全等三角形(2015新湘教版中考复习)

全等三角形（2015新湘教版中考复习）
一、复习目标：
1、理解全等形、全等三角形的定义；掌握全等三角形的性质与判定方法
2、能正确、恰当选用三角形全等的条件推证三角形全等、角相等、线段相等的问题
3、理解角平线的性质定理和判定定理。

二、复习重点和难点：
（一）复习重点：全等三角形的性质与判定
（二）复习难点：综合运用全等三角形的性质与判定证题
三、复习过程：
（一）知识梳理：
1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等.
3、全等三角形的判定
边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS），
直角三角形：斜边、直角边（HL）.
4、全等三角形的常见判定图形
（1）有公共边（角）
△ABD≌△ACD；△ABD≌△ACD；△ABD≌△ACD；△ABC≌△DCB；△OAD≌△OBC （2）边（角）重叠
△ABC≌△DEF △ABC≌△FDE △ABC≌△DEC
5、平分线的性质和判定
（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等.
（2）角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
6、学习方法指导：
（1）我们知道一个三角形有六个元素，即三边a、b、c和三角∠A、∠B、∠C。

运用这六个元素来识别两个三角形的全等，根据全等三角形的概念，三角形的三边对应相等并且三个角也对应相等，那么这两个三角形才能全等。

通过此办法来说明两三角形全等较为复杂。

做一实验观察发现如果两个三角形的一个或两个元素（边或角）对应相等，这两个三角形不一定能完全重合（即全等）甚至其形状都不尽相同。

三个元素对应相等呢？答案是肯定的，你能找出哪几种可能的情况？
（2）已知三条线段为边画一个三角形，这个三角形不会改变。

即通过已知三条线段画出的所有三角形都能够完全重合。

可感性地认识到全等三角形识别方法：有三边对应相等的两个三角形全等。

（3）在运用“S.A.S.”来识别两个三角形全等的问题中，要注意的是两边和它们的夹角
．．对应相等。

一般在问题中，如果出现有两边对应相等，则可考虑第三边或它们的夹角是否会相等，从这里找突破口来论证问题。

（4）在认识两个三角形全等的识别方法中，要切实地体会并会用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”及“HL”的识别两三角形全等。

（5）全等三角形是两三角形相似时相似比为1的特例。

（6）运用所学的识别方法识别两个三角形全等来解决线段或角相等的问题。

（二）经典例题：
例1.若△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝17cm。

△DEF中，∠D＝70°，∠E=80°，DE=17cm，那么△ABC与△DEF全等码？为什么？
分析：在说明两个三角形全等的问题时，有两个角和一边分别相等的两个三
角形不一定全等。

两个三角形全等，两个角与一边不是仅仅“相等”，还要注意
说明对应
．．两字。

并且要满足对应的三角形全等的判定。

解：不全等。

这是因为（如图）
在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，AC=17cm
在△DEF中，∠F＝180°－∠D－∠E＝180°－70°－80°＝30°，∠D＝70°，ED＝17cm。

但AC是∠B的对边，DE是∠F的对边，又∠B≠∠F，所以
o
o
o
80
70
30
C
B A
o
o
o
80
70
30
F
E
D
这两个三角形不全等。

例2、如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE,CD 相交于点O ，且∠1=∠2，试说明OB=OC 。

分析：要证：OB=OC 两条线段相等，即证这两条线段所在的三角形全等，即△ADO 和△AEO 全等。

解：因为CD ⊥AB,BE ⊥AC ，
所以∠ADO=∠AEO=90° 又因为∠1=∠2，AO ＝AO ， 所以△ADO ≌△AEO (AAS) 所以 DO=OE
又因为∠BDO=∠CEO ＝90°，∠BOD=∠EOC ， 所以 △BDO ≌△CEO （ASA ） 所以 OB=OC.
方法总结：利用全等三角形的知识解决问题，首先必须明确题设与结论中的线段(或角)在图形中的位置，观察它们从属于哪些三角形，然后再寻找对应的边与角。

例3.如图，点D 是△ABC 中BC 边上的一点，E 是AD 上一点，EB ＝EC,∠ABE ＝∠ACE ，试说明：∠BAE=∠CAE.
分析: 要识别∠BAE=∠CAE.关键是找这两个角在哪两个三角形中，从图中可看出若△ABE 和△ACE 、△ABD 和△ACD 全等则结论成立，本题以此为突破口来证明。

解: 在△BEC 中，∵BE=CE, ∴∠EBC=∠ECB 。

又∵∠ABE=∠ACE ，∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ， 在△AEB 和△AEC 中， AE=AE,BE=CE,AB=AC.
∴△AEB ≌△AEC 。

∴∠BAE=∠CAE.
说明：本题很容易出现用“SSA”的办法来说明，这种方法不正确，即EB=EC, ∠ABE=∠ACE，AE=AE.得到△AEB≌△AEC ∴∠BAE=∠CAE.
因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

例4、如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E,
2
1O
E D C
B
A
E
D
C
B
A
直线BM ，CN 交于点F.
⑴试猜想线段AN 、BM 的大小关系； ⑵试判断△CEF 的形状；
⑶将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第⑴、⑵两小题结论是否仍然成立？
分
析：有已知根
据△ACM 、△CBN 是等边三角形，可得到△CAN≌△MCB ，即可得到∠ANC=∠CBF ，也有△NCE ≌△BCF ，即CE=CF ，即有△CEF 为等边三角形。

解：⑴因为△ACM 、△CBN 是等边三角形 所以AC=MC,CN=CB,
因为∠ACM=∠BCN ＝60°， 所以∠CAN =60° 所以△ACN≌△MCB 所以 AN=BM
⑵由△CAN≌△MCB 得∠ANC=∠MBC 又CN=CB,∠BCF=∠NCE=60° 由∠ENC=∠FBC, 所以△BCF ≌△NCE. 所以CE=CF
又∠ECF=60°，所以△CEF 是等边三角形 ⑶补出图形如图所示，AN=BM 仍然成立 △CEF 是等边三角形不成立。

例5.如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过E 点，试说明：AB=AC+BD 。

分析：本题是一道证明线段的和（差）问题，其主要方法为“截长补短
(1)
N
M F
E C
B
A
(2)
N
M
C
B
A
N
M
F E
C
B
A
F
E
D
C B
A
法”，以下给出证法一和证法二请同学们注意。

解一：如图，在AB 上截取AF=AC ，连结EF 。

由△AEF ≌△AEB 、△CEF ≌△DEB,可证得AB=AC+BD 。

解二：如图，延长AC 至F,使AF=AB,连结EF 。

由△AEF ≌△AEB 、△CEF ≌△DEB,可证得AB=AC+BD.
题后反思：此题实际上代表一类题，在利用（或证明）诸如一条线段a 等于两线段b 、c 和对（或a-b=c 可能a 为a=b+c ）通常采用
上述两种方法：所增截长法，就是在线段a 上截取一段等于b （或c ）然后证明余下的一段等于c(或b)；所谓补短法，就是延长线段b （或c 使延长部分等于c （或b ），再证明它们的和等于a 。

例6、已知如图，四边形ABCD 中，∠A=60°AD+BC=DC=AB=1，求四边形ABCD 的面积。

解 如图，延长AD 到E ，使DE=BC ，连BD ，BE 。

∵AD+BC=AD+DE=AE=AB=1，∠A=60° ∴△ABE 是等边三角形，∴AB=AE=BE=DC=1 又DE=BC ，DB=BD ，∴△EDB ≌△CBD ∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =S △ABD +S △BDE =S △ABE =
4
3。

方法总结：本题中，延长AD 到E ，使DE=BC ，构造等边三角形EAB 和全等三角形△EDB 与△CBD 是解决问题的关键，然后利用全等三角形的判定和性质，将求四边形ABCD 的面积的问题，转化为求边长为1的等边△ABE 的面积问题，实现了由一般向特殊的转化，这一思路较好。

（三）作业： 《考试指南》P77-78
A
B
C D
E
F。