结构力学 静定结构的位移计算1
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静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
第7章静定结构的位移计算
P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 35 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
§3—3计算结构位移的虚力原理
3. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应 的虚拟力状态。
例如:
求△
A
实际状态
AH
求
A
A
1
A
虚拟状态
1
虚拟状态
求△
A
AB
1
B
求
A
AB
B
1
广义力与 广义位移
25
1
虚拟状态
虚拟状态
1
4、静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP， 此时没有支座位移，故式（7—15）为
3. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。
（2）结构制造和施工的需要。
（3）为分析超静定结构打下基础。 另外，结构的稳定和动力计算也以位移为基础。
起拱高度
△
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
结构力学 静定结构的位移计算
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
能力拓展 如图 2 – 61a 所示屋架，通过对比左右两图，运用结构位移的相关知识 ，可以解释制作时为何通常将各下弦杆的实际下料长度做得比设计长度
要短些，这样可以使屋架拼装后，结点 C 位于 C′的位置（图 2 – 61b）
， 工程上将这种做法称为建筑起拱。那么预先应知道哪些位移量？
情景二 虚功原理及单位荷载法
项目表述
静定结构位移计算是演算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形 体虚功原理是结构力学中的重要理论。通过本项目学习，同学们重点理 解变形体的虚功原理、单位荷载法及位移计算一般公式。对变形体的虚 功原理的推导过程的理解是本项目的难点内容。
情景二 虚功原理及单位荷载法 学习进程
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的 知识链接
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
2．引起位移的原因 众所周知，引起位移的原因主要是荷载作用。除此之外，温度改变使材料膨胀 或收缩、结构构件的尺寸在制造过程中产生误差、基础的沉陷或结构支座产生 移动等因素，均会引起结构的位移。如图 2 – 56a、图 2 – 57a 所示，由荷载作 用产生的位移。如图 2 – 57b 所示，因温度改变或材料胀缩产生的位移。如图 2 – 57c 所示，因制造误差或支座移动产生的位移。
情景一 引起结构位移的原因及位移计算的目的
知识链接
1．结构位移的概念 建筑结构在施工和使用过程中常会发生变形，由于结构变形，其上各点或截面 位置会发生改变，这称为结构的位移。如图 2 – 56a 所示的刚架，在荷载作用 下，结构产生变形如图中虚线所示，使截面的形心 A 点沿某一方向移到 A′点， 线段 AA′称为 A 点的线位移，一般用符号 ΔA 表示。 它也可用竖向线位移 ΔAy 和水平线位移 ΔAx 两个位移分量来表示，如图 2 – 56b 所示。
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)
局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
Page 12
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
Page 6
14:32
结构力学——静定结构位移计算 ppt课件
刚体位移变形力状态满足平衡条件位移状态满足约束条件第二节变形体虚功原理按外力虚功和内力虚功计算微段虚功总和微段内力虚功所以由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt按刚体虚功和变形虚功计算微段虚功总和微段变形虚功所以基于平衡状态的刚体虚功原理第二节变形体虚功原理可编辑课件ppt对于直杆体系由于变形互不耦连有
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。
第一节 位移计算概述
1、结构的位移
杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。
• 变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； • 位移 是指结构上各点位置产生的变化
线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。
5
G0.4E
则：
ΔAV85qE4lI171501150
第三节 位移计算公式
各类结构的位移计算公式
荷载引起的位
1、梁和刚架：
ΔiP
MMPds EI
移与杆件的绝 对刚度值有关
2、桁
架： ΔiP
FNFNdPs FNFNlP
EA
EA
3、组合结构：
Δ kP
M M Pds EI
F N F Nd Ps EA
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于 变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
也即恒有如下虚功方程成立：
We = Wi
第二节 变形体虚功原理 变形体虚功原理的必要性证明:
力状态
位移状态
（满足平衡条件）
（满足约束条件）
刚体位移
4、拱结构：
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
结构力学-静定结构位移计算
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
80
32
3m
求图示刚架C铰左右两截面的 相对转动。EI=5×104kN.m
1
m=1
5/8
5m
MP
16
16
M
4m
4m
H
=
M0 C
= 1682
=16kN
f 88
1/8
1/8
H
=
M0 C
=
1m
f8
D
C
=
2 5104
580 2
2 3
5 8
+
580 2
2 3
5 8
+
1 3
-
2532 3
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1
X1
X3
X1
X2
X3
X3
X2
X1
X2
X3
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。 （4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次 共七次超静定
1
2
不撤能除作支为杆1多后余体系约成束为的瞬变是杆1、2、 5
§9.2 力法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方
面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件——变形协调条件。
ql 2 8
5 8
l 4
2
+
l－x
80
32
3m
求图示刚架C铰左右两截面的 相对转动。EI=5×104kN.m
1
m=1
5/8
5m
MP
16
16
M
4m
4m
H
=
M0 C
= 1682
=16kN
f 88
1/8
1/8
H
=
M0 C
=
1m
f8
D
C
=
2 5104
580 2
2 3
5 8
+
580 2
2 3
5 8
+
1 3
-
2532 3
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1
X1
X3
X1
X2
X3
X3
X2
X1
X2
X3
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。 （4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次 共七次超静定
1
2
不撤能除作支为杆1多后余体系约成束为的瞬变是杆1、2、 5
§9.2 力法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方
面和变形方面与原结构完全一样。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件——变形协调条件。
ql 2 8
5 8
l 4
2
+
l－x
结构力学——静定结构位移计算
结构力学——静定结构位移计算在工程和建筑领域中，结构力学作为一门重要的学科，主要研究了结构的受力、变形、破坏机理等问题。
其中，静定结构位移计算是结构力学中的一个重要内容。
静定结构所谓静定结构，是指能够通过静力学方程求解出所有节点的受力、反力和变形的结构。
这种结构是不需要知道材料的物理性质和荷载的实际情况的。
在静定结构中，结构的支座固定方式和荷载情况是已知的，因此能够通过解决一组静力学方程，求解出结构中节点的受力和变形。
静定结构位移计算静定结构位移计算是静定结构的重要计算方法之一。
在结构分析中，位移是一种常见的形变量，它反映了物体在载荷作用下发生的形变情况。
在静定结构中，位移是结构的重要参数之一。
它可以通过求解一组线性方程组得到。
具体来说，就是通过应变—位移—节点力关系，将结构各节点位移用系数矩阵和加载节点力表示出来，再通过求解一个线性方程组，就可以得到各节点的位移值。
静定结构位移计算的步骤静定结构位移计算中的步骤包括：1.列出节点位移方程节点位移与内力之间有一定的关系，可以通过位移方程和内力方程来表示。
这些方程可以根据物理实际条件进行建立。
2.确定支座反力支座反力是从位移计算中得到的结果之一。
支座反力是指结构上所有支点所承受的力，在位移计算时是必须考虑的。
3.形成节点位移方程组形成节点位移方程组时，需要考虑杆件的个数、受力条件、材料特性、支座情况等因素。
4.解出节点位移通过解一个线性方程组，我们可以根据已知的节点力和位移方程，求出每个节点的位移值。
静定结构位移计算的应用静定结构位移计算在现代工程设计中具有广泛的应用。
它能够在保证结构稳定的前提下，可以对结构进行优化设计，提高结构的安全性、稳定性、经济性等方面的性能。
除此之外，静定结构位移计算还可以应用于建筑设计、桥梁设计、机械设计、工业生产等领域中。
它可以提供结构设计的数据支持，为结构工程的实施提供参考。
静定结构位移计算是结构力学中的一个重要方向，其计算方法基于静力学方程进行，其特点是简单、可靠和实用。
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结构发生虚位移的状态和结构承受外力的状态是两个独立 的状态。分别称为结构的位移状态和力状态
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
ΔB
B A
θA
θ
C θB
（A、B两点的相对位移Δ =Δ A+Δ B）
（结点C左右截面的相 对转角θ=θA+θB）
EI
1 EI
1 2
Pl l 4
1 2
Pl 2 16 EI
(
)
例2：求图示梁C点的挠度。
等截面简支梁，已知EI＝常数。 A
中点C的竖向位移Δ Cy。A端的角 位移θA
解 1）做MP图 2）做M图
3）求位移
CV
21 EI
2 3
l 2
ql 2 8
5 l 84
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对 角位移，可在两个截面上加两个 方向相反的单位力偶。
3
Ri Ci + 1 =∑ N d V d M d
i 1
4). 依材料力学的结果，上述dλ、dη、dθ可写为：
dλ= N P ds ，dη= kVP ds ，dθ= M P ds
3) 由于图乘过程中需计算图形的面积及形心，要熟记以下四 个基本图形。
ω
2L/3 L
XC h L/3
ω=Lh /2 三角形
h
L/2
L/2
ω=2Lh /3 标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载）
h
ω=Lh /3
L/4 3L/4
标准二次抛物线 （悬臂梁承受均布荷载）
4）梯形图形的处理
a
b= a
b =
a
1 2
66
2 3
1
1 EI
2 3
69
1 2
1
+
1 EI
1 2
2 61
1 EI
2 3
2 11
= 4 （逆时针） 3EI
M=1 D
例2．刚架的位移计算
6 kN C
4m
12 kN D
2．使结构产生位移的因素
1) 荷载。由于材料的应变而产生位移 2) 温度变化。热胀冷缩而产生位移 3) 支座移动。地基沉降 4) 材料的干缩、制造误差
3．计算结构位移的目的 1) 验算结构的刚度。刚度的大小是以变形或位移来度量的
（框架结构的侧移要满 足刚度要求）
2) 为制作、架设结构等提供依据 3) 为分析超静定结构作准备。
二、变形体系的虚功原理
1.实功、虚功的概念
A P1 Δ11
P1
A Δ11 Δ12
P2 B
Δ22
荷载P1加在梁上，在荷载作用点产生位移Δ11 则力P1作功
W1=
1 2
P1
11
梁上再加荷载P2 ，此时P1处有位移Δ12
P1是恒力，继续作功W2=P1·Δ12
P2作功W3=P2·Δ22 /2
A P1 Δ11
P1
A Δ11 Δ12
P2 B
Δ22
分析：作功过程 ，存在两种情况：
• 力在其自身引起的位移上作功，称为实功；
如： W1=
1 2
P1
11
， W3=
1 2 P2 22
•在别的因素引起的与力本身无关的位移上所作的功，称为虚功，
如： W2=P1·Δ12
虚功并非为不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无 关的特点。
1
M
M EI
P
ds
1．图乘法解决的问题
坐应标用R系k公 ，C式k写11弯 矩方程。MM当EEMI杆MI P件Pdds较s多过N，E程AN荷中P载d，s较要复k逐VG杂杆AV时建P ，d立s积
分运算甚为麻烦。
2．应用图乘法的条件
1) 杆轴是直线 2) 该段轴EI=常数 3) MP图和M 图至少有一个是直线图
（正号表示位移方向与虚 拟力方向一致，向下）
**为求结点B的转角，在结点B处作用单位力矩M=1
BC杆：M（X）=0 AB杆：M（X）=1
B
M
X
M
EI
P
X
dX
=0+
4 8 1 dX = 32
0 EI
EI
（正号表示位移方向与虚拟 力方向一致，顺时针）
M=1 X
X
三、图形相乘法
M M P ds N N P ds kV VP ds
EI
EA
GA
5）特殊情况
（1）体系无支座移动时：1
M M P ds EI
N NP EA
ds
kV VP GA
ds
（2）静定体系仅发生支座移动时（结构无内力，从而无W变）：
Ri Ci + 1 = 0
h ω=2Lh /3
5L/8 3L/8
标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载的半图）
+
b
b + a
5）非标准二次抛物线的处理 b
=a
a
梯形
4、应用举例
例1:求梁B段转角。
P
A
EI
b + 标准二次抛物线
B
l/2
l/2
1）做MP图
P
A
EI
B
Pl/4 2）做M图
yC
M=1
1/2
3）求位移
B
yC
2）虚力状态的建立 P=1
dx A
P A
dx
q
Δ
R3 R1
C3
C2
C1
R2
W外=W变
（在A点作用虚设的单位力）
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变
形上所作的虚功的总和W变 。
N
NV
VM
M
轴力N
剪力V （微段的受力）
弯矩M
这样，体系在虚设力作用 下，所有的虚力为：
外力：R1 、R2 、R3 、P=1 微段内力：N 、V 、M
2）虚拟状态下各杆的弯矩表达式（各杆坐标同1）中规定） **为求C点的竖向位移，在C点作用竖向单位力P=1
P=1
B X
则，
CV
M
X
M
EI
P
X
dX
X
= 42X X dX + 48 4 dX
0 EI
0 EI
512
=
3EI
BC杆：M（X）=X，0<X<4 AB杆：M（X）=4，0<X<4
R3 R1
R2 支座反力
3）公式的建立
3
W外=W变
W外= Ri Ci + 1
i 1
微段dW变= N d V d M d
微段所在杆件所作虚功之和：
dx A
N d V d M d
dx q
体系所有杆件所作虚功之和，即：
W变=∑ N d V d M d
Δ
C3
C2
C1
M M+dM
N V
dλ
N+dN （微元段dx的受力）
dx V+dV
dθ dη
轴力作用下伸长dλ 剪力作用下的变形dη 弯矩作用下的变形dθ （微元在内力作用下的变形）
这样，体系在荷载及支座移动的作用下，所有的虚位移为： 外部：支座移动C1、C2、C3，A点的竖向位移Δ 内部：微段dx的变形dλ、dη、dθ，
x N2
EA
q P d2s
lxkVx2VdP xds
GA
EI 0
384 EI
例2
求：1）C点的竖向位移
2）结点B的转角
2kN
B
X
XC EI=常数
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
ΔB
B A
θA
θ
C θB
（A、B两点的相对位移Δ =Δ A+Δ B）
（结点C左右截面的相 对转角θ=θA+θB）
EI
1 EI
1 2
Pl l 4
1 2
Pl 2 16 EI
(
)
例2：求图示梁C点的挠度。
等截面简支梁，已知EI＝常数。 A
中点C的竖向位移Δ Cy。A端的角 位移θA
解 1）做MP图 2）做M图
3）求位移
CV
21 EI
2 3
l 2
ql 2 8
5 l 84
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对 角位移，可在两个截面上加两个 方向相反的单位力偶。
3
Ri Ci + 1 =∑ N d V d M d
i 1
4). 依材料力学的结果，上述dλ、dη、dθ可写为：
dλ= N P ds ，dη= kVP ds ，dθ= M P ds
3) 由于图乘过程中需计算图形的面积及形心，要熟记以下四 个基本图形。
ω
2L/3 L
XC h L/3
ω=Lh /2 三角形
h
L/2
L/2
ω=2Lh /3 标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载）
h
ω=Lh /3
L/4 3L/4
标准二次抛物线 （悬臂梁承受均布荷载）
4）梯形图形的处理
a
b= a
b =
a
1 2
66
2 3
1
1 EI
2 3
69
1 2
1
+
1 EI
1 2
2 61
1 EI
2 3
2 11
= 4 （逆时针） 3EI
M=1 D
例2．刚架的位移计算
6 kN C
4m
12 kN D
2．使结构产生位移的因素
1) 荷载。由于材料的应变而产生位移 2) 温度变化。热胀冷缩而产生位移 3) 支座移动。地基沉降 4) 材料的干缩、制造误差
3．计算结构位移的目的 1) 验算结构的刚度。刚度的大小是以变形或位移来度量的
（框架结构的侧移要满 足刚度要求）
2) 为制作、架设结构等提供依据 3) 为分析超静定结构作准备。
二、变形体系的虚功原理
1.实功、虚功的概念
A P1 Δ11
P1
A Δ11 Δ12
P2 B
Δ22
荷载P1加在梁上，在荷载作用点产生位移Δ11 则力P1作功
W1=
1 2
P1
11
梁上再加荷载P2 ，此时P1处有位移Δ12
P1是恒力，继续作功W2=P1·Δ12
P2作功W3=P2·Δ22 /2
A P1 Δ11
P1
A Δ11 Δ12
P2 B
Δ22
分析：作功过程 ，存在两种情况：
• 力在其自身引起的位移上作功，称为实功；
如： W1=
1 2
P1
11
， W3=
1 2 P2 22
•在别的因素引起的与力本身无关的位移上所作的功，称为虚功，
如： W2=P1·Δ12
虚功并非为不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无 关的特点。
1
M
M EI
P
ds
1．图乘法解决的问题
坐应标用R系k公 ，C式k写11弯 矩方程。MM当EEMI杆MI P件Pdds较s多过N，E程AN荷中P载d，s较要复k逐VG杂杆AV时建P ，d立s积
分运算甚为麻烦。
2．应用图乘法的条件
1) 杆轴是直线 2) 该段轴EI=常数 3) MP图和M 图至少有一个是直线图
（正号表示位移方向与虚 拟力方向一致，向下）
**为求结点B的转角，在结点B处作用单位力矩M=1
BC杆：M（X）=0 AB杆：M（X）=1
B
M
X
M
EI
P
X
dX
=0+
4 8 1 dX = 32
0 EI
EI
（正号表示位移方向与虚拟 力方向一致，顺时针）
M=1 X
X
三、图形相乘法
M M P ds N N P ds kV VP ds
EI
EA
GA
5）特殊情况
（1）体系无支座移动时：1
M M P ds EI
N NP EA
ds
kV VP GA
ds
（2）静定体系仅发生支座移动时（结构无内力，从而无W变）：
Ri Ci + 1 = 0
h ω=2Lh /3
5L/8 3L/8
标准二次抛物线 （简支梁承受均布荷载的半图）
+
b
b + a
5）非标准二次抛物线的处理 b
=a
a
梯形
4、应用举例
例1:求梁B段转角。
P
A
EI
b + 标准二次抛物线
B
l/2
l/2
1）做MP图
P
A
EI
B
Pl/4 2）做M图
yC
M=1
1/2
3）求位移
B
yC
2）虚力状态的建立 P=1
dx A
P A
dx
q
Δ
R3 R1
C3
C2
C1
R2
W外=W变
（在A点作用虚设的单位力）
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变
形上所作的虚功的总和W变 。
N
NV
VM
M
轴力N
剪力V （微段的受力）
弯矩M
这样，体系在虚设力作用 下，所有的虚力为：
外力：R1 、R2 、R3 、P=1 微段内力：N 、V 、M
2）虚拟状态下各杆的弯矩表达式（各杆坐标同1）中规定） **为求C点的竖向位移，在C点作用竖向单位力P=1
P=1
B X
则，
CV
M
X
M
EI
P
X
dX
X
= 42X X dX + 48 4 dX
0 EI
0 EI
512
=
3EI
BC杆：M（X）=X，0<X<4 AB杆：M（X）=4，0<X<4
R3 R1
R2 支座反力
3）公式的建立
3
W外=W变
W外= Ri Ci + 1
i 1
微段dW变= N d V d M d
微段所在杆件所作虚功之和：
dx A
N d V d M d
dx q
体系所有杆件所作虚功之和，即：
W变=∑ N d V d M d
Δ
C3
C2
C1
M M+dM
N V
dλ
N+dN （微元段dx的受力）
dx V+dV
dθ dη
轴力作用下伸长dλ 剪力作用下的变形dη 弯矩作用下的变形dθ （微元在内力作用下的变形）
这样，体系在荷载及支座移动的作用下，所有的虚位移为： 外部：支座移动C1、C2、C3，A点的竖向位移Δ 内部：微段dx的变形dλ、dη、dθ，
x N2
EA
q P d2s
lxkVx2VdP xds
GA
EI 0
384 EI
例2
求：1）C点的竖向位移
2）结点B的转角
2kN
B
X
XC EI=常数