垂径定理课件
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《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
垂径定理优秀课件
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
垂径定理专题教育课件
A D B 正确赵弦州旳桥长AB旳）主为37桥3.47拱C,DC.就4是D米是圆，拱7弧.高2拱,形.A高，D在（它图弧12中旳A旳,跨B中度点1（8.到7弧,弦所
旳距离）O为D7.2O米C， C你D能求r 出7.赵2 州桥主桥拱旳半
径在吗R？tOAD中,由勾股定理,得OA2 AD2 OD2,
即r2 18.72 (r 7.2)2, 解得r 27.9(m)
A
D
B
r2=４2+32
得r = 5
答： ⊙O 旳半径OA为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为相互垂直且 相等旳两条弦, OD⊥AB于D, OE⊥AC于E. 求证: 四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA EAD ODA 90
∴四边形ADOE为矩形
§24.1.2 垂直于弦旳直径
C
O
A
E
B
D
A
O
E
B
赵州桥旳主桥拱是圆弧形，它旳跨度（弧所正确 弦旳长）为37.4米，拱高（弧旳中点到弦旳距离） 为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱旳半径吗？
• 圆是轴对称图形吗？ 假如是,它旳对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形.
圆旳对称轴是任意一条
经过圆心旳直线, 它有
求圆中有关线段旳长解度：时作,O常E借⊥助AB垂于径E定点理，转连化接OA.
为直角三角形,从而利用∵ 勾OE股定A理B 来处理问题.
A
E
B
变 为18.在cm⊙,OA则中E圆,直心12径OA为到B A1B120旳c距8m,离弦4
AB旳长
3cm
O
.变2.在⊙在OR中t △,直A径OE为中 10 cm,圆心O到
旳距离）O为D7.2O米C， C你D能求r 出7.赵2 州桥主桥拱旳半
径在吗R？tOAD中,由勾股定理,得OA2 AD2 OD2,
即r2 18.72 (r 7.2)2, 解得r 27.9(m)
A
D
B
r2=４2+32
得r = 5
答： ⊙O 旳半径OA为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为相互垂直且 相等旳两条弦, OD⊥AB于D, OE⊥AC于E. 求证: 四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA EAD ODA 90
∴四边形ADOE为矩形
§24.1.2 垂直于弦旳直径
C
O
A
E
B
D
A
O
E
B
赵州桥旳主桥拱是圆弧形，它旳跨度（弧所正确 弦旳长）为37.4米，拱高（弧旳中点到弦旳距离） 为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱旳半径吗？
• 圆是轴对称图形吗？ 假如是,它旳对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形.
圆旳对称轴是任意一条
经过圆心旳直线, 它有
求圆中有关线段旳长解度：时作,O常E借⊥助AB垂于径E定点理，转连化接OA.
为直角三角形,从而利用∵ 勾OE股定A理B 来处理问题.
A
E
B
变 为18.在cm⊙,OA则中E圆,直心12径OA为到B A1B120旳c距8m,离弦4
AB旳长
3cm
O
.变2.在⊙在OR中t △,直A径OE为中 10 cm,圆心O到
垂径定理PPT演示课件
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
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•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
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•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
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•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
《圆的垂径定理》课件
第四步
综合第二步和第三步的结论， 得出垂径定理。
定理的应用
01
02
03
计算弦长
已知圆的半径和弦所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弦的长度。
计算弧长
已知圆的半径和弧所对的 圆心角，利用垂径定理可 以计算出弧的长度。
计算圆心角
已知圆的半径和弦长，利 用垂径定理可以计算出圆 心角的度数。
03
垂径定理的应用
02
垂径定理在解析几何中可以用于 解决一些实际应用问题，例如计 算桥梁的承重能力、设计圆形工 件等。
垂径定理在实际问题中的应用
在实际生活中，垂径定理的应用非常 广泛，例如在建筑设计、机械制造、 航空航天等领域中，垂径定理都发挥 着重要的作用。
垂径定理在物理学中也有应用，例如 在研究光的反射和折射、地球的重力 场等。
垂径定理在几何问题中的应用
垂径定理在证明圆的性质时发挥了重要作用，例如证明圆周角定 理、圆内接四边形的性质等。
垂径定理是解决几何问题中关于圆的问题的基础，例如求圆的面 积、周长、圆心角等。
垂径定理在解析几何中的应用
01
在解析几何中，垂径定理可以与 其他数学知识结合使用，例如与 三角函数、坐标系等结合，解决 更复杂的几何问题。
详细描述
弦切角定理指出，在圆中，连接弦与切线的交点的线段与弦所夹的角等于该弦 所对应的圆心角。这个定理在解决与弦、切线和圆心角相关的问题时非常有用 。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线长度的重 要定理。
详细描述
切线长定理指出，过圆外一点向圆作 两条切线，则该点到两切点的线段长 度相等。这个定理在解决与圆的切线 和相关长度相关的问题时非常有用。
定理的应用
垂径定理课件
平行线的关系
性质：垂线与平行线互相垂直，即当两条直线相交时，其中一条为垂线时，另一条即为平行线。
垂心和比例点的概念
垂心：三角形内的垂线交点称为垂心，是三角形内心的一种特殊情况。 比例点：三角形内的垂线与对边的交点称为比例点，可以在相似三角形中使用。
如何求垂直线的长度
方法：根据垂径定理，可以使用勾股定理或相似三角形的比例关系求解垂直 线的长度。
垂径定理课件PPT
欢迎来到本次垂径定理课件PPT！今天我们将介绍垂径定理的定义、特点、 应用以及与其他几何知识的关系。让我们开始探索这个有趣且实用的几何原 理吧！
垂径定理的定义
垂径定理：在一个平面内，通过三角形的一个内角的三垂线的交点共线。 示意图：（图片示意图）
直角三角形的特点
直角三角形：一个角为90度的三角形，特点是拥有一个直角和两个锐角。 性质：勾股定理成立，垂径定理可用于求解各边的长度。
垂径定理的应用
应用举例：垂径定理可用于解决三角形面积、边长、角度等问题，也可以在多边形的证明和相似三角形 的研究中应用。
证明垂径定理的方法
一种证明方法：通过构造垂线、平行线和相似三角形，可以从不同角度证明垂径定理的正确性。
如何画垂径
步骤：确定要画垂线的三角形，找到该三角形的某个角，通过该角的顶点作垂线，使其与对边垂直相交。 图片示意：（图片示意图）
性质：垂线与平行线互相垂直，即当两条直线相交时，其中一条为垂线时，另一条即为平行线。
垂心和比例点的概念
垂心：三角形内的垂线交点称为垂心，是三角形内心的一种特殊情况。 比例点：三角形内的垂线与对边的交点称为比例点，可以在相似三角形中使用。
如何求垂直线的长度
方法：根据垂径定理，可以使用勾股定理或相似三角形的比例关系求解垂直 线的长度。
垂径定理课件PPT
欢迎来到本次垂径定理课件PPT！今天我们将介绍垂径定理的定义、特点、 应用以及与其他几何知识的关系。让我们开始探索这个有趣且实用的几何原 理吧！
垂径定理的定义
垂径定理：在一个平面内，通过三角形的一个内角的三垂线的交点共线。 示意图：（图片示意图）
直角三角形的特点
直角三角形：一个角为90度的三角形，特点是拥有一个直角和两个锐角。 性质：勾股定理成立，垂径定理可用于求解各边的长度。
垂径定理的应用
应用举例：垂径定理可用于解决三角形面积、边长、角度等问题，也可以在多边形的证明和相似三角形 的研究中应用。
证明垂径定理的方法
一种证明方法：通过构造垂线、平行线和相似三角形，可以从不同角度证明垂径定理的正确性。
如何画垂径
步骤：确定要画垂线的三角形，找到该三角形的某个角，通过该角的顶点作垂线，使其与对边垂直相交。 图片示意：（图片示意图）
人教版九年级上册数学课件：24.垂径垂径定理
O B
O ●C
垂径定理的应用：
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则
下列结论不正确的是（ C ）
A、A⌒C=A⌒D B、⌒BC=⌒BD
C、AM=OM D、CM=DM
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD
A
C M└
D
●O
⊥AB，垂足为M，OM=3，则
CD= 8 .
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10， AM=1，则⊙O的半径是 13 .
B
。圆的任意一条直径的两个端
O
点把圆分成两条弧,每一条
A
弧叫做半圆.
大于半圆的弧（用三个点表示，如：ACB 或 BCA ）， 叫做优弧；
小于半圆的弧叫做劣弧. 如: AB BC
3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆A， 半径相等的两个圆也是等圆；反过来， 同圆或等圆的半径相等。
B
M
●O
C
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。
解这个方程,得R 545.
这段弯路的半径约为545m .
小结: 垂径定理
解决有关弦的问题，经常是
过圆心作弦的垂线，
A
或作垂直于弦的直径，
连结半径等辅助线，
B
.
O
构成直角三角形,为应用垂径定理创 造条件。
挑 战自我
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用 方程的思想来解决问题.
37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
赵州石拱桥
解：如图，用 A表B 示桥拱，A所B在圆的圆心为O，半径为Rm，
过圆心O作弦AB的垂线OD，与 A相B 交于点C. CD就是拱高. 根据垂径定理得：AD=BD。
垂径定理PPT课件(人教版)
37.4m
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
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课堂小结
C
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• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
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B
D C
O
A
E
B
D
A
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讲解
如果圆的两条弦互相平 行，那么这两条弦所夹 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。 求证：AC＝BD
⌒ ⌒
M C A
.O
N
D B
证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆对称性(1)垂径定理
3.2圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●
O
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
圆的相关概念
D
老师提示: 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
B
O
A
┗
●
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
D
平分弦（不是直径）的直径 ．
垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 . 不是直径
练一练：试 金 石
如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
A E
. O
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
C A D O
B
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H
M
· N 0
G
D
B
E
F
C
思考题：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm ⊙O的半径为5cm， （1）请根据题意画出符合条件的图形 （2）求出AB、与CD间的距离。
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ , ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
条件 ①② ①③ ①④ 结论 命 题
C
A
M└
●
B
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧 . ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ AB,读作“弧 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC). 直径将圆分成两部分,每一部分都叫 做半圆(如弧ABC). B
m
A
●
O
D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
（
（ （
）
） ） ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD. ⌒
垂径定理
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, A ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
C
M└
●
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线Leabharlann 有 :.M E A
B
图中相等的劣弧有:
.
D O F
C
N
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
B O
D
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, ⌒ AD和BD重合.
⌒ =BC, ⌒ AD ⌒ =BD. ∴AC
⌒
垂径定理三种语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B O
A
M└
●
∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
①⑤
②③ ②④
②⑤
③④ ③⑤
④⑤
①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?
老师提示:
这两条弦在圆中位置有两种情况:
1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A C
●
B D
O
B
D
C
M
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中: ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC = BC, ⑤ AD = BD.
C
M└
●
A
B
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
O
你可以写出相应的命题吗?
C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).
垂径定理
⌒ AmB
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C M└
●
A
B O
你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.
题设
D 由
结论
可推得
① CD是直径 ② CD⊥AB
A B A B
C O C D O
D
（1）
（2）
驶向胜利 的彼岸
P93:习题3.2 1、 2题 试一试 第1题