子区间上的积分值相加，得∑∑-=-=++++=110)(2)]()([421!2n k n k k k k n x f h x f x f h T ， 从而利用公式可导出下列递推公式：∑-=++=1)(221212n k k n n x f h T T 主要公式：∑++=)(*)2(2212k n n x f hT T ;开始输入a,b及误差的值令k=0，x=a+(k+0.5)*hT 2n =Tn/2+(h/2)*Σf(xk+0.5)k<=n-1 kk→+1输出Tn，T2nNoYes三、算法程序#include"math.h"#include"iostream.h"double f(double x)//预先输入的待积分函数{double s;s=log(x*x);return(s);}double ffts(double a,double b,double eps){int n,k;double fa,fb,h,t1,p,s,x,t;fa=f(a);fb=f(b);n=1;h=b-a;t1=h*(fa+fb)/2;p=eps+1;while(p>=eps){s=0;for(k=0;k<=n-1;k++){x=a+(k+0.5)*h;s=s+f(x);}t=t1/2+h*s/2;p=fabs(t1-t);cout<<"步长n为:"<<n<<"时的"<<"Tn="<<t1<<'\t'<<"T2n="<<t<<'\t'<<"误差变化:"<<p<<endl;t1=t;n=n*2;h=h/2;}return(t);}void main(){double result,a,b,eps;cout<<"需要求解的积分式为f(x)=log(x^2)"<<endl;cout<<"输入边界值a="<<'\t';cin>>a;cout<<"输入边界值b="<<'\t';cin>>b;cout<<"输入误差限"<<'\t';cin>>eps;result=ffts(a,b,eps);cout<<"经过变步长梯形求积法得方程结果为:"<<result<<endl; }四、算法实现例1． 利用梯形法的递推公式计算()dx x x ⎰21*log 的值。