概率论与数理统计教材
概率论与数理统计目录
概率论与数理统计目录一、随机事件及其概率1.1 随机事件的基本概念定义与分类事件的运算1.2 概率的定义与性质概率的公理化定义概率的基本性质1.3 古典概型与几何概型古典概型的计算几何概型的计算1.4 条件概率与独立性条件概率事件的独立性1.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式贝叶斯公式及其应用二、随机变量及其分布2.1 随机变量的概念随机变量的定义随机变量的分类2.2 离散型随机变量及其分布常见的离散型分布分布律与分布函数2.3 连续型随机变量及其分布常见的连续型分布概率密度函数与分布函数2.4 随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量的概念联合分布函数边缘分布3.2 多维离散型随机变量联合分布律边缘分布律3.3 多维连续型随机变量联合概率密度函数边缘概率密度函数3.4 条件分布离散型条件分布连续型条件分布3.5 随机变量的独立性独立性的定义独立性的判定与性质四、数字特征4.1 数学期望数学期望的定义与性质数学期望的计算4.2 方差方差的定义与性质方差的计算4.3 协方差与相关系数协方差的定义与性质相关系数的定义与性质4.4 矩与协矩阵矩的定义与计算协矩阵的定义与计算五、大数定律与中心极限定理5.1 大数定律切比雪夫大数定律伯努利大数定律5.2 中心极限定理林德贝格-莱维中心极限定理德莫佛尔-拉普拉斯中心极限定理六、数理统计的基本概念6.1 总体与样本总体的定义与性质样本的定义与性质6.2 统计量与抽样分布统计量的定义与性质常见的抽样分布七、参数估计与假设检验7.1 参数估计点估计区间估计7.2 假设检验假设检验的基本概念单侧检验与双侧检验正态总体的假设检验八、回归分析与方差分析8.1 回归分析一元线性回归多元线性回归回归模型的检验与预测8.2 方差分析单因素方差分析双因素方差分析方差分析的应用。
概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
考研概率论数理统计教材
随着我国高等教育的普及，考研人数逐年增加，竞争日益激烈。
概率论与数理统计作为考研数学的重要科目之一，其教材的选择对考生备考起着至关重要的作用。
本文将针对考研概率论与数理统计教材进行推荐与解析，帮助考生更好地备战考研。
一、教材推荐1. 《概率论与数理统计教程》（第三版）——茆诗松、周纪芗本书为普通高等教育“十二五”规划教材，是考研概率论与数理统计的推荐教材之一。
全书共八章，前四章为概率论部分，后四章为数理统计部分。
本书从实例出发，图文并茂，通俗易懂，注重基本概念与统计思想的讲解，强调各种方法的应用。
本书适合初次接触概率统计的读者阅读，同时也可供其他专业类似课程参考。
2. 《概率论与数理统计》（高等教育出版社）——程依明、濮晓龙本书为高等教育出版社出版的考研数学教材，是考研概率论与数理统计的另一推荐教材。
全书共八章，内容涵盖了概率论与数理统计的基本概念、性质、方法及应用。
本书注重基础知识的讲解，强调理论联系实际，适合考生在备考过程中系统地学习。
3. 《新核心理工基础教材：概率论与数理统计学习指导与习题精解》本书紧扣教材，共分10章，包括概率论与数理统计的基本概念、性质、方法及应用。
每一章由精选习题、习题精解、阅读与提高三部分组成，将一些新的研究成果融入其中。
本书适合理工科、经管类等专业考生阅读，也可作为考研参考用书。
二、教材解析1. 《概率论与数理统计教程》（第三版）（1）优点：本书结构清晰，内容全面，注重基本概念的讲解，强调各种方法的应用。
插图、例题、习题丰富，有助于考生理解和掌握知识点。
（2）缺点：部分章节内容较为深入，对初学者可能存在一定难度。
2. 《概率论与数理统计》（高等教育出版社）（1）优点：本书内容系统，注重基础知识，强调理论联系实际。
例题、习题丰富，有助于考生提高解题能力。
（2）缺点：部分章节内容较为基础，对有一定基础的考生可能存在重复。
3. 《新核心理工基础教材：概率论与数理统计学习指导与习题精解》（1）优点：本书紧扣教材，习题精选，解析详细，有助于考生巩固知识点。
概率论与数理统计 (1)
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
若事件A1, A2 ,..., An满足 : (1) A1 A2 ... An (2) Ai Aj (i j) 则称A1, A2 ,..., An为完备事件组.
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
事件的运算法则
1.交换律
AB B A ; AB B A
概率论与数理统计
§1.2 概率的直观定义
A={某指定的n个房间中各有一个人住}
P( A)
n! Nn
B={恰好有n个房间，其中各住一人}
P(B)
C
n N
N
n!
n
N! N n ( N n)!
C={某指定的一间房中恰好有m (m<n)人}
P(C )
Cnm ( N 1)nm Nn
Cnm
1 N
m
1
1 N
2.结合律
A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C
3.分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4.对偶原则 A B A B ; A B A B
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
者 实验者实验者 掷币 实次 验数 者掷币 n 次掷数币n次出 数现掷n正币面次 出次数 现数正n出m面现次正数面m次出数现频正 m率面fn次(频 A数)率mfn频(A率) fn(A)频 弗 隶莫弗隶莫弗 隶20莫48弗 2048 2048 12006418 1061 1061 0.15016811 0.51810.5181 0
则称P(A)为事件A的概率。
概率论与数理统计
§1.3 概率的公理化定义
概率论与数理统计教材推荐
概率论与数理统计教材推荐
概率论和数理统计是数学的两个重要分支，其教材也是广大数学爱好者研究的重点。
下面，我们就概率论和数理统计的教材，给大家介绍几本比较好的教材。
首先，概率论的教材有《概率论与数理统计》，这是一本由著名数学家李嘉图所著，全面系统地介绍概率论的教材，从概率论的基本概念到概率论的本质，都有详细的阐述。
其次是《概率论》，这本书由专家们编写，介绍了概率论的各个方面，包括概率空间、随机变量、概率分布、随机过程等等，可以帮助读者更好地理解概率论的基本概念。
此外，数理统计的教材也有很多种。
《数理统计》是一本由著名数学家李嘉图编写的教材，介绍了数理统计的基本概念，包括抽样调查、统计推断、贝叶斯推断、统计图形绘制等等，可以帮助读者更好地理解数理统计的基本概念。
另外，还有《数理统计分析》，这本教材由著名统计学家许达政编写，介绍了数理统计分析的基本概念，包括数理统计的概念、数据描述、抽样及抽样分析、概率论、假设检验等等，可以帮助读者更好地理解数理统计分析的基本概念。
以上，就是我们介绍的关于概率论和数理统计教材的几本比较好的教材，希望可以帮助大家更好地理解概率论和数理统计的基本概念。
概率论与数理统计课件(最新完整版)
“骰子出现2点”
图示 A与B互斥
A B
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形式 A+B. 任意事件A与不可能事件为互斥.
5. 事件的差 事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B(或 AB
)
实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合格”
与“直径合格”的差.
实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
取一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B. 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B. 2. 事件的和(并) “ 二 事 件A, B至 少 发 生 一 个 ” 也 是 个 一事件 , 称 为 事 件A 与 事 件 B的和事件.记 作A B， 显 然 A B {e | e A或e B}. 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
(2) ABC or AB C;
( 3) ABC ;
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第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数一、随机变量随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。
要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。
很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。
例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。
这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。
为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。
比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。
这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。
建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。
如果与样本空间{}{H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。
因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是1,当HX X()0,当T由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称X()X(ω)为随机变量。
例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。
这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。
我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间{t|t0}上的函数X X(t)t,t因此X也是一个随机变量。
一般地有定义2-1 设为一个随机试验的样本空间，如果对于中的每一个元素，都有一个实数X()与之相对应，则称X为随机变量。
一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。
通常，对于任意实数集合L,X在L上的取值，记为{X L}，它表示事件{|X()L}，即{X L}{|X()L}。
例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。
设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。
显然，X的取值为0，1，2，3。
X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。
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在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
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A1 =“抽到一个次品”
(a1 , b1 ),(a1 , b2 ),(a1 , b3 ), (a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a2 , b3 )
A2 =“抽到两个次品”
{(a1 , a2 )}
注意：它们都是样本空间 的子集。
样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 常用
大量性随机现象：可以在完全相同 的条件下重复出现。例如抛硬币。
概率论只研究大量性随机现象在完全 相同的条件下重复出现时所问题：随机现象难道还有规律性吗？ 例如，抛一枚硬币。
随机现象所表现出来的规律性称为统 计规律性。
概率论和数理统计的研究对象：
A, B, C, Ai , B j 表示随机事件。
这个定义要注意的是样本空间确定后， 随机事件所包含的样本点只能在这个 样本空间中找。 规定：随机事件A发生当且仅当随机事件A 中有某一个样本点出现 。 记作
A发生 A
这样集合论就和概率论联系起来了。
C 10
2 5
(a1 , a2 ), (a2 , a1 ), (a1 , b1 ), (b1 , a1 ), (a1 , b2 ), (b , a ), (a , b ), (b , a ), (a , b ), (b , a ), 2 1 1 3 3 1 2 1 1 2 (a2 , b2 ), (b2 , a2 ), (a2 , b3 ), (b3 , a2 ), (b1 , b2 ), ( b , b ), ( b , b ), ( b , b ), ( b , b ), ( b , b ) 2 3 3 2 1 3 3 1 2 1
例3 从一工厂的某种产品中抽出n件产 品，观察次品个数。
0,1,
, n
例4 从包含两件次品（记作 a1 , a2）和三 件正品（记作 b1 , b2 , b3 ）的五件产品 中，任取两件产品。
(a1 , a2 ), (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ), (b1 , b2 ), (b2 , b3 ), (b1 , b3 )
在一定条件下，可能出现这个结果， 也可能出现那样结果，而且不能事先确定 出现哪一个结果的现象，称为随机现象。 例1 抛一枚硬币。 例2 从一工厂的某种产品中抽出n件产品， 观察次品个数。 随机现象又分为个别随机现象和 大量性随机现象。 个别随机现象：原则上不能在不变 的条件下重复出现。例如历史事件。
概率论和数理统计是研究（大量性） 随机现象统计规律性的数学学科。
概率论和数理统计的研究方法： 概率论研究方法是提出数学模型，然 后研究它们的性质，特点和规律性。
数理统计是以概率论的理论为基 础，利用对随机现象的观察所取得的 数据资料来提出数学模型，并加以应 用。例如控制和预测等。
二．随机试验 观察一定条件下发生的随机现象称为 随机试验，还必须满足下述条件： 1.试验可以在相同的条件下重复进行； 2.试验之前能确定所有可能发生的结果，并 且规定每次试验有且仅有一个结果出现； 3.试验之前不能确定将会出现哪一个结果。 例1 抛一枚硬币。 例2 从一工厂的某种产品中抽出n件产品。
条件实现一次就是一次试验 。
第二节 样本空间和随机事件
一．样本空间 随机试验的所有可能的结果放在一起 组成的集合称为样本空间。 记为 样本空间的每一个元素称为样本点。 记为 在概率论中讨论一个随机试验时， 首先要求明确它的样本空间。 样本空间可以根据随机试验的内容来 决定。 但写法不一定惟一。
P 20
2 5
例5 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 与目标的距离。
d d 0 [0, )
例6 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 的分布情况。
( x, y ) x , y R
2
二．随机事件 例4 从包含两件次品（记作 a1 , a2）和三 件正品（记作 b1 , b2 , b3 ）的五件产品 中，任取两件产品。 中，任取两件产品，观察次品个数。
(a1 , a2 ), (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ), (b1 , b2 ), (b2 , b3 ), (b1 , b3 )
A0 =“没有抽到次品”
{(b1, b2 ),(b2 , b3 ),(b1, b3 )}
第一章 事件与概率
第一节 随机现象与随机试验 一．随机现象 在一定条件下，必然发生或必然不发 生的现象，称为确定性现象。 例1 在平面上给一个三角形，则三个内 角之和为180度。
例2 在一个大气压下，没有加热到100度 不会沸腾。 高等数学是研究确定性现象，主要 研究函数
y f ( x)
注：本课程主要工具是微积分，如极限， 连续，导数，偏导数，级数，定积 分，二重积分等
鉴于写出样本空间的重要性，举一些例子。
例1 抛一枚硬币观察正反面出现的情况。
正面
正面，反面
Heads 反面
H , T
Tails
例2 抛二枚硬币观察它们正反面出现的况。
(二个H ),(一个H , 一个T ),(二个T )
(H , H ),(H , T ),(T , H ),(T , T )
参考书
作者: （美）SHELDON
ROSS
2003-5-1 ￥58.00
中国统计出版社
概率论基础教程（原书第6 版） A First Course in Probability (6th Edition) 作者: （美）SHELDON ROSS 译者：赵选民 等 市场价: ￥42.00 出版社: 机械工业出版社 出版日期:2006-4-1 丛书: 华章数学译丛