概率论试题(含解析)

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分）。

１、事件独立，且，则等于
（A ）0; （B ）1/3; （C)２/3； （D)2/５、
ﻩ ﻩ 答：（ B ） ２、设就是连续型随机变量得概率密度函数,则下列选项正确得就是
（A ）连续; （B ）；
（Ｃ）得值域为[0,1]； （D)。

答:( D )
3、随机变量,则概率随着得变大而
(Ａ)变小； (B ）变大; （Ｃ)不变； （D)无法确定其变化趋势.
ﻩ ﻩﻩ ﻩ 答:( A ）
4、已知连续型随机变量相互独立,且具有相同得概率密度函数，设随机变量，则得概
率密度函数为
(A ）； （B ）； （C ）; （D ）、
答:( Ｄ ）
5、设就是来自正态总体得容量为得简单样本，则统计量服从得分布就是
(A) (B ） （C) (D)
答：（ C ）
二、填空题（本大题共５小题,每小题3分，共15分）。

6、某人投篮,每次命中得概率为,现独立投篮3次，则至少命中1次得概率为、
7、已知连续型随机变量得概率密度函数为,则常数＝、
8、二维随机变量得分布函数为，则概率=、
９、已知随机变量得方差分别为，且协方差，则=1、８、
10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径(单位：c ｍ）服从正态分布,从某
天生产得产品中随机抽取9个产品，测其直径，得样本均值＝1、１2，则得置信度为０、95得置信区间为、
（已知，，,）
三、解答题(本大题共6小题，每小题10分,共６０分)。

11、玻璃杯成箱出售，每箱2０只,设每箱含０,1，2只残品得概率分别为0、8， 0、1，
0、１、顾客购买时，售货员随意取一箱,而顾客随意查瞧四只，若无残品，则买下,否则,退回。

现售货员随意取一箱玻璃杯,求顾客买下得概率.（结果保留3个有效数字）
解：设表示售货员随意取一箱玻璃杯,顾客买下；表示取到得一箱中含有个残品,，则所
求概率为
2
0()(|)()...............................................................................(5')
19181716181716150.810.10.1...........................(9')2019181720191817
0.9i i i P B P B A P A ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯
+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈∑43...................................................................................................(10')
１2、已知连续型随机变量得概率密度函数为
,
（1）求概率；（2）求、
解：（1)由题意
120(012)2()....................................................(4')31....................................................................................................(5')6
x P X x dx <<=+=⎰ (2）由随机变量函数得数学期望得性质
10111()()2()............................................(9')3
5E f x dx x dx X x +∞-∞==+=⎰⎰ 1３、已知连续型随机变量得分布函数为，
（1)求常数；(2）求；(3)求得概率密度函数、
解:(1）由分布函数得性质
(1)(1)arcsin1 1...........................................................(1')F F A -+=⇒=
因此可得 2...........................................................................(3')A = （２）由分布函数得性质
(1/22)2)(1/2).........................................(5')
2
2
2)arcsin(1/2)13............................................(7')P X F F ππ≤<=-=-=
(３）由密度函数得定义
14、已知二维连续型随机变量得联合概率密度函数为
，
（1)求概率;
(2）分别求出关于得边缘密度函数 ,并判断就是否独立.
解：(1）由题意
.....................................(4') （２)由边缘密度函数得定义
,0,0()..............................(7')0,0,y x x X e dy x e x f x +∞--⎧⎧>>⎪==⎨⎨⎩
⎪⎩⎰其它其它 0,0,0().............................(9')0,0,y y y Y e dx y ye y f y --⎧⎧>>⎪==⎨⎨⎩
⎪⎩⎰其它其它 因为当时，,故不独立.
15、已知二元离散型随机变量得联合分布律为
（１）分别求出关于得边缘分布律；（2）分别求出
解:（1）关于得边缘密度函数为
关于得边缘密度函数为
（2) 由(1）可得
又()(1)10.08110.480.40.......................................(8')E XY =-⨯⨯+⨯⨯=
则
0.................(10')XY ρ==== １６、已知总体服从参数为得几何分布，即得分布律为,，若为来自总体得一个容量为得简单样本，求参数得最大似然估计量。

解:似然函数为11()(1)............................................................(3')i n x i L p p p -==-∏ 1ln[()]ln ()ln(1)..............................(5')n i i L p n p x n p ==+--∑对数似然函数 1^1ln[()]00.....................................................(8')1...........................................................(10')n i i n i i n x d L p n dp p p p p n X ==-=⇒+=-=∑∑令 的最大似然估计量 四、应用题（本大题共1个小题，５分）.
１７、一系统由个独立起作用得部件组成，每个部件正常工作得概率为,且至少有得部
件正常工作，系统才能运行。

问至少为多大时，才能使系统可以运行得概率不低于?（已知）
解:设表示个部件中正常工作得部件数，则
由中心极限定理
由题意，要求满足得最小得，而
(0.8)0.950.950.95(1.65) 1.6524.5.......................(4')
P X n P n ≥≥⇒≥≥⇒Φ≥=Φ⇒≥⇒≥
即至少为25、 ...........................................................................................(5')
五、证明题（本大题共1个小题,5分）。

18、已知一母鸡所下蛋得个数服从参数为得泊松分布,即得分布律为,而每个鸡蛋能够孵化成小鸡得概率为、证明：这只母鸡后代(小鸡）得个数服从参数为得泊松分布,即
、
证明：由题意，对任
()(|)()............................................(2')
!
(1)(1)........(3')
!!!()!()((1)!()!k r
k r r k r
r k r k r k r k r r k r k r k r P Y r P Y r X k P X k k e e p k p p p r k r k k r e p e p r k r λλλλλλλλλλ+∞
=---+∞+∞--==---+∞-======⎛⎫=-=-
⎪-
⎝⎭=-=-∑∑∑∑(1)
())!
().....................................................................................(5')
!r p p r
p e r e p r λλλ--=。