数学分析中一道计算题
浅谈数学分析中的一道计算题
（责 编 高伟 ）
２２
ｒ ２
，
＝ ｏ ｄＯ Ｊ。 （ｓｉｎ ｓｉｎｚＯ＋ｃｏｓ ）ｓｉｎ￣ｏ＆ｐ
＝ｚ 丝 ｄ 号仃
解法三： 因为球面｜ｓ关于分别平面 ＿ｙ，平面 ，平 面 对称 ．
所以，Ｊ 灿＝ｆ ｚ 。
进一步．有
ｆ 旧 如 ：
０ ｊ （ ＋三。） ＝鲁 ｊ ｚ ） ： ３ ｎ２ ｄｓ
２００３．
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ｆ２】吴 良森 ，毛 羽辉，韩士安 ，吴畏 ．数学分
其 中 ，Ｅ＝ｘ２ｕ＋ ＋Ｚ２￣ｔ，Ｇ ＋ ，Ｆ ＋
Ｇ ＋ｙ２０＋Ｚ２０＝ ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ｃ０ｓ ＋
析 学习指导书［Ｍ】．高等教育出版社，（ｕ， ）
解法二：设ｓ的参数方程为｛ｙ＝ａｓｉｎ ｓ１ ｎ０，
【 ＝∞ｏｓ∞
则Ｄ：Ｏ≤ ≤Ｊ７『，０≤ ≤２仃且
参 考 文 献 ： 【Ｉ】陈传璋 ，金福 临 ，朱 学炎，欧阳光 中．复
ｅＤ，￣ＩＪ ｆ ，ｙ， ） ＝ｆ （ ） ） ｕ， Ｅ＝ｘ２￣＋ ＝ｎｚｃｏｓ ｃｏｓ ＋ ｃ０ｓ ｓｉｎ ＋ 旦 大学数学 系．数学分析ｆＭ１．高＠ｅｔ－￣出版社 ，
学羁 ２鲎０１３盎年塑第４窒期
嗲 高校论坛
浅谈数学分析 中的一道 计算题
吴 春 （重 庆师 范 大学数 学学 院分析 与 函数 教研 室 ４０１３３１）
摘要 ：本 文笔者针 对数 学分析学 习指导书 的一道 习题 ，给 出了不 同的解法．并 以此说 明 做 习题过程 中体 会总结并与 所学知识和 已有 的 结论 联 系尤 为重要 ，、
关键词 ：数 学分析 第一类曲面积分
二 、主要内容 数学分析学习指导书中有这样一道题
数学分析(1)期末试题集(计算题部分)
2.设 求 的极值.
解:当 时, .令 ,得稳定点 .
当 时, ;当 时, ,故 为极小值点,极小值为 ;
当 时, ,所以 在 内严格单调增,无极值.
而在 的邻域内,左边函数单调增,右边函数单调减,故 为极大值点,函数的极大值为 .
3.设函数 满足 .讨论 是否为 的极值点.
解若 ,由极值的必要条件知, 不是 的极值点.
当 时, , 单调减少.当 时, , 单调增加.于是 为 在 内唯一的极小值,也为最小值.因此函数 的零点个数与 的符号有关.
当 ,即 时, 在 恒为正值函数,无零点;
当 ,即 时, 在 内只有一个零点,即 ;
当当 ,即 时,因为 ,由连续函数的零点定理知, 和 ,使得 ,且由函数的单调性知, 在 和 内最多各有一个零点,所以当 时, 在 有且只有两个零点.
(4)因为
所以 是偶函数.
(5) .所以 是奇函数.
7.求函数 的值域.
解因为反函数 的定义域为 ,所以函数 的值域为 .
8.设有方程 其中 .求解 与 .
解由方程组得 ,代入 ,所以 .
9.若函数 的图形有对称中心 及 ,试证 为周期函数,并求出周期 .
解由于 的图形有对称中心 及 ,于是有
.
进而有 且 ,令 ,由上式便得到 .由周期函数的定义,注意到 ,因此 是以 为周期的周期函数.
10、设函数 在 内有定义,且对任意的实数 ,有 ,求 .
解由于 ,且 .
11、若函数 对其定义域内的一切 ,恒有 ,则称函数 对称于 .证明:如果函数 对称于 及 ,则 必定是周期函数.
证若 及
所以 是以 为最小周期的周期函数.
12.若 的图形有对称轴 和对称中心 ,求证 为周期函数.
关于数学分析的计算题I（积分）
关于数学分析的计算题I（积分）不定积分与定积分计算：∫1sin4x+cos4x dx计算：∫1+sin x1−cos x e−x dx计算：I(m,n)=∫10x m(ln x)n dx计算：∫2π0x sin x1+cos2x dx1计算：∫10ln(1+x)1+x2dx计算：反常积分与含参积分计算：I=∫+∞0e−pxsin bx−sin axx dx(p>0,b>a)计算：∫+∞11+x21+xαdx1计算：∫+∞01−e−tt sin tdt1计算：重积分计算：设D={(x,y)|−1≤x≤1,0≤y≤1}，计算∬\bf计算：设D由y = x,y = 0,x = \frac{\pi }{2}围成，计算\iint\limits_D {\left| {\cos \left( {x + y} \right)} \right|dxdy}\bf计算：设\Omega 由锥⾯{x^2} + {y^2} = {z^2}和z=2所围成，计算\iiint\limits_\Omega {\sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdydz}\bf计算：设V为单位球{x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 1，a,b,c为不全为零的常数，计算I = \iiint\limits_V {\cos \left( {ax + by + cz} \right)dxdydz} \bf计算：曲线积分\bf计算：设c为{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9与x + y + z = 0的交线，计算\int_c {xyds}\bf计算：设L为{x^2} + {y^2} = 1，取逆时针⽅向，计算\oint_L {\frac{{ - ydx + xdy}}{{4{x^2} + {y^2}}}}\bf计算：曲⾯积分\bf计算：设锥⾯S为{x^2} + {y^2} = {\left( {1 - z} \right)^2},0 \leqslant z \leqslant 1，计算\iint\limits_S {\frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{1 - z}}dS} \bf计算：设S为柱⾯{x^2} + {z^2} = 2az\left( {a > 0} \right)被锥⾯z = \sqrt {{x^2} + {y^2}} 所截取的有限部分，计算\iint\limits_S {\left( {x + z}\right)dS}()()\bf计算：设S为球⾯{x^2} + {y^2} + {\left( {z - a} \right)^2} = {a^2}中满⾜{x^2} + {y^2} \leqslant ay与z \leqslant a那部分的下侧(a>0)，计算\iint\limits_S {{x^2}dydz + zdxdy}\bf计算：设S为抛物⾯{x^2} + {y^2} = z位于z=0,z=1之间的部分，取外侧，计算\iint\limits_S {2xydydz - {y^2}dzdx - {x^2}dxdy}\bf计算：设f(x,y,z)表⽰从原点到椭球⾯\Sigma :\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1上p(x,y,z)处的切平⾯的距离，计算\iint\limits_\Sigma {\frac{{dS}}{{f\left( {x,y,z} \right)}}}\bf计算：设f\left( {x,y,z} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - {x^2} - {y^2} - {z^2},{x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 1} \\ {0{\text{ ,}}{x^2} + {y^2} + {z^2} > 1} \end{array}} \right.，计算F\left( t \right) = \iint\limits_{x + y + z = t} {f\left( {x,y,z} \right)dS}1\bf计算：附录\bf命题：设P(x,y),Q(x,y)在R^2上有连续的偏导数，且对任何⼀个圆周C，有\int_C {P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy = 0} ，证明：\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial P}}{{\partial y}}1\bf命题：是S为球⾯{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1,f为连续函数，a,b,c为常数，证明\bf{Poisson}公式：\iint\limits_S {f\left( {ax + by + cz} \right)dS} = 2\pi \int_{ - 1}^1 {f\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} u} \right)du}1\bf命题：Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
华东师范大学数学分析试题
华东师范大学2019数学分析一、（30分）计算题。
1、求2120)2(cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y .3、求⎰--dx x xe x2)1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx的和函数)(x f .5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L dy y dx y x .)2()(3 6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧.二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续.3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a收敛，则∑∞=12n n a 收敛.5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微.6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若⎰⎰=>∀∀rD dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。
大学数学分析题题库
大学数学分析题题库题目一：极限与连续性1. 计算下列极限：(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$(c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$2. 判断函数在给定点或区间内的连续性：(a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？(b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？(c) 函数$h(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2, & x \geq 1 \end{cases}$在$x=1$处是否连续？题目二：微分学基础1. 计算下列函数的导数：(a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$(b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$(c) $h(x) = e^x \cdot \ln(x)$2. 判断函数在给定点处的可导性：(a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？题目三：积分与面积1. 计算下列定积分：(a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$(b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$(c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$2. 计算两个曲线之间的面积：(a) 曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的面积；(b) 曲线$y = \sin(x)$与$y = \cos(x)$在区间$[0, \pi/2]$内所围成的面积。
题目四：级数与收敛性1. 判断下列级数的敛散性：(a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$(b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$(c) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$2. 判断函数项级数的一致收敛性：(a) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$在区间$[0,\pi]$上是否一致收敛？(b) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n}$在区间$(-\infty, \infty)$上是否一致收敛？总结：数学分析题库涵盖了极限与连续性、微分学、积分与面积以及级数与收敛性等重要概念和技巧。
数学分析1考试题及答案
数学分析1考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是________。
答案：3x^2 - 32. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分是________。
答案：8/34. 函数f(x) = sin(x)的原函数是________。
答案：-cos(x) + C5. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。
答案：(0, +∞)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2x)。
答案：02. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[1, 3]上的定积分。
答案：-43. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点。
答案：x = 3/4四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的。
答案：略2. 证明函数f(x) = x^3在x=0处连续。
数学分析期末复习题
数学分析(三)复习题一、计算题1．求二重极限yx x ay x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim ；2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。
4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。
5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。
6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。
7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。
8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。
9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求=t dtdu 。
10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。
11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C=(2,-2,1)的方向导数。
12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。
13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。
14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。
15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2zy，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。
16． 求函数z=arctg xy在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α的范围为：0≤α<π）。
17. 设数量场u=222zy x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1<z<2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。
微积分(数学分析)练习题及答案doc
微积分(数学分析)练习题及答案doc统计专业和数学专业数学分练习题计算题1.试求极限2.试求极限3.试求极限4.试讨论5.试求极限lim2？xy？4xy222。
22(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)lim1?cos(x?y)(x?y)e(x?y)sinxy224xy2..（x，y）？（0,0）lim1xsinylim（x，y）？（0,0）x？Y22(x,y)?(0,0)limx?y2.21? 十、Y16.你呢？F（x？Y，XY），F有连续的偏导数，求7z？arctanxy，y？前男友，求你了dzdx.UU十、y8。
找到抛物面Z？2x2？点m（1,1,3）处Y2的切平面方程和法向方程。
9找到f（x，y）？2x2？xy？y2？6x？3岁？5泰勒公式（1，±2）。
10找到函数f（x，y）了吗？E2x（x？Y2？2Y）的极值。
11.描述隐函数的定义12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.13.叙述隐函数可微性定理的内容.14.用隐函数解释反函数的存在性和导数。
15讨论笛卡尔叶线x?y?3axy?033确定的隐函数y？F（x）的一阶和二阶导数。
16讨论等式f(x,y,z)?xyz3?x?y?z?023在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数。
17设函数f（x，y，z）？XYZ，方程x?y?z?3xyz.22223（1）验证了可微隐函数y可以由上述方程在点P0（1,1,1）附近确定吗？Y（Z，x）和Z？z（x，y）；（2）找到FX（x，y（x，z），z）和FX（x，y，z（x，y）），以及它们在点y的位置？f（x）处的值。
18.讨论方程式1f（x，y，u，v）？u2乐队？v2？x2？Y0克（x，y，u，v）？？U五、xy？1.0在点P0（2,1,1,2）附近，我们可以确定什么样的隐函数数组并求其偏导数。
19.设定方程式u2v2x2y21,uvxy0.问在什么条件下,（1）从方程组可以唯一地确定u和V是X和y的可微函数？（2）从方程组可以唯一地确定u，X是V，y的可微函数？20.求球面x2?y2?z2?50与锥面x2?y2?z2所截出的曲线的点(3,4,5)处的切线与法平面方程。
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浅谈数学分析中的一道计算题
摘要：本文笔者针对数学分析学习指导书的一道习题，给出了不同的解法，并以此说明做习题过程中体会总结并与所学知识和已有的结论联系尤为重要。
关键词：数学分析第一类曲面积分
数学分析是大学数学专业的一门重要基础课程，其特点是抽象严谨，解题方法又灵活多变。
因此，教师如何在教学中引导学生在做题的过程中运用本课中常用的方法，并联系所学知识，自觉地体会总结，就显得尤为重要。
一、预备知识
1. 定义：设s是空间可求面积的曲面，函数f（x，y，z）定义在s上。
给s任一分法t，将其分成n 份，记小曲面的面积分别为：△s1，△s2，…，△si，…，△sn，任取一点（？孜i，？浊i，？灼i）∈si，作和式■f（？孜i，？浊i，？灼i）△si。
记||t||=■{di}（di为si的直径），若极限■■f（？孜i，？浊i，？灼i）△si存在且与分法t 和取法（？孜i，？浊i，？灼i）均无关，则称此极限为f（x，y，z）在曲线s上的第一类曲面积分，记作：
■f（x，y，z）ds=■■f（？孜i，？浊i，？灼i）△si。
2. 引理1：若曲面s可用函数z=z（x，y）表示，且具有连续偏导数，f（x，y，z）在s连续，dxy为s在xoy面上的投影区域，则：
■f（x，y，z）ds=■f（x，y，z（x，y））■dxdy
3. 引理2：若光滑曲面s：x=x（u，v）y=y（u，v）z=z（u，v），（u，v）∈d，则■f（x，y，z）ds=■f（x（u，v），y（u，v），z （u，v））■dudv，
其中，e=x2u+y2u+z2u，g=x2v+y2v+z2v，f=xuxv+yuyv+zuzv
二、主要内容
数学分析学习指导书中有这样一道题：
计算曲面积分■（x2，y2）ds，其中s是球面x2+y2+z2=a2。
解法一：设s1：z=■，x2+y2≤a2；
s2：z=-■，x2+y2≤a2。
由第一类曲面积分公式有
■（y2+z2）ds=■（y2+z2）ds+■（y2+z2）ds
≤2■■dxdy
令x=rcos？兹y=rsin？兹则0≤r≤a0≤？兹≤2？仔，因此，■■dxdy=■rdr■■d？兹=■rdr■■d？兹
=■■（■+■）dr2=■[-■（a2-r2）■-2a2（a2-r2）■]■■=■·■a3=■？仔a4
所以，■（y2+z2）ds=■？仔a4
解法二：设s的参数方程为x=asin？渍cos？兹y=asin？渍sin？兹x=acos？渍，则d：0≤？渍≤？仔，0≤？兹≤2？仔且e=x2？渍+y2？渍+z2？渍=a2cos2？渍cos2？兹+a2cos2？渍
sin2？兹+a2sin2？渍=a2，
g=x2？兹+y2？兹+z2？兹=a2sin2？渍sin2？兹+a2sin2？渍cos2？兹+a2sin2？渍，
f=x？渍x？兹+y？渍y？兹+z？渍z？兹=-a2sin？渍cos？渍sin？兹cos？兹+a2sin？渍cos？渍sin？兹cos？兹=0 所以，
■（y2+z2）ds=■（a2sin2？渍sin2？兹+a2cos2？渍）■d？渍d？兹
=■d？兹■a4（sin2？渍sin2？兹+cos2？渍）sin？渍d？渍=2a4■■d？兹=■？仔a4.
解法三：
因为球面s关于分别平面x=y，平面x=z，平面y=z对称，
所以，■x2ds=■y2ds=■z2ds。
进一步，有
■（y2+z2）ds=■■（x2+y2+z2）ds=■a2■ds
=■a2·4？仔a2=■？仔a4
做完题目后，学生可能会觉得第一、二种解法没有第三种方法简单。
但是，我们利用第一、二种解法的主要目的是让学生熟悉公式，了解到常规方法的重要性，第三种方法是在掌握第一、二种方法的基础上，让学生学会观察、分析，根据所给问题的特征解决问题。
总之，数学分析由于抽象，因此需要学生多做练习，并且要考虑它的不同解法，由此对所学内容加深理解。
在教学实践中，教师可以帮助学生前后联系、经常总结，学生就会对这门课感兴趣，
非常愿意去学习并能学好它。
参考文献：
[1] 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中.复旦大学数学系. 数学分析[m].高等教育出版社， 2003.
[2] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析学习指导书[m]. 高等教育出版社，2004.
（责编高伟）。