概率论与数理统计知识点例题讲解
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论与数理统计
1 lim P ( X 1 X 2 X n ) p 1, n n nA 即 lim P p 1. n n
关于伯努利定理的说明:
nA 伯努利定理表明事件发 生的频率 依概 n 率收敛于事件的概率p, 它以严格的数学形式 表达了频率的稳定性 .
x
定理5.6表明:
无论各个随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,服从什么 分布, 只要满足定理的条件 , 那么它们的和 X k
k 1 n
当 n 很大时, 近似地服从正态分布 .
下面介绍的定理是定理5.5的特殊情况.
定理5.7:
设随机变量 X服从参数为 n, p(0 p 1)的二项分布，则 （ 1 ）（拉普拉斯定理）局 部极限定理：
且np 2, npq 1.265.
3 （ 1 ）直接计算： P{ X 3} C10 0.23 0.87 0.2013
第一节
大数定律
一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
一、问题的提出：
契比雪夫不等式
定理 设随机变量 X 具有数学期望 E ( X ) μ, 方差 D( X ) σ 2 , 则对于任意正数 ε , 不等式 σ2 P{ X μ ε } 2 ε 成立. 证明
取连续型随机变量的情况来证明.
则随机变量之和的标准化变量 n n n n X k E X k X k k k 1 k 1 k 1 Z n k 1 n Bn D X k k 1 的分布函数 Fn ( x ) 对于任意x 满足
n n X k k k 1 k 1 lim Fn ( x ) lim P n n Bn t2 x 1 2 e dt ( x ). 2π
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
概率论与数理统计重点总结及例题解析
概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。
现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。
（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。
P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。
08，P（B｜ A2）＝0。
09，P（B｜ A3)＝0。
12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
《概率论与数理统计》典型例题
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
天津市考研数学复习资料概率论与数理统计重要概念总结与例题讲解
天津市考研数学复习资料概率论与数理统计重要概念总结与例题讲解天津市考研数学复习资料——概率论与数理统计重要概念总结与例题讲解概率论与数理统计是数学中的重要分支，对于考研数学的备考来说，也是一个重要的考点。
在这里，我们将为大家总结概率论与数理统计中一些重要的概念，并结合例题进行详细讲解，希望能够对大家的数学复习有所帮助。
一、概率论重要概念总结1. 随机事件与样本空间随机事件是描述一个实验中出现的一种结果，样本空间是指所有可能结果的集合。
通常用S表示样本空间，用A、B、C等表示随机事件。
2. 概率的基本定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，表示为P(A)，其中A是一个随机事件。
概率的取值范围是[0, 1]。
3. 事件的关系与运算事件的关系包括包含关系、互斥关系、对立关系等。
事件的运算包括并、交、差、余等运算。
4. 条件概率与乘法法则条件概率表示在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
乘法法则用于计算多个事件同时发生的概率。
5. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式用于计算一个事件的概率，贝叶斯公式用于在已知某些条件下，计算另一事件的概率。
二、概率论例题讲解1. 例题一随机事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A并B)。
解析：由于A与B互斥，所以P(A并B)=0。
2. 例题二在一副有52张牌的扑克牌中，随机抽取一张，求抽到红心牌的概率。
解析：红心牌共有13张，所以概率为P(红心牌)=13/52=1/4。
三、数理统计重要概念总结1. 随机变量与概率分布随机变量是指随机事件在数值上的映射，概率分布描述随机变量取值的概率情况。
常见的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。
2. 数理统计中的参数估计与假设检验参数估计用于利用样本数据推断总体的参数，假设检验用于验证关于总体参数的假设。
3. 常见的概率分布常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型概率分布有均匀分布、正态分布等。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
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求其分布函数F(x)
解:
x
F( x) P{X x} f (u)du
0,
x0
y
x
udu
0
x2 2
,
1
x
0 udu 1 (2 u)du
1 (2 x)2 / 2,
0 x1
1 x2
0 12
x
1 ,
x2
P72T20 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分
布, 其概率密度为
2Ax, 0 x 1
f
(x)
F'(X
)
0
,
其它
由
1
1
f ( x)dx 2 Axdx A
知道分布函0数，求落在
某A区间1的概率，没有必 要对概率密度积分了，
以下因同为解这法一样麻烦，直接用
分布函数即可.
P72,T17 已知r.vX的概率密度为:
x , 0 x1 f ( x) 2 x , 1 x 2 ,
k 1
k 1
n
b
2
k
b
k1 3
2
2 n1
3
3
1
2 3
1
再对上式取极限得：
lim b
2 3
2 3
n1
b
2 3
2b 1 b 1
n
1
2 3
1
2 3
2
P70T6(2)
(2)设随机变量的分布律为 PX k k , k 1,2,3,4,5
15
其分布函数为F(x) 求2P1 X 2.
解：P1 X 2 PX 2 PX 1
2 1 1 15 15 5
1 2 3 45
错解： P1 X 2 F2 F1
注：如果X是连续型随机变量，则
P1 X 2 P1 X 2 F2 F1
P71T8 有甲,乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从 中挑4杯便能
将
甲 种酒全部挑出，算是试验成功.
(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率.
pk 1, f ( x)dx 1 ,
f ( x, y)dxdy 1
k 1
B. 分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型)
x
F( x) f (t)dt, F '( x) f ( x)
x
F(x, y)
y
f (u, v)dudv
f (x, y) 2F(x, y)
xy
C . 联合分布 边缘分布
(2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次,
解: (1)所问求此概人是率否为确:1有/ 品C尝84=区1/分70的能力.
(2)假设此人无品尝区分的能力,记X为10次试验中成功次数
X~b(10,1/70)
P{ X
3}
C130
( 1 )3 ( 69)7 70 70
3.16 104
lim F(x) lim Ax2 A, lim F(x) 1
x1
x1
x1
A1
（2）
2x, 0 x 1
f
(
x)
F
'
(
X
)
0
,
其它
(3) P0 X 2 P0 X 2 F2 F0 1 0 1
2
1
2
或 P0 X 2 f xdx 2xdx 0dx 1
0
0
1
解法二：
一、内容小结
r.v及其概率分布
离散型r.v 的分布律
分布函数 的性质
连续型r.v的 概率密度
分布律 与分布函数
的关系
概率密度 与分布函数
的关系
二项分布 泊松分布
正态分布 指数分布 均匀分布
1. 重点概念: 随机变量, 分布函数,
分布律(离散型),概率密度函数(连续型)。
2. 重点公式:
A. 分布律、概率密度函数的性质：
f
( x)
1 5
ex/5
0
x0 其它
某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开.现知他一个月要到银
行5次,求他未受到服务的次数不少于1的概率.
分析: 顾客一个月内未受到服务的次数为Y， 要求的是P{Y1}；
“未受到服务”的事件A为{X>10}；
X
x
x
F. 二维正态分布
二、作业点评
课本P70,T5 (2)
(2)设r.vX的分布律为
PX k b 2k , k 1,2,
3
试确定常数b；
解：
k 1
Pk
1
k 1
PX
k
b k1
2 k
3
b
1
2 3
b1
2 3
2b 1
2
n
n
错解： Pk 1 P X k
3. 主要方法
A. 利用分布函数及概率密度函数的性质解题.
B. 利用概率密度函数计算概率, 随机变量X(或(X,Y))落在某区间I(或某区 域 G)的概率为
f ( x)dx 或( f ( x, y)dxdy)
I
G
C. 求随机变量的函数的分布,先求分布函数,再求导，求概率密度函数.
X 连续型, y=g(x)为连续函数，则Y= g(X)为连续型．
离散型 :
连续型 :
fX (x)
f ( x, y)dy
fY ( y)
f ( x, y)dx
D. 边缘分布+独立性 联合分布
X,Y离散型且相互独立, 则：
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j } Pi• P• j
X,Y连续型且相互独立, 则：f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
FY ( y) P{g(X ) y} P{X I} f (x)dx, I {x : g(x) y}
I
(X,Y)连续型, z=g(x,y)为二元连续函数, 则Z=g(X,Y)为连续型
FZ (z) P{g( X ,Y ) z} P{(X ,Y ) } f ( x, y)dxdy,
：C
k n
pk (1
p)nk
k e
k!
(
np)
C.
均匀分布
f
( x)
b
1
a
,
0 ,
a xb 其它
D.
指数分布
e x
f (x)
,
0 ,
x0 x0
E. 正态分布
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
2
X ~ N(, 2 )
Z X ~ N (0,1)
FX x
PX
x
P
{(x, y) : g(x, y) z}
4. 常见的重要分布
A . 二项分布, X服从b(n,p)
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
(k
0,1,
, n) 其 中p
P( A)
B. Poisson分布, X服从()
k e
P{ X k}
,
k!
k 0,1,2, ( 0)
n较大Biblioteka ，p较小显然{X=3}是一小概率事件,根据小概率事件几乎不可能发生
原理,可以认为原假设不对,故此人有一定品尝区分能力.
P72,T16 设连续型r.vX的分布函数为
0
x0
F(x)
Ax
2
0 x1
1
x 1
求 : (1)常数 A (2)概率密度函数 (3) P0 X 2
解法一： （1） 由于连续型随机变量X的分布函数是连续的