高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)复习学案(无答案)新人教A版必修1
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)学案(无答案)新人教A版必修1(2021年整理)
湖南省株洲县高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）学案（无答案）新人教A 版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖南省株洲县高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）学案（无答案）新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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基本初等函数（I ）指数与指数幂的运算（一）一、学习要求1。
了解指数函数的产生背景，认识学习指数与指数幂运算的必要性，理解根式的概念。
2.通过列举，认识根式产生的背景，理解根式的表示、含义，掌握根式化简公式与方法,培养观察、概括能力。
3。
于学习过程中理解运算及其要义,建构正确的运算心理与观点。
二、课前自学(一）阅读课本，梳理知识 1.阅读课本4750P P -的内容。
2。
梳理知识:（1)n 次方根的定义：(2叫做____，它是____运算的结果,n 叫做____，a 叫做_______. （3）乘方与开方互为逆运算。
因此:①_____n= ；②2_____= ，_____=.（二）基础自测，检验效果1.下列说法正确的是___________(符合条件的都填上） (1）加法运算的结果叫和;(2）减法运算的结果叫差；（3）乘法运算的结果叫商；（4）除法运算的结果叫积；(5）乘方运算的结果叫幂；（6）开方运算的结果叫方根。
2____=,____=.3____=____=，____=。
4。
2____=，(2____=，5____=，(5____=.____=____=，____=,____=。
（三）疑惑摘要自学之后，你还有哪些没有弄清的问题请记在下面,课堂上我们共同探讨:三、课中互动 （一）概念形成1.本课时的核心概念是什么、它是如何产生的？2.小组合作,解决自学“疑惑"，举正、反例理解核心概念。
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习参考题》_10
2.3 幂函数（1）教案一、【教学目标】【知识与技能】1. 理解幂函数的概念.2. 通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用. 【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法. 【情感、态度价值观】1. 进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3. 通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.二、【重点难点】重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：1、画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 2、 根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。
三、【教学方法与教具】教学方法：问题探究法教学用具：多媒体四、【教学过程】 Ⅰ、幂函数的概念（一）创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了两类重要函数指数函数和对数函数.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132-=====x y x y x y x y x y ）思考：这些函数有什么共同的特征？ 共同特征：(1) 都是以x 为变量的函数； (2) 指数为常数；(3)右边 均是以自变量为底的幂.也就是说，它们可以写成ax y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数）（三）探究新知1、幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数. 注意：（1）底数是自变量，且系数为1 （2）指数α是常数2、幂函数与 指数函数的异同幂函数： y=x α（α∈R ） 指数函数：相同点： （1）幂的形式； （2）自变量前的系数为1； 不同点：幂函数的底数为自变量，指数为常数； 指数函数的底数为常数，指数为自变量例如，是指数函数是幂函数x y x y 3,3==（四）课堂练习例1、判断下列函数是否为幂函数？(1) 4x y = √ (2) 2x y -= × (3) 22x y = × (4) 21xy =√ (5) x y 2.0= × (6) 23+=x y × Ⅱ 幂函数的图象与性质（一）探究新知我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢? 其实研究幂函数和其它函数一样，都是通过相同的思路研究，而研究函数的性质，第一步就是画图像，我们能通过函数的从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也可从这几方面研究。
高中数学 第二章 基本初等函数(I)2.1.2 指数函数的图像和性质学案(无答案)新人教A版必修1
河北省承德市高中数学第二章基本初等函数（I）2.1.2 指数函数的图像和性质学案（无答案）新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省承德市高中数学第二章基本初等函数（I）2.1.2 指数函数的图像和性质学案（无答案）新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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指数函数的图象及性质学习目标指数函数的定义重点难点指数函数的图象与性质方法自主探究一、探知部分：1、指数函数的定义一般地，函数________(a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2、指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域________________值域________________过定点过定点________，即x＝________时,y＝________函数值的变化当x＞0时,________;当x＜0时，________当x＞0时,______；当x＜0时，_______单调性在R上是________在R上是________二、探究部分：课堂随笔探究1。
在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么?(1）y＝2x＋2；（2)y＝（－2)x；(3）y＝－2x;（4）y＝πx；（5)y＝x2；（6）y＝(a－1）x（a＞1且a≠2)．探究2. 如图是指数函数①y＝a x,②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x 的图象,则a,b，c，d与1的大小关系是( )A．a＜b＜1＜c＜B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c探究3。
人教A版高中数学必修一第二章 基本初等函数(I)学案
【三维设计】高中数学第二章基本初等函数（I）学案新人教A版必修12.1指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算第一课时根式[提出问题](1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是．问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个．问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：n 为偶数±na[0，＋∞)(3)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． [化解疑难]根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为大于1的奇数时，a 的n 次方根表示为na (a ∈R )；当n 为大于1的偶数时，na (a ≥0)表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是－n a ，从而⎝⎛⎭⎫±n a n ＝a .根式的性质[提出问题] 问题1：⎝⎛⎭⎫323，⎝⎛⎭⎫3－23，⎝⎛⎭⎫424分别等于多少？提示：2，－2,2.问题2：3－23，323， 4－24，424分别等于多少？提示：－2,2,2,2.问题3：等式a 2＝a 及(a )2＝a 恒成立吗？提示：当a ≥0时，两式恒成立；当a <0时，a 2＝－a ，(a )2无意义． [导入新知]根式的性质(1)(na )n＝a (n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，且n >1)． (2)nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 为奇数，且n >1，|a |n 为偶数，且n >1.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根． [化解疑难](na )n与na n的区别(1)当n 为奇数，且a ∈R 时，有na n＝(na )n＝a ； (2)当n 为偶数，且a ≥0时，有na n＝(na )n＝a .根式的概念[例1] (1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．(2)若31a －3有意义，则实数a 的取值范围是________． [解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)要使31a －3有意义，则a －3≠0，即a ≠3. ∴a 的取值范围是{a |a ≠3}． [答案] (1)③④ (2){a |a ≠3} [类题通法]判断关于n 次方根的结论应关注两点(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号． [活学活用]已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102 C.210D ．±102解析：选D ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． 又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.[例2] 化简： (1)nx －πn(x <π，n ∈N *)；(2)4a 2－4a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤12.[解] (1)∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时，n x －πn＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上，nx －πn＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ， n 为偶数，n ∈N *，x －π， n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0.∴4a 2－4a ＋1＝2a －12＝|2a －1|＝1－2a .[类题通法]根式化简应注意的问题(1)⎝⎛⎭⎫n a n已暗含了n a 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的取值范围．(2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性． [活学活用] 求下列各式的值： (1)8x －28；(2)3－22＋(31－2)3.解：(1)8x －28＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.(2)因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2， 所以3－22＋(31－2)3＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0.条件根式的化简[例3] (1)若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x ≥0，y ≥0D ．x <0，y <0(2)设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． (1)[解析] ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ， ∴xy ≤0.又∵xy ≠0，∴xy <0，故选B. [答案] B (2)[解] 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2. 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2－3<x <1，－41≤x ＜3.[类题通法]有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[活学活用]若n <m <0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( ) A ．2m B ．2n C ．－2mD ．－2n解析：选C 原式＝m ＋n2－m －n2＝|m ＋n |－|m －n |，∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0， ∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－2m .5.忽略n的范围导致式子na n a∈R化简出错[典例] 化简31＋23＋41－24＝________.[解析] 31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.[答案] 2 2[易错防范]1．本题易忽视41－24>0，而误认为41－24＝1－2而导致解题错误．2．对于根式na n的化简一定要注意n为正奇数还是正偶数，因为na n＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么na n＝|a|.[活学活用]当a，b∈R时，下列各式恒成立的是( )A．(4a－4b)4＝a－bB．(4a＋b)4＝a＋bC.4a4－4b4＝a－bD.4a＋b4＝a＋b解析：选B 当且仅当a＝b≥0时，(4a－4b)4＝a－b；当且仅当a≥0，b≥0时，4a4－4b4＝a－b；当且仅当a＋b≥0时，4a＋b4＝a＋b.由于a，b符号未知，因此选项A，C，D均不一定恒成立．选项B中，由4a＋b可知a＋b≥0，所以(4a＋b)4＝a＋b.故选B.[随堂即时演练]1．化简1－2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的结果是( ) A ．1－2x B ．0 C ．2x －1 D ．(1－2x )2解析：选C ∵1－2x2＝|1－2x |，x >12，∴1－2x <0， ∴1－2x2＝2x －1.2．下列式子中成立的是( ) A ．a －a ＝－a 3B ．a －a ＝－a 3C ．a －a ＝－－a 3D ．a －a ＝a 3解析：选C 要使a －a 有意义，则a ≤0， 故a －a ＝－(－a )－a ＝－－a2－a ＝－－a 3，故选C.3．若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________. 解析：x 2－6x ＋9－|2－x |＝x －32－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1.答案：－1 4．化简(a －1)2＋1－a2＋31－a3＝________.解析：由根式a －1有意义可得a －1≥0，即a ≥1， ∴原式＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1. 答案：a －15．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简na －bn＋na ＋bn.解：∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ； 当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b | ＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴na －bn＋na ＋bn＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数.[课时达标检测]一、选择题1.4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≠2 B ．a ≥2C ．a ≠4D ．2≤a ＜4或a ＞4解析：选D 要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，即a ≥2且a ≠4.2.3－63＋45－44＋35－43的值为( ) A ．－6 B ．25－2 C ．2 5D ．6解析：选A 3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5， 35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 3．化简x ＋32－3x －33得( ) A ．6 B ．2xC ．6或－2xD ．6或2x 或－2x解析：选C 注意开偶次方根要加绝对值，x ＋32－3x －33＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3，故选C.4.7＋43＋7－43等于( ) A ．－4B ．2 3C ．－2 3D ．4解析：选D7＋43＋7－43＝2＋32＋2－32＝(2＋3)＋(2－3)＝4.5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4a －b4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a解析：选D 由图象知a (－1)2＋b ×(－1)＋0.1<0，∴a <b ，∴4a －b4＝|a －b |＝b －a .二、填空题6．设m <0，则(－m )2＝________. 解析：∵m <0，∴－m >0，∴(－m )2＝－m . 答案：－m7．若x 2－8x ＋16＝x －4，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵x 2－8x ＋16＝x －42＝|x －4|又x 2－8x ＋16＝x －4， ∴|x －4|＝x －4，∴x ≥4. 答案：x ≥48．设f (x )＝x 2－4，若0＜a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ， 由于0＜a ≤1，所以a ≤1a，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a－a .答案：1a－a9．写出使下列等式成立的x 的取值范围：(1)3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3； (2)x －5x 2－25＝(5－x )x ＋5.解：(1)要使3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3成立，只需x －3≠0即可， 即x ≠3. (2)x －5x 2－25＝x －52x ＋5.要使x －52x ＋5＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5.10．化简(a－1)2＋1－a2＋7a－17.解：由题意可知a－1有意义，∴a≥1.∴原式＝(a－1)＋|1－a|＋(a－1)＝a－1＋a－1＋a－1＝3a－3.第二课时指数幂及运算分数指数幂的意义[提出问题]问题1：判断下列运算是否正确．(1) 5a10＝5a25＝a2＝a4105(a>0)；(2)3a12＝3a43＝a4＝a123(a>0)．提示：正确．问题2：能否把4a3，3b2，4c5写成下列形式：4a3＝a 34(a>0)；3b2＝b 23(b>0)；4c5＝c 54(c>0)．提示：能．[导入新知]分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)规定正mn数的负分数指数幂的意义是：amn＝1anm)＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．[化解疑难]对分数指数幂的理解(1)指数幂a m n 不可以理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0.有理指数幂的运算性质[导入新知]有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r·b r(a >0，b >0，r ∈Q )． [化解疑难]有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．根式与分数指数幂的互化[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x >0) B.6y 2＝y 13(y <0) C ．x34＝41x3(x >0)D ．x13－＝－3x (x ≠0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式． ①a 2·a (a >0)； ②a a (a >0)；③⎝⎛⎭⎪⎫4b －2323- (b >0)；④y 2xx 3y 3y 6x 3(x >0，y >0)． (1)[解析] －x ＝－x 12(x >0)； 6y 2＝[(y )2] 16＝－y 13(y <0)；x 34-＝(x －3) 14＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)； x13-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 13＝31x (x ≠0)． [答案] C(2)[解] ①a 2·a ＝a 2·a 12＝a 2＋12＝a 52. ② a a ＝a ·a 12＝ a 32＝⎝⎛⎭⎫a 3212＝a 32.③原式＝⎣⎡⎦⎤()b 23-1423-＝b212343⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭＝b 19. ④法一：从外向里化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝⎝⎛⎭⎪⎫y 2xx 3y3y 6x 312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 3y 6x 31212 ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 1212 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 14·⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3112＝y x12·x 34y14·y 12x14＝x 34·y 23x 34·y14＝y 54.法二：从里向外化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝y 2xx 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 13＝y 2x x 3y ·y 2x＝y 2xx 2·y 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y2x ·xy 1212＝y 54.[类题通法]根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：amn＝na m和am n-＝1am n＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[活学活用]将下列根式化为分数指数幂的形式： (1) 1a1a(a >0)；(2)13x ·5x 22(x >0)； (3) ab3ab 5(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 34＝a 34-. (2)原式＝13x ·⎝⎛⎭⎫x 252＝13x ·x 45＝13x95＝1⎝⎛⎭⎫x 9513＝1x35＝x35-.(3)原式＝[ab 3(ab 5) 12]12＝[a ·a 12b 3(b 5) 12]12＝⎝⎛⎭⎫a 32b11212＝a 34b 114.指数幂的运算[例2] 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412-－0.010.5； (2)0.06413-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] 43-＋16－0.75； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12-·4ab －130.1－2a 3b －312(a >0，b >0)．[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝412·432100·a 32·a 32－·b 32－·b 32＝425a 0b 0＝425.[类题通法]利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用] 计算下列各式的值： (1)0.02713－－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－()2－10； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫8125 13－－⎝ ⎛⎭⎪⎫－350＋160.75＋0.2512； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＋3＋23－2－1.030×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623. 解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 00013－－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝52－1＋1634＋0.5＝52－1＋8＋0.5＝10.(3)原式＝42＋3＋223－2－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫32 123＝16＋5＋26＋346＝21＋114 6.4.含附加条件的幂的求值问题[典例] (12分)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求： (1)x 12＋y 12； (2)x 12－y 12； (3)x －y . [解题流程]求x 12＋y 12，x 12－y 12，x－y 的值，应建立其与x ＋y 及xy 的关系后求解1将x12＋y12，x12－y12平方后即可建立其与x ＋y 及xy 的关系；,2可利用平方差公式将x －y 分解成x 12＋y 12x 12－y12求解x 12＋y122＝x ＋y ＋2xy↓x 12－y122＝x ＋y －2xy↓ (x －y ＝x122－y122＝x 12＋y122＝x 12＋y12x 12－y12[规范解答](1)⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122＝x ＋y ＋2xy ＝18，(2分) ∴x 12＋y 12＝3 2.(4分)(2)⎝⎛⎭⎫x 12－y 122＝x ＋y －2xy ＝6，(6分)又x <y ，∴x 12－y 12＝－ 6.(8分)(3)x －y ＝⎝⎛⎭⎫x 122－⎝⎛⎭⎫y 122＝⎝⎛⎭⎫x 12＋y 12⎝⎛⎭⎫x 12-y 12 (10分)＝32×(－6)＝－3×212×212×312＝－6 3.(12分)[名师批注]由x 与x 12，y 与y 12都具有平方关系，故可先求⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122，然后求x 12＋y 12的值，解题时常因找不到此关系而使问题不能得以正确求解.易忽视条件x <y ，而得出错误答案.此处巧妙利用了12的结论使问题得以解决.[活学活用]已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值； (1)a 2＋a －2； (2)a 12－a12-.解：(1)法一：由a ＋a －1＝5两边平方得：a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即：a 2＋a －2＝23；法二：a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23；(2)∵(a 12－a 12-)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3，∴|a 12－a12-|＝ 3.∴a 12－a 12-＝± 3.[随堂即时演练]1．若2<a <3，化简2－a2＋43－a4的结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1解析：选C 由于2<a <3， 所以2－a <0,3－a >0， 所以原式＝a －2＋3－a ＝1. 2．(－2a 13b34-·(－a 12b13-)6÷(－3a 23b14-)等于( )A.23a 83b 52- B ．－23a 83C ．－23a 16b 56-D.23a 16b 52- 解析：选 A 原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(a 13b34-)·(a 3·b －2)÷(a 23b14-)＝23a12+333－b312_44⎛⎫⎪⎝⎭－－=23a 83b 52-注意符号不能弄错． 3．若10x＝3,10y＝4，则102x －y＝________.解析：∵10x＝3，∴102x＝9， ∴102x －y＝102x10y ＝94. 答案：944．化简3a a 的结果是________．解析： 3a a ＝()a a 13＝⎝⎛⎭⎫a ·a 1213＝⎝⎛⎭⎫a 3213＝a 12.答案：a 125．计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·6423－；(2)a －ba 12＋b12－a ＋b －2a 12·b12a 12－b12.解：(1)原式＝(22)2＋1·23－22·(26)23－＝222＋2·23－22·2－4＝222＋2＋3－22－4＝21＝2.(2)原式＝a 12＋b12a 12－b12a 12＋b12－a 12－b 122a 12－b12＝a 12－b 12－⎝⎛⎭⎫a 12－b 12＝0.[课时达标检测]一、选择题 1.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710解析：选D 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710.2．化简[3－52]34的结果为( ) A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析：选B [3－52]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5. 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫27823的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D.4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2解析：选D ∵a >1，b >0，∴a b>a －b，(a b－a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴a b －a －b＝2.5．设x ，y 是正数，且x y ＝y x，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19 B.43 C ．1D.39解析：选B x 9x＝(9x )x，(x 9)x＝(9x )x， ∴x 9＝9x .∴x 8＝9.∴x ＝89＝43. 二、填空题6．化简a 3b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 14b 1243b a (a >0，b >0)的结果是________．解析：原式＝a 3·b 2·a 13·b2312a ·b 2·a －13·b13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab.答案：ab7．已知x ＝12(51n －5－1n )，n ∈N *，则(x ＋1＋x 2)n的值为________．解析：因为1＋x 2＝14(52n ＋2＋5－2n )＝14(51n ＋5－1n )2，所以(x ＋1＋x 2)n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1251n －5－1n ＋1251n ＋5－1n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫51n n ＝5.答案：58．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于________． 解析：∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16. 答案：16 三、解答题 9．化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43. 10．已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a 的值．解：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a12＋41＋a ＝41－a121＋a12＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a2＝－1. 2．1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质指数函数的定义[提出问题]观察下列从数集A 到数集B 的对应： ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x；②A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.问题1：这两个对应能构成函数吗？ 提示：能．问题2：这两个函数有什么特点？ 提示：底数是常数，指数是自变量． [导入新知]指数函数的定义函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . [化解疑难]指数函数的概念中规定a >0且a ≠1的原因(1)若a ＝0，则当x >0时，a x＝0；当x ≤0时，a x无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x，这时对于x ＝14，x ＝12，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0，且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，a x都有意义，且a x>0.[提出问题]问题1：试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(12)x(x∈R)的图象．提示：问题2：两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)．问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x是减函数．[导入新知]指数函数的图象和性质R[化解疑难]透析指数函数的图象与性质(1)当底数a 大小不确定时，必须分a >1和0<a <1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)当a >1时，x 的值越小，函数的图象越接近x 轴；当0<a <1时，x 的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．指数函数的概念[例1] (1)①y ＝2·3x；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.[答案] (1)B (2)C [类题通法]判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a >0，且a ≠1. (2)a x的系数为1.(3)y ＝a x 中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． [活学活用]下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y ＝2·(2)x；②y ＝2x －1；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ；④y ＝x x；⑤y ＝3－1x ；⑥y ＝x 13.解析：①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③[例2] (1)xa ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c (2)函数y ＝ax －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x ＝1，如图所示，在第一象限内直线x ＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d <c ，b <a <1，从而可知a ，b ，c ，d 与1的大小关系为b <a <1<d <c .(2)法一：因为指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x ＝3，得y ＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．法二：将原函数变形，得y －3＝ax －3，然后把y －3看作是(x －3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y －3＝1，即x ＝3，y ＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．[答案] (1)B (2)(3,4) [类题通法]底数a 对函数图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x>1； ②若x <0，则1>b x>a x>0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x>b x >0； ②若x <0，则b x>a x >1. [活学活用]若函数y ＝a x＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则有( ) A ．a >1且b <1 B ．0<a <1且b ≤1 C ．0<a <1且b >0D ．a >1且b ≤0解析：选D 由指数函数图象的特征可知0<a <1时，函数y ＝a x＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B 、C.又函数y ＝a x＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y 轴的交点不在x 轴上方，所以当x ＝0时，y ＝a 0＋(b －1)≤0，即b ≤0，故选项D 正确.与指数函数有关的定义域、值域问题[例(1)y ＝1－3x；(2)y ＝21x －4；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |.[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30， 因为函数y ＝3x在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x＜1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4，所以函数y ＝21x －4的定义域为{x ∈R |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，即函数y ＝21x －4的值域为{y |y >0且y ≠1}． (3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的定义域为{x |x＝0}．而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，则函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．[类题通法]指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x 型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f ax型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[活学活用]求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域和值域．解：定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．5.利用换元法求函数的值域[典例] (12分)已知函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数f (x )的值域．[解题流程]求函数f x 的值域，应确定函数的类型1若令t ＝a x ，则原函数可变为y ＝t 2＋2t －1，从而可利用二次函数的有关性质解决；2应明确换元后的定义域；3由于t ＝a xa >0，a ≠1，因此应分类确定t 的取值范围令t ＝a x―→分a >1和0<a <1两种情况，讨论t 的范围―→利用二次函数的知识求值域[随堂即时演练]1．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图象为( )解析：选C 由于0<m <n <1，所以y ＝m x与y ＝n x都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．指数函数y ＝f (x )的图象过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________. 解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)， 又f (2)＝a 2＝4，∴f (2)·f (4)＝a 2·a 4＝4·42＝43＝64. 答案：644．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．解析：∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤3.∴－89≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1≤2.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2 5．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 解：(1)因为函数图象过点(2，12)，所以a2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝(12)2x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝(3－1)x在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数D ．减函数解析：选D 由于0<3－1<1，所以函数y ＝(3－1)x在R 上是减函数，f (－1)＝(3－1)－1＝3＋12，f (1)＝3－1，则f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数y ＝(3－1)x 不具有奇偶性．3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |< 2 B ．|a |<1 C ．|a |>1D ．|a |> 2解析：选D 依题意得a 2－1>1，a 2>2，∴|a |> 2.4．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )解析：选D 当x >0时，y ＝a x(0<a <1)，故去掉A 、B ，当x <0时，y ＝－a x，与y ＝a x(0<a <1，x <0)的图象关于x 轴对称，故选D.5．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限 解析：选A ∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．二、填空题6．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥3，f x ＋1， x ＜3，则f (2)＝________.解析：f (2)＝f (3)＝23＝8. 答案：87.图中的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x的图象，而a ∈{23，13，5，π}，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y 轴右侧，底大图高，在y 轴左侧，底大图低．则知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5. 答案：23 13π 58．若x 1，x 2是方程2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x ＋1的两个实数解，则x 1＋x 2＝________.解析：∵2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x＋1，∴2x＝21x －1，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0. ∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 三、解答题9．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间． 解：当x ≥0时，y ＝2|x |＝2x ；当x <0时，y ＝2|x |＝2－x ＝(12)x .∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)． 10．如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值． 解：函数y ＝a 2x＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)1．指数函数的定义是什么？2．指数函数的定义域和值域分别是什么？3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)图象的位置与底数a 之间有什么关系？4．指数函数的单调性与底数之间有什么关系？利用指数函数的单调性比较大小[例1] (1)已知a ＝5－1，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．(2)比较下列各题中两个值的大小：①⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8，⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5；②⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5，⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5；③0.20.3,0.30.2. (1)[解析] 因为a ＝5－12∈(0,1)，所以函数f (x )＝a x在R 上是减函数．由f (m )>f (n )得m <n .[答案] m <n(2)[解] ①因为0<57<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫57x在其定义域R 上单调递减，又－1.8>－2.5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5.②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x的图象，如图所示．当x ＝－0.5时，由图象观察可得⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5.③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y ＝0.2x 与y ＝0.3x在定义域R 上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y ＝0.2x 的图象在函数y ＝0.3x 的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.又根据指数函数y ＝0.2x 的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. [类题通法]三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较a c 与b d 的大小，可取a d 为中间量，a c 与a d 利用函数的单调性比较大小，b d 与a d利用函数的图象比较大小．[活学活用]比较下列各题中两个值的大小： (1)3－1.8,3－2.5；(2)7－0.5,8－0.5；(3)6－0.8,70.7.解：(1)因为3>1，所以函数y ＝3x在定义域R 上单调递增，又－1.8>－2.5，所以3－1.8>3－2.5.(2)依据指数函数中底数a 对函数图象的影响，画出函数y ＝7x与y ＝8x的图象(图略)，可得7－0.5>8－0.5.(3)因为1<6<7，所以指数函数y ＝6x与函数y ＝7x在定义域R 上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.[例2] (1)x 0.5(2)已知0.2x<25，求实数x 的取值范围．[解] (1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x在R 上是增函数． 由3x≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)． (2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x在R 上是减函数．又25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2，则x >－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)． [类题通法]解指数不等式应注意的问题(1)形如a x>a b的不等式，借助于函数y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x>b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y ＝a x的单调性求解．[活学活用] 如果a－5x>ax ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．解：①当a >1时，∵a －5x>ax ＋7，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a－5x>ax ＋7，∴－5x <x ＋7解得x >－76.综上所述，当a >1时，x ∈(－∞，－76)；当0<a <1时，x ∈(－76，＋∞).指数函数性质的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝2x＋2ax ＋b，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧f1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f1＝2＋2a ＋b＝52，f2＝22＋22a ＋b＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x，f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2.因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以2x 1＋x 2－1>0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数．当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)． [类题通法]解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[活学活用]已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)用单调性的定义证明：f (x )在R 上是增函数．证明：(1)f (x )的定义域是R ，对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝2－x－1·2x2－x ＋1·2x ＝1－2x1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)f (x )＝2x－12x ＋1＝2x＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)．设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1－22x 1＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1. 因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1＋1>1,2x 2＋1>1，所以2x 1－2x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．6.警惕底数a 对指数函数单调性的影响[典例] 若指数函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．[解析] 当0<a <1时，f (x )＝a x为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a >1时，f (x )＝a x为增函数，最小值为a ，最大值为a 2.故a 2＝2a ，解得a ＝2. 综上，a ＝12或a ＝2.[答案] 12或2[易错防范]1．解决上题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案． 2．求函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在闭区间[s ，t ]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t ]上的增函数，最小值为a s，最大值为a t .当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t ]上的减函数，最大值为a s ，最小值为a t .[活学活用]f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________.解析：由于a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a 2＋a ＝6，解得a ＝－3(舍去)，或a ＝2，所以a ＝2.答案：2[随堂即时演练]1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x是增函数，∴x ＋1<0，即x <－1.2．已知三个数a ＝60.7，b ＝0.70.8，c ＝0.80.7，则三个数的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．a >c >b解析：选D a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 3．不等式2x<22－3x的解集是________．解析：由2x <22－3x得x <2－3x ，即x <12，解集为{x |x <12}．答案：{x |x <12}4．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为。
高中数学复习课(三)基本初等函数(Ⅰ)学案新人教A版必修1(2021年整理)
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复习课（三) 基本初等函数(Ⅰ)1．题型为选择题或填空题，主要考查对数式和指数式的直接运算，利用换底公式进行运算,通过运算的转化进行大小比较等．2．分数指数幂（1)a mn＝错误!（a＞0，m,n∈N*，且n＞1)．（2)a－mn＝1mna＝错误!（a＞0，m，n∈N＊，且n＞1）．3．对数的运算性质已知a＞0，b＞0，a≠1，M＞0，N＞0，m≠0. (1）log a M＋log a N＝log a(MN）．（2）log a M－log a N＝log a M N 。
(3）log am b n＝错误!log a b.［典题示例］(1)(安徽高考)lg错误!＋2lg 2－错误!－1＝______.（2）（浙江高考)若a＝log43，则2a＋2－a＝________。
解析：（1）lg错误!＋2lg 2－错误!－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2）－2＝1－2＝－1。
(2)∵a＝log43＝错误!log23＝log2错误!，∴2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝3＋2log233＝错误!＋错误!＝错误!。
[答案] （1)－1 （2）错误
（新课标同步辅导）2016高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）学案新人教A版必修1 2．1指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n次方根的运算．(重点、难点)2.理解整数指数幂和分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．(重点、易混点)3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质．(重点)4.通过具体实例了解实数指数幂的意义．一、根式1．根式及相关概念(1)a的n次方根的定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：x＝⎩na，n为奇数，±na，（a＞0）n为偶数.(3)根式．2．根式的性质(n ＞1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，n a n＝a ． (2)n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.(3)n0＝0．(4)负数没有偶次方根． 二、分数指数幂1．规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． 3．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．三、有理数指数幂的运算性质 1．a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)．2．(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)． 3．(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 四、无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)（3－π）2＝π－3( )(2)分数指数幂a m n 可能理解为m n个a 相乘．( ) (3)0的任何指数幂都等于0.( )【解析】 (1)∵（3－π）2＝|3－π|＝π－3. ∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2．(1)5a －3化为分数指数幂为________．(2)a －23(a ＞0)用根式表示为________．【解析】 (1)5a －3＝a －35.(2)a －23＝1a 23＝13a 2.【答案】 (1)a －35 (2)13a23．求值：(1)3（－2）3＝________，（－2）2＝________，（x －1）2＝________． (2)若10a＝3，10b＝5，则10a －b＝________．【解析】 (1)3（－2）3＝－2，（－2）2＝|－2|＝2， （x －1）2＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1.(2)10a －b＝10a10b ＝35. 【答案】 (1)－2 2 ⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x ＜1. (2)354．化简(a 34·b －23)6＝________(a ＞0，b ＞0)．【解析】 原式＝(a 34)6·(b －23)6＝a 34×6·b －23×6＝a 92·b －4. 【答案】 a 92·b －4预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1 问题2 问题3 问题4利用根式的性质化简或求值(1)(2014·河北唐山一中期中)当a ＞0时，－ax 3＝( ) A ．x ax B ．x －ax C ．－x －ax D ．－x ax (2)求下列各式的值： ①（a －b ）2.②3－22＋(31－2)3.③(a －1)2＋（1－a ）2＋3（1－a ）3.【解析】 (1)∵a ＞0，∴x ＜0，－ax 3＝|x |－ax ＝－x －ax ，故选C. 【答案】 C(2)①（a －b ）2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b （a ≥b ），b －a （a ＜b ）.②因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2， 所以3－22＋(31－2)3＝（2－1）2＋1－2＝2－1＋1－2＝0. ③由题意，首先有a －1≥0，即a ≥1.(a－1)2＝a－1, （1－a）2＝|1－a|＝a－1，3（1－a）3＝1－a.∴(a－1)2＋（1－a）2＋3（1－a）3＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．注意正确区分na n与(na)n.根式与分数指数幂的互化(1)3a2·a3(a＞0)；(2)13x（5x2）2；(3)(4b－23)－23(b＞0)．【思路探究】应熟练应用na m＝amn.含有多重根号时，需自里向外用分数指数幂写出，再用性质化简．【解】(1)原式＝a23·a32＝a23＋32＝a136.(2)原式＝13x（x25）2＝13x·x45＝13x95＝1（x95）13＝1x35＝x－35.(3)原式＝[(b－23)14]－23＝b－23×14×⎝⎛⎭⎪⎫－23＝b19.1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝amn的两点说明：(1)根指数n↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a＞0，但像(－a)12＝－a中的a则需要a≤0.特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．计算a2a3a2(a＞0)的结果是( )A.6a 5B ．a 65C ．a －15D ．a【解析】a 2a 3a 2＝a 2a 12·a 23＝a 2－12－23＝a 56＝6a 5.【答案】 A利用分数指数幂化简、求值计算(或化简(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )(a ＞0，b ＞0，c ＞0)； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3(a ＞0，b ＞0)．【思路探究】 进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，以便于进行乘、除、乘方、开方运算，达到化繁为简的目的．【解】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43.1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，并注意运算的顺序． 2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．(2014·黑龙江哈尔滨三中期中)化简a 23b 12(－3a 12·b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56(a ＞0，b ＞0)的结果为( )A ．9aB ．－9aC ．9bD ．－9b【解析】 原式＝(－3)×3a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9ab 0＝－9a .【答案】 B指数式的条件求值问题已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【思路探究】 从已知条件中解出a 的值；然后再代入求值，这种方法太繁琐，是不可取的，应设法寻找要求值的式子与条件a 12＋a －12＝3的联系，进而整体代入求值．【解】 (1)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，故a ＋a －1＝7.(2)将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49， 故a 2＋a －2＝47.1．在条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的变形，或先对条件加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．若条件不变，试求a 12－a －12的值．【解】 ∵(a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2a 12·a －12＝(a ＋a －1)－2＝7－2＝5， ∴|a 12－a －12|＝5，∴a 12－a －12＝± 5.1.na m＝amn(a＞0)可以实现分数指数幂与根式的互化，但要注意根指数是分数指数的分母．2．在应用分数指数幂进行根式的计算时，应注意把根式统一化为分数指数幂的形式．当所求根式含有多重根号时，应由里向外用分数指数幂写出，然后再利用性质运算．忽视被开方数的符号致误(2014·山东日照一模)若－1＜x＜2，化简x2－4x＋4－x2＋2x＋1.【易错分析】解答本题易忽视被开方数的符号致误．【防范措施】为使开偶次方后不出现符号错误，开方时先带着绝对值符号，然后再根据取值范围去掉绝对值符号进行化简．【解】原式＝（x－2）2－（x＋1）2＝|x－2|－|x＋1|.∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0，∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.——[类题尝试]—————————————————计算3（1＋2）3＋4（1－2）4.【解】3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.课时作业(十二) 指数与指数幂的运算[学业水平层次]一、选择题 1．化简⎣⎡⎦⎤3（－5）234的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5 【解析】 ⎣⎡⎦⎤3（－5）234＝(352)34＝(523)34＝512＝ 5.故选B.【答案】 B 2．根式1a 1a(a ＞0)的分数指数幂形式为( )A ．a －43B ．a 43C ．a －34D ．a 34【解析】1a 1a＝a －1·（a －1）12＝a －32＝(a －32)12＝a －34.【答案】 C3．下列各式中正确的个数是( )(1)na n＝(na )n＝a (n 是奇数且n ＞1，a 是实数)；(2)na n＝(na )n＝a (n 是正偶数，a 是实数)； (3)3a 3＋b 2＝a ＋b (a ，b 是实数)． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】 由于n 是大于1的奇数，故(1)正确；由于n 是正偶数，故na n中a 可取任意实数，而(na )n中a 只能取非负数，故(2)错误；b 2＝|b |，故(3)错误．【答案】 B4．(2014·湖北孝感期中)若x ＋x －1＝4，则x 12＋x －12的值等于( )A ．2或－2B ．2 C.6或－ 6 D. 6【解析】 (x 12＋x －12)2＝x ＋2＋x －1＝6.∵x 12≥0，x －12＞0，∴x 12＋x －12＝ 6. 【答案】 D 二、填空题5．x 4＝3，则x ＝________．【解析】 ∵x 4＝3，∴x ＝±43. 【答案】 ±436．(2014·广西桂林中学段考)2723＋16－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23＝________．【解析】 原式＝(33)23＋(42)－12－22－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－23＝32＋4－1－4－94＝3. 【答案】 37．若10x＝3，10y＝4，则102x －y＝________．【解析】 ∵10x＝3，10y＝4，∴102x －y＝102x 10y ＝324＝94. 【答案】 94三、解答题8．(2014·合肥高一检测)求使等式（x －2）（x 2－4）＝(2－x )x ＋2成立的x 的取值范围． 【解】 因为（x －2）（x 2－4） ＝（x －2）2（x ＋2）＝(2－x )x ＋2， 所以2－x ≥0且x ＋2≥0， 故－2≤x ≤2.9．化简下列各式：(1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 3125b 34·327b a 6(a ＞0，b ＞0)； (2)5x －23y 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 13⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 12y 16(x ＞0，y ＞0)．【解】 (1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 3125b 34·327b a 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 3125b 346·⎝ ⎛⎭⎪⎫27b a 613＝（23）23a 3×23（53）23b 3×23·（33）13b 13a 2＝425b 2·3b 13＝1225b －53. (2)原式＝245×5×x －23＋1－12×y 12－13－16＝24x 13－12y 0＝24x －16.[能力提升层次]1．如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 为( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1 D.xx －1【解析】 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，∴y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.【答案】 D2．化简(－3a 13b 34)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 23·b 14÷(－6a 512·b 712)(其中a ＞0，b ＞0)的结果是( )A.14a 712·b 512 B ．4a 712·b 512 C.14a 512·b 712 D ．－14a 712·b 512【解析】 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－3）×12÷（－6）a 13＋23－512·b 34＋14－712＝14a 1－512·b 1－712 ＝14a 712·b 512. 【答案】 A3.a 43－8a 13b 4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a ＝________．【解析】 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a 13（a 13－2b 13）（a 23＋2a 13b 13＋4b 23）4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13·a 13·a 13 ＝a . 【答案】 a4．已知a 12－a －12＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)a 2－a －2.【解】 (1)将a 12－a －12＝5两边平方，得a ＋a －1－2＝5，则a ＋a －1＝7.(2)由a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，则a 2＋a －2＝47.(3)设y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝472－4＝2 205，所以y ＝±215，即a 2－a －2＝±21 5.2．1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质[学习目标] 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)一、指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.二、指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域 (0，＋∞)过定点 (0，1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) (2)当a ＞1时，对于任意x ∈R 总有a x＞1.( ) (3)函数f (x )＝2－x在R 上是增函数．( )【解析】 (1)∵对任意x ∈R，a x(a ＞0，且a ≠1)＞0，∴(1)正确． (2)∵2－1＝12＜1，∴(2)错．(3)∵f (x )＝2－x在R 上是减函数，∴(3)错． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2．下列函数中是指数函数的是( ) A ．y ＝5x ＋1B ．y ＝x 4C．y＝3－x D．y＝2·3x【解析】形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数是指数函数．只有C选项符合，故选C.【答案】 C3．函数y＝a x－1(a>0且a≠1)的图象一定过点________．【解析】当x－1＝0，即x＝1时，y＝1，∴图象一定过点(1，1)．【答案】(1，1)4．已知函数y＝(a－1)x是指数函数，且当x<0时，y>1，则实数a的取值范围是________．【解析】∵x<0时y>1，∴0<a－1<1即1<a<2.【答案】(1，2)预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4指数函数的概念(1)已知函数f (x )是指数函数，且f ⎛⎪⎫－3＝5，则f (x )＝________．(2)若函数y ＝(4－3a )x是指数函数，则实数a 的取值范围为________． (3)指出下列函数哪些是指数函数？①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝－4x ；④y ＝(－4)x ；⑤y ＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞12，且a ≠1；⑥y ＝4－x.【解析】 (1)设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠0)， 又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，得a －32＝525，所以a ＝5，故f (x )＝5x.(2)y ＝(4－3a )x是指数函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧4－3a >0，4－3a ≠1，解得a <43且a ≠1，故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <43且a ≠1. 【答案】 (1)5x(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <43且a ≠1(3)②不是指数函数，因自变量不在指数位置上；③是－1与4x的乘积，故不是指数函数；④因－4＜0，故不是指数函数；①⑤⑥是指数函数．1．指数函数具有形式上的严格性，在指数函数的定义表达式中，要牢牢抓住四点：(1)幂的系数是1；(2)底数a＞0，且a≠1；(3)指数是单个自变量“x”且处在指数的位置；(4)指数函数不会是多项式，如y ＝2x＋1不是指数函数．2．求指数函数的解析式常用待定系数法．指数函数的图象与性质(1)函数y＝3－x(2)函数y＝a x－1－3(a＞0)的图象恒过定点坐标是( )A．(1，－3) B．(1，－2)C．(2，－3) D．(2，－2)【思路探究】 (1)可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x. (2)令x －1＝0，求出y 值，可得定点坐标．【解析】 (1)y ＝3－x即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，在(－∞，∞)上是减函数，且过定点(0，1)，故选B. (2)令x －1＝0，得x ＝1，此时y ＝a 0－3＝1－3＝－2， ∴函数y ＝ax －1－3恒过定点(1，－2)．故选B.【答案】 (1)B (2)B1．可用指数函数的图象过定点(0，1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题． 2．要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点． 3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x＋b 的图象必定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 函数y ＝a x(0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0，1)，所以函数y ＝a x＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0，1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0，1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．【答案】 A指数函数的定义域与值域(1)y ＝21x －4；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2. 【思路探究】【解】 (1)由x －4≠0，得x ≠4， ∴定义域为{x |x ∈R，且x ≠4}． ∵1x －4≠0，∴21x －4≠1， ∴y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)由x －2≥0，得x ≥2. ∴定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0，又0<13<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的值域为{y |0<y ≤1}．1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝af (x )的值域的求法如下：(1)换元，令t ＝f (x )；(2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域．求函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域和值域． 【解】 ∵x 应满足1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，即x ≥0， ∴y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为{x |x ≥0}．∵x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1， ∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1，即0≤y ＜1.∴y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的值域为{y |0≤y ＜1}．1．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a＞0，且a≠1)这一结构形式．2．指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的单调性取决于底数a，分底数a＞1，0＜a＜1两种情况．3．由于指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝a f(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．4．求函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝a t的单调性求y＝a t在t∈M上的值域．对指数函数的概念理解不清致误函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，求实数a .【易错分析】 解答本题易忽视对底数a 的约束条件或幂的系数值致误．【防范措施】 形如f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的函数是指数函数，在用题设条件求出a 的值后，应检验是否满足①幂的系数是1；②底数a ＞0，且a ≠1；③指数位置上是单个自变量x .【解】 ∵函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，∴由指数函数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋4＝1，a >0且a ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝3，a >0且a ≠1，∴a ＝3.——[类题尝试]————————————————— 已知函数y ＝(a 2－3)a x是指数函数，求a 的值． 【解】 根据指数函数的定义可知a 2－3＝1，解得a ＝2或a ＝－2.因为指数函数y ＝a x 中要求a ＞0，且a ≠1，故a ＝－2舍去，即a ＝2.课时作业(十三) 指数函数的图象及性质[学业水平层次]一、选择题1．函数y＝2x－1的定义域是( )A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)【解析】由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.【答案】 C2．函数f(x)＝3x＋1的值域为( )A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．[1，＋∞)【解析】∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数的值域是(1，＋∞)．【答案】 B3．(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x【解析】 四个选项中函数的定义域均为R.对于选项A ，f (－x )＝－x －1≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，故该函数为非奇非偶函数；对于选项B ，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，故该函数为非奇非偶函数； 对于选项C ，f (－x )＝2－x－2x ＝－(2x －2－x)＝－f (x )，故该函数为奇函数； 对于选项D ，因为f (－x )＝2－x＋2x ＝2x ＋2－x＝f (x )，故该函数为偶函数，故选D. 【答案】 D4．(2014·安徽师大附中高一期中)函数y ＝2|x |的图象是( )【解析】 ∵y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x（x ≥0），⎝ ⎛⎭⎪⎫12x （x ＜0），故选B.【答案】 B 二、填空题 5．函数y ＝ax －3＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点________．【解析】 因为指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝ax －3＋3的图象过定点(3，4)．【答案】 (3，4)6．函数y ＝(k ＋2)a x＋2－b (a >0，且a ≠1)是指数函数，则k ＝________，b ＝________． 【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝1，2－b ＝0，∴k ＝－1，b ＝2. 【答案】 －1 2 7．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则a 的值为________． 【解析】 ∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0， 即13－x＋1＋a ＋13x ＋1＋a ＝0， ∴2a ＝－13x ＋1－13－x ＋1＝－3x＋13x ＋1＝－1，∴a ＝－12.【答案】 a ＝－12三、解答题8．(2014·无锡高一检测)求函数f (x )＝3－x－1的定义域、值域．【解】 因为f (x )＝3－x－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，所以函数f (x )＝3－x－1的定义域为R.由x ∈R 得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1>－1，所以函数f (x )＝3－x－1的值域为(－1，＋∞)．9．(2014·潍坊高一检测)设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象．(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 【解】 (1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π，f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．[能力提升层次]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，g （x ），x ＞0.若f (x )是奇函数，则g (2)的值是( )A ．－14B ．－4 C.14 D ．4【解析】 当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝2－x，即－f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，∴g (x )＝f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， 因此有g (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14. 【答案】 A2．(2014·湖北教学合作体期末)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如下图211所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象( )图211【解析】 由题图可知0＜a ＜1，b ＜－1，则g (x )是一个减函数，可排除C ，D ；再根据g (0)＝1＋b ＜0，可排除B ，故选A. 【答案】 A3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．【解析】 由已知，得f (1)＝2；又当x ＞0时，f (x )＝2x＞1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a ＜0， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 【答案】 －34．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图212(1)所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图212(2)所示，求a ，b 的取值范围； (3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．(1) (2)图212【解】 (1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3.(2)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)， 又f (0)＝1＋b <0，∴b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)由图(1)可知y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图可知使|f (x 1)|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.第2课时 指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小，解不等式．(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)指数函数单调性的应用(1)(2014·泰安高一检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 (2)比较下列各组数的大小： ①1.52.5和1.53.2；②0.6－1.2和0.6－1.5；③1.50.3和0.81.2.【解析】 (1)因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为(－∞，＋∞)上的减函数，且⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，所以2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.【答案】 B(2)①∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.②∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.③由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.1．比较幂大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断．2．指数型不等式a f(x)＞a g(x)(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．指数函数的综合应用(1)函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．(2)已知定义域R 的函数f (x )＝b －2xa ＋2x是奇函数．①求a ，b 的值；②用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；③若对于任意t ∈R，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，求k 的取值范围． 【思路点拨】 (1)分a ＞1，0＜a ＜1两种情况求解．(2)①可利用f (x )为R 上的奇函数，则有f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，求出a ，b 再进行检验． ③可结合②，由于该函数在定义域上是减函数，故可得t 2－2t ＞k －2t 2，转化为恒成立问题．【解析】 (1)若a ＞1，则函数f (x )＝a x 在[1，2]上单调递增，∴a 2－a ＝a 2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．若0＜a ＜1，则函数f (x )＝a x在[1，2]上单调递减，∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)．综上，所求a 的值是12或32.【答案】 12或32(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a ＝1，b ＝1符合题意． ②任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝（1－2x 1）（2x 2＋1）－（1－2x 2）（2x 1＋1）（2x 1＋1）（2x 2＋1）＝2（2x 2－2x 1）（2x 1＋1）（2x 2＋1），因为x 1＜x 2，所以2x 2－2x 1＞0， 又(2x 2＋1)(2x 1＋1)＞0，故f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x )为R 上的减函数．③因为t ∈R，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，由f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，所以k ＜－13.1．指数函数y ＝a x(a ＞1)为单调递增函数，在闭区间[m ，n ]上存在最大值和最小值，并且当x ＝m 时有最小值a m，当x ＝n 时有最大值a n.2．指数函数y ＝a x(0＜a ＜1)为单调递减函数，在闭区间[m ，n ]上存在最大值和最小值，并且当x ＝n 时有最小值a n，当x ＝m 时有最大值a m.3．对于函数y ＝af (x )，x ∈D ，其最值由底数a 和f (x )的值域确定．求指数函数的最值时要注意函数定义域．题(2)③中的“若对于任意t ∈R”改为“若对于t ∈[1，2]”，其他条件不变，又如何求解？【解】 对于t ∈[1，2]，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，由f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t恒成立，即问题转化为当t ∈[1，2]求3t 2－2t 的最小值，令M (t )＝3t 2－2t ，而M (t )＝3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13在t ∈[1，2]内是增函数，故M (t )＝3t 2－2t 的最小值为M (t )min ＝M (1)＝1.故k ＜1.所以k 的范围为k ＜1.指数函数的实际应用(1)试写出该市人口总数y (万人)与经过时间x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该市人口总数(精确到1万人)；(3)计算多少年以后该市人口将达到120万人(精确到1年)．(参考数据：1.01210≈1.127，1.01211≈1.140，1.01212≈1.154，1.01213≈1.168，1.01214≈1.182，1.01215≈1.196，1.01216≈1.210)【思路探究】 本题考查有关增长问题，即设原有人口为N ，年平均增长率为p ，则对于经过x 年后的总人口y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．【解】 (1)1年后该市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，2年后该市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，3年后该市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，…x年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(万人)．∴10年后该市人口总数约为113万人．(3)依题意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，解得x≈15.∴约15年以后，该市人口将达到120万人．此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．【答案】191．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n. 2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x＞a y的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0＜a ＜1和a ＞1两种情况进行讨论． (2)形如a x＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解． (3)形如a x＞b x的不等式，可借助图象求解．换元时忽视中间变量的范围致误求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的值域． 【易错分析】 用换元法解答本题，易忽视中间变量的范围致误．【防范措施】 用换元法解题时，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果．【解】 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34.因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．——[类题尝试]————————————————— 求函数y ＝9x ＋2·3x－2的值域．【解】 设3x＝t ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －2＝(t ＋1)2－3. ∵上式中当t ＝0时，y ＝－2， 又t ＝3x＞0，∴y ＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)． 课时作业(十四) 指数函数及其性质的应用[学业水平层次]一、选择题 1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(0，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1) 【解析】 ∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.【答案】 D2．下列判断正确的是( )A．1.72.5＞1.73 B．0.82＜0.83C．π2＜π 2 D．0.90.3＞0.90.5【解析】∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.【答案】 D3．(2014·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x【解析】A中f(x)＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．【答案】 A4．已知函数f(x)＝(a2－1)x，若x＞0时总有f(x)＞1，则实数a的取值范围是( )A．1＜|a|＜2 B．|a|＜2C．|a|＞1 D．|a|＞ 2【解析】由题意知a2－1＞1，解得a＞2或a＜－2，故选D.【答案】 D 二、填空题 5．不等式0.52x>0.5x －1的解集为________(用区间表示)．【解析】 ∵0<0.5<1，∴由0.52x>0.5x －1得2x <x －1，即x <－1.【答案】 (－∞，－1)6．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的和为6，则a 的值为________．【解析】 由于函数在[1，2]上必定单调，因此最大值与最小值都在端点处取得，于是必定有a ＋a 2＝6，又a ＞0，解得a ＝2.【答案】 27．若2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，则x 的取值范围为________．【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5＝2－0.5，又y ＝2x在R 上是增函数，∴2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5⇔2x >2－0.5⇔x >－0.5.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 三、解答题8．(2014·广州高一检测)已知f (x )的图象与g (x )＝2x的图象关于y 轴对称，且f (2x －1)＞f (3x )，求x 的取值范围． 【解】 因为f (x )的图象与g (x )＝2x的图象关于y 轴对称，。
高中数学 第2章 基本初等函数Ⅰ 章末复习课、章同步精品学案 新人教A版必修1
章末复习课1．熟练地进行指数式与根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算要善于利用幂的运算法则，注意表达式中出现的数量之间的关系，利用分数指数幂进行根式运算的顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行运算．2．应用指数函数y＝a x的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意a>1还是0<a<1.3．比较大小问题：先判断幂与1的大小，然后分类比较．同底数的幂用指数函数单调性比较；同指数的幂用幂函数的单调性比较，也可以利用图象比较大小．4．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了对数计算的优越性．5．一般当给出的等式是指数形式时，通常对等式两边取对数，这是一种常用的解题技巧．6．应用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”．7．比较对数大小时，应先区分各对数值是正还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较．同底数的对数大小比较，利用对数函数单调性；不同底数同真数的对数大小比较可取倒数，化为同底数比较，亦可使用图象；真数、底数都不同的对数比较大小要借助中介值或图象比较大小.一、比较大小的方法比较几个数的大小是幂、指数、对数函数的又一重要应用，常用的方法有：单调性法、搭桥法、图象法、特殊值法、作差法、作商法等．例1 比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小.分析根据三个数式的特点，选择y＝x2，y＝log2x，y＝2x三个函数的图象和性质加以比较．解 方法一∵0.32<12=1，log20.3<log21=0,20.3>20=1， ∴log20.3<0.32<20.3.方法二 作出函数图象如图所示，由图象即可看出log20.3<0.32<20.3.点评 比较幂函数、指数函数、对数函数型的数值间的大小关系时要注意：(1)若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；(2)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；(3)若底数不同，指数也不同，以及一些对数函数型数值等，应寻找媒介数(常用0,1)进行比较；(4)作差比较和作商比较是常用技巧．二、换元法的应用研究函数除了几种基本初等函数外，还要研究由它们进行复合而形成的复合函数的性质，这些函数性质在研究时，常用换元的思路，使问题转化为已知的问题．例2 f (x )＝9x ＋12－3x＋a ，x ∈[1,2]的最大值为5，求其最小值．解 f (x )＝32x ＋1－3x＋a .设3x＝t ，则t ∈[3,9]．∴f (x )＝g (t )＝3t 2－t ＋a＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －162＋a －112，t ∈[3,9]．∴f (x )max ＝g (9)＝3·92－9＋a ＝5，∴a ＝－229， ∴f (x )min ＝g (3)＝24＋a ＝－205.点评 利用换元法求值域必须先求出新元的取值范围作为新函数的定义域．三、数形结合思想的应用数学的本质是数与形的统一，数形结合的思想始终是数学研究中最重要的思想方法之一．研究和应用指数函数、对数函数的性质，图象是个有力的工具；并且，由于这两类函数的图象都比较单一，也容易画出，因此，利用它们的图象来进行比较大小，讨论方程根的情况等题目比较普遍．例3 方程a －x＝log a x (a >0且a ≠1)的实数解的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 本例可用数形结合法画出y ＝a －x与y ＝log a x 的图象，观察交点个数，要注意对a 分a >1与0<a <1两种情况讨论．当a >1时，在同一坐标系中画出y 1＝log a x 的图象和y 2＝a －x的图象如图(1)，由图象知两函数图象只有一个交点；同理，当0<a <1时，由图象(2)知，两图象也只有一个交点．因此，不论何种情况，方程只有一个实数解．四、分类讨论思想的应用指数函数与对数函数的性质渗透了分类讨论的数学思想方法．由于指数函数y ＝a x，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的性质都与a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的性质也随之改变；因此，在a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．例4 若－1<log a 23<1，求a 的取值范围.解 －1<log a 23<1，即log a 1a ＝－1<log a 23<1＝log a a .(1)当a >1时，有log a 23为增函数，1a <23<a .∴a >32，结合a >1，故a >32.(2)当0<a <1时，有log a 23为减函数，1a >23>a .∴a <23，结合0<a <1，故0<a <23.∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |0<a <23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >32.点评 解含参数的不等式或方程时常常要对参数进行讨论，讨论是自然产生的，不要为了讨论而讨论．还需明确的就是分类的目的是什么，分类之后就等于将整个一个大问题划分为若干个小问题，每个小问题可以解决了，整个大问题也就解决了.一、选择题1．已知集合A ＝{y |y ＝log a x ，x >0，a >0且a ≠1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ≥2，则A ∩B 等于( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |x ≤－1}C ．{x |x ≥0} D．{x |x >0} 答案 B解析 ∵A ＝R ，B ＝(－∞，－1]，B A ， ∴A ∩B ＝B ＝(－∞，－1]．2．设a >b >1,0<x <1，则有( )A ．x a >x bB ．b x >a xC ．log a x >log b xD ．log x a >log x b 答案 C解析 画图象可知．3．若log m 2<log n 2<0，则实数m 、n 的大小关系是( ) A ．1<n <m B ．0<n <m <1 C ．1<m <n D ．0<m <n <1答案 B解析 画图象可知．4．函数y ＝(|x |)12的图象可能是下列四个图中的()答案 D解析 由y ＝(|x |)12知函数为偶函数，且0<x <1时，y >x .5．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B．(－∞，2) C ．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 C解析 x ≥1时，log 2 x ≥0，∴y ≥2. 二、填空题6．设f (x )＝(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈-,1log 1,381xx x x ，则满足f (x )＝41的x 值为________．答案 3,解析 ∵f (x )＝41，当3－x＝41时，x ＝log 3 4∉(－∞，1]，,∴log 81 x ＝41，即x ＝4181＝()4143＝3∈(1，＋∞)，,综上可知，满足f (x )＝41的x 的值是3.7.1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+＝________.,答案 －4, 解析 原式＝()1215lg 2lg 5lg 32lg 3-⋅--+＝()215lg 2lg 2-+＝212-＝－4.8.已知a >1,0<x <1且a log b (1－x )>1，那么b 的取值范围是______________． 答案 (0,1),解析 ∵a log b (1－x )>a 0，且a >1.,∴log b (1－x )>0.,又∵0<x <1，∴0<1－x <1.∴0<b <1., 三、解答题,9.证明f (x )＝x x -+12在其定义域内是减函数 证明 ∵函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，设x 1，x 2为区间(－∞，＋∞)上任意两个值，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝112122+-+x x －(x 2－x 1),＝1122212122+++-x x x x －(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)1111222122212122++++-+--x x x x x x∵x 2>x 1，∴x 2－x 1>0，且112221+++x x >0.,又∵对任意x ∈R ，都有x x x x ≥=>+||122，∴x －12+x <0，∴x 1－121+x <0，x 2－122+x <0，,∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．,所以，函数f (x )＝x x -+12在其定义域R 内单调递减．,10.若f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝log x 3x －log x 4＝log x43．,当0<x <1时，log x 43x >0，f (x )>g (x )； 当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当1<x <34时，log x 43x <0，f (x )<g (x )．当x >34时，log x 43x >0，f (x )>g (x )．综上所述，当x ∈(0,1)∪（34，＋∞))时，f (x )>g (x )；,当x ＝34时，f (x )＝g (x )；,当x ∈（1，34)时，f (x )<g (x )．章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分),1.函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ), A.f (－4)＝f (1) B ．f (－4)>f (1) C.f (－4)<f (1) D ．不能确定, 答案 B,2.若幂函数的图象过点(3，33)，则该函数的解析式为( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 13C ．y ＝1x3 D ．y ＝x －1答案 B解析 设幂函数为y ＝x α，则33＝3α，∴α＝13，y ＝x 13.3．若x log 23＝1，则3x ＋9x的值为( )A ．3 B.52 C ．6 D.12答案 C解析 x log 23＝1⇒21x＝3，∴3x ＝2,9x ＝(3x )2＝22＝4，∴3x ＋9x＝6.4．已知a >0且a ≠1，下列四组函数中表示相等函数的是( )A ．y ＝log a x 与y ＝(log x a )－1B ．y ＝a log a x 与y ＝xC ．y ＝2x 与y ＝log a a 2xD ．y ＝log a x 2与y ＝2log a x 答案 C解析 对A ，解析式不同，定义域不同；对B ，定义域不同；对D ，定义域不同；对C ，是相等函数．5．若函数y ＝a x＋m －1 (a >0，a ≠1)的图象在第一、三、四象限内，则( ) A ．a >1 B ．a >1，且m <0 C ．0<a <1，且m >0 D ．0<a <1 答案 B解析 由函数y ＝a x＋m －1 (a >0，a ≠1)的图象在第一、三象限知a >1.又过第四象限内，则有m <0.6．已知函数f (log 4x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 答案 D解析 令log 4x ＝12，则x ＝412＝2.7．已知函数y ＝log a (3a －1)的值恒为正数，则a 的取值范围是( )A ．a >13 B.13<a ≤23C ．a >1 D.13<a <23或a >1答案 D解析 由y >0得：⎩⎪⎨⎪⎧ a >13a －1>1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <10<3a －1<1，解得a >1或13<a <23.8．函数f (x )＝x|x |·a x(a >1)的图象的大致形状是( )答案 B解析 f(x)=·ax=，故其图象为B.9．设a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则a a，log 12a ，a 12之间的大小关系是( )A ．a a >a 12>log 12aB ．a 12>log 12 a >a aC ．log 12a >a a>a 12 D ．log 12a >a 12>a a答案 C解析 ∵0<a <12，∴1>a a>a 12>0，log 12a >log 1212＝1，∴log 12a >a a >a 12. 10．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．y ＝－x 2C ．y ＝－x 3D ．y ＝log 3(－x ) 答案 C解析 因为A 、D 不具有奇偶性，B 是偶函数，故选C. 11．若0<x <y <1，则( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y答案 C解析 因为3x 为增函数，故3y >3x；由0<x <y <1和对数函数的图象性质可知log x 3>log y 3； log 4x 为增函数，故log 4x <log 4y ； ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 为减函数，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y . 12．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 B解析 ∵函数y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，∴函数f (x )的最大值、最小值应在[0,1]的端点处取得，由a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，得a ＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．函数y ＝lg(x ＋2)x －1的定义域是______________．答案 [－1,1)∪(1，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ lg(x ＋2)≥0x －1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥1x ≠1， ∴x ≥－1且x ≠1.14．已知log 3x ＝2，则x ＝________. 答案 81解析 log 3x ＝2⇒x ＝32⇒x ＝81.15．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )是奇函数，则a ＝________.答案 12解析 方法一 函数f (x )＝a －12x ＋1的定义域为R ，且为奇函数，∴f (0)＝0，即a －120＋1＝0，∴a ＝12.方法二 f (－x )＝a －12－x ＋1＝a －2x1＋2x ，∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，∴a －12x ＋1＝－a ＋2x1＋2x .∴2a ＝2x＋12x ＋1＝1，∴a ＝12.16．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≥4)f (x ＋1) (x <4)，则f (log 23)＝________.答案124解析 ∵log 23<4，∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋3)＝f (log 224)，∵log 224>4，∴f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124. 三、解答题(本大题共6小题，共74分) 17．(12分)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)log 2.56.25＋lg 1100＋ln e ＋21＋log 23.解 (1)原式＝(－1)－23⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝log 2.52.52＋lg10－2＋lne 12＋2·2log 23＝2－2＋12＋2×3＝132.18．(12分)已知：x ，y ，z 均为正实数，且3x ＝4y ＝6z.求证：1z －1x ＝12y.证明 设3x ＝4y ＝6z＝k ，则k >0， x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k . ∴1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2， 12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2， ∴1z －1x ＝12y. 19．(12分)若－3≤log 12x ≤－12，求f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x 4的最大值和最小值． 解 f (x )＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14. 又∵－3≤log 12x ≤－12，∴12≤log 2x ≤3.∴当log 2x ＝32时，f (x )min ＝f (22)＝－14；当log 2x ＝3时，f (x )max ＝f (8)＝2.20．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f (x )>0.(1)解 由2x－1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)解 由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12·(－x )3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x1－2x ＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．(3)证明 当x >0时，12x －1>0，x 3>0，∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.21．(12分)已知函数f (x )＝－2x 12，求f (x )的定义域，并证明在f (x )的定义域内，当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)．证明 ∵f (x )＝－2x 12＝－2x ，∴函数f (x )的定义域为[0，＋∞)， 当0≤x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)＝－2x 121＋2x 122＝2(x 2－x 1)＝2x 2－x 1x 2＋x 1，∵0≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．22．(14分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，且a ≠1)，令F (x )＝f (x )－g (x )．(1)求函数y ＝F (x )的定义域； (2)判断函数y ＝F (x )的奇偶性；(3)证明：F (x )＋F (y )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy .(1)解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1，故函数F (x )的定义域是(－1,1)．(2)解 因为函数F (x )的定义域关于原点对称，且F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝log a 1－x1＋x＝－log a 1＋x1－x＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，所以F (x )是奇函数．(3)证明 因为F (x )＋F (y )＝log a 1＋x 1－x ＋log a 1＋y1－y＝log a 1＋x ＋y ＋xy 1＋xy －x －y，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝loga1＋x ＋y 1＋xy 1－x ＋y 1＋xy ＝log a 1＋x ＋y ＋xy 1＋xy －x －y ， 故F (x )＋F (y )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy .。
新人教A版必修1高中数学学案教案：第二章 基本初等函数(Ⅰ)
第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0,a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.三、教学内容与课时安排的建议本章教学时间约为14课时.2.1指数函数： 6课时2.2对数函数： 6课时2.3幂函数： 1课时小结： 1课时§2.1.1 指数（第1—2课时）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学设想：第一课时一、 复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n.n 为奇数时，a 的nn 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：n a =n a =a n 的n a =一定成立吗？如果不一定成立，那么让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n a =n 为偶数,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩|8|8==-=-=小结：当n 再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误： 例题：求下列各式的值（1）(1)(2)(3) (4)分析：当n ||a =，然后再去绝对值.n =是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值1)a ≤21,a a =-求的取值范围.3三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时 3．作业：P 59习题2.1 A 组 第1题。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ本章复习学案设计新人教A版必修1
第二章基本初等函数(Ⅰ)本章复习学习目标①复习巩固指数、对数的运算性质,进一步熟练地运用指数函数、对数函数及幂函数的性质解决一些问题;②在学生对教材知识掌握的基础上,引导学生利用所学的知识解决问题,提高学生分析问题与解决问题的能力.合作学习一、复习回顾,承上启下1.n次方根的定义:n次方根:如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.2.n次方根的性质(1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,记为;(2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,记为;(3)负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.3.4.有理数指数幂的运算性质a n=(n∈N*);a0=1(a≠0);a-n=(a≠0,n∈N*).(1)a m·a n=a m+n(m,n∈Q);(2)(a m)n=a mn(m,n∈Q);(3)(ab)n=a n·b n(n∈Q).其中a m÷a n=a m·a-n=a m-n,()n=(a·b-1)n=a n·b-n=.5.对数:如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作.其中a 叫做对数的底数,N叫做真数.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,a x=N⇔x=log a N(符号功能)——熟练转化;常用对数:以10为底log10N写成;自然对数:以e为底log e N写成(e=2.71828…).6.对数的性质(1)在对数式中N=a x>0(负数和零没有对数);(2)log a1=0,log a a=1(1的对数等于0,底数的对数等于1);(3)如果把a b=N中的b写成,则有=N(对数恒等式).7.对数的运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)log a(M·N)=;(2)log a=;(3)log a M n=;(4)log a b=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)(换底公式);(5)log a b=;(6)lo b n=.8.指数函数的性质函数名指数函数9对数函数的性质10.反函数(1)反函数概念函数y=a x(x∈R)与对数函数y=log a x(x∈(0,+∞))互为反函数.即同底的指数函数与对数函数互为反函数.(2)反函数的性质互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.11.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限;②过定点:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);③单调性:如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果α<0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴;④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当α=(其中p,q互质,p和q∈Z),若p为奇数q为奇数时,则y=是奇函数,若p为奇数q为偶数时,则y=是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则y=是非奇非偶函数;⑤图象特征:幂函数y=xα,x∈(0,+∞),当α>1时,若0<x<1,其图象在直线y=x下方,若x>1,其图象在直线y=x上方;当α<1时,若0<x<1,其图象在直线y=x上方,若x>1,其图象在直线y=x下方.二、典例分析,性质应用1.指数、对数运算熟练掌握指数的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则.公式是指数、对数函数及其一切运算赖以施行的基础.【例1】计算下列各式的值.(1)(0.027-()-2+(2-(-1)0;(2)lg5(lg8+lg1000)+(lg)2+lg+lg0.06.【例2】设4a=5b=100,求2()的值.【例3】(选讲)已知f(x)=,且0<a<1,(1)求f(a)+f(1-a)的值;(2)求f()+f()+f()+…+f()的值.说明:如果函数f(x)=,则函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=1.2.指数函数、对数函数、幂函数的图象熟悉指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是熟练求解指、对、幂问题的关键.【例4】已知c<0,下列不等式中成立的一个是( )A.c>2cB.c>()cC.2c<()cD.2c>()c【例5】方程2x-x2=2x+1的解的个数为.【例6】0.32,log20.3,20.3这三个数之间的大小顺序是( )【例7】方程log3x+x=3的解所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)【例8】函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( )3.指数函数、对数函数的性质【例9】比较下列每组中两个数的大小.(1)2.10.32.10.4;(2)()1.3()1.6;(3)2.10.3()-1.3;(4)log51.9 log52;(5)log0.70.2log0.52;(6)log42log34.【例10】求下列函数的定义域.(1)y=;(2)y=;(3)y=lo(3x-2);(4)y=.【例11】求下列函数的值域.(1)y=1-2x,x∈[1,4];(2)y=3+log2x,x∈[1,+∞).【例12】解下列不等式.(1)<2x-1<4;(2)log0.7(2x)<log0.7(x-1).变式:设函数f(x)=若f(x0)<2,求x0的取值范围.4.指数、对数型复合函数的单调性指数、对数函数的单调性应用十分广泛,可以用来比较数或式的大小,求函数的定义域、值域、最大值、最小值,求字母参数的取值范围等.对复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在(c,d)上是增函数,那么复合函数在(a,b)上为增函数.可推广为下表(简记为同增异减):【例13】如果函数f(x)=(a2-1)在R上是减函数,求实数的取值范围.【例14】求下列函数的单调区间.(1)f(x)=(;(2)y=log5(x2-2x-3).变式:求下列函数的单调区间.(1)y=;(2)y=log0.1(2x2-5x-3).【例15】函数y=log a(x-4)的单调增区间是(4,+∞),求实数a的取值范围.【例16】(选讲)求函数y=4x+2x+1+3在区间[0,1]上的最大值与最小值.【例17】求函数y=2lo x-lo x2+1(≤x≤4)的值域.5.探究问题【例18】课本P75习题2.2B组第5题.(1)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?(2)试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函数例子,你能说出这些函数具有哪些共同性质吗?三、作业精选,巩固提高1.计算下列各式的值.(1)lo(3+2);(2)lg25+lg2×lg50;(3)log6[log4(log381).2.求下列函数的定义域.(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=log a(x-1)2(0<a≠1);(5)y=log(x+1)(16-4x).3.求下列函数的值域:(1)y=()x+2,x∈[-1,2];(2)y=log2(x2-4x-5).4.求函数y=log2·log2(x∈[1,8])的最大值和最小值.5.函数f(x)=a x+log a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求实数a的值.6.求下列函数的单调区间.(1)f(x)=;(2)f(x)=log4(2x+3-x2);(3)f(x)=(0<a≠1).7.(1)y=lo x是减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围;(3)已知函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围;(4)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,求实数a的取值范围.8.求不等式log a(2x+7)>log a(4x-1)(a>0,且a≠1)中x的取值范围.9.已知f(x6)=log2x,求f(8).10.判断函数f(x)=lg(-x)的奇偶性.11.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求不等式f(x)>0的解集.参考答案一、复习回顾,承上启下2.(1)-(2)±5.x=log a N lg N ln N6.(3)log a N7.(1)log a M+log a N(2)log a M-log a N(3)n log a M(5)(6)log a b8.R(0,+∞) (0,1) 增减9.(0,+∞) R(1,0) 非奇非偶增减10.(2)y=x11.(1)y=xα二、典例分析,性质应用【例1】(1)-45;(2)1.【例2】2.【例3】(1)1;(2)500.【例4】解析:在同一坐标系中分别作出y=x,y=()x,y=2x的图象(如图),显然x<0时,x<2x<()x,即c<0时,c<2c<()c,故选C.答案:C【例5】解析:原方程即2x=x2+2x+1,在同一坐标系中画出y=2x,y=x2+2x+1的图象,由图象可知有3个交点.答案:3【例6】解析:如图,在同一坐标系中作出函数y=2x,y=x2及y=log2x的图象.观察图象知当x=0.3时,log20.3<0.32<20.3.选C.答案:C【例7】解析:直接解方程是无法实现的,而借助数形结合思想作出图象,则问题易于解决.设y1=log3x,y2=-x+3,在同一坐标系中画出它们的图象(如图),观察可排除A,D.其交点P 的横坐标应在(1,3)内.又x=2时,y1=log32<1,而y2=-x+3=1,且知y1是增函数,y2是减函数,所以交点P的横坐标应在(2,3)内,故选C.答案:C【例8】解析:f(x)的图象过点(1,1),g(x)的图象过点(0,2),只有C符合,故选C.答案:C【例9】(1)<;(2)>;(3)<;(4)<;(5)>;(6)<.【例10】(1)(-∞,)∪(,+∞);(2)[0,+∞);(3)(,+∞);(4)(5,6].【例11】(1)[-15,-1];(2)[3,+∞).【例12】(1)(0,3);(2)(1,+∞).变式:(-1,1)【例13】(-,-1)∪(1,)【例14】(1)减区间:(3,+∞),增区间:(-∞,3);(2)增区间:(3,+∞),减区间:(-∞,-1).变式:(1)增区间:(1,+∞),减区间:(-∞,1);(2)减区间:(,3),增区间:(-).【例15】(1,+∞)【例16】最大值为11,最小值为6.【例17】解:令lo x=u,∵≤x≤4,∴-2≤u≤2,函数变为y=2u2-2u+1=2(u-)2+(-2≤u≤2).∴当u=时,y min=;当u=-2时,y max=13.由u=得,x=,由u=-2得,x=4.∴x=时,函数取最小值,x=4时,函数取最大值13,∴函数的值域为[,13].【例18】(1)y=log2x,y=log0.3x;(2)y=3x,y=0.1x.三、作业精选,巩固提高1.(1)2;(2)1;(3)0.2.(1)(-∞,0];(2)(-,-];(3)(1,4)∪(4,+∞);(4)(-∞,1)∪(1,+∞);(5)(-1,0)∪(0,2).3.(1)[,5];(2)R.4.y min=-,y max=2.5.6.(1)减区间:(1,+∞),增区间:(-∞,1);(2)增区间:(-1,1),减区间:(1,3);(3)a>1时,增区间:(-1,+∞),减区间:(-∞,-1);a<1时,增区间:(-∞,-1),减区间:(-1,+∞).7.(1)(-,-1)∪(1,);(2)(-4,4];(3)(1,2);(4)().8.a>1时,x的取值范围为(,4);0<a<1时,x的取值范围为(4,+∞).9.10.奇函数11.(1)(-1,1);(2)奇函数;(3)a>1时,(0,1);0<a<1时,(-∞,0)∪(1,+∞).。
人教A版高中数学必修一第二章基本初等函数 学案
第1讲 §2.1.1 指数与指数幂运算※知识要点 1．n 次方根(1)定义：若x n ＝a (n >1且n ∈N *)，则x 叫做 ，式子n a 叫做________，这里n 叫做________，a 叫做____________． (2)几个规定①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个 ，这时，a 的n 次方根用符号________表示． ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有 个，它们互为相反数，这时，这个数的n 次方根可以合写成________(a >0)． ③ 没有偶次方根，零的任何次方根都是 ． 2．根式的性质(1)(na )n ＝ (n ∈N *，且n >1)； (2)(na n )＝ (n 为大于1的奇数)；(3)(na n )＝ ＝ (n 为大于1的偶数)． 3．分数指数幂一般的，我们规定：(1) ＝________(a >0，m ，n ∈N *，n >1)； (2) ＝________(a >0，m ，n ∈N *，n >1)． (3)有理指数幂的运算(m ，n ∈Q )①a m a n ＝________； ②(a m )n ＝________；③(ab )m ＝________； ④a m ÷a n ＝________( )； ⑤a 0＝______( )； ⑥a －p ＝________( )；※题型讲练【例1】(1)81的4次方根是 ，－32的5次方根是 ； (2)2017的6次方根是 ，2018的7次方根是 ．变式训练1：1．求下列各式的值：(4)()88b a - (a b <)2．化简：(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3【例2】把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式： (1)35＝________；(2)322＝________；(3)1523＝________；(4) ＝________；(5) ＝________；(6) ＝________.变式训练2：1．把下列根式化为分数指数幂： (1)3·a a (2)【例3】化简与计算下列各式：(1)(2)变式训练3：1．化简：＝________. 2．计算：【例4】已知11223a a--=，求下列各式的值：(1)1-+a a ; (2)1122a a -+;变式训练4： 1．已知1x x -+＝3，求 的值．12113321()4(0.1)()a b ---⋅⋅m na nm a -86a 53-m2333·1aa 3421413223)(a b b a ab b a ()21103227()0.0022).8--－－＋－＋1103437()()826-⨯-＋222121--++x x x x※课堂反馈1．以下说法正确的是(其中n ＞1且n ∈N *)( )A ．正数的n 次方根是正数；B ．负数的n 次方根是负数；C ．0的n 次方根是0D ．a 的n 次方根是n a . 2．下列各式正确的是( ) A ．(－3)2＝－3 B ．4a 4＝a C ．22＝2 D ．3(－2)3＝2 3．把根式32m m 化成分数指数幂是________．4．计算： =________．5．已知3a ＝2，3b ＝15，则32a －b＝________.6．计算：※基础夯实 1．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1D ．(－a 2)3＝a 6 2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A．5－2a B ．2a －5 C ．1D ．－13．下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是( ) A ．12()(0)x x -> B 13(0)y y < C ．340)xx -=> D ．130)xx -=≠4．若()4321--x 有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ∈R B ．x >0.5 C ．x ≠0.5 D ．x <0.55．化简()()615312233··ab b a b a -的结果是( ) A ．a B ．(ab )－1 C ．ab －1 D ．a －16．将分数指数幂34m 化成根式形式是________．7．若n 是偶数，n(x －1)n ＝x －1，则x 的取值范围为______． 8．若代数式2x －1＋2－x 有意义，化简下列式子： 4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4.9．化简与计算： (1)(2)(3)※能力提升 1．设 ＝m ，则a 2＋1a ＝( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 22．设a x ＝3，a y＝5，则22yx a +＝________.3．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m ＝______. 4．计算：23×31.5×6125．已知1122a a -+＝5，求下列各式的值： (1)a 2＋a －2； (2)a 2－a －2.()()[]75.0525031161287064.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛----32833-⎪⎭⎫ ⎝⎛2110332464()( 5.6)()0.125927--+--+=()662132313ba ab b a -∙442121--a a第2讲 §2.1.2 指数函数图像及性质※知识要点1．指数函数的概念一般的，形如函数 ( )叫做指数函数，其中自变量是 ，定义域是 ； 2．指数函数的图像及性质※题型讲练【例1】下列函数中，是指数函数的为________．(填序号)(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝(－2)x ； (3)y ＝－2x ； (4)y ＝πx ；(5)y ＝x 2； (6)y ＝(a －1)x (a >1，且a ≠2)．变式训练1：1．若f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，则实数a 的值为 ． 2．已知f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则a 的取值范围是_____．3．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝16，则f (－32)＝_____.【例2】(1)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(2)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________．变式训练2：1．函数f (x )＝a x －12(a >1)的图象必过定点________，其图象必不过第_____象限.【例3】解下列不等式：(1)2x ＋2－1≤0； (2)4x －1＞22； (3)(13)x ＜39．变式训练3：1．分别求下列函数的定义域：(1)f (x )＝110x －1； (2)f (x )＝4－12x ．【例4】分别求下列函数的值域：(1)f (x )＝10x－1； (2)f (x )＝(23)x －1，x ∈[0，＋∞)；(3)f (x )＝4－12x ； (4)y ＝4x ＋2x ＋1＋2．变式训练4：1．函数y ＝8－23－x在区间x ∈[0,＋∞)上的值域是________．2．若f (x )＝a x－1(a >0，且a ≠1)的定义域、值域都是[0，2]，则实数a 的值为 ．3．已知0≤x ≤2，求f (x )＝9x －2·3x＋5的最大值．※课堂反馈1．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝()A．(2)x B．2x C．(12)x D．(22)x2．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是()A．(－89，8] B．[－89，8] C．(19，9] D．[19，9]3．函数y＝a x－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．4．若f(x)＝(a2－1)a x是指数函数，则实数a的值为．5．已知指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________.6．已知函数f(x)＝4－2x，求f(x)的定义域和值域．※基础夯实1．函数y＝(a2－4a＋4)a x是指数函数，则a的值是() A．4 B．1或3 C．3 D．12．下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1D．y＝13x 3．函数f(x)＝2|x|－1在区间[－1，2]上的值域是()A．[1,4] B ．[12,2] C．[1,2] D．[12,1] 4．函数y＝a|x|(a>1)的图象是()5．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c6．指数函数f(x)＝5+a x＋1的图象恒过定点________．7．若f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[0，1]上最大值与最小值和为3，则实数a的值为．8．函数y＝8－24－x(x≥0)的值域是________．9．已知函数f(x)＝a x2－2x(a>0且a≠1)的图象经过点(1，2)，(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)在R上的值域．10．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值.※能力提升1．若a>1，－1<b<0，则函数y＝a x＋b的图象一定在() A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限2．函数y＝xa x|x|(0<a<1)的图象的大致形状是()3．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝1－2－x，则不等式f (x)<－12的解集是________．4．定义运算a※b＝⎩⎨⎧b(a≥b)，a(a＜b)，则函数f (x)＝3－x※3x的值域为________．5．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次.6．若函数f(x)＝2ax2－a x+1－1的定义域为R，求实数a的取值范围．第3讲 §2.1.3 指数函数性质及应用※知识要点1．复合函数单调性一般的，在某一区间D 上，若内外函数单调性 ，则复合函数在区间D 上单调递增；若内外函数单调性 ，则复合函数在区间D 上单调递减．注：复合函数单调性结论可简记为： ． 2．指数幂大小比较(1)同底数幂比较： ； (2)同指数幂比较： ； (3)不同底不同指幂比较： ．※题型讲练【例1】比较下列各组数的大小．(1)2.30.6和2.31.2； (2)(35)0..5和(35)0..8；(3)1.9＋1.5和3＋1.5； (4)3.10.6和0.63.1；变式训练1：1．比较大小：a ＝1.50.6，b ＝0.60.2，c ＝0.61.5．2．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________．【例2】已知函数f (x )＝(12)x 2－2x，求f (x )的值域和单调区间．变式训练2：1．已知函数y ＝2－x 2＋4x －1，求其单调区间及值域．2．若函数f (x )＝(13)ax 2－(a ＋2)x ＋3在区间[－1,＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是____________．3．函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．【例3】已知函数f (x )＝2x－b2x ＋a是定义在R 上的奇函数．(1)求a 、b 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性； (3)求函数f (x )在R 上的值域．变式训练3：1．已知函数f (x )＝12x +1+a 是奇函数，则a =_____．2．已知函数f (x )＝2x －12x ．(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)证明：f (x )为R 上的增函数；(3)若对于任意m ∈[－2，2]，不等式f (m 2－3m )＋f (m －k )<0恒成立，求k 的取值范围．※课堂反馈 1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 2．下列判断正确的是( ) A ．1.72.5＞1.73 B ．0.82＜0.83C ．0.9－0.3＜1D ．1.90.3＞0.92.53．函数y ＝2x 2+4x +2的值域为 ，增区间为 ．4．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则常数a ＝______.5．已知函数指数f (x )＝(2a －1)x 是R 上的减函数，则实数a的取值范围是 ．6．设函数f (x )＝1－22x +1， (1)证明：f (x )为奇函数． (2)求f (x )的值域．※基础夯实1．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域是( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞)2．函数y ＝(12)1－x的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上( )A ．单调递减且无最小值B ．单调递减且有最小值C ．单调递增且无最大值D ．单调递增且有最大值4．若1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x的图象为()5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x，(x <0)(a －3)x ＋4a ，(x ≥0)，满足对任意的x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，14]B ．(0,1)C ． [14，1) D ．(0,3)6．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是____________．7．不等式0.52x>4x －1的解集为____________．(用区间表示)8．求函数f (x )＝4－2x2+2x －2的值域和单调区间．9．已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝81，g (x )＝1－a x 1＋a x . (1)求g (x )的解析式并判断g (x )的奇偶性； (2)用定义证明：函数g (x )在R 上是单调递减函数； (3)求函数g (x )的值域.※能力提升1．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称2．已知函数f (x )＝(a －2)a x(a ＞0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则a 的取值范围是______________．3．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝________. 4．已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x +3.．(1)若f (x )有最大值3，求a 的值；(2)若f (x )在(－∞，1)上单调递增，求a 的取值范围．5．已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．第4讲 §2.2.1 对数及对数运算※知识要点 1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以 为底 的对数，记作： ＝b ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ． 注：常用对数log 10N ＝ ；自然对数log e N ＝ (e 是无理数，e ≈ )．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)①特殊对数值：log a 1＝ ，log a a ＝ ； ②对数恒等式：a log a N ＝ ；③ 没有对数；(2)对数的运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0)①log a (MN )＝ ；②log a MN ＝ ；③log a M n＝ ； 3．换底公式(1)内容：log a N ＝ ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)； (2)推广：①log a b ·log b a ＝ (a ，b >0且a ，b ≠1)； ②n a b g m lo ＝ (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．③log a b ·log b c ·log c d ＝ ．※题型讲练【例1】将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式：(1) (12)－1＝2 (2)log 381=4 (3)e 0=1(4)ln a =b (5)lg0.001=－3 (6)3－3＝127变式训练1：1．求解下列各式中x 的值：(1)log 8x =－23 (2)log 422 =x (3)log x 25=－22．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m +n＝ ．3．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝0，则x ＋y ＝ ．【例2】求下列对数式中x 的取值范围：(1)lg(2x －1)； (2)log (x －2)(x ＋2)．变式训练2：1．使log a (3a －2)有意义的a 的取值范围是________．2．解方程：log (x +1)(x ＋3)－2=0【例3】计算下列各题：(1)2ln e －52log 52+12log 3 3 3 (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245(3)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2变式训练3：1．计算下列各题：(1)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－π 2log π3 (2)lg 25＋lg 2·lg 50【例4】(1)计算：log 29·log 34＝________；(2)设3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b＝2，则c 的值为 ．变式训练4：1．求值：log 225·log 3116·log 519＝________.2．已知log 147＝a ，log 145＝b ，试用a 、b 表示log 3528．※课堂反馈1．已知log x 8＝3，则x 的值为( )A ．12B ．2C ．3D ．42．化简lg 2516－2lg 59＋lg 3281=( )A ．lg 2B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 53．对数式log (10－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________．4．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m －n＝_______，用m ，n 表示对数log a 18＝________．5．已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________.6．计算：12lg16＋lg 25－2log 23－log 2 27·log 3 4※基础夯实1．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．9B ．33C ． 3D ．192．若log 5(log 3(log 2x ))＝0，则x 等于( )A.36 B ．39 C ．24 D ．233．计算21+log 25＝( )A ．7B ．10C ．6D ．924．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36＝( )A ．a －2B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 5．使log (x －1)(x ＋2)有意义的x 的取值范围是________．6．设g(x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0ln x ，x >0，则g (g (12))＝________.7．设7a ＝8b ＝k ，且1a ＋1b＝1，则k ＝________.8．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0； ②ln(ln e)＝0； ③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2， 其中正确的是________．(填序号) 9．计算下列各式． (1) (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25 (2) log 4 9·log 3 10·lg 8(3) log 5 35＋2log 122－log 5 150－log 5 14；10．已知2x=3，log 483＝y ，求x ＋2y 的值．※能力提升1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．若log 5 14·log 4 6·log 6 x ＝2，则x ＝________.3．若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 的表示log 5 12=_______． 4．计算下列各式：(1)100(lg 3－lg 2)－log 98·log 433+(2+3)lg 1(2)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；5．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，2x ＝py .(1)求p ； (2)证明：1z －1x ＝12y.第5讲 §2.2.2 对数函数图像及性质21-※知识要点1．对数函数我们把函数( )叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为．2．对数函数的图像及性质3．反函数(1)指数函数与对数函数y＝log a x互为反函数；(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线____对称．※题型讲练【例1】下列函数表达式中，是对数函数的个数有()①y＝log x2；②y＝log a x(a∈R)；③y＝log8x；④y＝l n x；⑤y＝log x(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个变式训练1：1．若f(x)＝log(a+1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝______. 2．若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________. 【例2】已知函数f(x)＝log a(x－1)＋1(a>0，且a≠1)．(1)函数f(x)图像恒过定点________；(2)若a>1，则函数f(x)图像经过________象限．变式训练2：1．函数y＝3log a(x+2)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点．2．若g(x)与函数f(x)＝e x互为反函数，则g(x)＝________．【例3】解下列对数不等各式：(1)log2(2x－1)＜1 (2)log9(x+2)≥log3x变式训练3：1．分别求下列函数的定义域：(1) f(x)＝ln(x＋1)2－x(2) f(x)＝2－log2(x－1)(3)f(x)＝4－xlg(x－1)(4)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)【例4】分别求下列函数的值域：(1) f(x)＝log12(x－1)，x∈[2,5] (2) f(x)＝log2(x2－2x)(3) f(x)＝log2(－x2－2x+3)变式训练4：1．设函数f(x)＝log12(－x2+4x)，则f(x)的定义域为，值域为．2．已知函数f(x)＝lg(ax2+2x+1)的值域为R，求a的取值范围．※课堂反馈1．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g(x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <1} C ．{x |－1<x <1} D ．∅2．同一坐标系中，y ＝a －x与y ＝log a x 的图象可能是( )3．若f (x )是对数函数，且f (2)＝2，则f (12)＝________.4．函数y ＝log a (2x ＋1)＋2(a ＞0且a ≠1)必过定点________． 5．已知f (x )与g (x )＝log 3x (x ＞0)互为反函数，则f (－2)＝____. 6．求函数f (x )＝log 12(x 2－2x +5)的定义域和值域．※基础夯实1．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x <0)；②y ＝2log 4(x －1)(x >1)；③y ＝ln x (x >0)；④y ＝log a x (x >0，a 是常数)． 其中为对数函数的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)3．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 4．函数f (x )＝log a (x ＋2)(0<a <1)的图象必不过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．12xC ．log 12x D ．2x －26．函数y ＝(a 2－4a ＋4)log a x 是对数函数，则a ＝________.7．函数y ＝lg (x ＋1)2x －1的定义域为____________．8．已知函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．9．函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的________．(填序号)10．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，(1)求f (22)； (2)设g (x )=f (－x 2－x )，求g (x )的值域．※能力提升1．满足“对定义域内任意实数x ，y ，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )”的函数可以是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝e l n x2．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝ax与函数g(x )＝－log b x 的图象可能是( )3．设f (x )＝log 2 x 的反函数为g (x )，且g (a )＝14，则a ＝_____.4．若f (ln x )＝3x +4，则f (x )的解析式为____________．5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2017)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22017)的值等于________． 6．已知函数f (x )＝lg(ax 2－ax +1)，(1)若该函数的定义域是R ，求a 的取值范围； (2)若该函数的值域是R ，求a 的取值范围．第6讲 §2.2.3 对数函数性质及应用※知识要点1．对数大小比较(1)同底对数比较： ； (2)同真对数比较： ； (3)不同底不同真对数比较： ．※题型讲练【例1】比较下列各组对数的大小：(1) log12π与log12e；(2)log2 2.7与log1.8 2.7；(3) log3 23与log565；(4) log3π与logπ3；变式训练1：1．设a＝log3 2，b＝log5 2，c＝log2 3，则a，b，c的大小关系为________．2．已知a＝log2 0.6，b＝log0.5 0.8，c＝0.3－0.2，则a，b，c的大小关系为________．【例2】求函数f (x)＝log2(x2－4x)的单调区间．变式训练2：1．求函数f (x)＝log12(－x2－4x＋12)的值域和单调递增区间．2．已知函数f(x)＝ln(ax2+2x+3)在区间[－1,＋∞)单调递增，则实数a的取值范围是____________．【例3】已知函数f(x)＝log a(x＋1)－log a(1－x)，a>0且a≠1.(1)求f(x)定义域；(2)判断f(x)奇偶性；(3)解不等式f(x)>0．变式训练3：1．已知f(x)＝lg(x2＋1＋x)，且f(a)＝3，则f(－a)＝_____．2．已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f (log2a)＋f (log12a)≤2f (1)，则a 的取值范围是________.【例4】当x∈[3,27]时，求函数f (x)＝log3x3·log3x9的值域．变式训练4：1．若函数f (x)＝a x＋log a(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．2．当0<x≤12时，4x<logax，则a的取值范围是___________．※课堂反馈1．设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a 2．函数f(x)＝2+log2x (x≥1)的值域为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)3．函数f (x)＝log12(2x＋1)的单调减区间是________．4．已知函数f (x )＝lg1－x1＋x，若f (a )＝4，则f (－a )＝________. 5．函数f (x )＝log 13(9－x 2)的单调增区间为________________，值域为______________．6．已知f (x )＝log a (x －1)，g(x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g(x )的定义域；(2)试确定不等式f (x )≤g(x )中x 的取值范围．※基础夯实1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(2,7]C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)2．已知log a 13>log b 13>0，则下列关系正确的是( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b3．若a ＝20.2，b ＝log 4(3.2)，c ＝log 2(0.5)，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a4．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A ．12B ．14C ．2D ．45．已知函数y ＝log a (2－ax )是[0，1]上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞) 6．函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的单调减区间为____________，值域为___________．7．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4恒成立，则实数m 的取值范围是________.9．若log a 23＜1，求实数a 的取值范围．10．已知函数y ＝(log 2x －2)(log 4 x －12)，2≤x ≤8.(1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围； (2)求该函数的值域．※能力提升1．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－8ax ＋3(x <1)log a x (x ≥1)在x ∈R 内单调递减，则a的范围是( )A ．(0，12]B ．[12，58]C ．[12，1)D ．[58，1)2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．3．已知f (2x)的定义域为[－1，2]，则函数f (log 2 x )的定义域为________．4．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，则不等式f (log 4 x )<0的解集是________． 5．已知函数f (x )＝log 121－axx －1的图象关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 12(x －1)＜m 恒成立，求实数m 的取值范围．5．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1. (1)求函数f (x )的定义域及单调区间；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．第7讲 §2.3.1 幂函数的图像及性质※知识要点1．幂函数及其图像性质(1)定义：形如 (α∈R )的函数称为幂函数，其中， 是自变量， 是常数． 注：如图，牢记常见五大幂函数图像与性质； (2)幂函数的图象及性质①位置：幂函数图像必过第 象限，必不过第 象限，当幂函数为偶函 数时，图像过第 象限；当幂函数 为奇函数时，图像过第 象限．②定点：α>0时，幂函数图像过定 点 ，α<0时，幂函数图像过定点 ；③第一象限单调性：α>0时，幂函数在(0，＋∞)上单调 ，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上单调 ； ④凹凸性：第一象限内，当α<0或 时，幂函数图像是 的；当0<α<1时，幂函数图像是 的；注：从x 轴正方向按逆时针，幂指数α由 变 ．※题型讲练 【例1】(1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝2x ；③y ＝4x 2；④y ＝x5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(4, 8)，①求f (x )的解析式； ②画出f (x )的草图．变式训练1：1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f (12)=________. 2．请把相应的幂函数图象代号填入表格． ① 23y x =； ② 2y x -=； ③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =； ⑥ 43y x =； ⑦ 12y x -=； ⑧ 53y x =.3．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m m 23＋－是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．【例2】(1)如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1 C ．－1<n <0，m >1 D ．n <－1，m >1(2)比较下列各组中幂值的大小： (1)30.8和30.7； (2)(2)0.60.3和1.20.3； (3) 和 ；变式训练2： 1．如图是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 2．比较幂的大小：a ＝1.30.7，b ＝0.71.3，c ＝0.81.3；【例3】已知幂函数y ＝x 23－－2m m (－1<m <3，m ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数， (1)求函数f (x )的关系式； (2)若(a ＋1)-3m <(3－2a )-3m，求a 的取值范围．变式训练3：1．解下列不等式：(1)()()2121231x x -<+； (2)()()323231--->+x x ；※课堂反馈 1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f (log 216)＝( )A ．2B ．22C ． 2D ．122．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．13y x = B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝ 3．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)223＋－m m x 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝________.212318.121-x 35x 32x4．若(3－2m )12>(m ＋1)12，则实数m 的取值范围为________． 5．比较下列各题中两个幂的值的大小：(1) 和 ； (2) 和 ； (3) 和 ；※基础夯实一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(12，22)，则log 2f (2)=( )A ．12B ．－12C ．2D ．－22．已知幂函数f (x )＝x a，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＜1C ．a ＞0D ．a ＜0 3．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －14．已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2)，则f (x )的增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．[0，＋∞) D ．(1，＋∞)5．设 ， 则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a 二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x－4m －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值是________．7．从小到大依次是________． 8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n ＞(－13)n ，则n ＝_____.三、解答题9．比较下列各组数的大小：10．已知幂函数y ＝f (x )经过点(2，18).(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．[能力提升] 1．如图，函数y ＝ 的图象是( )2．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( ) A ．0.76＜60.7＜log 0.76 B ．0.76＜log 0.76＜60.7 C ．log 0.76＜60.7＜0.76 D ．log 0.76＜0.76＜60.73．解不等式：()()5353231---<+x x4．已知幂函数f (x )＝x 21m +m(m ∈N *)．(1)求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．521.1525352)53()52()52(===c b a ，，41412125.625.016.0，，--529.01.1)52(9.0)52(9.01.11.19.032x。
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第二章 基本初等函数（Ⅰ）复习第五课时 函数的概念和图象例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）131-+--x x ；（3）1()2f x x =-．例2: 已知函数2361y x x =-+，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：（1）[1,2]x ∈-； （2）[4,0]x ∈-； （3）[2,5]x ∈．追踪训练一1．已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322x x x x x ，x(1)画出函数图象；(2)求f{f[f(－2)]}(3)求当f(x)= －7时，x 的值；第六课时 函数的表示方法1．二次函数的形式：（1）一般式：()c bx ax x f ++=2 ()0,,,≠∈a R c b a ；（2）交点式：()()()21x x x x a x f --= ，其中，21,x x 分别是()x f 的图象与x 轴的两个交点的横坐标；（3）顶点式：()()121y x x a x f +-=， 其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标；例1: 已知2211()1f x x x x -=++，求函数()f x 的解析式。
例2：（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +；（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图象过原点，求()g x ； （3）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是 （ ）A ．2-=x yB ．2-=x yC ．22--=x x yD ．2)22(--=x x y2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是 （ ）第七课时 函数的单调性1．单调增函数的定义：2．单调减函数的定义：3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 的图像。
（填＂上升＂或＂下降＂）4．函数单调性证明的步骤：5．函数最值的定义：例1：画出下列函数图象，并写出单调区间．（1）22y x =-+； A C D（2）1y x=； （3）21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩． 例2：判断函数21()f x x x=-((0,))x ∈+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．例３：(1)若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数，则实数m 的值为 ；（2）若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ；（3）若函数2()45f x x mx m =-+-的单调递增区间为[2,)-+∞，则实数m 的值为 ． 例4: 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有()()f x d f x +<，求满足(1)(21)f a f a -<-的a 的取值范围．例5：求下列函数的最小值：（1）22y x x =-； （2）1()f x x=，[]1,3x ∈．练习1. 函数2()21(0)f x ax ax a =++>在区间[3,2]-上的最大值为4，则a =_______．2.函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 .第八课时 函数的奇偶性1．偶函数的定义：2．奇函数的定义：3．函数图像与单调性：奇函数的图像关于 对称；偶函数的图像关于 轴对称．4．函数奇偶性证明的步骤：例1：已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．练习. 判断下列函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）()2|2|f x x =-+（3）()f x =例2: 已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，求(2)f 的值。
例3：已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．练习1.定义在（－2，2）上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若f(m －1)+f(2m －1)>0，求实数m 的取值范围．2. 定义在()1,1-上的奇函数()21x m f x x nx +=++，则常数m = ，n = ；3. 函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若f a f a ()()1102-+->，求实数a 的范围。
第九课时 分数指数幂1. 式子n a ()1,n n N *>∈叫 ，n 叫 ，a 叫 ；n = ．2. 若n = ；若n = ．3．正数的分数指数幂的意义：（1）正数的正分数指数幂的意义是m n a= ()0,,,1a m n N n *>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义m n a-= ()0,,,1a m n N n *>∈>． 4．分数指数幂的运算性质：5. 0的正分数指数幂等于 .例1：设－3<x<3，化简961222++-+-x x x x练习. 化简 ()()()0,0778888<<-+++b a b a b a b例2：已知a+a －1=3，求下列各式的值：（1）21a -21-a；（2）23a -23-a练习. 计算下列各式的值（式中字母都是正数）．(1)(xy 2·21x ·21-y )31·21)(xy (2)2369)(a ·2639)(a例3: 利用指数的运算法则，解下列方程：(1)43x+2=256×81－x(2)2x+2－6×2x －1－8=0第十课时 指数函数1．形如 _ 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，函数定义域是 ，值域是 ．2.当1a >时，函数x y a =单调性为 ；当01a <<时，函数x y a =单调性是在 ．3．已知0,1a a >≠，x y a =-与x y a =的图象关 对称；x y a -=与xy a =的图象关于 对称.4. 已知0,1;a a h o >≠>，由 x y a =的图象 得到x h y a +=的图象； 得到x h y a -=的图象； 得到x y a h =+的图象； 得到x y a h =-的图象.例1：设a 是实数， 2()()21x f x a x R =-∈+，（1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数，（2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；例2: 求函数26171()2x x y -+=的定义域、值域、单调区间．例3：画出函数的图象并根据图象求它的单调区间：（1）|22|x y =-；（2）||2x y -=例4、求下列函数的定义域与值域。
(1)y=11210-+x x ； (2)y=22)21(x x -；(3)y=91312--x第十一课时 对数1． 对数定义：2. 对数的性质：（1） ，（2） （3）3. 两种特殊的对数是 ①常用对数： ②自然对数：4.对数恒等式 （1）log b a a b = （2）loga N a N =5．对数换底公式log log log m a m NN a=说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）：① log log 1a b b a ⋅=；② log log m n a a nb b m =；例1:计算： ①9log 27，②625．例2:计算：（1）lg 14-2lg 18lg 7lg 37-+；2lg 2lg 3(2)2lg 0.362lg 2+++；（3）2lg 5lg2lg50+⋅练习．设45100a b ==，求122()a b +的值。
例3：1）2lg 4lg5lg 20(lg5)++（2）已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3（3）已知18log 9,185b a ==，用,a b 表示36log 45第十二课时 对数函数1． 对数函数的定义：2. 对数函数的性质为3. 函数log ()a y x b c =++（0,1a a >≠）的图象与函数log a y x =的图象关系例1：求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-；（2）log a y =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++（4）y =例2若4log 15a <(0a >且1)a ≠，求a 的取值范围 （2）已知(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围；例3：说明下列函数的图像与对数函数3log y x =的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：(1)3log ||y x =； (2)3|log |y x =； (3) 3log ()y x =-；(4) 3log y x =-例4：(1)求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间．(2)若函数22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数，a 的取值范围．练习 1.函数2lg(2)y x x =-的定义域是 ,值域是 ，单调增区间是2．求函数21144log log 5[2,4]y x x x =-+∈的最小值和最大值。
第十三课时 幂函数1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；注意：幂函数与指数函数的区别．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ；（填单调性）（3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 ．（填奇偶性）练习1.已知幂函数()y f x =的图象过，试求出这个函数的解析式；2．求函数1322(1)(3)y x x -=-+-的定义域．例1: 证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数．例2：已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．练习。
1．函数221m m y x --=在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是 ． 2．求函数215524(32)y x x x =++≥-的值域．例3、已知f(x)=x 3·(21121+-x )；(1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x )>0.例4、已知函数f(x)满足f(x 2－3)=l g .622-x x(1)求f(x)的表达式及其定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.。