1-3条件概率乘法公式全概率逆概率公式

P ( B2 A) 0.64
P ( B3 A) 0.12
说明：这只次品来自第二家工厂的可能性最大
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例 5 对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时， 产品的合格率为0.9，而当机器发生某一故障时，其合格 率为0.3，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 0.75，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器 调整得良好的概率是多少？ 解 设 A ： “ 产品合格 ” ， B ： “ 机器调整良好 ” 由已知
⑴ Bi B j , i j , i j 1,2, n; ⑵ B1 B2 Bn S ,
则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间S的一个划分
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2、全概率公式：
P ( A)
i 1
p( Bi ) P( A | Bi )
n
3、贝叶斯公式（逆概率公式）
次才取到合格品的概率. 解：设 Ai 表示“第 i 次取到的是合格品”(i=1,2，3) ， 所求概率为
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
0.0083
如果取到一个合格品后就不再继续取零件，求在三 次内取得合格品的概率.
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P (A B) =0.9, P (B) =0.25
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P (A B)=0.3,
P (B) =0.75,
后验概率
由贝叶斯公式
P ( B A)
P( A B)P( B) P( A B)P( B) P( A B)P( B)
0.9 0.75 0.9 0.9 0.75 0.3 0.25
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例2 设袋中装有r只红球，t只白球，每次自袋
中任取一 只球，观察其颜色后放回，并再放
入a只与所取出的那只球同色的球，若在袋中
连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第
三、四次取到白球的概率。
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【例3】一批零件共100个，其中有10个次品。每次 从中取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三
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一、条件概率
在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概
率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条
件概率，记为
P(AB) P(A|B) = P(B)
( P( B) 0)
若P(A)＞0，则称P(B|A)=P(AB)/P(A)为事件
A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
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则P(B)=( 0.6 ).
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二、乘法定理
1. 设A、B为两个事件，
若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，
若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A),
若P(A)>0, P(B)>0, 则
P(AB)=P(A)P(B|A) =P(B)P(A|B)
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乘法公式的推广
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注 意：
(1) 区别P(B|A)与P(AB); (2) P(B|S)=P(B); P(B|B)=1; (3) 若B1, B2互不相容,则有: P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A);
(4)
P ( B | A) 1 P ( B | A)
(5)条件概率往往可以通过实际问题分析得出。
条件概率的图示
S
事件A 事件B
一旦事件B发生
事件 ABБайду номын сангаас其 概率P (AB)
事件B及其概 率P(B)
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条件概率满足:
1、非负性： 对于每一事件A，有 P ( A | B ) 0 ; 2、规范性： 对于必然事件S，有 P（ S | A）=1 3、可列可加性：若事件A1，A2，…两两互不相容 则有 P ( Ai | B ) P ( Ai | B )
有限个事件积事件的概率：
对于n 个事件A1, A2,…,An ,
若 P( A1A2…An-1 ) > 0，则有
P( A1A2…An)
=P(A1)P(A2|A1) P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
特别： 对事件A，B，C，若P(AB)＞0，则有
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
i 1 i 1
因此，条件概率也满足概率具有的所有性质。
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例1
4个产品中有3个正品，1个次品，按不
放回抽样，每次一个，抽取两次，
设事件A为“第一次取到的是正品”，事件B
为“第二次取到的是正品” 试求（1）两次都取到正品的概率； （2）条件概率P（B|A） 。
解： P（B|A）=P(AB)/P(A)= (6/12)/(3/4)=2/3
例4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次 落下时打破的概率为1/2，若第一次落下 未打破，第二次落下打破的概率为7/10， 若前两次落下未打破，第三次落下打破的 概率未9/10。试求透镜落下三次而未打破 的概率。
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三、全概率公式和贝叶斯公式
1、划分的定义
设S为试验E的样本空间，B1 ，B2 ，‥ Bn为E 的一组事件。若
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【练习7】某工厂生产的产品以100个为一批，在 进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，
如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格
的.假设每一批产品中的次品数最多不超过4个，
并且其中恰有i（i=0，1，2，3，4）个次品的概
率如下：
一批产品中的次品数
概 率
0
0.1
1
2
3
4
0.2 0.4
且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)
(2)
求市场上该种商品的次品率.
若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是
次品，求它是甲厂生产的概率?
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解：
（1）设Ai 表示取到第 i 个工厂产品，i=1,2,3,
B表示取到次品,由题意 得:
P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概率公式得:
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例6 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如 下的效果：事件A:“ 试验反应为阳性 ” 事件B: “ 被诊断者患有癌症 ” 已知
P (A B) = 0. 95 P (A B) = 0. 95 P (B) =0.005
求： P ( B A) 解 由
P( A | B ) 1 P( A B) 1 0.95 0.05
P ( Bi | A)
P ( Bi ) P ( A | Bi )
P( B j ) P( A | B j )
j 1
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n
贝叶斯公式（备注）
B1,B2,...,Bn可以看作是导致事件A发生的原因; P(Bj|A)是在事件A发生的条件下,是由原因Bj引起 的概率,称为“后验概率”; Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公 式”; P(Bj)可以称为“先验概率”.
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（略）【练习1】已知 0＜P（B）＜1，且
P{ (A1∪A2)|B} = P(A1|B)+P(A2|B)
记C=U-B ,则下列选项成立的是（ 2
① P{(A1∪A2)|C}=P(A1|C)+P(A2|C) ② P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B) ③ P(A1∪A2)=P(A1|B)+P(A2|B) ④ P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
0.2 0.1
求各批产品通过检查的概率.
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主要内容
条件概率及其性质
乘法定理
全概率公式和贝叶斯公式
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P( A | B)P( B) P ( B | A) P( A | B)P( B) P( A | B)P( B)
0.95 0.005 0.087 0.95 0.005 0.05 0.995
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【练习5】市场上某种商品由三个厂家同时供应,其供 应量为:甲厂家是乙厂家的2倍, 相等, 乙和丙两个厂家
§1.5
一.条件概率
条件概率
二.乘法公式
三.全概率公式和贝叶斯公式
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例
4个产品中有3个正品，1个次品，按不放
回抽样，每次一个，抽取两次，
设事件A为“第一次取到的是正品”，事件B
为“第二次取到的是正品”。试求： （1）两次都取到正品的概率； （2）已知第一次取到的是正品，求第二次也取
到正品的概率 。
A1 A2
B
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）
【练习2】设事件A是B 的子事件,
则下列选项必然成立的是（ 2 ）
P(B)＞0，
① P(A)<P(A|B) ③ P(A)>P(A|B)
② P(A)≤P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B)
【练习3】 P(A)=0.6, P(A∪B)=0.84, P(S -B|A)=0.4,
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例4 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制 造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂 1 2 次品率 0.02 0.01 提供元件的份额 0.15 0.80
3
0.03
0.05
在仓库中随机地取一只元件， (1) 求它是次品的概率；(2) 若取到的是次品，求 此次品由三家工厂生产的概率.
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai ) =0.04