重难点05 概率与统计(解析版)

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考研数学中的概率与统计重点难点

考研数学中的概率与统计重点难点在考研数学中，概率与统计这一板块一直是众多考生需要重点攻克的难关。

它不仅要求我们对基本概念有清晰的理解，还需要具备较强的逻辑推理和计算能力。

下面，我们就来详细探讨一下其中的重点和难点。

一、随机事件与概率这部分是概率与统计的基础，其中重点包括事件的关系与运算、概率的基本性质和古典概型、几何概型。

对于事件的关系，要明确包含、相等、互斥、对立等概念。

比如互斥事件指的是两个事件不能同时发生，而对立事件则是不仅不能同时发生，且必有一个发生。

古典概型的计算是常见的考点，需要我们准确地确定样本空间和事件所包含的样本点个数。

几何概型则要通过图形来理解，计算区域的面积或长度等。

概率的基本性质，如加法公式、乘法公式等，在解题中经常用到。

特别是条件概率，它是连接事件独立性和后续全概率公式、贝叶斯公式的重要桥梁。

二、随机变量及其分布这是概率与统计的核心内容之一。

重点在于离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布。

离散型随机变量要掌握常见的分布，如二项分布、泊松分布等。

理解它们的概率质量函数、期望和方差的计算方法。

连续型随机变量则要熟悉正态分布、均匀分布、指数分布等。

掌握概率密度函数的性质，以及利用概率密度函数计算概率。

另外，随机变量函数的分布也是一个难点。

需要通过变量代换等方法，求出新的随机变量的分布。

三、多维随机变量及其分布多维随机变量的重点是二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布。

联合分布函数和联合概率密度函数的性质和计算方法要熟练掌握。

通过联合分布可以求出边缘分布，而条件分布则是在已知部分信息的情况下，求出另一变量的分布。

独立性是多维随机变量中的重要概念，如果两个随机变量相互独立，那么它们的联合分布等于边缘分布的乘积。

四、随机变量的数字特征期望和方差是最基本的数字特征，要清楚它们的性质和计算方法。

对于期望，要理解离散型和连续型随机变量期望的计算公式。

方差则反映了随机变量的离散程度。

文科高考数学重难点05 概率与统计(解析版)

统计(05)第5章__概率与概率分布

3. P(A∪A)= P(A)+P(A)= P ( ) = 1
统计学
概率的加法法则
(例题分析)
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率
某钢铁公司所属企业职工人数工厂男职工女职工合计
炼铁厂炼钢厂轧钢厂合计
4400 3200 900 8500
P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
统计学
5.2.3 条件概率、乘法公式与独立事件
统计学条件概率 (conditional probability)
• 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为
统计学
事件的独立性
(例题分析)
【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
二. 条件概率、乘法公式与独立事件三. 全概率公式和贝叶斯公式
统计学
5.2.1 概率的性质
统计学
1. 非负性
–) 1
2. 规范性
– 必然事件的概率为1；丌可能事件的概率为0。即P ( ) = 1； P ( ) = 0
若A不B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )

高考数学复习重难点05 概率与统计

重难点05 概率与统计【高考考试趋势】统计主要考查抽样的统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算.试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，几何概型解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差.概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活.取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点.解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注【知识点分析以及满分技巧】1抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题x y1．（2021·全国高三专题练习（理））某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：x23456广告费用（万元）y1925343844销售额（万元）根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（）6.3ˆˆy x a =+A ．回归直线必经过样本点、6.3y x a =+()2,19()6,44B ．这组数据的样本中心点未必在回归直线上(),x y 6.3y x a =+C ．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D ．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元【答案】D 回归直线，不一定经过任何一个样本点，故 A 错；6.3y x a =+由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点一定在回归直线上，故B(),x y 6.3y x a=+错；回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C 错；，，1(23456)45x =++++=1(1925343844)253y =++++=将代入可得，则回归方程为，()4,32 6.3y x a =+ 6.8a = 6.3 6.8y x =+时，，故D 正确.7x =6.37 6.850.9y =⨯+=2．（2021·全国高三专题练习（理））以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高ξ（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高cm ()2172,N σ(172180)0.4P ξ<≤=于的高中男生人数大约为3000；180cm ③随机交量服从二项分布，若随机变量，则的数学期望为X (100,0.4)B 21Y X =+Y，方差为；()81E Y =()48D Y =④分类变量与，它们的随机变量的观测值为，当越小，“与有关系的把X Y 2K k k X Y 握程度越大其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A ：①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高ξ（单位：）服从正态分布，且，所以cm ()2172,N σ(172180)0.4P ξ<≤=，所以该市身高高于的高中男生人数()1(180)1721800.12P P ξξ>=-<≤=180cm 大约为人，故②为真命题；300000.13000⨯=③随机交量服从二项分布，则，X (100,0.4)B ()1000.440E X =⨯=，若随机变量，则的数学期望为()()1000.410.424D X =⨯⨯-=21Y X =+Y ，方差为；故③为假命题；()()2181E Y E X =+=()()2296D Y D X ==④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的X Y 2K k k X Y 把握程度越小，故④为假命题．故选：A ．3．（2021·安徽宣城市·高三期末（理））如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以OAH ，为直径作两个半圆，在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率OA OH OAH 是（）A ．B ．1π12C ．D ．42ππ-2ππ-【答案】D【分析】如图，题中阴影部分的面积可转化为下面右图的阴影部分的面积，设扇形的半径为，OAH r则此点取自阴影部分的概率.2221124214r r P r ππππ--==故选：D.4．（2021·全国高三专题练习（理））甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率（）A ．B ．C ．D ．13495923【答案】C【分析】设甲到达的时刻为，乙到达的时刻为则所有的基本事件构成的区域x y 024{(,)|}024x x y y ⎧Ω=⎨⎩…………这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域024{(,)|024||8x A x y y x y ⎧⎪=⎨⎪-⎩……………这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为：（A ）．P 16165124249S S Ω⨯==-=⨯阴故选：C5．（2021·全国高三专题练习（理））设一个正三棱柱，每条棱长都相等，ABC DEF -一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬ABC 行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，10P 则为（）10PA ．B ．10111432⎛⎫⋅+⎪⎝⎭111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭10111232⎛⎫⋅+⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.n n P ①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；()1223n P n -≥②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率1n -()11,2n P n --≥是，()()111,23n P n --≥两种事件又是互斥的,∴，即，∴()1121133n n n P P P --=+-11133n n P P -=+，1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∴数列是以为公比的等比数列，而，所以，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭13123P =111232nn P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∴当时，，10n =1010111232P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭故选：D.6．（2021·陕西榆林市·高三一模（理））设，随机变量的分布110,022a b <<<<ξ1-01P12a b则当a 在内增大时，（）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．增大，增大B ．增大，减小()E ξ()D ξ()E ξ()D ξC ．减小，增大D ．减小，减小()aE ξ()D ξ()E ξ()D ξ【答案】D【分析】：由因为分布列中概率之和为1，可得，12a b +=∴，∴当增大时，减小，()111222E b a aξ⎛⎫=-+=-+-=- ⎪⎝⎭a ()E ξ又由()()()()2222115101224D a a a a b a ξ⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯=-++⎪⎝⎭可知当在内增大时，减小.a 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()D ξ故选：D .7．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了100个学生，看其是否知道刘徽的《九章算术注》、祖冲之的《大明历》、赵爽的《周髀算经》和杨辉的《田亩比类乘除捷法》．经统计，其中知道《九章算术注》或《大明历》的有80人，知道《九章算术注》的有60人，知道《九章算术注》且知道《大明历》的有40人．用样本估计总体，则该校知道《大明历》的学生人数与该校学生总人数之比的估计值为（）A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】B【分析】由题意知：该学校仅知道《九章算术注》的有60-40=20人，所以知道《大明历》的人数为80-20=60人，则该学校知道《大明历》的学生人数与该校学生总人数之比的估计值为，601000.6=故选：B ．8．（2021·江苏常州市·高三期末）俄国著名飞机设计师埃格•西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.年，为了远程性和安全性上与美国波音竞争，欧洲空中客车公司设计并制1992747造了，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的.340A 310A 假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为，且各引擎是否有故障是独立的，已知1p -飞机至少有个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；飞机需要个引擎全部正340A 3310A 2常运行，飞机才能成功飞行.若要使飞机比飞机更安全，则飞机引擎的故障率340A 310A 应控制的范围是（）A ．B ．C ．D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由题意，飞机引擎正常运行的概率为，p 则飞机能成功飞行的概率为，310A 2222C p p =飞机能成功飞行的概率为，340A ()33444344134C p p C p p p -+=-+令即，解得.43234p p p -+>2341p p -+>113p <<所以飞机引擎的故障率应控制的范围是.20,3⎛⎫⎪⎝⎭9．（2021·江苏常州市·高三期末）设随机变量，函数没(),1N ξμ:()22f x x x ξ=+-有零点的概率是，则（）0.5()01P ξ<≤=附：若，则，()2,N ξμσ:()0.6826P X μσμσ-<≤+≈.()220.9544P X μσμσ-<≤+≈A ．B ．C ．D ．0.15870.135951nn na==∑0.3413【答案】B【分析】解：函数没有零点，()22f x x x ξ=+-二次方程无实根，∴220x x ξ+-=，，44()0ξ∴∆=--<1ξ∴<-又没有零点的概率是，()22f x x x ξ=+-0.5，(1)0.5P ξ∴<-=由正态曲线的对称性知：，1μ=-，，()1,1N ξ∴-:1,1μσ∴=-=，2,0,23,21μσμσμσμσ∴-=-+=-=-+=，，(20)0.6826P ξ∴-<<=(31)0.9544P ξ-<<=，[][]11(01)(31)(20)0.95440.68260.135922P P P ξξξ∴<≤=-<<--<<=-=10．（2021·全国高三专题练习（理））将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号3为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示12344ξ3ξ=第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（1231()E ξ(21)E ξ+）A ．、B ．、C ．、D ．、25162582516338323324【答案】B【分析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，1234，，()1223333333371464C C C P ξ⨯+⨯+===()1223333322192464C C C P ξ⨯+⨯+===，，()123333373464C C C P ξ++===()3114464P ξ===所以，，()3719712512346464646416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=因此，.()()2533212121168E E ξξ+=+=⨯+=故选：B.11．（2021·全国高三零模）在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A ．B ．C ．D ．16131223【答案】C【分析】设三位同学分别为，他们的学号分别为，,,A B C 1,2,3用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到()1,3,2A 1B 3号，同学拿到号.C 2三人可能拿到的卡片结果为：，共6()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1种，其中满足题意的结果有，共3种，()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.3162p ==故选：C.12．（2021·江苏常州市·高三期末）在探索系数，，，对函数A ωϕ,b 图象的影响时，我们发现，系数对其影响是图象()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>A 上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的ω横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平ϕ移，通常称为“左右平移变换”；系数对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称b 为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数的图象经过四步变换得到函数()sin f x x=的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π法共有（）A ．种B ．种C ．种D ．种6121624【答案】B【分析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移个单位，3π所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有种，442212A A =故选：B.二、解答题13．（2021·北京顺义区·高三期末）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了名顾客进行回访，调查结果如下表：2000运动鞋款式ABCD E回访顾客（人数）700350300250400满意度0.30.50.70.50.6注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度.假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率.（1）从所有的回访顾客中随机抽取人，求此人是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满1C 意的概率；（2）从、两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取人，设其中满意的人数为，A E 1X 求的分布列和数学期望；X（3）用“”和“”分别表示对款式运动鞋满意和不满意，用“”和“1ζ=0ζ=A 1η=”分别表示对款式运动鞋满意和不满意，试比较方差与的大小.（结0η=B ()D ζ()D η论不要求证明）【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）0.105()0.9E X =.()()D D ηζ>【分析】（1）由表格中的数据可知，名顾客中是款式运动鞋的回访顾客且对该款2000C 鞋满意的人数为.7000.3210⨯=因此，所求概率为；2100.1052000P ==（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，X 012，()()()010.310.60.28P X ==-⨯-=，()()()110.30.60.310.60.54P X ==-⨯+⨯-=，()20.30.60.18P X ==⨯=所以，随机变量的分布列如下表所示：X X12P0.280.540.18随机变量的数学期望为；X ()00.2810.5420.180.9E X =⨯+⨯+⨯=（3）.()()D D ηζ>（理由如下：随机变量的分布列如下表所示：ζζ1P0.70.3，，()00.710.30.3E ζ=⨯+⨯=()()()2200.30.710.30.30.21D ζ=-⨯+-⨯=随机变量的分布列如下表所示：ηη1P0.50.5，，()00.510.50.5E η=⨯+⨯=()()()2200.50.510.50.50.25D η=-⨯+-⨯=所以，.）()()D D ηζ>14．（2021·海南高三二模）甲､乙两人进行投篮比赛，要求他们站在球场上的，两点A B 处投篮，已知甲在，两点的命中率均为，乙在点的命中率为，在点的命中A B 12A p B 率为，且他们每次投篮互不影响.212p -（1）若甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；（2）若甲和乙每人在，两点各投篮一次，且在点命中计2分，在点命中计1A B A B 分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列，若X Y X Y ，求的值.EX EY =p 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，.151612p =【分析】解：（1）“甲至多命中3次”的对立事件为“甲4次全部命中”，所以甲至多命中3次的概率为.41151216⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2），的可能取值均为0，1，2，3.X Y 的分布列为X X123P14141414所以.11131234442EX =⨯+⨯+⨯=的分布列为Y Y123P22(1)p p -()212(1)p p --32p ()212p p -.()()2322(1)124312122EY p p p p p p p =--++-=+-由，解得.231222p p +-=12p =15．（2021·北京高三期末）某企业为了解职工款APP 和款APP 的用户量情况，对本A B 单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用使用不使用款APPA 72人48人40人80人款APPB 60人60人84人36人假设所有职工对两款APP 是否使用相互独立.（1）分别估计该企业男职工使用款APP 的概率､该企业女职工使用款APP 的概率；A A （2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用款APP 的人数为，求A X 的分布列及数学期望；X （3）据电商行业发布的市场分析报告显示，款APP 的用户中男性占%､女性占A 52.04%；款APP 的用户中男性占%､女性占%.试分析该企业职工使用47.96B 38.9261.08A款APP 的男､女用户占比情况和使用款APP 的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报B 告中的男､女用户占比情况更相符.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）该企业职工使用131415BAPP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符：（1）由所给数据可知，男职工使用A 款APP 的人数为72，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP 的概率约为，7231205=同理，女职工使用A 款APP 的概率约为；4011203=（2）的可能取值为0，1，2，X ；()3140115315P X ⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()31318111535315P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()3112535P X ==⨯=的分布列为：∴XX 012P41581515的数学期望；X ()481140121515515E X =⨯+⨯+⨯=（3）样本中，款APP 的男､女用户为(人)，A 7240112+=其中男用户占%；女用户占%，7264.3112≈4035.7112≈样本中，款APP 的男､女用户为(人)，B 6084144+=其中男用户占%；女用户占%，6041.7144≈8458.3144≈该企业职工使用APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.∴B 16．（2021·陕西西安市·高三月考（理））为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万.从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示.（1）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X ，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X 的数学期望和方差.【答案】（1）万；（2）这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为，数学期望560.441，方差.2.10.63【分析】（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71~80岁的居民人数为万.由图2知.年龄在71~80岁的居民签概率为0.7.所以该地区0.00410200080⨯⨯=年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数为万.800.756⨯=（2）由题知此地区年龄段在71~80的每个居民签约家庭医生的概率为，且每个居0.7P =民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人”为事件B ，随机变量为X ，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为.()()()212320.710.70.441P X C ==-=数学期，方差.()30.7 2.1E X =⨯=()30.70.30.63D X =⨯⨯=17．（2021·北京海淀区·高三期末）某公司在2013～2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生产台数（单位：万台）3456691010a年返修台数（单位：台）3238545852718075b年利润（单位：百万元）3.854.50 4.205.506.109.6510.0011.50c注：年返修率（表示年返修台数，表示年生产台数）nm =n m （1）从2013～2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013～2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求的ζζ分布列和数学期望；（3）记公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为，，.若，其中表示，，这两个数中最大的数.21s 22s 23s {}222312max ,s s s ≤{}2212max ,s s 21s 22s请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）a （注：，其中为数据，，，的()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-⎣⎦L x 1x 2x n x 平均数）【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）最大值为13，最小值为7.0.7594【分析】解：（1）由图表知，2013～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年.所以从2013～2020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为.60.758=（2）由图表知，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，所以的所有可能取值为1，2，3.ξ，，.()1262383128C C P C ξ===()21623815228C C P C ξ===()3062385314C C P C ξ===所以的分布列为ξξ123P3281528514故的数学期望.ξ()315591232828144E ξ=⨯+⨯+⨯=（3）的最大值为13，最小值为7.a18．（2021·全国高三专题练习（理））据某市地产数据研究院的数据显示，2018年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.(1)地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y (万元/平方米)与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，政府若不调控，依据相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价；(2)地产数据研究院在2018年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为x ，求x 的分布列和数学期望.参考数据：＝25，＝5.36，＝0.64.51i i x =∑51i i y =∑51()(i ii x x y y =--∑回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： y bx a =+$$$,1122211()()()()n ni i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b xn x x x ====---==--∑∑∑∑ a y bx =- 【答案】（1）y ＝0.06x ＋0.75，1.47万元/平方米；（2）分布列见解析，.(1)由题意13655月份x 34567均价y 0.950.98 1.11 1.12 1.20计算可得：，5215, 1.072,()10i i x y x x ===-=∑∴，，121()0.064()n i i i n ii x x y y bx x ==--==-∑∑ 0.752a y bx =-=$$∴从3月到7月，y 关于x 的回归方程为y ＝0.06x ＋0.75，当x ＝12时，代入回归方程得y ＝1.47.即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米.(2)X 的取值为1，2，3，P (X ＝1)，14312155C C ==P (X ＝3) ，311143333122755C C C C C ==P (X ＝2)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝，2755X 的分布列为x 123P 15527552755E (X )＝1×＋2×＋3×＝.155275527551365519．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共11次累计确诊人数(万).日期(月/日)4/095/045/296/237/188/13统计时间顺序x123456累计确诊人数y 43.3118.8179.4238.8377.0536.0日期(月/日)9/0610/0110/2611/1911/14统计时间顺序x 7891011累计确诊人数y 646.0744.7888.91187.41673.7（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间顺序作为变量，每次累计确诊人数作为x 变量，得到函数关系﹒对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作y bx y ae =(,0)a b >近似处理的一些统计量的值，，603.09y =1111ln 5.9811i i y ==∑，，()()()()11111115835.70,ln ln 35.10i i i i i i x x y y x x y y ==--=--=∑∑()1121110ii x x =-=∑，，，.根据相关数据，()1121ln ln 11.90i i y y =-=∑ 4.0657.97e ≈ 4.0758.56e ≈ 4.0859.15e ≈确定该函数关系式(函数的参数精确到).0.01（2）经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次36人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为，求最有可能(即概率最大)的值是多少.X X k =【答案】（1）（2）k =100.3257.97x y e =【分析】（1）因为，所以，bx y ae =(,0)a b >ln ln y bx a =+由已知得()()11121ln ln 35.10ˆ0.32,110i i i n ii x x y y bx x ==--===-∑∑，4.06ln 0.325.980.326 4.06,57.7l 9n y x a e a =-=-⨯≈=≈所以所求函数方程为0.3257.97x y e =(2)设余下35人中被感染的人数为X ,则X ～B (35,0.3),，要使最大,3535()0.30.7k k kX k C P -=∴=⨯()P X k =需()(1),()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩，351136353535113435350.30.70.30.70.30.70.30.7k k k k k xk k k k k k C C C C -----++-⎧⨯≥⨯∴⎨⨯≥⨯⎩即，0.30.7!(35)!(1)!(36)!0.70.3!(35)!(1)!(34)!k k k k k k k k ⎧≥⎪---⎪⎨⎪≥⎪-+-⎩化简得，10.80.30.70.70.710.50.3k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩解得，9.810.8k ≤≤,10,k N k ∈∴= 所以X-k 最有可能(即概率最大）的值为k =10.X k =20．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.[4,20]（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数服从正态分布，其中，为ξ()2,N μσμ（1）中求得的平均数标准差的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数σ的人数(结果四舍五入保留整数).(14,18)ξ∈（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望.附：若随机变量服从正态分布，则，ξ()2,N μσ()0.6827P μσξμσ-<+≈…，.(22)0.9545P μσξμσ-<+≈…(33)0.9973P μσξμσ-<+≈…【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望：.1247216【分析】（1）依题意得0.0150.0170.0890.5811x =⨯+⨯+⨯+⨯.0.22130.06150.03170.011911.6812+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）因为，()2~12,2N ξ所以，(1418)(1221232)P P ξξ<<=+<<+⨯1[(618)(1014)]0.15732P P ξξ=<<-<<≈所以走路步数的总人数为.(14,18)ξ∈3000.157347⨯≈（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.由题意知X 的可能取值为0，100，200，300，400.；；2(0)0.020.0004P X ===12(100)0.020.880.0352P X C ==⨯⨯=；122(200)0.020.10.880.7784P X C ==⨯⨯+=12(300)0.10.880.176P X C ==⨯⨯=；.2(400)0.10.01P X ===所以X 的分布列为X 0100200300400P 0.00040.03520.77840.1760.01.()00.00041000.03522000.77843000.1764000.01216E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。

概率与统计的实际问题解析五年级下册数学期末测重点详解

概率与统计的实际问题解析五年级下册数学期末测重点详解概率与统计的实际问题解析数学是一门抽象而又实际的学科，在我们的日常生活中无处不在。

而概率与统计则是数学中一个重要的分支，它能够帮助我们解析各种实际问题。

在五年级下册数学期末测中，概率与统计是一个非常重要的考点，本文将对该考点的重点内容进行详解。

一、概率与统计简介概率与统计是数学中的两个相关但又独立的概念。

概率用于研究随机事件发生的可能性，而统计则用于分析和处理数据。

在实际应用中，概率与统计经常被用于解决各种问题，比如天气预测、人口统计、调查分析等。

二、概率的基本概念概率是指某个事件发生的可能性大小。

在数学中，概率的范围在0到1之间，事件发生的概率为0表示不可能发生，概率为1表示必然发生。

概率的计算可以通过实验、几何方法和数学模型等多种方式进行。

在五年级下册数学期末测中，常见的概率计算包括等可能事件的概率计算、随机事件的概率计算等。

三、统计的基本概念统计是指对数据进行收集、整理、分析和解释的过程。

在统计学中，我们常用一些统计指标来描述一组数据的特征，比如平均数、中位数、众数等。

在五年级下册数学期末测中，统计的重点内容包括数据的收集和整理、统计图表的制作与分析等。

四、概率与统计的应用概率与统计在日常生活中有着广泛的应用。

比如，我们可以通过概率预测未来几天的天气情况，帮助我们做出相应的决策。

在人口统计中，统计学被用来分析不同人群的人口结构，这对于制定社会政策和规划发展具有重要意义。

此外，概率与统计还在市场调研、医学研究等领域发挥着重要作用。

五、概率与统计的实际问题解析在五年级下册数学期末测中，概率与统计的实际问题涉及到多个方面。

例如，某班同学进行了一次“抽签”活动，每位同学从一个装有30枚相同硬币的盒子里随机抽取5枚硬币，请问其中有多少种可能性？解析：假设这个问题使用组合方法进行解答。

根据组合的定义，从30个硬币中任意选取5个硬币的组合数为C(30,5)。

重难点数学概率与统计解题方法详解

重难点数学概率与统计解题方法详解概率与统计是数学中的一门重要学科，它涉及到了许多常见的数学问题，尤其是在解题过程中，往往会遇到一些重难点。

本文将详细解释概率与统计的解题方法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。

一、概率与统计的基本概念在介绍解题方法之前，首先需要了解概率与统计的基本概念。

概率是用来描述某种事件发生可能性的数值，在数学上通常用小数或百分数表示。

而统计是指通过收集、整理和分析大量数据来得出结论的一种方法。

在解题过程中，我们需要根据给定的条件和已知信息，利用概率与统计的方法来推导和计算相应的结果。

二、概率与统计的解题方法1. 确定问题类型在解概率与统计的题目时，首先需要确定问题的类型。

问题类型可以分为排列组合、事件概率计算、随机变量分布、抽样调查等多个方面。

根据不同类型的问题，采用不同的解题方法。

2. 分析给定条件和已知信息在解题过程中，需要仔细分析给定条件和已知信息。

将问题中的条件和信息进行归纳和整理，以便更好地理解问题并为后续的解题过程提供依据。

3. 运用数学工具和公式概率与统计的解题离不开一些数学工具和公式的运用。

例如，当遇到排列组合问题时，可以使用阶乘、组合数等数学概念和公式来计算可能的情况数；当遇到事件概率计算时，可以使用加法原理、乘法原理、条件概率等公式来推导和计算事件的概率。

4. 注意问题中的关键词在解概率与统计的题目时，通常会遇到一些关键词，这些关键词往往与解题方法和公式相关联。

例如，遇到“至少”、“最多”、“只有”等关键词时，需要根据这些关键词确定条件和计算方法。

5. 善于利用图表和图形在解题过程中，可以根据问题的要求和条件，绘制相关的图表和图形，以便更好地理解和解决问题。

例如，在统计调查与分析问题中，可以用柱状图、线性图、饼状图等来展示和比较数据。

6. 反复检查和验证答案在解答概率与统计的题目时，需要反复检查和验证所得答案的合理性和准确性。

可以通过多种方法和思路进行验证，确保答案的正确性。

概率与统计难点分析及教学建议

概率与统计难点分析及教学建议统计与概率研究随机现象的规律性．对新课标教材中的统计与概率内容，就知识层面和方法看，似乎不难．但蕴涵的概率观点和统计思想却不容易了解．那么，概率的意义究竟是什么？概率难在何处？统计推断有什么特点？如何评价统计推断的结果？统计与概率的关系是什么？下面就这些问题作一简单分析．一、概率的难点分析1．概率的抽象性．像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知．概率作为随机事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知，太抽象了．2. 统计规律的隐蔽性．随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量重复试验时，事件频率的稳定性．这种规律称之为统计规律性．频率的稳定性是概率论的理论基础，它说明随机事件发生的可能性大小是事件本身固有的、不随人们的意志而改变的客观属性，它是可以度量的．同时它也给出了度量的一种方法．由于统计规律是通过大量重复试验揭示的，所以在利用概率思想进行决策时，会产生理解上的困难．因此，只有深刻理解概率与频率的关系、概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义．对概率与频率的关系的认识可以按以下四个层次进行，而大数定律不要求学生了解．直观认识．概率描述事件发生的可能性大小，它是由事件本身唯一确定的一个常数；而频率反映在n 次试验中，事件发生的频繁程度．一般地，如果事件A的概率较大，在重复试验中，它发生的就比较频繁，因此A的频率也较大；同样如果事件A的概率较小，它的频率也较小．反之也对．具体试验．前人对频率的稳定性的认识，首先是通过大量重复试验获得的，而后大数定律作了严格的数学刻画．在教学中虽然不必做很多试验，但通过适当的试验，借助统计图表示频率的稳定性规律，可以增加直观认识．借助计算机模拟试验也可以节省大量时间．对频率的认识应该先认识稳定性，其次是频率的不确定性．即随着试验次数的增多，频率的波动越来越小，逐渐稳定在一个常数附近．但当试验次数较少时，频率的波动可能比较大．实例辨析．有些资料这样叙述：“试验次数越多，用频率估计概率就越准确”．这样的叙述严密吗？以掷硬币为例，已知“正面向上”的概率为0.5，掷两次硬币，可能频率为是0.5，用频率估计概率的误差为0；而掷100次硬币，也可能频率为0.2，误差为0.3．显然上面的叙述不严密，也可以说是错误的．下面的案例可能增加对概率与频率的关系的近一步的理解（不需要学生了解计算方法）．案例1 分别掷100次、200次、1000次硬币，用“正面向上”的频率估计概率，在给定误差范围内，计算估计的可靠性．解：用表示掷n次硬币“正面向上”的频率，的取值具有不确定性，用EXCEL计算结果如下表：比较严格的叙述为：“当试验次数较少时，用频率估计概率误差较小的可能性较小．试验次数越多，用频率估计概率误差较小的可能性越大”．精确刻画．大数定律对概率与频率的关系作了严格的数学描述．设事件A的概率为p,在n次重复试验中，A发生的频率为，则对任意的正数，都有．3.概率定义的复杂性．概率是事件发生的可能性大小的度量．这是概率的描述性定义，它虽然揭示了概率的本质，但对概率具有哪些性质，如何计算或估计事件的概率都没有帮助．“概率是频率的稳定值”，这是概率的统计定义．它给出了估计事件概率的一种方法，而且明确了概率作为一种度量，应该具有非负性、规范性和可加性．但频率还具有随机性的特征，特别当试验次数不大时，很难知道这个稳定值是什么．为了能较好地理解概率的意义，我们应该采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式．先认识频率及其性质，频率和概率的关系；然后讨论古典概率，几何概率这些具体简单的模型；从中归纳概率的本质特征，最后给出概率的公理化定义（高中阶段不作要求）．案例2 美国的一个电视游戏节目．有三扇门，其中一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面各有一只羊．给你一次猜的机会．猜中羊可以牵走羊，猜中车可以开走车．当然大家都希望能开走汽车．现在假如你猜1号门后面是车，然后主持人把无车的一扇门（比如2号门）打开．现在再给你一次机会，请问你是否要换3号门？这是一个概率决策问题，结论只有换与不换两个．在当时引起了人们极大的兴趣，众说纷纭，各种各样的观点都有．足以看出概率问题是有一定难度的．观点一一位数学博士说：美国公民的数学水平也太差了，这三扇门后面有车的可能性是一样的，都是1/3，所以不必换．观点二假定主持人打开的是2号门，既然2号门后面没有车，那么车要么在1号门后面，要么在3号门后面，概率各是1/2，所以不必换．观点三车在1号门后面的概率是1/3，于是在2号门或3号门后面的概率就是2/3 ，现在既然2号门后面没有车，所以车在3号门后面的概率为2/3，因此应该换．哈佛大学概率教授（Diaconis）应电视台邀请，进行了表演．以一张红桃扑克牌表示车，两张黑桃扑克牌表示羊．按照规则要求，演示了8次，结果是有6次显示应当换．Diaconis 教授说：概率的判断是依靠大量试验才获得的．如果这个游戏允许多次重复，那一定是“换”为好．如果只给你一次机会，那是很难说的．由于随机性，如果1号门后面确实是车，你猜对了，此时要换反而得不到车．如果1号门后面没有车，此时换就得到车．那么换与不换应该依据什么为准则？在此问题中，应以得到车的概率最大为准则．三种观点在应用概率思想方面都是正确的，造成不同结果的原因在于对概率大小的判断上．首先注意的一点是，主持人是知道汽车在哪扇门后的．换的结果是将汽车换成羊，或将羊换成汽车．选择1号门，得到汽车的概率为1/3，得到羊的概率为2/3．如果换3号门，得到羊的概率为1/3，得到汽车的概率为2/3．从概率决策的角度看应该换，观点三是正确的．如果主持人也不知道那扇门后面是车，而是任意选择一扇门，此时换与不换等价于抽签时是先抽还是后抽．我们知道抽签不分次序先后，得到车的概率都是1/3．但现在的问题是：主持人打开的一定是无车的门，所以观点一是错误的．当主持人打开无车的2号门时，如果让你在1号门和3号门之间重新任选一扇门，得到车和羊的概率都是1/2．现在不是让你重新任选一扇门，而是问你是否要换．重新选择和交换结果是不同的，所以观点二也是错误的．Diaconis 教授的观点是正确的．既然在概率大小的判断上有分歧，通过重复模拟试验，借助频率的大小来判断最有说服力．但遗憾的是重复试验次数太少，频率的值很不稳定，说服力不强，当时并没有消除争议．另外，即使就一次机会，也应选择得到车的概率较大的方案．二、统计的难点分析真实的数据能提供科学信息，数据能帮助我们了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得到的，借助数据提供的信息作出的判断才比较可信．因此，“运用数据进行推断”的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，而“用样本推断总体”又是统计最核心的思想方法．统计学已有2000多年的历史，按其发展的历史阶段和统计方法的构成看，统计学可以分为描述统计和推断统计．描述统计的内容包括统计数据收集的方法、数据的加工和整理方法、用图表表示数据的方法、数据分布特征的概括与分析方法等．推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数量特征的方法，它以样本数据信息为依据，以概率论为理论基础，对总体未知的数量特征作出以概率形式表述的推断．那么统计内容学习的难点在哪里呢？1．确定性数学思维模式对统计思维方法的影响统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断．它所采用的是归纳推理，属于合情推理范畴．带有很强的试验性．确定性数学主要运用演绎推理的方式，即从已有的事实（包括定义、公理、定理）出发，按照规定的法则证明结论，或揭示数学规律．研究确定性数学，是不能用个别举例或验证代替一般的证明的．比如可以通过测量或拼接的方法，归纳得出“三角形内角和等于180°”，但是，哪怕你度量了无数次，也只能说发现了这一结论，未经证明之前仍不能作为定理．统计学习中，这种思维方式的转变需要一个过程．2. 统计方法的评价与统计结果的解释对确定性数学，在给定的条件下，结论是完全确定的．对其结果可以用“对”和“错”来评判．用样本推断总体，由于样本数据和总体的不一致性，会产生代表性误差，由于样本的随机性，会产生随机误差，从而造成估计的结论也具有不确定性．因此，评价一种估计方法的好坏，不能仅依一次估计的误差大小来衡量，而应考虑所有可能样本的情况下，整体误差的大小．即在相同的误差范围内，置信度大的方法好，或在相同的置信度下，误差小的方法好．对统计结论也不能用“对”和“错”来解释．对某种统计方法，既要让学生认识到方法的合理性，又体会到结果的不确定性，这是渗透统计思想不可缺少的．问题是，在学生没有或具有很少的概率知识背景下，在教学中应该如何处理？这肯定是一个难点．案例3现有n个实数，在求这n个数的平均值时，对每个数四舍五入保留整数，近似数分别为．令，，估计误差的范围．在确定性数学中，，，所以．当我们用概率形式来表示时，则有，当取时，则有．估计要比精确得多，但只能以95%的把握保证其正确性．3．统计原理的理解与运用统计推断的依据是一些统计原理．例如，统计估计时依据极大似然原理，假设检验时依据小概率原理，回归分析依据最小二乘原理等．它们都是人们在长期的社会实践中归纳出来的一般原理．统计原理不同于数学公理或定理，公理是大家公认的事实，是绝对正确的；定理是经过严密的逻辑证明是正确的事实．而统计原理本身并不是绝对正确的，利用这些原理进行推断肯定会犯错误．如何理解这些原理，并将其运用到统计推理中，这是又一个难点．案例4目前流行的甲型H1N1流感传染性很强，假设在人群中的感染率为20%．现有Ⅰ、Ⅱ两种疫苗，疫苗Ⅰ对8个健康的人进行注射，最后结果为无一人感染．疫苗Ⅱ对25个健康的人进行注射，最后结果为有一人感染．你认为这两种疫苗哪个更有效？直观分析：如果不考虑概率，注射疫苗Ⅰ后感染率为0，注射疫苗Ⅱ后感染率为4%，似乎疫苗Ⅰ更有效些．但现实中感染率只有20%，也就是100人中大概只有20人会感染上．假设疫苗Ⅰ完全无效，“8人注射无一人感染”仍有较大的可能性．假设疫苗Ⅱ无效的条件下，“25人注射只有1人感染”的可能性要小的多．依据小概率原理，判断疫苗Ⅱ比疫苗Ⅰ可能更有效些．推理过程：设事件A=“8人注射无一人感染”，B=“25人注射有1人感染”，假设疫苗Ⅰ无效，，A发生的可能性较大，没有充足的证据说明疫苗Ⅰ有效．假设疫苗Ⅱ无效，，B是一个小概率事件，依据小概率原理，认为B在一次试验中是不会发生的，但现在竟然发生了，和统计原理相违背，从而否定假设，认为疫苗Ⅱ有效．这种推理称为假设检验．所运用的推理方式类似于数学反证法．应用数学反证法，当推出和已知事实矛盾的结果时，否定假设．假设检验是一旦小概率事件发生，就否定假设．但小概率原理不是绝对正确的事实，所以推理有可能犯错误．我们追求的是使犯错误的概率尽可能小．三、对统计与概率教学的几点建议1．突出核心思想，把握重点和难点．对概率意义和统计思想的理解，是教学的重点，也是难点．不要把概率教学变成复杂的概率计算；把统计教学变成单纯的数据处理和计算技巧；不要纠缠一些无关紧要的细节而干扰主题．现在的情况是，许多学生（包括数学专业的大学生），可以计算很复杂的概率，但面对需要用概率和统计思想解决的实际问题时，就显得束手无策．这说明教学中，过多关注了操作技能，忽视了思想方法的理解．离散型随机变量的教学目标：随机变量是随机试验可能结果的数量化表示，它是随试验结果而变化的量，其本质是样本空间到实数集之间的一个映射．引入随机变量的概念，把对随机现象统计规律的研究具体转化为对随机变量概率分布的研究．其重要作用是全面系统刻画随机现象的规律性，大大简化了各种事件的表示，而且可以借助数学分析的工具．本人认为随机变量是我们研究的对象而非研究的工具．离散型随机变量具有如下特征：（1）它的取值依赖于试验结果，因此取值具有随机性，即在试验之前不能肯定它的取值，一旦完成一次试验，它的取值随之确定；（2）所有可能取值是明确的；（3）所有可能取值可以一一列举出来（或取值为有限个或可列个）．教学目标：通过对具体实例的分析，归纳概括离散型随机变量的特征，突出随机性特征，引入离散型随机变量的概念；体会引入随机变量的作用；渗透将实际问题转化为数学问题的思想方法．重点是认识离散型随机变量的特征，了解其本质属性，体会引入随机变量的作用．难点是随机变量和普通变量的本质区别．2. 恰当的类比很有效．概率与频率的关系、总体的数字特征与样本的数字特征之间的关系，都比较抽象．可以用某物体长度真值和测量值来类比．黑板的长度a是客观存在的，但未知．可以通过测量来了解；而测量结果总会有误差，为减少误差，可以用多次测量值的平均数估计a．事件的概率p是客观存在的，但未知，可以用频率估计；频率具有不确定性，估计的误差不可避免，为减少误差，可以增加重复试验的次数．总体指标X的平均值（数学期望）是一个确定的数值，可以用样本的平均值去估计；随机抽取的样本具有随机性，所以样本的平均值也具有随机性，要想估计的更准确些，可以适当增大样本容量．3．必要的操作试验不可省．概率的统计规律性本身就是通过试验发现的，用样本推断总体的方法，可以认为是试验科学．在高中阶段，由于课时以及学生认知水平的限制，我们不可能也没有必要用严密的方法揭示一些稳定性规律，评价统计方法的优劣．设计恰当的试验，直观认识随机性规律、树立概率观点、理解统计思想是必要的，也是可行的．在一些具体问题中，可以通过试验纠正对概率判断上错误观点，统一认识，消除争议．4. 重视反例和极端特例的作用．在揭示数学概念的本质、探索数学定理成立的条件时，反例具有重要的作用．同样，在统计与概率的教学中，一些极端的特例有时会发挥意想不到的作用．例１用频率估计概率，有人认为“试验次数越大，估计得就越准确”．极端特例：掷两枚硬币，有50%的可能得到频率为1/2；而掷1000次硬币，理论上仍有可能得到频率为1．说明“试验次数越大，估计得就越准确”，这样的表述不严密．例2从包含100个学生的总体中，随机抽取10名学生作为样本，估计全体学生的平均身高．分别采用不放回抽样和有放回抽样，哪种抽样方式下估计得更准确些？大多数人认为有放回抽样下更准确，实际上恰恰相反．要想说服他们，我们不可能用数理统计的一套理论，通过计算概率或期望和方差，作出判断．以下两个极端特例都能说明问题．特例1：采用有放回抽样，有可能同一个体被重复抽到，也有可能10次都抽到同一名学生，此时样本的代表性非常差，估计很难准确．而不放回抽样不会发生这样的情况．特例2：假定样本容量为100，采用不放回抽样，样本和总体完全相同，估计结果完全确定，没有任何误差．而采用有放回抽样，很难遇到样本和总体完全相同的情况．小概率原理、极大似然原理是统计推断中最常使用的原理．因为它们都不是绝对正确的，应用这些原理作统计推断，学生理解上有困难．其原因是，大多数情形我们把小于0.05的概率就看成小概率了．那就举概率更小的例子．乘坐飞机有可能遇到空难，为什么绝大多数人不拒绝坐飞机？因为发生空难的概率太小了（据统计小于300万分之一），我这次不会出事的．这不是已经用小概率原理来决策了吗？极大似然原理是说：一次试验有多个事件，哪一事件发生了，就认为这个事件的概率最大．当这些事件的概率相同时，应用极大似然原理是最不靠谱的．但在实际推断时，往往这些事件的概率相差悬殊．例如，有两个箱子，其中第一个箱子装有99个红球，1个白球；第二个箱子装有99个白球，1个红球．任意选择一个箱子，从中任意摸出一球，结果摸出了红球，请你判断球是从哪个箱子中取出的．我想很少有人判断是从第二个箱子中取出的．在中学概率与统计的教学中，理解概率的意义及统计思想方法是首要目标，这当然不能脱离具体知识这一载体，检验的标准是看学生在实际问题中能否做出合理的决策．教学中做到深入浅出、通俗易懂、尽可能直观地让学生理解概率统计的思想方法，是我们共同追求的目标．参考文献：人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究中心．普通高中课程标准试验教科书数学③（必修）A版．人民教育出版社2007．。

专题05 概率初步章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)

专题05概率初步章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1可能性的大小】【方法点拨】可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．【例1】（2019春•金坛区期中）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列4个事件发生的可能性大小，其中事件发生的可能性最大的是（）A．指针落在标有5的区域内B．指针落在标有10的区域内C．指针落在标有偶数或奇数的区域内D．指针落在标有奇数的区域内【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可．【答案】解：A、指针落在标有5的区域内的概率是；B、指针落在标有10的区域内的概率是0；C、指针落在标有偶数或奇数的区域内的概率是1；D、指针落在标有奇数的区域内的概率是；故选：C．【点睛】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．【变式1-1】（2019春•市北区期末）我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样，小红盛了1个汤圆，下列各种描述正确的是（）A．她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆可能性一样大B．她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多C．她不可能吃到豆沙馅汤圆D．她一定能吃到枣泥馅汤圆【分析】通过计算盛了1个汤圆，盛到各种馅的概率，比较概率的大小得出结论．【答案】解：盛了1个汤圆盛到黑芝麻的概率为，盛到枣泥的概率为，盛到豆沙的概率为，∴她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大很多，故选：B．【点睛】考查随机事件发生可能性的求法，体会概率是描述随机事件发生可能性的大小统计量．【变式1-2】（2019•资阳）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．【答案】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，∴红球的个数比白球个数多，∴红球个数满足6个或6个以上，故选：D．【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．【变式1-3】（2019•张店区一模）从淄博汽车站到银泰城有甲，乙，丙三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从淄博汽车站到银泰城的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：线路/公交车用时的频数/公交车用时30≤t≤3535≤t≤4040≤t≤4545≤t≤50合计甲59151166124500乙5050122278500丙4526516723500早高峰期间，乘坐线路上的公交车，从淄博汽车站到银泰城“用时不超过45分钟”的可能性最大．（）A．甲B．乙C．丙D．无法确定【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小，再进行比较即可得出答案．【答案】解：∵甲线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.752，乙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.444，丙线路公交车用时不超过45分钟的可能性为＝0.954，∵0.954＞0.752＞0.444，∴应选择线路丙；故选：C．【点睛】本题主要考查了树状图法求概率以及可能性大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．【考点2确定与不确定事件】【方法点拨】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【例2】（2018秋•十堰期末）下列说法中不正确的是（）A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件C．任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是确定事件D．一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6【分析】直接利用随机事件的定义分别分析得出答案．【答案】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，正确，不合题意；B、把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，正确，不合题意；C、任意打开九年级下册数学教科书，正好是第38页是随机事件，故此选项错误，符合题意；D、一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6，正确，不合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握随机事件的定义是解题关键．【变式2-1】（2019春•常熟市期末）下列事件中，属于必然事件的是（）A．如果a，b都是实数，那么，a+b＝b+aB．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义即可得到答案．【答案】解：A．如果a，b都是实数，那么a+b＝b+a，属于必然事件；B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为13，属于不可能事件；C．抛枚质地均匀的硬币20次，有10次正面向上，属于随机事件；D．用长为4cm，4cm，9cm的三条线段围成一个等腰三角形，属于不可能事件；故选：A．【点睛】本题考查了随机事件：随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．【变式2-2】（2019春•滨湖区期末）下列事件中，属于随机事件的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形C．矩形的两条对角线相等D．菱形的每一条对角线平分一组对角【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【答案】解：A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是必然事件；B、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形是随机事件；C、矩形的两条对角线相等是必然事件；D、菱形的每一条对角线平分一组对角是必然事件；故选：B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【变式2-3】（2019•襄城区模拟）下列事件中是不可能事件的是（）A．任意画一个四边形，它的内角和是360°B．若a＝b，则a2＝b2C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上D．一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5【分析】直接利用随机事件以及不可能事件的定义分别分析得出答案．【答案】解：A、任意画一个四边形，它的内角和是360°，是必然事件，不合题意；B、若a＝b，则a2＝b2，是必然事件，不合题意；C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上，是随机事件，不合题意；D、一只袋子里共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出一个小球，标号为5，是不可能事件，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握相关定义是解题关键．【考点3概率与方程】【方法点拨】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【例3】（2019•齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（）A．27B．23C．22D．18【分析】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到＝，然后利用比例性质求出x即可．【答案】解：设袋中黑球的个数为x，根据题意得＝，解得x＝22，即袋中黑球的个数为22个．故选：C．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【变式3-1】（2019•南安市模拟）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（）A．4个B．6个C．8个D．10个【分析】设袋子中有红球x个，利用概率公式得到＝0.6，然后解方程即可．【答案】解：设袋子中有红球x个，根据题意得＝0.6，解得x＝4．经检验x＝4是原方程的解．答：袋子中有红球有4个．故选：A．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．【变式3-2】（2019•大洼区三模）在一个不透明的袋中有4个白球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则n＝（）A．10B．8C．6D．4【分析】根据黄球的概率公式列出方程＝求解即可．【答案】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中黄球n个，根据古典型概率公式知：P（黄球）＝＝，解得n＝6．故选：C．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．【变式3-3】（2019•厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（）A．a＝1B．a＝3C．a＝b＝c D．a＝（b+c）【分析】根据概率公式得出＝，整理可得．【答案】解：由题意知＝，则3a＝a+b+c，∴2a＝b+c，∴a＝（b+c），故选：D．【点睛】此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．【考点4几何概型】【方法点拨】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

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重难点05 概率与统计【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.【限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2019·四川高考模拟（文））空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（） A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C 【分析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．故选C．【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型. 2．（2020·陕西高三月考（理））如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）A．回答该问卷的总人数不可能是100个B．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个【答案】D【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D 错误，故选D．【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题． 3．（2018·湖南高考模拟（文））已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（）A ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-B ．4m =C ．变量x 、y 之间呈负相关关系D ．该回归直线必过点()9,4【答案】B 【分析】将20x =的值代入回归直线方程可判断出A 选项的正误；将(),x y 的坐标代入回归直线方程可计算出实数m 的值，可判断出B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C 选项的正误；根据回归直线过点(),x y 可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当20x =时，0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，A 选项正确；对于B 选项，6810+1292x ++==，6321144m m y ++++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得110.7910.344m +=-⨯+=，解得5m =，B 选项错误；对于C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x 、y 之间呈负相关关系，C 选项正确；对于D 选项，由B 选项可知，回归直线0.710.3y x =-+必过点()9,4，D 选项正确.故选：B.【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．（2019·莒县第二中学高考模拟（文））我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形ABCD 所围成的区域记为Ⅰ，在圆内且在正方形ABCD 外的部分记为Ⅱ，在圆外且在大正方形内的部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为123,,P P P ，则（）A ．123P P P =+B ．132P P P >>C ．123P P P >=D ．123P P P => 【答案】A 【分析】首先要将小正方形旋转45度，由此看出大正方形与小正方形边长的比值，进而得到面积比，从而可确定概率间的关系. 【详解】将小正方形旋转45度，图像转化为:由图像易知：小正方形的面积是大正方形面积的一半，所以123P P P =+. 则选A.【点睛】本题考查了几何概型，着重考查了利用相似比求面积比，突显了对数学抽象与直观想象的考查.5．（2019·湖北高考模拟（理））七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．18【答案】A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A.二、解答题6．（2019·陕西高考模拟（文））某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算y 关于x 的回归方程.附公式：1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑$，a y bx =-$$.【答案】（1）2;（2）5;（3） 1.20.2y x =+. 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知()0.080.10.140.120.040.020.51m m +++++⋅==，故2m =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是[)[)[)[)[)[]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．由题意可知，1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51122332455769i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，根据公式，可求得26953 3.8121.2555310ˆb-⨯⨯===-⨯， 3.8 1.230ˆ.2a =-⨯=，即回归直线的方程为 1.2.2ˆ0yx =+．【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．7．（2019·宁夏高考模拟（文））2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率.附：临界值表参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）有把握；（2）218. 【分析】(1)由直方图得到22⨯列联表，利用公式求得2K 的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，得到试验的全部结果所构成的区域及事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”，根据几何概型，利用面积比可求()78P A =，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果. 【详解】 (1)如下表：()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． (2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为,x y ，则(,x y )可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为(){,|78,7.58.5}Q x y x x =≤≤≤≤，则S Ω＝1，事件A 表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|y ≥x ，7≤x ≤8,7.5≤y ≤8.5}，即图中的阴影部分面积为111712228A S =-⨯⨯=，所以()78A QS P A S ==，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布73,8B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，721388E ξ=⨯=. 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 8．（2019·江西高二月考（文））通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下22⨯列联表：()1从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率； ()2根据以上22⨯列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：(参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中)n a b c d =+++【答案】(Ⅰ) 7(10P =Ⅱ)见解析试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（Ⅱ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值表得出结论．解析：(Ⅰ)根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A 、B 、C ，不挑同桌有2人，记为d 、e ；从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC ABd ABe ACd ACe Ade BCd BCe Bde Cde ，，，，，，，，，共10种；这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为ABC ABd ABe ACd ACe BCd BCe ，，，，，，，共7种；故所求的概率为710P =； (Ⅱ)根据以上22⨯列联表，计算观测值22100(30102040) 4.7619 3.84170305050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关． 9．（2019·四川棠湖中学高三（文））省环保厅对A 、B 、C 三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B 城市空气质量为优的数据的概率为0.2.（I ）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在C 城中应抽取的数据的个数；（II ）已知23y ≥，24z ≥，求在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.【答案】（1）9；（2）38.【试题分析】(1)由0.2180x=计算出x ,再由总数计算出y z +,按比例计算得应抽人数.(2) 由（1）知54y z +=，,y z N ∈且23y ≥，24z ≥，利用列举法和古典概型计算公式计算得相应的概率. 【试题解析】（1）由题意得0.2180x=，即36x =. ∴1802832363054y z +=----=， ∴在C 城中应抽取的数据个数为30549180⨯=. （2）由（1）知54y z +=，,y z N ∈且23y ≥，24z ≥，∴满足条件的数对(),y z 可能的结果有()23,31，()24,30，()25,29，()26,28，()27,27，()28,26，()29,25，()30,24共8种.其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有()28,26，()29,25，()30,24共3种.∴在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为38. 10．（2019·江西高考模拟（文））某书店为了了解销售单价（单位：元）在[8,20]]内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照[8,10),[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18),[18,20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图,已知样本中销售单价在[14,16)内的图书数是销售单价在[18,20]内的图书数的2倍．（1）求出x 与y ，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．【答案】（1）见解析；（2）6本；（3）25【解析】（1）先求出x 与y ，再根据直方图求出平均值；（2）根据分层抽样是按比例抽样可得结果；（3）用列举法和古典概型概率公式求出结果【详解】（1）样本中图书的销售单价在[)14,16内的图书数是2100200x x ⨯=g ，样本中图书的销售单价在[)1820，内的图书数是2100200y y ⨯=g ，依据题意，有2002200x y =⨯，即2x y =，①根据频率分布直方图可知()0.120.0250.0521x y ⨯++++⨯=，② 由①②得0.15,0.075x y ==．根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为810101212141416161818200.02520.0520.120.1520.120.0752222222++++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85=14.9（元）（2）因为销售单价在[)[)[)[)[)[]8,10,10,12,12,14,14,16,16,18,18,20的图书的分层抽样比为1：2：4：6：4：3，故在抽取的40本图书中，销售单价在[)[)[)[)[)[]8,10,10,12,12,14,14,16,16,18,18,20内的图书分别为124643402,404,408,4012,408,406202020202020⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=（本）（3）这40本书中价格低于12元的共有6本，其中价格低于10元的2本，记这2本为12,A A ，另外4本记为1234,,,B B B B ，从中抽取2本的基本事件有：121112131421222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B共15个，其中价格不低于10元的有6个，所以：这2本书价格都不低于10元的概率62155P ==．【点睛】本题考查了频率分布直方图、分层抽样及概率问题，较为简单11．（2019·四川高考模拟（文））目前有声书正受着越来越多人的喜爱．某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额（金额为整数）情况如下图．有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”．已知抽取的样本中有38的“年轻用户”是“爱付费用户”．（1）完成下面的22⨯列联表，并据此资料，能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关？（2）若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人，再从这5人中随机抽取2 人进行访谈，求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关；（2）35. 【解析】【分析】（1）根据题意可得列联表，然后根据表中的数据求出2K 后与临界值表中的数据对照后可得结论．（2）根据古典概型概率公式求解可得所求概率．【详解】（1）根据题意可得22⨯列联表如下：由表中数据可得()()()()()()2221002430406 4.76 3.84130706436n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关．（2）由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，记为1A ，2A ，3A ，4A ，1人为“非年轻用户”，记为B ．则从这5人中随机抽取2人的基本事件有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()1,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()2,A B ，()34,A A ，()3,A B ，()4,A B ，共10个基本事件．其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()23,A A ，()24,A A ，()34,A A ，共6个．所以从中抽取2人恰好都是“年轻用户”的概率为63P 105==．【点睛】独立性检验的方法是得到列联表后求出2K 的值后与临界值表进行对照后得到结论，查表时要根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k 值与求得的2K 相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p ，所以其有关联的可能性为1p -．。