哈工大概率论参考问题详解习题
哈工大工程概率分析作业(第三次)
利用MATLAB计算：t0.02 4 =2.9985 1.0016 ，故 接受H 0
6.7 解： 由题意可知， f H h
h
e 2
1 h 2 2
最大似然函数为： , h 0 ， 定义x1 , x2 ,..., x10。
1 4142+3405+3402+4039+3372 =3672 5
1 41422 +34052 +34022 +40392 +33722 5 36722 147444.5 4
未知 ， 用
X ~ t n 1 来进行区间估计 ， 1- =0.9 =0.1 ，得： s/ n
X P -t 2 n 1 t 2 n 1 0.9 s/ n
P X t 2 n 1 s / n X +t 2 n 1 s / n 0.9
，
代
入
X =3672， s2 =147444.5，n 5 ，得： =0.1，
= exp( exp( ( y u ))) ， 7.2 解 ： （ a ） 由 题 意 可 知 ， 极值型CDF：FY ( y）
标准差S = （y u ) ， P = exp( exp( S )) ， S ln ln P ， 其中P =
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X P S 69.3 0.0476 1.1133 70.6 0.0952 0.8550 72.3 0.1429 0.6657 72.9 73.5 74.8 75.8 75.9 76.0 76.1 76.4 77.1 77.4 78.2 78.2 78.4 79.3 80.8 81.8 85.2 0.1905 0.2381 0.2857 0.3333 0.3810 0.4286 0.4762 0.5238 0.5714 0.6190 0.6667 0.7143 0.7619 0.8095 0.8571 0.9048 0.9524 0.5058 0.3612 0.2254 0.0941 0.0355 0.1657 0.2985 0.4360 0.5805 0.7349 0.9027 1.0892 1.3022 1.5544 1.8698 2.3018 3.0202
哈尔滨工业大学概率论答案习题六(精)
n n m∑ Xi （1）Y1 = i =1 m∑ X i2 ； 2 i n+m （2） Y2 = i =1 n+m n n i = n +1 ∑X n ∑ X i2 i = n +1 解∑X i =1 i ~ N (0, nσ 2 ，1 nσ n ∑X i =1 i ~ N (0,1, n+m i = n +1 X i ~ N (0, σ 2 ，所以n X i2 1 ~ χ 2 (1 ，2 2 σ σ 1 nσ 1 σ2 n ∑X 2 i ~ χ 2 ( m ，m∑ Xi （1）Y1 = i =1 n+m ∑X i =1 2 i i = 2 i n+m i = n +1 ~ t (m; /m n n i = n +1 ∑X ∑X 1 n 2 ∑X /n σ 2 i =1 i n =1 （2）Y2 = n + m = ~ F (n, m. 1 n +m 2 2 n ∑ Xi ∑ Xi / m σ 2 i = n+1 i = n +1 m∑ X i2 13 ．设 X 1 ,⋯ , X n , X n +1 是来自总体N ( µ , σ 2 的样本，X = 1 n ∑ Xi ，n i =1 S *2 = 1 n X −X ( X i − X 2 ，试求统计量T = n +1 * ∑ n i =1 S n −1 的分布。
n +1 解于是X n+1 − X ~ N (0, n +1 2 nS *2 σ ，2 ~ χ 2 (n − 1 n σ X n+1 − X ~ N (0,1 n +1 σ n X n+1 − X X − X n −1 n + 1/ nσ ~ t (n − 1 . T = n +1 * = S n +1 nS *2 /(n − 1 σ2 14．设样本 X 1 ,⋯ , X n 和 Y1 ,⋯ , Yn 分别来自相互独立的总体N ( µ1 , σ 12 和1 2 N ( µ 2 , σ ，已知σ 1 = σ 2 ,α 和β 是两个实数，求随机变量 2 2 ·87·α ( X − µ1 + β (Y − µ 2 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 α2 β 2 ( + n1 + n2 − 2 n1 n2 的分布解所以α ( X − µ1 ~ N (0, 2 α 2σ 12 β 2σ 2 ，β (Y − µ 2 ~ N (0, ，又σ 1 = σ 2n1 n2 α ( X − µ + β (Y − µ 2 ~ N (0, ( α ( X − µ + β (Y − µ 2 α2 β2 + σ n1 n2 而所以α2 β 2 2 + σ n1 n2 ~ N (0,1 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 ~ χ 2 (n1 + n2 − 2 2 σ α ( X − µ1 + β (Y − µ 2 2 ⎛α2 β 2 ⎞ (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 + ⎜⎟ n1 + n2 − 2 ⎝ n1 η2 ⎠ [α ( X − µ1 + B(Y − µ 2 ] / = ~ t (n1 + n2 − 2 . 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 /(n1 + n2 − 2 σ2 15．从正态总体 N (3.4, 6 2 中抽取容量为 n 的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应多大？解α2 β 2 + σ n1 n2 0.95 ≤ P(1.4 < = 2Φ ( 1 n 5.4 − 3.4 1.4 − 3.4X i < 5.4 = Φ ( n − Φ( n ∑ n i =1 6 6 n −1 3 即Φ( n n ≥ 0.975 ，查正态分表得≥ 1.96 即n ≥ 34.57 . 3 3 故样本容量至少应为 35。
哈尔滨工业大学《概率论与数理统计C》2017年 期末试题答案
一、填空题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分）1. 若事件A B 、满足()()P AB P A B =，且()P A p =，则()P B = .2. 随机向量(,)X Y 的分布列为且(0)0.4P XY ≠=，(0|0)3P Y X ≤≤=，则其中未知参数(,,)a b c = .3. 已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为(23),0,0,(,)0,x y Aex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它. 则()E XY = .4. 设随机向量(,)X Y 服从二元正态分布221212(,;,;)N μμσσρ，其中1=1μ，2=2μ，21=2σ， 22=8σ，=0.2ρ， 则有-2X Y 亦服从正态分布，为N ( __ __ ，_______)5. 某旅行社随机访问了25名游客，得知其平均消费额80x =元，样本标准差12s =元，若已知旅行者消费额服从正态分布，则评价消费额μ的95%置信区间为 .(0.0250.0250.05(24) 2.0639(25 2.0595 1.70)8)1(25t t t ===，；)75.0584.95二、选择题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分）1. 设0()1P A <<，()0P B >，且(|)(|)P B A P B A =，则必有（ ） （A ）(|)(|)P A B P A B =； （B ）(|)(|)P A B P A B ≠；（C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B ≠. 2. 下列函数可作为连续型随机变量的概率密度（ ）.（A ）3sin ()20 x x f x ππ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他； （B ）3sin ()2 0 x x g x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他；（C ）3cos ()2 0 x x x ππϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他； （D ）31cos ()2 0 x x h x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.3. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则随着σ的增大，概率(||)P X μσ-<将（ ） （A ）单调增大； （B ）单调减少；（C ）保持不变； （D ）增减不定. 4. 假设随机变量X 服从指数分布，250X X Y <<⎧=⎨⎩，，其它的分布函数（ ）（A ）是连续函数； （B ）至少有两个间断点； （C ）是阶梯函数； （D ）恰好有一个间断点.5. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布， X 和2S 分别为样本均值和样本方差，下列不是无偏估计的是（ ） （A ）X ； （B ）22133X S -； （C ）211+22X S ； （D ）24133X S -.三、（8分）甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球，从甲袋中取出一个放入乙袋，再从乙袋中任取一个，若放入乙袋的球和从乙袋中取出的球是同色的，求放入乙袋的是黑球的概率.四、（8分）设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为,0;(,)0,y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩其它，求（1）在X x =条件下，Y 的条件概率密度函数；（2）在01X <<条件下，Y 的条件分布函数；（3）Z Y X =-的概率密度函数. 五、（8分）设随机变量X 与Y 的联合密度函数为24,(,);(,)0,xy x y G f x y ∈⎧=⎨⎩其他， 其中G 为坐标轴与直线10x y +-=所围的三角形区域，计算()E X ，()D X ，以及X 与Y 的相关系数ρ.六、（12分）设总体的概率密度函数为3()3,;(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧>=⎨≤⎩，12,,,n X X X 为来自此总体的样本，求1）θ的矩估计1θ与最大似然估计2θ；2）判断1θ与2θ是否为无偏估计，如果不是请相应给出修正后的无偏估计；（3）比较（2）中无偏估计的有效性.七、（4分）某射手的射击命中率为3/4， 现对一目标连续射击，直到第二次命中为止，令X 表示第二次为止所用的射击次数，求X 的概率分布，并计算X 的期望.答案：一、填空题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分） 1．1-p ；2. (0.1, 0.2, 0.1)；3. 16； 4. (-3, 30.8) ； 5. 75.0584.95二、填空题（每小题3 分，共5 小题，满分15 分） 1. C ； 2. B ； 3. C ； 4. D ； 5. B三、（8分）解：设{}A =从甲袋取的是黑球；{}B =从乙袋取的是黑球；{}D =乙袋放入和取出的是同色球有33()()956(|)3324()()175656P AD P AB P A D P D P AB AB ⨯====+⨯+⨯ 四、（8分）解：（1）当0X ≤时，()=0X f x ；当0X >时，0()=y x X f x e dy e +∞--=⎰；因此0()=00x X e x f x x -⎧>⎨≤⎩，.当0Y ≤时，()=0Y f y ； 当0Y >时，0()=yy y X f x e dx ye --=⎰；因此0()=00y Y ye y f y y -⎧>⎨≤⎩，。
哈工大概率论与数理统计期末考题及答案(2008)
2
2
1 X Y ，设 Z ， （1）求 EZ 和 DZ （2）求 XZ 2 3 2
、
草
纸
（草纸内不得答题）
第 3 页 （共 5 页）
试 题：
1 , x 六、 （14 分） ．设总体 X 的分布函数为： F ( x; , ) x 0, x
其中未知参数 0, 1 ，设 X 1 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本. （1）当 1 时，求未知参数 的矩估计和极大似然估计； （2）当 2 时，求未知参数 的极大似然估计。 、
草
纸
（草纸内不得答题）
第 4 页 （共 5 页）
试 题：
七（6 分）设 X , Y 服从 G x, y | 1 x 3,1 y 3 上均匀分布，
1 3．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) e | x| ，则对随机变量 | X | 与 X ，下列结论成立的是 2 （A）相互独立； （B）分布相同； （C）不相关； （D）同期望. 【 】 1 1 4．设随机变量 X 服从参数为 的指数分布， Y ~ U (0,6) ，且 XY ，根据 3 3 切比晓夫不等式有： P (4 X Y 4) 1 5 1 2 （A） . （B） . （C） . （D） . 【 】 8 8 4 9 2 2 2 5．设 X1 , X2 ,, Xn 是总体 X ~ N ( , ) 的样本， EX , DX , X 是样本均值， S 是样本方差，
哈工大
2008
年 秋 季学期
概率论与数理统计
题号 分数 一 二 三 四 五 六 七
试
八
Байду номын сангаас
哈工大概率论练习题
哈工大概率论练习题第一章随机事件与概率4.已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16,则A,B,C 都不发生的概率为_____5. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9,A 发生B 不发生的概率与B 发生而A 不发生的概率要等，则P(A)=____6. 设A,B,C 两两独立，则A,B,C 相互独立充分必要条件是（）A. A 与BC 独立B.AB 与A ∪C 独立C. AB 与AC 独立D. A ∪B 与A ∪C 相独立7. 设事件A,B 满足P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A )=0.6, 则P （A ∪B ）=_____8. 事件 A,B 满足P(A)=P(B)=0.5,P(A| B )=P(B)，则下列正确的是（）A. P(AB)=0.25B. P(A-B)=0.75C. P(A B -)=0.5D. P(A ∪B ) =19. 设事件A,B 仅发生一个的概率为0.3, 且P(A)+P(B)=0.5,则A,B 至少有一个不发生的概率为_____10. 设事件A,B 相互独立，事件B,C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且P(A)=P(B)=0.5, P(C)=0.2,则事件A,B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为_____11. 设A,B,C 为三个事件且A,B 相互独立，则以下结论中不正确的是（）A. 若P(C)=1,则AC 与BC 也独立B. 若P(C)=1, 则A ∪C 与B 也独立C. 若P(C)=1,则A-C 与A 也独立D. 若C 属于B,则A 与C 也独立12. 若事件A,B,C 相互独立，且P(A)=0.25,P(B)=0.5,P(C)=0.4,则A,B,C 至少有一个不发生的概率是_______13. 设事件A 和B 满足P(B|A)=1,则（）A. A 是必然事件B. P (A|B ) =0C. B ?AD. A ?B14. 在投掷一枚均匀硬币的4次独立试验中，若已知至少1次已经反面朝上，则这时得到至少 3次正面朝上的概率为______15. 已知P （B ）>0,A 1A 2=￠,则下列各式中不正确的是（）A. P(A 1A 2|B)=0B. P(A 1∪ A 2|B)=P(A 1|B)+P(A 2|B)C. P (1A 2A |B)=1D. P(1A ∪2A ｜B)=116.设A,B 为两事件，且P(A)=P,P(AB)=P(AB ),则P(B)=_____17.设A,B 为两个事件，P(A)≠P(B)>0,且B 属于A,则（）一定成立 A. P(A|B)=1 B.P(B|A)=1 C. P(B|A ) =1 D. P(A|B )=018. 已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8则P(A ∪B)=_____19. 设事件A 与BA 互不相容，且P(A)=P, P(B)=q, 求下列事件的概率,则P(A B )=______20. 5人以上以摸彩的方式决定谁能得一张电影票，今设Ai 表示第 i 个人摸到(i=0,1,2,3,4,5)，则下列结果中有一个是对的，它是（）A. P(A 3|1A 2A )=1/3B. P(1A A 2)=1/5C. P(1A A 2)=1/4D. P(A 5)=1/521.若P(A|C )≥P(B|C),P(A|C )≥P(B|C ) 则下列（）成立A. P(A) ≥P(B)B. P(A)=P(B)C. P(A)≤P(B)D.P(A)=P(B)+P(C)22. 设相互独立的三个事件A,B,C 满足条件：P(A)=0.4 ,P(B)=0.5 ,P(C)=0.5,则P(A-C|AB ∪C)=______23.设AB ?C,则（）成立 A. C ?AB B. A ?C 且B ?C C.B A ? C ? D.A C ?或B ?C24. 已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/8,P(ABC)=1/16,则A,B,C 恰有一个发生的概率为_______25. 设A,B 为任意两个事件，则下列关系成式立的是（）A. (A ∪B )-B=AB. (A ∪B )-B ?AC. (A ∪B )-B ?AD. (A-B) ∪B=A26. 设事件A,B 满足P(B|A)=P(B |A )=0.2,P(A)=1/3,则P(B)=____27. 对于任意两事件A,B ，与A ∪B=B 不等价的是（）A. A ?BB. B ?AC. A B =￠D. A B=￠28. 设事件A,B 满足：P(B|A)=P(B |A )=1/3,则P(B)=______29. 设0<p(a)<1,0<p(b)<="">A. A 与B 独立B. P(B|A)=P(B|A )C. A 与B 互不相容D.P(A|B )=P(A|B)30. 在区间（0，1）中随意地取两个数则“两数之和小于6/5”的概率为_______31. 在一张打上方格的纸上随机地投一枚硬币，若方格的长度为a,硬币的直径为2b(2b<a)且硬币落在每一处的是等可能的则硬币与方格线不相交的概率为_____< p="">32. 在有三个小孩的家庭中,已知至少有一个女孩子,求该家庭中至少有一个男孩子的概率_______33. 两人约定上午9点到10点在公园见面，试求一人要等另一个人半小时以上的概率_____34. 随机事件A ?B,0<p(a)<="">A. P(A ∪B)=P(A)B. P(AB)=P(A)C. P(B-A)=P(B)-P(A)D. P(B|A)=P(B)第二章条件概率与独立性1. 某炮台上有三门炮，假定第一门炮的命中率为0.4,第二门炮的命中率为0.3，第三门炮的命中率为0.5,今三门炮向同一目标各发射一发炮弹，结果有两弹中靶，求第一门炮中靶的概率？2.甲袋中有2个白球，3个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球，从甲袋中取出一个放入乙袋，再从乙袋中任取一个，若放入乙袋的球和从乙袋中取出的球是同色的，求放入乙袋的是黑球的概率？3.袋中有8个正品，2个次品，任取3个，取后不入回，若第3次取到的次品，求前2次取到的是正品概率。
哈工大概率论参考答案习题
习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
概率论习题(哈工程版)1-1
数学科学与技术学院 应用数学教研室 胡金燕 lionfr@
概率论的诞生— 概率论的诞生—赌徒学
1654年的某一天梅尔和保罗赌钱 1654年的某一天梅尔和保罗赌钱, 他们 年的某一天梅尔和保罗赌钱, 事先各出6 枚金币, 并约定先胜三局者为胜, 事先各出 6 枚金币 , 并约定先胜三局者为胜 , 取得全部12 枚金币. 由于出现意外情况, 12枚金币 取得全部 12 枚金币 . 由于出现意外情况 , 在 梅尔胜2 局保罗胜1 局时, 不得不终止赌博, 梅尔胜 2 局保罗胜 1 局时 , 不得不终止赌博 , 如果要分赌金,该如何分配才算公平?
结果有可能为: 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
实例4 实例4 从一批含有正品和次品的产品中任 意抽取一个产品. 意抽取一个产品. 其结果可能为: 其结果可能为: 正品 ,次品. 次品. 实例5 过马路交叉口时, 实例5 过马路交叉口时, 遇上的交通指挥 灯的颜色. 灯的颜色. 其结果可能为: 其结果可能为: 红灯 ,绿灯. 绿灯.
实例: 实例:
H → 字面朝上 T → 花面朝上 S1 = { H , T }. 2个样本点
实例: 实例:
S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
6个样本点
实例: 实例:
S3 = { t t ≥ 0}.Biblioteka 其中 t 为灯泡的寿命 .
无限多个样本点
如果试验是将一枚硬币抛掷两次, 如果试验是将一枚硬币抛掷两次, 则样本空间由如下四个样本点组成: 则样本空间由如下四个样本点组成: S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 样本空间在如下 其中 第1次 第2次 次 次 意义上提供了一个理 H H (H,H): 想试验的模型: 想试验的模型: (H,T): : (T,H): (T,T): :
哈工大概率论与数理统计课后习题答案五
习题五1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。
解设X为已取出的废品只数，则X的分布为X012P8184521 45即P所以，2．假设一部机器在一天解设一周所获利润为T（万元），则T的可能值为又设X为机器一周类似地可求出T的分布为（万元）X（毫米）服从正态分布所以一周3．假设自动线加工的某种零件的内径1)，内径小于·55·10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（元）与零件的若若问平均即两边取对数得即时，平均利润最大.4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是数学期望.解即25，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和X~，分布律为·56 ·XP02712515412523612538 125X的分布函数为12512512512555．设随机变量服从几何分布，其分布列为，求EX与DX 解1 EX其中k由函数的幂级数展开有所以k1，1. p因为所以2，·57·解2设则（1）–（2）得（1）（2）1，所以从而，得，，22232n，，于是所以，ppp12q12q，故得X的方差为·58 ·6．设随机变量X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差. （1）（2）（3）1；2其他（4）其他1，（因为被积函数为奇函数）解（1）EX（2）EX212123x3x411（3）22所以，12281232（4）EX1x01331213211281211443412·59·所以7．在习题三第4题中求E解因X的分布为XP01211421831 8所以8．设随机变量X的概率密度为其他3已知，求4（1）a,b,c的值（2）随机变量Y解（1）的数学期望和方差解方程组，，12422·60 ·得1，，，（2）9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。
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习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。
2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。
解 （1）ABC（2）AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ；（3）A B C U U 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ；（4）ABC ABC ABC U U ；（5）AB AC BC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ；3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3）123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。
4．在中任取一个，求后面四个数字全不相同的概率。
解 设A =‘任取一后四个数字全不相同’，则4104126()0.50410250P P A === 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。
解 （1）设A =‘5只全是好的’，则537540()0.662C P A C =B ； （2）设B =‘5只中有两只坏的’，则23337540()0.0354C C P B C =B . 6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小为5的概率；（2）3个球的最大为5的概率.解 （1）设A =‘最小为5’，则253101()12C P A C ==；（2）设B =‘最大为5’，则243101()20C P B C ==. 7．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设A =‘他们的生日都不相同’，则365()365r r P P A =； （2）设B =‘至少有两个人的生日在同一个月’，则212223214121141241212441()1296C C P C C C P C P B +++==； 或412441()1()11296P P B P B =-=-=. 8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解 设A =‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则2676(22)()0.011077C P A -==. 9．将,,,,,,C C E E I N S 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率是多少？解1 设A =‘恰好排成SCIENCE ’将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母C 在7个位置中占两个位置，共有27C 种占法，字母E 在余下的5个位置中占两个位置，共有25C 种占法，字母,,I N C 剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为22753!1260C C ⋅⋅=，而A 中的基本事件只有一个，故227511()3!1260P A C C ==⋅⋅； 解2 七个字母中有两个E ，两个C ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。
一般地，设有n 个元素，其中第一种元素有1n 个，第二种元素有2n 个…，第k 种元素有k n 个12()k n n n n +++=L ，将这n 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。
不同的排列总数为12!!!!k n n n n L ， 对于本题有141()7!7!12602!2!P A ===. 10．从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 11．将n 双大小各不相同的鞋子随机地分成n 堆，每堆两只，求事件A =‘每堆各成一双’的概率.解 n 双鞋子随机地分成n 堆属分组问题，不同的分法共(2)!(2)!2!2!2!(2!)nn n =L ‘每堆各成一双’共有!n 种情况，故 2!()(2)!n n P A n ⋅= 12．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，求()P AB 与()P A B U解 ()1()1()()0.3P AB P A B P A P B =-=--=U因为,A B 不相容，所以A B ⊃，于是()()0.6P A B P A ==U13．若()()P AB P AB =且()P A P =，求()P B .解 ()1()1()()()P AB P A B P A P B P AB =-=--+U由()()P AB P AB =得()1()1P B P A p =-=-14．设事件,A B 及A B U 的概率分别为,,p q r ，求()P AB 及()P A B U 解 ()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-=+-U()()()()()1()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P AB =+-=+--+U 11q p q r p r =-++-=+-.15．设()()0.7P A P B +=，且,A B 仅发生一个的概率为0.5，求,A B 都发生的概率。
解1 由题意有0.5()()()P AB AB P AB P AB =+=+()()()()P A P AB P B P AB =-+-0.72()P AB =-，所以()0.1P AB =.解2 ,A B 仅发生一个可表示为A B AB -U ，故0.5()()()()2(),P A B P AB P A P B P AB =-=+-U所以()0.1P AB =.16．设()0.7,()0.3,()0.2P A P A B P B A =-=-=，求()P AB 与()P AB . 解 0.3()()()0.7()P A B P A P AB P AB =-=-=-，所以()0.4P AB =，故()0.6P AB =；0.2()()()0.4P B P AB P B =-=-.所以()0.6P B =()1()1()()()0.1P AB P A B P A P B P AB =-=--+=U17．设AB C ⊂，试证明()()()1P A P B P C +-≤[证] 因为AB C ⊂，所以()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-U故()()()1P A P B P C +-≤. 证毕.18．对任意三事件,,A B C ，试证()()()()P AB P AC P BC P A +-≤.[证] ()()()()()()P AB P AC P BC P AB P AC P ABC +-≤+-()P AB AC =U {()}()P A B C P A =≤U . 证毕.19．设,,A B C 是三个事件，且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====，1()8P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率。
解 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+U U 因为 0()()0P ABC P AB ≤≤=，所以()0P ABC =，于是315()488P A B C =-=U U 20．随机地向半圆0y <<（a 为正常数）掷一点，点落在园任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率.解：半圆域如图设A=‘原点与该点连线与x 轴夹角小于/4π’ 由几何概率的定义2221142()12a a A P A a ππ+==的面积半园的面积112π=+ 21．把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.解1 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .A 发生0,0,222a a a x y x y a ⇔<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ，所以 1()4A P A ==的面积S 的面积 解2 设三段长分别为,,x y z ，则0,0,0x a y a z a <<<<<<且 x y z a ++=，不等式确定了三维空间上的有界平面域S .A 发生x y z ⇔+>x z y +>y z x +> 不等式确定S 的子域A ，所以1()4A P A ==的面积S 的面积. 22．随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于0.09的概率.S .A =‘1,0.09x y xy +≤≥’则A 发生的 充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不 等式确定了S 的子域A ，故0.90.10.9()(1)A P A x dx x ==--⎰的面积S 的面积 0.40.18ln30.2=-=23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离(0)a a >的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()l l a <的针，求针与任一平行线相交的概率.解 设A =‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x 为针的中点到最近的一条平行线的距离。