浙江省2017中考数学总复习第一篇考点梳理;即时训练第四章图形的认识与三角形第15课时全等三角形课件

(1)证明：∵五边形 ABCDE 是正五边形， ∴ AB＝ BC，∠ ABM＝∠ BCN. 又 BM＝ CN，∴△ ABM≌△ BCN. (2)解： ∵∠ APN 是△ ABP 的一个外角， ∴ ∠ APN ＝ ∠ BAM ＋ ∠ ABN ＝ ∠ CBN ＋ ∠ ABN ＝ （ 5－ 2）× 180° ∠ ABC＝ ＝ 108° . 5
考点一全等三角形的概念Fra bibliotek性质1．概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形． 温馨提示： 记两个三角形全等时，通常把表示 对应顶点的字母写在对应的位置上 . 如 右图，△ ABC 和△ DBC 全等，点 A 和 点 D，点 B 和点 B，点 C 和点 C 是对应 顶点，记作△ ABC≌△ DBC．
如图， 已知△ ABC 三个内角的平分线交于点 O， 点 D 在 CA 的延长线上， 且 DC＝ BC， AD＝ AO， 若∠ BAC ＝ 80° ，则∠ BCA 的度数为 ．
【解析】 ∵∠ BAC＝ 80° ， ∴∠ BAD ＝ 100° ， ∠ BAO ＝ 40° ， ∴∠ DAO＝ 140° .∵ AD＝ AO， ∴∠ D＝ 20° .∵△ ABC 三个内角的平分线交于点 O， ∴∠ ACO＝∠ BCO.在△ COD 和△ COB 中，CD＝ CB，∠ OCD＝∠ OCB，OC 是公共边， ∴△ COD≌△ COB ， ∴∠ D ＝ ∠ CBO. ∴∠ CBO ＝ 20° ， ∴∠ ABC＝ 40° ，∴∠ BCA＝ 60° . 【答案】 60°
第15课时
全等三角形
1．(2016· 金华 )如图，已知∠ ABC＝∠ BAD，添加下列 条件还不能判定△ ABC≌△ BAD 的是 ( A )
A． AC＝ BD C．∠ C＝∠ D
B．∠ CAB＝∠ DBA D． BC＝ AD
2． (2014· 嘉兴、舟山 )如图，在一张矩形纸片 ABCD 中， AD＝ 4 cm，点 E， F 分别是 CD 和 AB 的中点．现将 这张纸片折叠，使点 B 落在 EF 上的点 G 处折痕为 AH.若 HG 的延长线恰好经过点 D，则 CD 的长为 ( )
考点四
线段垂直平分线的性质与判定
1．定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线． 2．性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等． 3．性质定理的逆定理：与一条线段两个端点的距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上．
考点一
全等三角形的性质与判定
(2015· 温州 )如图，点 C， E， F， B 在同一直线 上，点 A，D 在 BC 异侧，AB∥ CD，AE＝ DF，∠ A＝∠ D．
1．全等三角形的判定方法 内 容 三边对应相等的两个三角形
法 1 全等
方法 2 方法 3 方法 4 方法 5
两边 及其夹角对应 相等的两个 三角形全等 两个 角及其夹边对 应相等的两 个三角形全等 两角 及其中一个角 的对边对应 相等的两个三角形全等 斜边 和一条直角边 对应相等的 两个直角三角形全等
4．(2016· 湖州 )如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， BC＝ 6，AC＝ 8.分别以点 A，B 为圆心，大于线段 AB 长度 的一半的长为半径作弧，相交于点 E，F.过点 E，F 作直线 EF，交 AB 于点 D，连结 CD，则 CD 的长是 ．
【解析】∵∠ ACB＝ 90°， BC＝ 6， AC＝ 8， ∴ AB＝ 10. 由作图方法可知， EF 是 AB 的垂直平分线，∴ CD 是斜 1 边 BA 上的中线，∴ CD＝ AB＝ 5. 2 【答案】 5
考点二
角平分线定理及其应用
如图， OC 是∠ AOB 的 平分线，P 是 OC 上一点， PD⊥ OA 于点 D，PD＝ 6，则点 P 到边 OB 的距离为 ( A． 6 C． 4 A ) B． 5 D． 3
【思路点拨】过点 P 作 PE⊥ OB 于点 E，由角平分线 的性质易得 PE 的长．
方法总结： 题目中若有角平分线这一条件，常考虑 2 倍角关系或 添加垂线段，利用角的平分线的性质定理求角度或证明线 段相等或计算线段长度．
A． 2 cm
B． 2 3 cm
C． 4 cm
D． 4 3 cm
【解析】 由折叠的性质可知， △ ABH≌△ AGH， 由 E， F 分别是 CD 和 AB 的中点可知， EF∥ AD∥ BC，所以点 G 为 DH 的中点， 再根据 SAS 证明△ AGD≌△ AGH， 综上 可知 ∠ GAD＝ ∠ GAH＝∠ HAB＝ 30° ， ∴∠ GDA＝ 60° ， △ADH 是等边三角形，HD＝AD＝4 cm，综上可知∠HDC＝ CD 3 30° ，在 Rt△ CDH 中， cos∠ CDH＝ ＝ ， DH 2 3 ∴ CD＝ cos∠ CDH· DH＝ × 4＝ 2 3 (cm)． 故选 B． 2 【答案】 B
7． (2014· 绍兴)如图， 等腰直角三角形 ABC 中， ∠ BAC ＝ 90° ， AB＝ AC，点 M， N 在边 BC 上，且∠ MAN＝ 45° . 若 BM＝ 1， CN＝ 3，求 MN 的长．
解：如图，过点 A 作 AG⊥ AM，使 AG＝ AM，连结 NG， CG，则∠ BAM＝∠ GAC，

考点三 等．
角平分线的性质定理及其逆定理)
1．性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相 即如图，∵点 P 在∠ AOB 的平分线上，PD⊥ OA 于点 D， PE⊥ OB 于点 E，∴ PD＝ PE.
2．性质定理的逆定理：角的内部，到角的两边距离相 等的点，在这个角的平分线上．即如上图，∵ PD⊥ OA， PE⊥ OB， PD＝ PE，∴ OP 是∠ AOB 的平分线． 温馨提示： 应用角平分线的性质定理就可以省去证明三角形全等 的步骤，使问题简单化，所以若遇到有关角平分线，又要 证线段相等的问题，我们可以直接利用角平分线的性质定 理解决问题．
3． (2015· 绍兴、义乌 )如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB＝ AD，BC＝ DC，将仪 器上的点 A 与∠PRQ 的顶点 R 重合， 调 整 AB 和 AD， 使它们分别落在角的两边 上，过点 A， C 画一条射线 AE， AE 就 是∠ PRQ 的平分线．此角平分仪的画图 原理是：根据仪器结构，可得△ ABC≌△ ADC，这样就有 ∠ QAE ＝ ∠ PAE. 则 说 明 这 两 个 三 角 形 全 等 的 依 据 是 ( D ) A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS
(1)求证： AB＝ CD； (2)若 AB＝ CF，∠ B＝ 30°，求∠ D 的度数．
【思路点拨】 (1)由 AB∥ CD，可得∠ B＝∠ C，再有 AE＝ DF，∠ A＝∠ D，可得△ ABE≌△ DCF，由全等三角 形的性质可证；(2)通过等量代换得到△ DCF 为等腰三角 形，且∠ C＝∠ B＝ 30°，再通过三角形内角和求得∠ D 的 度数．
SAS ASA AAS HL
所有三 角形 所有三 角形 所有三 角形 直角三 角形
温馨提示： 1．方法 2 是两边和它们的夹角，如果说“两边及其中 一边的对角对应相等 ”，则不能判定两个三角形全等． 2． 三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
2． 全等三角形的判定思路 说明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观 察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所 要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般 可按下面的思路进行．
(2)证明：△ ABE≌△ CDF. ∵ AB∥ CD，∴∠ BAC＝∠ DCA． ∵ AF＝ CE，∴ AF＋ EF＝ CE＋ EF，即 AE＝ FC． 在△ ABE 和△ CDF 中， ∠ BAE＝∠ DCF， ∠ ABE＝∠ CDF， AE＝ CF， ∴△ ABE≌△ CDF(AAS)．
5． (2015· 台州 )如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AD 是△ ABC 的角平分线， DC＝ 3，则点 D 到 AB 的距离 是 3．
6． (2015· 杭州 )如图，在△ ABC 中，已知 AB＝ AC， AD 平分∠ BAC， 点 M， N 分别在 AB， AC 边上， AM＝ 2MB， AN＝ 2NC．求证： DM＝ DN.
∴△ BAM≌△ CAG，∴ CG＝ BM＝ 1， ∴∠ ACG＝∠ ABM， ∴∠ BCA＋∠ ACG＝ 90° . ∵∠ MAN＝ 45° ，∠ BAC＝ 90° ， ∴∠ GAN＝∠ MAN＝ 45° ， ∴△ MAN≌△ GAN，∴ MN＝ NG， 在 Rt△ GCN 中， NG＝ CN2＋ CG2＝ 10， ∴ MN＝ NG＝ 10.
边为角的对边→找任一角→AAS 已知 边为角找夹角的另一边→SAS 一边和 找夹边的另一角→ASA 一角 的邻边 找边的对角→AAS 已知 找夹边→ASA 两角 找其中一个已知角的对边→AAS
找夹角→SAS 已知两边找第三边→SSS 找直角→HL
2 2 证明：∵ AM＝ 2MB，∴ AM＝ AB．同理，AN＝ AC， 3 3 又∵ AB＝ AC，∴ AM＝ AN.∵ AD 平分∠ BAC，∴∠ MAD
AM＝ AN， ＝∠ NAD．在△ AMD 和△ AND 中，∠ MAD＝∠ NAD， AD＝ AD，
∴△ AMD≌△ AND，∴ DM＝ DN.
考点三
全等三角形的开放性问题
如图，已知点 A， F， E， C 在同一直线上， AB ∥ CD，∠ ABE＝∠ CDF， AF＝ CE.
(1)从图中任找两组全等三角形； (2)从 (1)中任选一组进行证明．
【 思 路 点 拨 】 (1) 根 据 题 目 所 给 条 件 可 分 析 出 △ ABE≌△ CDF，△ AFD≌△ CEB；(2)根据 AB∥ CD 可得 ∠ BAC＝∠ DCA，根据 AF＝ CE 可得 AE＝ FC，然后再证 明△ ABE≌△ CDF 即可． 【自主解答】 (1)解： △ ABE≌△ CDF，△ AFD≌△ CEB．