概率论练习题与解析

概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。

2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。

由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853*********)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。

若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。

解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。

7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y 5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。

现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。

用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。

若B 表示B 的对立事件，那么积事件B A 的概率=)(B A P 。

)()()()(-+=B A P B P A P AB P Y ，因为BA AB B B A A +=+=)(，故3.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P7、 已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概概率为 。

由AB ABC ⊂，0)(=AB P 得0)(=ABC P ，所求事件概率为83)}()()()()()()({1)(1)()(=+---++-=-==⋅⋅ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P C B A P Y Y Y Y8、 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。

用iA 代表事件“第i 次抽次品”，i =1，2。

则所求概率为611121210111122)|()()|()()(1211212=⋅+⋅=+=A A P A P A A P A P A P 9、已知A 、B 两个事件满足条件)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P 。

由)()()(1)]()()([1)(1)()()(AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +--=-+-=-===Y Y得 p A P B P -=-=1)(1)(10、设工厂A 和工厂B 的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A 生产的概率是 。

用A 和B 分别代表产品是工厂A 和工厂B 生产的，C 代表产品是次品，则所求概率为73100210040100110060100110060)|()()|()()|()()|(=⋅+⋅⋅=+=B C P B P A C P A P A C P A P C A P11、在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 。

用X 和Y 分别表示随机抽取的两个数，则10<<X ，10<<Y .X ，Y 取值的所有可能结果(即样本点全体)对应的集合为以1为边长的正方形Ω，其面积为1，事件“56≤+Y X ”对应图中阴影部分A ，A 的面积为2517542112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-12、 随机地向半圆220x ax y -<<(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4π的概率为 。

半圆220x ax y -<<也即样本空间Ω的面积为221)(a m π=Ω，所求事件对图中阴影部分即区域A的面积为421)(22π+=a A m ，故得所求事件概率为πππ12121421)()()(222+=+=Ω=a aa m A m A P13、 若随机变量ξ在(1，6)上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率是 。

⎰===≥>=≥=≥-==++62228.05451}26{}2|{|}04{}01{du P P P x x P ξξξξ有实根14、已知连续随机变量X 的概率密度函数为1221)(-+-=x x ex f π，则X 的数学期望为 ；X 的方差为 。

将)(x f 改写为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--⋅⋅=22)2/1(2)1(2121)(x ex f π可见X 服从正态分布)21,1(N ，所以1)(=X E ，21)(=X D .15、设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布。

已知du e x x u ⎰∞--=Φ2221)(π，9938.0)5.2(=Φ，则X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为 。

9876.01)5.2(2)]5.2(1[)5.2()5.2()5.2(02.01095.902.01005.1002.01005.1002.01002.01095.9}05.1095.9{=-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<-=<<X P X P16、已知随要变量X 的概率密度函数xe xf -=21)(，+∞<<-∞x ，则X 的概率分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0,2110,21)(x e x e x F x x。

17、 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松 (Poisson)分布，即!2}{2k ek X P k -==，=k ，1，2，…，则随机变量23-=X Z 的数学期望=)(Z E 。

42232)(3)(=-⨯=-=X E Z E18、设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望}{2Xe X E -+= 。

⎰⎰∞+--∞+--=+=+=+020234311}{dx e e dx xe eX E x x xx19、设随机变量X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量2X Y =在(0，4)内概率分布密度)(y f Y = 。

2x y =，20<<x 的反函数yx =，40<<y .20,2121)(21|)(|)()(<<⋅=='⋅=y y y f yy y f y f X X Y ，即 yy fY 41)(=，40<<y .20、 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望)(2X E = 。

分布服从)4.0,10(B X ，44.010)(=⨯=X E ，4.26.04.010)(=⨯⨯=X D ，4.184.24)()()(222=+=+=X D EX X E21、 设相互独立的两个随机变量X ，Y 具有同一分布律，且X 的分布律为：212110PX则随机变量{}Y X Z ,max =的分布律为： 。

412121}0{}0{}0,0{}0{=⋅========Y P X P Y X P Z P ，43}0{1}1{==-==Z P Z P22、设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 则}0),{max(≥Y X P = 。

记}0{≥=X A ，}0{≥=Y B .则 BA Y X Y =≥}0),{max(，AB Y X =≥≥}0,0{，从而75737474}0,0{}0{}0{)()()()(}0),{max(=-+=≥≥-≥+≥=-+==≥Y X P Y P X P AB P B P A P B A P Y X P Y23、设ξ，η是两个相互独立且均服从正态分布⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛221,0N 的随机变量，则随机变量ηξ-的数学期望=-)(ηξE 。

记ηξ-=Z 。

则Z ~N (0,1)。

从而.22221||||||0222222ππππηξ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⋅=⋅==-+∞∞+∞-∞+---⎰⎰zz z edz ez dz ez Z E E24、 若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且3.0}42{=<<X P ，则}0{<X P = 。

由于X 的密度函数关于X=2为轴对称。

故5.0)2(}2{=>=<X P X P ，3.0}42{}20{=<<=<<X P X P ， 从而2.03.05.0}20{}2{}20{}2{}0{=-=<<-<=<≤-<=<X P X P X P X P X P .25、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。

今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 。

令B ={第一人取得黄球}，则B ={第一人取得白球}；A ={第二人取得黄球}. 据全概率公式.524920503049195020)|()()|()()(=⋅+⋅=+=B A P B P B A P B P A P 26、 设平面区域D 由曲线xy 1=及直线0=y ，1=x ，2e x =所围成，二维随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为 。