概率论教材习题答案
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概率论与数理统计 习题解答 高等教育出版社（沈京一主 编） 第1章
1. （1） （2） （3） （4） 其中0表示次品，1表示正品。 （5） 2.（1） (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 3 (1)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)成立，（2），（3）不成立。 4 （1） (2) (3) (4) 5. (1). 在时,取得最大值，最大值是 (2)。在时,取得最小值，最小值是, 6. 由于 7．这是超几何概率模型：后一问用对立事件 （1） , （2） 8. 这是古典概率模型问题：有放回地抽取3次，样本空间含有27个。
41. （1）从出发，化简就得到。
（2）由于 带人上式子中： .
解得： 。 11. 服从， = 12. 2， 13. ， 14. ， , ， 。 15. X p Y P
1 0.4 -1 0.3
2 0.2 0 0.4
3 0.4 1 0.3
（1） 0 （2） Z P , （3） Z P -1 0.2 0.1 0 0 0.4 1 0.1 0.1 0.1
0 0.1
1 0.2
第二章
1. 因为 所以 2. （1）
随机变量及其分布
0
1
（2）根据分布函数的性质得： 3. 这是典型的几何分布问题， 4. 这是典型的二项分布问题， 0.1272 5. B比A有效。 6. X 0 1 7. （1）0.0298:0.5665 8. 0.224598 9. 21台。 10. 由于 所以
4 0.3
9 0.4
. 16. 17. 0.9582, 18， 19. 切比雪夫不等式是：, 本题目中：, , 取 。 则： 。 20，当时， ， 则 根据对称性， 当时， ， 则 。 由于 。 则X,Y不独立。 。（奇函数积分性质） 。 则, 则，X,Y不相关。 21. ， 。 , , 22. 证明，（提示）所给条件说明关于对称。 23. 0.2， 0.32 24. EX=6
26. 由于 =， 解得 ， 。 27, . 28， （1）， （2） 29， 30. 先容易求出： ， ， 应用切比雪夫不等式。 ， 整理就得： 31，应用切比雪夫不等式。 ， 此题目中，, =. 32. 17 33. X,Y 相互独立，线性不相关。 34. X,Y非线性不相关，，X,Y 不相互独立. 35. ， ， 36. 37. （1） （2） （3） . 38， 39. 应用切比雪夫不等式： , . 40. X,Y 相互独立，。线性不相关。
15. （1） (2) (3) 16. 17. 0.000634 18.
第四章
1. , , . 2. 已好。因为： . 3. (1) , (2)
随机变量的数字特征
=。 4. 0.4751万元。 5. 1.25， 0.3125 6. 7. ， 8. ，（奇函数积分性质） 9. ，（奇函数积分性质）， 。 10.
1 2 3 4
0
0 0
0 0 0 1
3. 由于 所以 4. 由于 ， 所以 。 ， ， 所以=。 所以，X,Y相互独立。 5. 的联合分布，边缘分布如下表格： X\Y 0 1 2 0 1 2 3 5. 由于， 则， X p Y p 1 2 3 1 2 0 0 0 0 0 0 1
3
所以 ， 解得： 7. 。 所以 8. 提示：利用组合公式容易证明。 ， 这就证明了结论。 9. 由于： 得到：, 由于： 得到：, 由于： 得到：, 解得：,。 。 10. = 11. （1）由于 ， 则。 （2） ， (3) =。 12.（1）所给出的区域面积是，由于服从均匀分布， （2） 13. 根据 （1） （2） （3） （4） 14.
（2）先用全概率： 再用贝叶斯公式：。 27. 根据条件概率公式展开： , , 化简整理就得到：. 这就证明了独立性。 28. 比较，第一种方法 , 第二种方法 , 所以用第一种工艺方法得到优等品的概率比较大。 29. 30,, 31. 32,, 解得。 所以，当时，至少击中一次的概率不小于0.9. ， 解得， 所以， 当时，至少击中一次的概率不小于0.99. 33， 34，(1) (2) 35，（这是历史上著名的烟鬼问题） （1） （2） 36, 所有方法一一验证，在第一个箱子中放一个白球，其余放在另一个 箱子中。活下去的希望最大。 37.这是著名的赌博问题，详细背景参见学习指导。
= 0.0007 17. ， , , ， 。 查表得：， 则厘米。 18. 19. X 0 p 20. 由于X服从上均匀分布， ,
1
4
9
是一次函数。 则Y服从上均匀分布。 21. 22. X p 23. X p
0
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3
0
1
2
3
24. 0.9997 25. (1) (2) 26. 这是典型的几何分布： 带人，就有： 27. 28. (1) (2) (3) 29. (1) 根据分布函数的性质： 解得： (2), . (3) ,得到： 30. 31. 0.0272 32. 33. 504 34. 35. 36. 0.37 37. 38.
39. (1) (2) 40. 41. 证明：由于单调增加，因此反函数存在。
这就表明，服从上的均匀分布。 42. ， 43. 1个或者2个工人，
第三章
多维随机变量及其分布
1. 的联合分布，边缘分布如下表格： X\Y 0 1 2 1 3 0 0 0
3 0 1 4
Pi 2. 的联合分布，边缘分布如下表格： X\Y 1 2 3
随机事件与概率
9. 这是古典概率模型问题： 10. 11. ，（注意，二等分是有多少分法，这是此题的关键） 12. 这是几何概率模型问题： 13. 这是几何概率模型问题： 0.25 14. 这是几何概率模型问题：（与会面问题一样，数字变化） 0.879. 15. 能够被3整除的概论：, 能够被2整除的概论：, = 16. 0.181. 17. 总数超过一角，一分的最多3个，并且3个一分，2个2分不可以。 . 18. 这是古典概率问题： （1）=0.9020, （2） 0.9025 19. 这是全概率问题，用全概率公式： 0.973. 20. 这是古典概率问题： 0.78 21. 这是全概率问题，用全概率公式，注意，根据第一次取球情况分 类： 0.146 22. 这是全概率问题，用全概率公式: 0.375*(0.375+0.079)+0.209*(0.209+0.079)+0.337+0.079* (0.375+0.209+0.079=0.6198 23. 上涨的概率为（全概率）： 根据贝叶斯公式，相信三个人的概率分别是： ， ， 。 所以，相信三个人的比例是：。 也就是。 24. 上接第十九题，0.25。 25. 上接20题：0.214 26. （1）先用全概率： 再用贝叶斯公式：。
2
3
11. 本题目需要查阅标准正态分布表 0.5, = 0.1525：
= 0.8814; = 0.9987 12. =
=0.8172 13. 1.65 14. 方程有实数根，判别式 , 就是 ， 则方程有实数根的概率，根据均匀分布： 15. (1) =。 (2) 根据 得到： 16.
=0.9544;
1. （1） （2） （3） （4） 其中0表示次品，1表示正品。 （5） 2.（1） (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 3 (1)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)成立，（2），（3）不成立。 4 （1） (2) (3) (4) 5. (1). 在时,取得最大值，最大值是 (2)。在时,取得最小值，最小值是, 6. 由于 7．这是超几何概率模型：后一问用对立事件 （1） , （2） 8. 这是古典概率模型问题：有放回地抽取3次，样本空间含有27个。
41. （1）从出发，化简就得到。
（2）由于 带人上式子中： .
解得： 。 11. 服从， = 12. 2， 13. ， 14. ， , ， 。 15. X p Y P
1 0.4 -1 0.3
2 0.2 0 0.4
3 0.4 1 0.3
（1） 0 （2） Z P , （3） Z P -1 0.2 0.1 0 0 0.4 1 0.1 0.1 0.1
0 0.1
1 0.2
第二章
1. 因为 所以 2. （1）
随机变量及其分布
0
1
（2）根据分布函数的性质得： 3. 这是典型的几何分布问题， 4. 这是典型的二项分布问题， 0.1272 5. B比A有效。 6. X 0 1 7. （1）0.0298:0.5665 8. 0.224598 9. 21台。 10. 由于 所以
4 0.3
9 0.4
. 16. 17. 0.9582, 18， 19. 切比雪夫不等式是：, 本题目中：, , 取 。 则： 。 20，当时， ， 则 根据对称性， 当时， ， 则 。 由于 。 则X,Y不独立。 。（奇函数积分性质） 。 则, 则，X,Y不相关。 21. ， 。 , , 22. 证明，（提示）所给条件说明关于对称。 23. 0.2， 0.32 24. EX=6
26. 由于 =， 解得 ， 。 27, . 28， （1）， （2） 29， 30. 先容易求出： ， ， 应用切比雪夫不等式。 ， 整理就得： 31，应用切比雪夫不等式。 ， 此题目中，, =. 32. 17 33. X,Y 相互独立，线性不相关。 34. X,Y非线性不相关，，X,Y 不相互独立. 35. ， ， 36. 37. （1） （2） （3） . 38， 39. 应用切比雪夫不等式： , . 40. X,Y 相互独立，。线性不相关。
15. （1） (2) (3) 16. 17. 0.000634 18.
第四章
1. , , . 2. 已好。因为： . 3. (1) , (2)
随机变量的数字特征
=。 4. 0.4751万元。 5. 1.25， 0.3125 6. 7. ， 8. ，（奇函数积分性质） 9. ，（奇函数积分性质）， 。 10.
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0 0
0 0 0 1
3. 由于 所以 4. 由于 ， 所以 。 ， ， 所以=。 所以，X,Y相互独立。 5. 的联合分布，边缘分布如下表格： X\Y 0 1 2 0 1 2 3 5. 由于， 则， X p Y p 1 2 3 1 2 0 0 0 0 0 0 1
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所以 ， 解得： 7. 。 所以 8. 提示：利用组合公式容易证明。 ， 这就证明了结论。 9. 由于： 得到：, 由于： 得到：, 由于： 得到：, 解得：,。 。 10. = 11. （1）由于 ， 则。 （2） ， (3) =。 12.（1）所给出的区域面积是，由于服从均匀分布， （2） 13. 根据 （1） （2） （3） （4） 14.
（2）先用全概率： 再用贝叶斯公式：。 27. 根据条件概率公式展开： , , 化简整理就得到：. 这就证明了独立性。 28. 比较，第一种方法 , 第二种方法 , 所以用第一种工艺方法得到优等品的概率比较大。 29. 30,, 31. 32,, 解得。 所以，当时，至少击中一次的概率不小于0.9. ， 解得， 所以， 当时，至少击中一次的概率不小于0.99. 33， 34，(1) (2) 35，（这是历史上著名的烟鬼问题） （1） （2） 36, 所有方法一一验证，在第一个箱子中放一个白球，其余放在另一个 箱子中。活下去的希望最大。 37.这是著名的赌博问题，详细背景参见学习指导。
= 0.0007 17. ， , , ， 。 查表得：， 则厘米。 18. 19. X 0 p 20. 由于X服从上均匀分布， ,
1
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是一次函数。 则Y服从上均匀分布。 21. 22. X p 23. X p
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ห้องสมุดไป่ตู้
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0
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24. 0.9997 25. (1) (2) 26. 这是典型的几何分布： 带人，就有： 27. 28. (1) (2) (3) 29. (1) 根据分布函数的性质： 解得： (2), . (3) ,得到： 30. 31. 0.0272 32. 33. 504 34. 35. 36. 0.37 37. 38.
39. (1) (2) 40. 41. 证明：由于单调增加，因此反函数存在。
这就表明，服从上的均匀分布。 42. ， 43. 1个或者2个工人，
第三章
多维随机变量及其分布
1. 的联合分布，边缘分布如下表格： X\Y 0 1 2 1 3 0 0 0
3 0 1 4
Pi 2. 的联合分布，边缘分布如下表格： X\Y 1 2 3
随机事件与概率
9. 这是古典概率模型问题： 10. 11. ，（注意，二等分是有多少分法，这是此题的关键） 12. 这是几何概率模型问题： 13. 这是几何概率模型问题： 0.25 14. 这是几何概率模型问题：（与会面问题一样，数字变化） 0.879. 15. 能够被3整除的概论：, 能够被2整除的概论：, = 16. 0.181. 17. 总数超过一角，一分的最多3个，并且3个一分，2个2分不可以。 . 18. 这是古典概率问题： （1）=0.9020, （2） 0.9025 19. 这是全概率问题，用全概率公式： 0.973. 20. 这是古典概率问题： 0.78 21. 这是全概率问题，用全概率公式，注意，根据第一次取球情况分 类： 0.146 22. 这是全概率问题，用全概率公式: 0.375*(0.375+0.079)+0.209*(0.209+0.079)+0.337+0.079* (0.375+0.209+0.079=0.6198 23. 上涨的概率为（全概率）： 根据贝叶斯公式，相信三个人的概率分别是： ， ， 。 所以，相信三个人的比例是：。 也就是。 24. 上接第十九题，0.25。 25. 上接20题：0.214 26. （1）先用全概率： 再用贝叶斯公式：。
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11. 本题目需要查阅标准正态分布表 0.5, = 0.1525：
= 0.8814; = 0.9987 12. =
=0.8172 13. 1.65 14. 方程有实数根，判别式 , 就是 ， 则方程有实数根的概率，根据均匀分布： 15. (1) =。 (2) 根据 得到： 16.
=0.9544;