概率论考试题以及解析汇总

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系名____________班级____________姓名____________学号____________

密封线内不答题

试题一

一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，每题2分，共20分） 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ ）。

A. A,B 互不相容

B. A,B 相互独立

C.A ?B

D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ ）

A. 1/2

B. 1/12

C. 1/18

D. 1/9

3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ ）

A.91

99

100

98

.02.0C

B.

i i i i C

-=∑100100

9

100

98.02.0

C.

i

i i i C

-=∑100100

10

100

98

.02.0 D.i i i i C

-=∑-

1009

100

98.02.01

4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)()3

1

253(321=++

X X X E

A. 0

B. 25.5

C. 26.5

D. 9

5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25

24

2

3

21X

X X X X c +++?

服从t 分布。（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

6

D. -1

6、设X ~)3,14(

N ，则其概率密度为（

）

A.

6

)14(2

61--

x e π

B.

3

2)14(2

61--

x e

π

C.

6

)14(2

321

--

x e

π

D.

2

3)14(2

61--

x e

π

7、

321,,X X X 为总体),(2σμN 的样本， 下列哪一项是μ

的无偏估计（ ）

A.

3212110351X X X ++ B. 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X +

+ D. 3216

1

3131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为

X 1 2 3 P

C

1/4

1/8

则常数C 为（ ）

（A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8

9 、设随机变量X ～N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本，则样本均值X 近似的服从（ ） （A ） N （4，25） （B ）N （4，25/n ） （C ） N （0,1） （D ）N （0，25/n ）

10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.01

下，（ ）

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A. 必接受0H

B. 可能接受，也可能拒绝0H

C. 必拒绝0H

D. 不接受，也不拒绝0H 二、填空题（每空1.5分，共15分）

1、A, B, C 为任意三个事件，则A ，B ，C 至少有一个事件发生表示为：_________；

2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8，0.6，则密码能被破译的概率为_________；

3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx )(+∞<<-∞x ,则A ＝＿＿＿，B ＝＿＿＿＿；

4、随机变量X 的分布律为k C k X

P )3

1

()(==，k =1,2,3, 则C=_______;

5、设X ～b （n,p ）。若EX=4，DX=2.4，则n=_________，p= _________。

6、X 为连续型随机变量，

1 ， 0

f （x ）= ，则P(X ≤1) = _______。 0 ， 其他

7、在总体均值的所有线性无偏估计中，_______是总体均值的无偏估计量。 8、当原假设H0为假而接受H0时，假设检验所犯的错误称为_______。

三、判断题（只判断对错，无须改错。正确的划√，错误的划×，每题1分，共5分） 1、如果事件A 、B 互不相容，那么A 、B 必相互独立。（）

2、随机变量的取值个数为无限个，则该随机变量的类型即为连续型。

3、记)(x Φ为标准正态分布的分布函数，则

)(1)(x x Φ-=-Φ。（） 4、对区间估计)(θθθ<

-1，α-1是估计的置信度。（）

5、对任一假设检验，犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率之 和和为1。（ ） 四、计算题（共60分）

1、（10分）对某校学生进行调查得知，该校学生参加英语四级辅导班后能通过四级考试的概率为0.86，不参加辅导班能通过四级考试的概率为0.35，假设该校学生有80%学生参加四级辅导班，试问：

（1）该校任一学生能通过四级考试的概率是多少？ （5分）

（2）若该校一学生通过四级考试，则他已经参加培训班的概率是多少？（5分）

2、（10分）设随机变量X 的概率密度函数为

?

??<<=其它0A

x 02)(x x f

（1）计算A 的值。（3分） （2）计算X 的期望。（3分） （3）计算X 的方差。（4分）

3、（10分）、设总体X 服从指数分布，其有概率密度函数为：

??

?>=-其它00

x e )(x x p λλ ，其中λ为未知参数， n

X X X ,,,21 为总体的一组样本。

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系名____________班级____________姓名____________学号____________

密封线内不答题

（1）求λ的矩估计值；（5分） （2）求λ的极大似然估计值。（5分）

4、（10分）在某社区随机抽取40名男子的身高进行调查，得其平均身高为168厘米，样本标准差为8厘米，试求总体均值（该社区全体男子平均身高）μ的0.95的置信区间。（注：0211.2)40(,0227.2)

39(025.0025.0==t t ）

5、（10分）已知某炼铁厂铁水的含碳量服从正态分布N （4.55，0.1082

）。现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没发生变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55 。 (α=0.05) (注：Z 05.0=1.96)

6、（10分）下表列出了6个工业发达国家某年的失业率y 与国民经济增长率x 的数据。

国 家 国民经济增长率x （%）

失业率y （%） 美 国 日 本 法 国 西 德 意大利 英 国

3.2 5.6 3.5

4.5 4.9 1.4

5.8 2.1

6.1 3.0 3.9 5.7

（1）作散点图，能否认为y 与x 之间有线性相关关系？（2分） （2）建立y 关于x 的一元线性回归方程；（6分）

（3）若一个工业发达国家国民经济增长率为3%，求其失业率的预测值。（2分）

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试题一答案

选择题（每道题有且仅有一个正确答案，共20分，每题2分）

1、D

2、C

3、B

4、B

5、C

6、A

7、A

8、C

9、B 10、B 填空题（每空1.5分，共20分）

1、C B A ??

2、0.92

3、1/2；1/π

4、27/13

5、10 ；0.4

6、1

7、X (样本均值)

8、第二类错误(取伪错误，第Ⅱ类错误) 判断题。（只判断对错，无须改错。每题1分，共5分） 1、×2、×3、√4、√5、× 计算题（共50分）

1、解：(1)用1A 表示该学生已经参加培训，用2A 表示该学生未受到培训。

用B 表示该学生通过CET-4。 （1分） 由题设可知P （1A ）=0.8，P （2A ）=0.2. （2分） 根据全概率公式 P （B ）=

)()(2

1

i

i i

A B P A P ∑= （2分）

=0.835.02.086.0?+?

=758.0 （1分） (2)P(B A 1)=）

（）

（B P B A P 1 （2分） =

758

.086

.08.0? （1分） =0.908 （2分）

2、解：（1）由概率密度函数的正则性

1=?

+∞

∞

-x d x p ）（得： （1分）

120

=?

dx x A

，即

10

2

=A

x 得： （1分）

- 5 -

A=1 （1分） （2）根据期望的计算公式

?+∞

∞-=dx x xp EX )( （1分）

dx x x ?*=1

02

=2/3 （2分）

（3）根据方差计算公式

22)(EX EX DX -= (1分) xdx x EX 21

022*=?

=1/2 （1分） 所以 2)3/2(2/1-=DX

=1/1806.0≈ （2分） 3、解：1）EX=x d x p ?+∞

∞-）（=x x d e λλ-?1

=λ

1

， （2分） 由矩法估计知：

EX=λ

1

=x 得： （1分）

∧

λ=x

1

（2分） 2）θ的极大似然函数为：L （θ）=∏∏=-==n

i x n

n

i i i

e x p 1

1λ

λ

）（ （2分）

∑=-=n

i i x n L 1

ln ln λλ （1分）

∑=+=n

i i x n d L d 1

ln λλ （1分）

∧

λ=x

1

（1分） 4、解：设总体平均值为0227.2)39(,05.0025.0==t αμ，已知 （2分）

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μ的置信系数为0.95的置信区间是： 0227.240

81680227.240

8168?+

<

μ即为： （4分）

165.44<<μ170.56 （2分）

μ的置信系数为0.95的置信区间为[165.44, 170.56] （2分）

5、解：原假设H 0：μ=4.55 （2分） 选取 n

X U σ

55

.4__

-=

作为统计量， （2分） 根据题得到：__

X =4.484，σ=0.108 因为Z 05.0=1.96，

3

/108.055

.4484.4-=

U =-1.83>-1.96， （4分）

所以接受H 0，即认为：认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55 6解：（1）图略，由散点图可以认为y 与x 之间存在线性相关关系。(2分)

(2)设y=a+bx 计算：

433

.485.3033.1415

.10135.11__

__

===-==y x l l l yy xy xx （2分）

则得到 a=7.94 b=-0.91 （3分）

所以 x y

91.094.7?-= (1分) （3）x=3时，y=7.94-0.91*3=5.21 (2分)

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系名____________班级____________姓名____________学号____________

密封线内不答题

试题二

一、选择题（每道题有且仅有一个正确答案，共20分，每题2分） 1、已知P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A ∪B)=0.7则)(__

B A P 为（ ）

A.0.2

B. 0.3

C.0.4

D. 不能确定 2、掷二骰子，求点数之和至少为10的概率是（ ）

A ．10/12 B.3/12 C. 10/36 D.1/6

3、一地区男女人数相等，随机抽取100人，恰好有50名男性的概率是（ ）

A. 50)2

1( B. 50

50

100)2

1(C C. 100

50

100)

2

1(C D. 1/2

4、设X~N(11,6)，则其概率密度函数为（ ）

A.

()12

112

261--x e

π B.

()6

211

2

261--

x e

π

C.

()12

112

121-

-

x e

π

D.

()6

211

2

121-

-

x e

π

5、对任意二事件A 和B ，有()P A B -=【 】。

A.()()P A P B -

B. ()()()P A P B P AB +-

C. ()()()P A P B P AB -+

D. A 、B 、C 都不成立 6、 设)3,2,1(3)(=-=i i X E i ，则=++)5109(321X X X E ( )

A. 27

B. 28

C. 24

D. 0

7、设)3,2,1(3)(=-=i i X D i ，则=++)523(321X X X D ( )

A. 8

B. 5

C. 22

D. 24

8、 设相互独立的随机变量n X X X ,,,21 服从同一分布，且具有相同的数学期望及方

差:2

)(,)(σμ==k k X D X E ),,2,1(n k =，记

σ

μ

n n X

Z n

k k

n -=

∑=1

则n 较大时，Z n 近似服从（ ）分布。

A. N(u , σ2 )

B. N(0, 1)

C. x 2 (n)

D. N(1, 0)

9、设离散型随机变量X 的分布律为： X

1

2

3

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则常数C 为 （ ）。

A ． 0 B. 2/3 C. 103/300 D. 197/300 10、已知P （A ）=0.3, P(B)=0.5， P(A ∪B)=0.7,则P （A/

B ）=（ ）。

A 0.2

B 0.7

C 0.8

D 0.6 二、判断：只判断对错，无须改错（每题1分，共5分） 1、概率与频率的的概念是不同的，但是两者有联系。【 】 2、A 、B 是任意两事件，则P(A-B)=P(A)-P(B)。【 】

3、对同一未知参数估计，使用矩估计法与极大似然法估计，所得结果一定一样。【 】

4、对区间估计()

1P θθθα<<=-，α是估计的置信度。【 】 5、假设检验的基本思想是小概率事件不发生。【 】

三、填空题（每空1.5分，共15分）

1、假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，则100个人中生日在第3个季度的平均人数是__________。

2、设A 、B 、C 为随机实验的三个事件，则三个事件都发生表示为________；三个事件都不发生表示为__________；不多于两个事件发生表示为________________。

3、一只鸟儿想从房间内飞出去，房间有10扇同样大小的门，其中只有一扇是打开的。 （1）这只鸟有记忆，则它2次才飞出房间的概率为______。

（2）这只鸟很傻，一点记忆都没有，则它2次才飞出房间的概率为_____。

4、设随机变量X 服从参数为λ的普洼松分布，且P{X=1}=P{x=3}，则λ=_____。

5、已知随机变量X 服从二项分布B （n ,p ）,n=10,p=0.25,则EX=____,DX=____。

6、甲、乙二人独立破译同一密码,各自破译成功的概率分别为0.6、0.8。则该密码被破译的概率为_________。

五、计算题（每题10分，共60分）

1、据调查某地区居民的肝癌发病率为0. 004，现用甲胎蛋白法检查肝癌。若呈阳

性，表明患肝癌；若呈阴性，表明不患肝癌。由于技术和操作的不完善，是肝癌者未必呈阳性，不是患者也有可能呈阳性反应。据多次实验统计，这两种错误发生的概率分别为0.02和0.06。试问： （1）该地任一居民在医院调查，结果呈阳性的概率有多大？ （4分）

（2）该地区一居民去医院调查，结果呈阳性，求他是肝癌患者的概率有多大？（4分）

（3）上述结果表明：检查结果呈阳性者患肝癌的几率并不高，出现这种现象的主要原因是什么？ （2分）

P 1/3 C 1/100

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系名____________班级____________姓名____________学号____________

密封线内不答题

2、设连续型随机变量X 的概率密度函数为：

??

?<<=其它

1

0)(9

x cx x p

计算：（1）c 的值； （3分） （2）计算X 的期望EX ；（3分） （3）计算X 的方差。（4分）

3、设总体X 具有密度函数

?

??<<=-其它010)(1x x x θθ? ，其中θ

为未知参数， n X X X ,,,21 为总体的一组样本。

试求：1）θ的矩估计量；（5分）

2）θ的极大似然估计量。（5分）

4、调查成都信息工程学院学生的月平均消费情况：在该校随机抽查100名调查，得其月平均消费为520元，已知该校学生月平均消费的标准差为55元，试求总体均值（该校全体学生的月平均消费）u 的0.95的置信区间。（注：96.1025.0=Z ）（10分）

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5、 某厂生产乐器用一种镍合金弦线，长期以来这种弦线的测量数据表明其抗拉强度X 服从正态分布，其均值为1035.6Mpa ，今生产一种弦线，从中随机抽取10跟做实验，测得其抗拉强度为： 1030.9 1042.0 1046.0 1035.0 1056.8 1050.0 1035.3 1037.6 1046.0 1046.4

计算得到样本标准差为7.9391,请问：这批弦线的抗拉强度是否较以前有显著的变化？（取a =0.05, 2622.2)9(025.0 t ）

（10分）

6、在腐蚀刻线实验中，已知腐蚀深度y 与腐蚀时间x 有关，线收集到如下数据：

(1) 作散点图，能否认为y 与x 之间有线性相关关系？（2分） (2) 求出y 关于x 的一元线性回归方程。（6分） (3) 当腐蚀时间为150s 时，预测腐蚀深度的值。（2分）

x(s ) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(um ) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46

- 11 -

试题二答案

一、选择题（每道题有且仅有一个正确答案，共20分，每题2分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 6、B 7、C 8、B 9、D 10、A 二、判断：只判断对错，无须改错（每题1分，共5分） 1、√ 2、× 3、× 3、× 5、√

三、填空题（每空1.5分，共15分）

1、25

2、ABC ，___

_____C B A ，___

___

__

C B A ??（注：表示方法不唯一） 3、1/10，9/100 4、6 5、2.5，1.875 6、0.92 四、计算题（每题10分，共60分）

解：(1)用1A 表示该居民是肝癌患者，用2A 表示该学生不是肝癌患者。

用B 表示该居民检查结果呈阳性。 由题设可知P （1A ）=0.004，P （2A ）=0.996. （1分） 根据全概率公式 P （B ）=

)()(2

1

i

i i

A B P A P ∑= （2分）

=0.004*（1-0.02）+0.996*0.06

=0.06368 （1分） (2)P(B A 1)=）

（）

（B P B A P 1 （2分）

=

06368

.098

.0*004.0

=0.06156 （2分）

（3）主要原因是该地区居民患肝癌的概率比较低；使得肝癌患者检查结果呈阳性的数量远低于非肝癌患者检查结果呈阳性的数量。（2分）

2、解：（1）由概率密度函数的正则性

1=?

+∞

∞

-x d x p ）（得： （1分）

11

9=?dx cx ，即

110

10

10

=cx 得： （1分）

c=10 （1分） （2）根据期望的计算公式

?+∞

∞

-=dx x xp EX )( （1分）

——第12页——

dx x x ?

*=

1

910

=10/11 （2分）

（3）根据方差计算公式

22)(EX EX DX -= (1分) dx x x EX 91

22

10*=

?

=10/12 （1分） 所以 2)11/10(12/10-=DX

006887.0≈ （2分） (注：用分数表示结果也得分)

3、解：1）EX=

x d x p ?

+∞

∞

-）（=x d x

1

1

-?θθ=

1

-θθ， （2分）

由矩法估计知：

EX=

1

-θθ=x 得： （1分）

∧

θ=

2

1）（x

x - （2分） 2）θ的极大似然函数为：L （θ）=

∏∏=-==n

i i

n

n

i i

x x p 1

1

2

1

θ

θ）（ （2分）

∑=-+=n

i i x n

L 1

ln 1ln 2ln ）（θθ （1分） ∑=+

=n

i i

x

n d L d 1

ln 212ln θ

θθ （1分）

∧

θ=2

1

2

ln 4）

（∑=n i x i n （1分）

4、解：设总体平均值为.96.1,05.0025.0==Z αμ，已知 （2分） μ的置信系数为0.95的置信区间是：

96.1100

5552096.1100

55520?+

<

μ即为： （4分）

509.22<<μ530.78

- 13 -

μ的置信系数为0.95的置信区间为[509.22, 530.78] （4

分）

5、解：原假设H 0：μ=1035.6 （2分）

选取 n

S X T 6

.1035__

-=

作为统计量， （2分） 在H 0成立的条件下，T~t （n-1）， （1分） 根据样本计算得到：__

X =1042.6 因为2622.2)9(025.0=t ，

10

/9391.76.10356.1042-=

T =2.788>2.2622， （4分）

所以拒绝H 0，即认为：这批弦线的抗拉强度较以前有显著的变化 （1分）

6解：（1）图略，由散点图可以认为y 与x 之间存在线性相关关系。 (2分)

(2)设y=a+bx 计算：

45

.194

.4673.125818.39885.13104__

__

=====y x l l l yy xy xx （2分）

则得到 a=5.3444 b=0.3043 （3分） 所以 y=5.3444+0.3043x (1分) （3）x=150s 时，y=5.3444+0.3043*150=50.9894 (2分)