概率论应用题6
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
重庆理工大学概率论试卷及答案5
概率与数理统计复习资料一、单选1.设随机事件A 与B 互不相容,且()0,()0,P A P B >>则〔 〕 A.()1()P A P B =-〕 B.()()()P AB P A P B =⋅ C.()1P A B =D.()1P AB =2.设A ,B 为随机事件,()0P A >,(|)1P A B =,则必有〔 〕 A.()()P A B P A = B.A B ⊂ C.()()P A P B =D.()()P AB P A =3.将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为〔 〕A.2224B.1224C C C.242!A D.24!!4.某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为34,他连续射击直到命中为止,则射击次数为3的概率是〔 〕A.33()4B.231()44⨯C. 213()44⨯ D.22413()44C 5.已知随机变量X 的概率密度为()X f x ,令2Y X =-,则Y 的概率密度()Y f y 为〔 〕A.2(2)x f y -B. 2()2x y f - C. 1()22x y f -- D.1()22x yf - 6.如果函数,;()0,x a x b f x x a x b≤≤⎧=⎨<>⎩或是某连续随机变量X 的概率密度,则区间[,]a b 可以是〔 〕A.(0,1)B.(0,2)C. D.(1,2)7.下列各函数中是随机变量分布函数的为〔 〕A.F x x x 1211(),=+-∞<<+∞B.200()01x F x x x x≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ C.3(),x F x e x -=-∞<<+∞D.F x arctgx x 43412(),=+-∞<<+∞π8.设二维随机向量〔X,Y 〕的联合分布列为〔 〕则(0)P X == A.112B. 212C. 412D. 5129.已知随机变量X 和Y 相互独立,且它们分别在区间[1,3]-和[2,4]上服从均匀分布,则()E XY =〔 〕 A.3B.6C.10D.1210.设()x Φ为标准正态分布函数,1,0,i A X A ⎧=⎨⎩事件发生；事件不发生，1,2,,100i =,且()0.8P A =,12100,,,X X X 相互独立.令1001i i Y X ==∑,则由中心极限定理知Y 的分布函数()F y 近似于〔 〕A.()y ΦB.80()4y -Φ C.(1680)y Φ+ D.(480)y Φ+ 11.设随机事件A 与B 互不相容,且有P<A>>0,P<B>>0,则下列关系成立的是< >A. A,B 相互独立B. A,B 不相互独立C. A,B 互为对立事件D. A,B 不互为对立事件12. 已知P<A>=0.3,P<B>=0.5,P<A ∪B>=0.6,则P<AB>=< >. A. 0.15 B. 0.2 C. 0.8 D. 113. 设随机变量X 的概率密度为f<x>,则f<x>一定满足〔 〕A.0≤f<x>≤1B.{}()XP X x f t dt-∞>=⎰C.()1f x dx +∞-∞=⎰D.f<+∞>=114. 从0,1,…,9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字,则"8〞至少出现一次的概率为< > A.0. 1 B.0.3439 C. 0.4 D. 0.656115. 设一批产品共有1000个,其中有50个次品.从中随机地有放回地抽取500个产品,X 表示抽到次品的个数,则P ｛X ＝3｝＝< >A. 5001000497950350C C C B. 5001000497950350A A A C. 49733500)95.0()05.0(C D. 500316. 设随机变量X 的概率密度为f<x>=1cos ,,20,.x a x b ⎧<<⎪⎨⎪⎩其它 则区间<a,b>是< >.A. <0,2π>B. <2π-,0> C. <-π,π> D. <2π-,2π> 17. 已知随机变量X则P 〔{-2<X ≤A. 0 B. 0.2C. 0.35 D. 0.5518. 设二维随机向量〔X,Y 〕的概率密度为f<x,y>,则P{X>1}=〔 〕A. ⎰⎰+∞∞-∞-dy)y ,x (f dx 1 B. ⎰⎰+∞∞-+∞dy)y ,x (f dx1C. ⎰∞-1dx)y ,x (f D. dx)y ,x (f 1⎰+∞19．设随机变量X ～B 〔30,61〕,则E 〔X 〕＝< > A.61B.65C.625D. 520. 设随机变量X ～B<100,0.1>,则方差D<X>=< >. A. 10B. 100.1C. 9D. 3 二、填空1.一口袋中装有3只红球,2只黑球,今从中任意取出2只球,则这2只球恰为一红一黑的概率是.2.设1()2P A =,2(|)5P B A =,则()P AB =.3.则常数4.设随机变量(0,1)XN ,()x Φ为其分布函数,则()()x x Φ+Φ-=.5.已知连续型随机变量X 的分布函数为 设X 的概率密度为()f x ,则当0,()x f x <=.6.设随机变量X 与Y 相互独立,且1(1)2P X ≤=,1(1)3P Y ≤=,则(1,1)P X Y ≤≤= 7.设随机变量X 的概率密度为f<x>=22(),x f x x -=-∞<<+∞,则(1)E X +=.8.设随机变量X 与Y 相互独立,且()1D X =,()2D Y =,则()D X Y -=.则样本方差2s =.10.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,中μ未知,12,,nX X X 为其样本.若假设检验问题为201:1:1H H σσ=≠,则采用的检验统计量为 .11.已知P<A>=0.3,P<B>=0.5,P<A∪B>=0.8,那么P<AB >=______,P<AB >=______.12. 进行5重贝努利试验,事件A 在每次试验中发生的概率P<A>=0.1,则在5次试验中A 恰发生2次的概率为____________,A 至少发生1次的概率为____________13.若1,2,3,4,5号运动员随机排成一排,则1号运动员站在正中间的概率为_______________.14. 设X 为连续随机变量,c 为一个常数,则P ｛X ＝c ｝＝_______________. 15. 设X ～N<5,4>,若d 满足P<X>d>=Φ<1>,则d=______. ,其分布列为 的分布函数为F X <x>,则随机变量Y=3X+2的分布函数F Y <y>=___________. 18. 设随机变量X 有密度f<x>=(1),01,0,.K x x -<<⎧⎨⎩其它则K=______三、证明题1.设A 、B 为两个随机事件,0()1P B <<,且(|)(|)P A B P A B =,证明事件A 与B 相互独立.2. 设A,B 为随机事件,P 〔B 〕>0,证明：P<A|B>=1-P<B |A >.,那么当0≤x ＜1时,X 的分布函数的取值为F<x>=______.四、计算题〔共8分〕1.设随机变量X 的概率密度为,01;()0,.cx x f x α⎧<<=⎨⎩其它且()0.75E X =,求常数c和α.2. 设随机向量<X,Y>概率密度为f<x,y>=⎩⎨⎧<<<<其他 0,xy 1,0x 8xy,0<1>求边缘概率密度f X <x>,f Y <y><2>求概率P{Y ≤2X} 五、综合题1.设二维随机向量(,)X Y 的联合概率密度为f<x,y>=,0;(,)0,.y e x y f x y -⎧<<⎨⎩其它一、 求(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘概率密度(),()X Y f x f y ； 二、 判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 2．设随机变量1X 与2X 相互独立,且21(,)X N μσ,21(,)X N μσ,令12X X X =+ 2,12Y X X =-.求：〔1〕(),()D X D Y ;<2>X 与Y 的相关系数XY ρ.3. 加工某种零件,如生产情况正常,则次品率为3%,如生产情况不正常,则次品率为20%,按以往经验,生产情况正常的概率为80%,①任取一只零件,求它是次品的概率. ②已知所制成的一个零件是次品,求此时生产情况正常的概率. 4. 设由取自正态总体2(,0.9)XN μ,容量为9的样本,得样本的5X =,求未知参数μ的95%置信区间 〔0.025 1.96u =〕六．应用题1．已知某炼铁厂在生产正常的情况下,铁水含碳量X 服从正态分布,其方差为0.03,在某段时间抽测了10炉铁水,算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.试问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？<显著性水平05.0=α<7.2)9(,023.19)9(2975.02025.0.==χχ>2. 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 设01:70:70H H μμ=≠答案一、单选 1.D 2.A3.A4.C5.D6.C7.B8.D9.A10.B11.D 12.B13.C14.B15.C 16.D17.D18.B19.D20.C 二、填空1. 0.62.153. 0.14. 15. 13e x 6.167. 18. 39. 210. <n-1>s 2或()xx ii n-=∑1211. 1 ,0.212. 缺答案13. 缺答案14. 缺答案15.116.0.417.218.3三、证明题〔共8分〕1.证法一：由题设与条件概率定义得P AB P B P AB P B ()()()(),=又P AB P A B P A P AB ()()()()=-=-, 由以上二式可得 P<AB>=P<A>P<B>,故A 与B 相互独立.证法二：由全概率公式得P<A>=P B P A B P B P A B ()(|)()(|)+=[P B P B ()()+]P<A|B> <由题设> =P<A|B>,则P<AB>=P<B>P<A|B>=P<A>P<B>, 故A 与B 相互独立.2,证：右边=()1(|)1()P AB P A B P B -=-()()()1(|)()()P B P AB P AB P A B P B P B --===左四、计算题〔共8分〕1.解：由cx dx cxdx αα==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎰⎰+10750111,.,可得cc αα+=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪112075,.,解得 α==23,.c 2解： ①30()884xX f x xydy xydy x +∞-∞===⎰⎰同理可得 401()0Y y y f x <<⎧=⎨⎩其它②12200()882x xXP Y dx xydy xdx ydy +∞-∞-∞≤==⎰⎰⎰⎰五、综合题〔本大题共两小题,每小题12分,共24分〕1．解：〔1〕边缘概率密度为f x <x >=f x y dy e dy e x x xyx (,),;,,==>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪+∞---∞+∞⎰⎰000≤ f x <y >=f x y dx e dx ye y y xy y y(,),;,,==>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎰⎰---∞+∞000≤ 〔2〕由于f<x,y>≠⋅f x f y X Y ()(),故X 与Y 不独立. 〔3〕P{X+Y ≤1}=f x y dxdy x y (,)+⎰⎰≤1=dx e dy y xx --⎰⎰1012=12112+---e e.2.解：D<X>=D<X 1+X 2>=D<X 1>+D<X 2>=2σ2,D<Y>=D<X 1-X 2>= D<X 1>+ D<X 2>=2σ2, Cov<X,Y>=E<XY>-E<X>E<Y>=E X E X E X E X E X E X ()()[(()][()()]12221212--+⋅-=D<X 1>-D<X 2>=0,则ρXY Cov X Y D X D Y ==(,)()().03．解：〔1〕边缘概率密度为f x <x >=f x y dy e dy e x x xyx (,),;,,==>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪+∞---∞+∞⎰⎰000≤ f x <y >=f x y dx e dx ye y y xy y y(,),;,,==>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎰⎰---∞+∞000≤ 〔2〕由于f<x,y>≠⋅f x f y X Y ()(),故X 与Y 不独立. 〔3〕P{X+Y ≤1}=f x y dxdy x y (,)+⎰⎰≤1=dx e dy y xx--⎰⎰1012=12112+---e e.4.解：D<X>=D<X 1+X 2>=D<X 1>+D<X 2>=2σ2,D<Y>=D<X 1-X 2>= D<X 1>+ D<X 2>=2σ2, Cov<X,Y>=E<XY>-E<X>E<Y>=E X E X E X E X E X E X ()()[(()][()()]12221212--+⋅-=D<X 1>-D<X 2>=0,则ρXY Cov X Y D X D Y ==(,)()().0六、应用题〕1.解：缺答案2.解：这是两正态总体均值差的区间估计问题.由题设知,n 1=5,n 2=6,x =175.9,y =172,s 12113=.,s 22=9.1,α=005.. s n s n s n n w =-+-+-()()11222212112=3.1746选取t 0.025<9>=2.2622,则μμ12-置信度为0.95的置信区间为： [x y t n n s n n x y t n n s n n ww --+-+-++-+αα2121221212211211(),()]=[-0.4484,8.2484].。
事件的概率试题及答案
事件的概率试题及答案1. 单选题：如果一个骰子被公平地掷出，那么掷出偶数的概率是多少？A. 1/2B. 1/3C. 3/8D. 1/6答案：A2. 多选题：以下哪些事件是互斥的？A. 掷一枚硬币得到正面或反面B. 掷骰子得到1或得到6C. 掷骰子得到奇数或得到偶数D. 掷骰子得到3或得到5答案：B, D3. 判断题：如果一个事件的概率是0，那么这个事件不可能发生。
答案：正确4. 填空题：如果一个事件的概率是0.5，那么它的补事件的概率是______。
答案：0.55. 计算题：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：5/86. 简答题：解释什么是条件概率，并给出一个例子。
答案：条件概率是指在某个条件或事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，如果已知一个班级里有50%的学生是女生，那么在随机挑选一个学生是女生的条件下，这个学生是左撇子的概率，就是条件概率。
7. 应用题：一个工厂生产两种类型的零件，A型和B型。
A型零件的合格率为90%，B型零件的合格率为80%。
如果从生产线上随机抽取一个零件，发现它是合格的，那么这个零件是A型的概率是多少？答案：设事件A为零件是A型，事件B为零件合格。
根据贝叶斯定理，P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
已知P(A) = 0.5，P(B|A) = 0.9，P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A') * P(A') = 0.9 * 0.5 + 0.8 * 0.5 = 0.85。
所以P(A|B) = 0.9 * 0.5 / 0.85 ≈ 0.529。
8. 论述题：描述概率论在现实生活中的应用，并举例说明。
答案：概率论在现实生活中有广泛的应用，例如在风险评估、保险计算、医学研究、天气预报等领域。
例如，在医学研究中，研究人员可能会使用概率论来评估某种治疗方法对特定疾病的效果，通过分析治疗组和对照组的治愈率差异，来确定治疗方法的有效性。
概率论第六章习题解答
概率论第六章习题解答1、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8与53.8之间的概率。
解 因为2(52,6.3)N ，所以{50.853.8}P X P <<=<<10.87.2()()6.3 6.3-=Φ-Φ(1.71)( 1.14)=Φ-Φ- 0.956410.87290.8293=-+=2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。
（2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5114(12,)55ii X X N ==∑所求概率为{|12|1}1{|12|1}P X P X ->=--≤1{1121}P X =--≤-≤1X P =-≤≤1(()22=-Φ+Φ- 22(1.12)=-Φ2(10.8686)0.2628=-= （2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 123451{15,15,15,15,15}P X X X X X =-≤≤≤≤≤ 511{15}i i P X ==-≤∏511215121{}22i i X P =--=-≤∏ 51((1.5))=-Φ51(0.9332)0.2923=-=. （3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <123451{min{(,,,,)10}P X X X X X =-≥123451{10,10,10,10,10}P X X X X X =-≥≥≥≥≥511{10}i i P X ==-≥∏511(1{10})i i P X ==--<∏511210121(1{})22i i X P =--=--<∏ 511(1(1))i ==--Φ-∏511(1)i ==-Φ∏51(0.8413)1042150.5285=-=-=3、求总体(20,3)N 的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值不超过0.3的概率。
概率论与数理统计答案
概率论与数理统计答案1. 观察某地区未来3 天的天气情况，记表示“有天不下雨”，用事件运算的关系式表示：“三天均下雨” “三天中至少有一天不下雨” 。
正确答案：2. 一根长为的棍子在任意两点折断，则得到的三段能围成三角形的概率为。
正确答案：. 3.两事件与相互独立，且满足，，则。
正确答案：4. 已知随机变量的概率分布为，则，。
正确答案：1，5. 设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，对随机变量X 的取值进行了三次独立观察，则至少有两次观察值不超过 2 的概率为。
正确答案：0.3526. 随机变量，则由切比雪夫不等式有。
正确答案：7. 已知随机变量X 和Y 的协方差矩阵为，则= 。
正确答案：，28. 设总体X 服从正态分布，其中未知，现取得样本容量为64 的一个样本，则的0.95的置信区间的长度为。
正确答案：0.989. 设总体X 服从正态分布，是总体的样本，则，正确答案：，10. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为。
正确答案：二、选择题（每题2 2 分，共0 10 分）1.设设A A ，B B 为两随机事件，且，则( ) 。
正确答案A.B.C.D.正确答案：D2. 已知随机变量X X 的概率密度函数( ( A 0,A 为常数) ) ，则概率（0 ）的值（）。
正确答案A. 与无关，随的增大而增大B. 与无关，随的增大而减小C. 与无关，随的增大而增大D. 与无关，随的增大而减小正确答案：C3. 若～，～，那么的联合分布为（）。
正确答案A.二维正态分布，且B.二维正态分布，且不定C.未必是二维正态分布D.以上都不对正确答案：C4. 总体均值的的95% 置信区间的意义是( ) 。
正确答案A. 这个区间以95%的概率含样本均值B. 这个区间以95%的概率含的真值C. 这个区间平均含总体95%的值D. 这个区间平均含样本95%的值正确答案：B5. 对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下接受，那么在显著水平1 0.01 下，下列结论中正确的是( ) 。
概率的应用题
概率的应用题1. 抛硬币问题假设有一枚公平的硬币，被抛一次，我们想知道出现正面的概率是多少。
解答：由于硬币是公平的，所以出现正面和反面的概率相等。
因此出现正面的概率是 0.5，即 50%。
2. 扑克牌问题一副标准扑克牌有52张牌，其中4张是A，4张是K，4张是Q，4张是J。
现在从扑克牌中随机抽取2张牌，我们希望知道这两张牌中至少有一张是A的概率是多少。
解答：首先计算两张牌都不是A的概率，即没有A的牌共有48张，从中随机抽取2张牌的概率是 C(48, 2) / C(52, 2)。
然后计算至少有一张是A的概率，即全为A的概率加上其中一张是A的概率。
全为A的概率是 C(4, 2) / C(52, 2)，其中一张是A的概率是C(4, 1) * C(48, 1) / C(52, 2)。
最后将这两个概率相加即可得到答案。
3. 生日问题在一个房间里，假设有23个人，我们想知道至少有两个人生日相同的概率是多少。
解答：假设每个人的生日是独立的并且等概率地分布在一年中的365天。
首先计算第一个人的生日不同于其他22个人的概率，即（364/365）^22。
然后计算至少有两个人生日相同的概率，即1减去前面计算得到的概率。
最后将这个概率转化为百分数即可得到答案。
4. 信号灯问题某交叉路口的信号灯的工作时间为8小时，其中绿灯亮6分钟，黄灯亮3分钟，红灯亮1分钟。
现在我们想知道在一小时内，某一时刻通过该交叉路口时看到的是绿灯的概率是多少。
解答：该问题涉及到信号灯的周期和每个颜色灯亮起的时间比例。
根据给定的条件，一个周期为10分钟，其中绿灯亮6分钟。
所以在一小时内，绿灯出现的次数是 60 / 10 * 6，总次数是 60 / 10 * 10。
因此通过该交叉路口时看到的是绿灯的概率是 (60 / 10 * 6) / (60 / 10 * 10)。
以上是关于概率的应用题的介绍。
通过学习和理解这些问题，读者可以更好地应用概率知识解决实际问题。
04183概率论与数理统计(经管类)答案
概率论与数理统计(经管类)一、单项选择题1．设A ，B 为随机事件，且B A ⊂，则AB 等于 B A ．A B ．B C ．ABD ．A2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 CA ．81B ．14 C ．38D ．12？3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤,,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21= AA.41B.31 C.214．已知离散型随机变量X !则下列概率计算结果正确的是DA ．P (X =3)=B ．P (X =0)=0C ．P (X>-1)=lD ．P (X ≤4)=l5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所示：C且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是A ．a =，b = B ．a =，b = C ．a =，b = D ．a =， b =6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为D则P{XY=0}= BA. 121B. 61C. 31D.32 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= BA ．41B ．21C ．2D ．48．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为D |A ．1B ．2C ．3D ．49．设总体X~N （2,σμ），2σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--=n1i 2i2)x x(1n 1s ，检验假设H 0∶2σ=20σ时采用的统计量是 CA.)1n (t ~n/s x t -μ-=B. )n (t ~n/s x t μ-=C. )1n (~s )1n (2222-χσ-=χ D. )n (~s )1n (2222χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= AA.214σB.213σ C.212σ D.2σ。
11．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (B A )=32，若事件A ，B 相互独立，则P (A )C A ．91B ．61 C ．31D ．2112．对于事件A ，B ，下列命题正确的是 D A ．如果A ，B 互不相容，则B ,A 也互不相容 B ．如果B A ⊂，则B A ⊂ C ．如果B A ⊃，则B A ⊃？D ．如果A ，B 对立，则B ,A 也对立13．下列函数中可作为随机变量分布函数的是C A ．⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(1其他x x F 1B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<-=.1,1;10,;0,1)(2x x x x x FC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(3x x x x x FD ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,2;10,;00,0)(4x x x x F14.设随机变量X 的概率密度为f (x )=1,10,20, ,cx x ⎧+-≤≤⎪⎨⎪⎩其他则常数c = B21]15.设随机变量X 的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X 的分布函数，则对任意的实数a ，有 C (-a)=1-⎰a0dx )x (fB. F(-a)=F(a)C. F(-a)=⎰-adx )x (f 21 (-a)=2F(a)-116．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<,,0;20,20,41其他y x则P{0<X <1，0<Y <1}=【 A 】A ．41B ．21 C ．43 D ．1~17.已知随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<, ,0,42,21其他x 则E (X )= D【 】B.21D. 318.设随机变量X 具有分布P{X=k}=51,k=1，2，3，4，5，则E （X ）= B19.设随机变量Z n ～B （n ，p ），n =1，2，…，其中0<p <1，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--∞→x p np np Z P n n )1(lim B22e21t x-⎰π22e21t x-∞-⎰π`22e21t -∞-⎰π22e21t -∞+∞-⎰π20.设X 1，X 2，X 3，为总体X 的样本，3216121kX X X T ++=，已知T 是E (x )的无偏估计，则k = A A.13B.16C.94 D.21 二、填空题1.设P （A ）=,P （B ）=,P （A ⋃B ）=，则P （B A ）=.2.设A ，B 相互独立且都不发生的概率为91，又A 发生而B 不发生的概率与B 发生而A 不发生的概率相等，则P （A ）=_____23______. 3.设随机变量X~B （1，）（二项分布），则X的分布函数为______00;(x)0.201;10x F x x <⎧⎪=≤<⎨⎪<⎩_____.)4．已知某地区的人群吸烟的概率是，不吸烟的概率是，若吸烟使人患某种疾病的概率为，不吸烟使人患该种疾病的概率是，则该人群患这种疾病的概率等于 ___．5．设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=,,0;10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= _x_____．6．设随机变量X ～N (1，32)，则P{-2≤ X ≤4}=．(附：)1(Φ= 7.设随机变量(X ，Y )的概率分布为YX0 1}24161 81 141 81 。
2016年02197概率论与数理统计作业及参考答案
02197概率论与数理统计一、单项选择题（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
） 1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为 【 B 】A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）}B ．{ (反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）}C ．{一次正面，两次正面，没有正面}D ．{先得正面，先得反面}2. 设A 与B 互不相容，且()0P A >，()0P B >则有 【 D 】A. ()1()P A P B =-B. ()()()P AB P A P B =C. ()1P AB =D. ()()()P AB P A P B =+3. 若φ≠AB ，则下列各式中错误的是 【 C 】A ．0)(≥AB PB.1)(≤AB PC. P(A+B)=P(A)+P(B)D. P(A-B)≤P(A)4. 若A B ⊂，则下面答案错误的是 【 A 】A. B 未发生A 可能发生B. ()B-A 0P ≥C. ()B P A P ≤)(D. B 发生A 可能不发生5. 袋中有a 个白球,d 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是 【 C 】A.21B. 1a d +C. a a d +D. da d + (c5)6. 设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对事件中,不独立的是【 C 】 A.C AUB 与 B. B A -与C(B5)C. C AC 与D. C AB 与 7. 设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则 【 D 】A. A 与B 不相容B. A 与B 相容C. A 与B 不独立D. A 与B 独立8. 四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译的概率为【 D 】A. 1B. 21(B8\c8)C. 52D. 329. 已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为 【 B 】A.81B. 83C. 85D.87 10. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为【 B 】A.2-e B.251e -C.241e-D.221e-. 11. 设),4,(~μN X 则 【 C 】A.)1,0(~4N X μ-B.21}0{=≤X PC.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ12. 设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为 。
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概率论应用题
1%
P 173T 13（10分）设某一设备装有3个不同的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间服从参数为λ的指数分布.当3个元件都正常工作时，设备才正常工作.试求设备正常工作时间T 的概率分布.
解：i i i T T ,""有个元件正常工作第设=)(λExp 服从指数分布可得分布函数为：
3,2,10
,00,1)(=⎩⎨⎧≤>-=-i t t e t F t i λ （2分）
则设备正常工作时间}{
3,2,1min T T T T =，分布函数为： （1分） }{()t T T T T p t F ≤==3,2,1min )(
}{()t T T T T p >=-=3,2,1min 1
)()()(1321t T p t T p t T p >>>-=
)](1)][(1)][(1[1321t F t F t F ----= （3分） 0)(.0=≤t F t 时当 （1分） 当t t e e t F t λλ331)(1)(,0---=-=>时 （1分） 故设备正常工作时间T 服从参数为λ3的指数分布)3(λExp 密度函数为：
⎩⎨⎧<>==-0,00,3)()(3'
t t e t F t p t λλ （2分）
2%
P 120T 10（10分）某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台可盈利100元，而调换一台设备需要花费300元.试求每台设备的平均利润. 解：41
)(==λX E X 服从指数分布，且 （2分）
⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=∴-0,00,41)(4x x e x p X x 的密度函数为 （3分）
设""每台设备的利润
=Y
200300100Y 1-=-=≤时，当X （1分） 100Y 1=>时，当X （1分） 故平均利润：)1(100)1(200)(>+≤-=X p X p Y E
20030041100412004114104-=+-=-∞+--⎰⎰e dx e dx e x x （3分）
3%
P 85T 9（12分）某人用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股，假设一年后该股票等可能的为1元 /股和4元/股.而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年后购买，试问理财顾问的建议是否正确？为什么？
解：设X 表示一年后该股票的价格，X 的所有可能取值为1，4. （2分)
若现在就购买所拥有的股票5000股，一年后股票市值为X 5000. （2分) 若一年后购买股票所拥有的股票数量为X
10000股，股票市值为10000元 （2分) 1000012500450005.0150005.0)5000(>=⨯⨯+⨯⨯=X E （2分) ∴现在就购买，则一年后所拥有的股票市值的数量期望达到最大。
（1分) 又500062504
100005.01100005.0)10000(>=⨯+⨯=X E （2分) 因此一年后购买股票，则所拥有的股票数量的数学期望达到最大。
（1分) 故建议合理。
4%
P 83例2.2.7（15分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）服从)500,300(上的均匀分布.每售出1吨该原料，公司可获利1.5（千元）；若积压1吨，则公司损失0.5（千元）.问该公司该组织多少货源，可使平均收益最大？
解：设该公司组织该货源a 吨.则显然应该有500300≤≤a . （1分） 又记Y 为在a 吨货源的条件下的收益额（单位：千元），则收益额Y 为需求量X 的函数，即)(x g Y =.由题设条件知 （1分） 吨货源全部售出时，则此当a a ≥X ，共获利a 5.1. （2分） ）），（吨积压（获利，且还有获利吨时，则售出当X -a 5.0-X -a )X 5.1(X X a < 所以共获利)(5.05.1X a X --，由此知 （2分）
⎩⎨⎧<--≥=a
X X a X a X a X g ， ),(5.05.1,5.1)(
⎩⎨⎧<-≥=a
X a X a X a ,5.02,5.1 （3分） 故dx x g dx x p x g Y E X 200
1)()()()(500300⎰⎰+∞∞-== ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=⎰⎰500300)5.02(5.12001a a dx a x adx ()
223009002001-+-=a a （4分） 通过求极值可得：吨时当450=a ，能使)(Y E 达到最大，即公司应该组织货源450（2分）
5%
P 174例3.4.1（10分）在长为a 的线段上任取两个点X 和Y ,求此两点间的平均长度. 解：上的均匀分布都服从与),0(a Y X
且X 与Y 相互独立
),(Y X ∴的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<= 其他
,00,0,1),(2
a y a x a y x p （4分） 则两点间的平均长度为:
()dxdy a y
x Y X E a a ⎰⎰
-=-0201 （2分） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰⎰⎰⎰a x a x a dydx x y dydx y x a )()(10002 3)2(102
22a dx a ax x a a =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎰ （3分） 故两点间的平均长度为
3a （1分）。