第3章 非稳态导热汇总
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看出非稳态导热过程的温度分布可分为两种类型： ➢ 在边界温度刚开始影响金属壁时的温度分布。这时，温度分布受导热体
中初始温度影响比较明显，称为非稳态导热的非正规状况阶段； ➢ 当过程进行一定时间后，导热体中温度分布主要受热边界条件影响，该
阶段称为非稳态导热的正规状况阶段
3.2 零维问题的分析法-集中参数法
Q0 cV0 cV(t0 t )
11
3.2.2 时间常数
0
36.8%
5%
c
hA
e cV
e
c
0
e1 36.8%
0
c
cV
hA
为时间常数
3 c
一般认为当时间为4倍时间常数后，导热体的过余温度接近0，可以认为导
热体已经与周围流体达成了热平衡。时间常数大，则热平衡时间越长，因
此时间常数是反映非稳态导热时导热体温度变化快慢的一个重要参数。
温度场变为t=f()，导热变
成零维问题。
处理0维非稳态导热问题时， 由于内部温度均匀，可以认为 固体的质量和热容量均集中到 一点上，因此整个固体的所有 参数可由固体中某一点的温度 来代表，这种处理问题的简化 方法称为集中参数法（也称集 总参数法）。
3.2.1 集中参数法温度场的分析解 1.问题描述
注意：时间常数不是导热体本身的一个固有属性，它和导热体与所处环境 的换热条件有关。因此，时间常数对热电偶测温的反应速度有重要影响， 但不是热电偶本身能够决定的指标
3.2.3 集中参数法的适用范围
Bi hl 0.1 时，物体中最大与最小温度之差小于5%
此时，可以认为导热为0维导热问题，能够应用集中参数法进行求解
3.1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程的类型及特点 3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律 3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
返回
• 3.1.1 非稳态导热过程的特点
t f (x, y, z, )
A t
x
f( )
正规状况 阶段
非正规状况 阶段
5
导热体内温度变化过程： ➢ 首先，靠近壁面附近的区域温度很快升高，其余部分仍保持原来温度不变 ➢ 随时间推移，中心区域的温度也开始发生变化 ➢ 当时间足够长时，导热物体温度分布达到稳态时分布 ，并不再随时间变化。
解 （1）以水银泡为研究对象， 首先检验是否可用集总参数分析法。
tw1=50ºC tw2=20ºC
2 m d1
d1=200mm d2=d1+2=200+236=272mm
d1
圆筒壁的平均温度为
tm
t w1
tw2 2
50 20 2
35
d2
平均导热系数为
m=0.56（1+0.0018 t ）=0.56×(1+0.0018×35) = 0.5953 W/(mK)
hA d d
Vc
积分
0 0 t0 t
d
hA
d
0 0 cV
d hA
d
0
Vc 0
ln hA
0
Vc 10
t t
hA
e Vc
t t 0 温度随0时间变化规律
4 有关热量的计算
物体内的导热量 Φ A t n =0
n
t t
hA
e Vc
0 t0 t
ql
tw1 tw2 1 ln d2
2 m d1
50 20
364.92
1
ln 272
2 3.14 0.5953 200
W/m
1
铁
块
300oC
水20oC
2
第3章 非稳态热传导
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析法-集中参数法 3.3 典型一维问题非稳态导热的分析解 3.4 半无限大物体的非稳态导热 3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
2.数学模型
dτ时间段内，满足能量守恒 Ein E g Eout Es
Ein
hA
t
t
d
E g 0; Eout 0
Es mcdt Vc dt
hAt t d Vc dt
分离变量得
hA d dt
Vc
t t
t 0 t0
控制方程 初始条件
9
3.求解
令θ= t - t，θ称过余温度，则有
已知有一根内直径为200mm、壁厚为36 mm的长圆筒壁，两侧表面温度分别 为50℃和20℃。已知圆筒壁材料的导热系数为λ=0.56（1+0.0018t）W/(mK) (其中t的单位为℃)，试计算通过单位长度圆筒壁的导热量。
解 这是圆管壁的一维稳态导热问题
单位管长的热流量为
ql
t w1 t w2 1 ln d 2
AA
(平板厚度的一半)
平板BiV = Bi
M=1
圆柱 V R2l R A 2Rl 2
圆柱 BiV = Bi/2 M=1/2
球 V 4R3 / 3 R A 4R2 3
球 BiV = Bi/3
M=1/3
14
例题 用水银温度计测量管道中原油的温度，原油温度为70 ℃ 。温度计的水银泡
呈圆柱形，长20mm，直径为7mm，初始温度为10 ℃ ，设水银泡同原油间对流传 热系数为42 W/(m2K)，试计算此条件下温度计的时间常数，计算插入2分钟后温度 计的读数？水银的物性参数为c=0.138kJ/(kgK)，ρ=13110 kg/m3，λ=10.4 W/(mK)。
瞬时换热量 hAt t hA hA0ehA cV f
导热体表面在0~ 时间段内的总换热量
Q0
Leabharlann Baidu
d
0
ha
0
hA0e
cV
d
hA0
cV hA
hA
e
0
cV
d
hA cV
hA
cV0e cV
0
cV0 ehA cV
1
hA
cV0 1 e cV
当τ为无穷大时，导热体与周围流体总换热量为
厚度为2δ的平板，取 l
半径为R的圆柱，取 l R 半径为R的球体，取 l R
Bi / h 1/ h
物体内部导热热阻 ＝
物体表面对流换热热阻
如果采用取lc=V/A 作为特征长度，则
h(V / A)
BiV 0.1M
体积Biot 数
M是与物体几何形状 有关的无量纲常数
平板 V A
一任意形状固体，初始温度为t0，突然置于温度为t∞的流体中。 已知物体的体积V、表面积A、导热系数λ、密度ρ及比热容c且 均为常数，物体表面与流体间的表面传热系数h也已知且为常数。
假设该物体的非稳态导热满足看作0维非稳态导热的条件，要求 确定导热体温度随时间τ变化的规律
该问题物理特点： 0维、非稳态、常物性、无内热源、 第三类边界条件导热问题
中初始温度影响比较明显，称为非稳态导热的非正规状况阶段； ➢ 当过程进行一定时间后，导热体中温度分布主要受热边界条件影响，该
阶段称为非稳态导热的正规状况阶段
3.2 零维问题的分析法-集中参数法
Q0 cV0 cV(t0 t )
11
3.2.2 时间常数
0
36.8%
5%
c
hA
e cV
e
c
0
e1 36.8%
0
c
cV
hA
为时间常数
3 c
一般认为当时间为4倍时间常数后，导热体的过余温度接近0，可以认为导
热体已经与周围流体达成了热平衡。时间常数大，则热平衡时间越长，因
此时间常数是反映非稳态导热时导热体温度变化快慢的一个重要参数。
温度场变为t=f()，导热变
成零维问题。
处理0维非稳态导热问题时， 由于内部温度均匀，可以认为 固体的质量和热容量均集中到 一点上，因此整个固体的所有 参数可由固体中某一点的温度 来代表，这种处理问题的简化 方法称为集中参数法（也称集 总参数法）。
3.2.1 集中参数法温度场的分析解 1.问题描述
注意：时间常数不是导热体本身的一个固有属性，它和导热体与所处环境 的换热条件有关。因此，时间常数对热电偶测温的反应速度有重要影响， 但不是热电偶本身能够决定的指标
3.2.3 集中参数法的适用范围
Bi hl 0.1 时，物体中最大与最小温度之差小于5%
此时，可以认为导热为0维导热问题，能够应用集中参数法进行求解
3.1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程的类型及特点 3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律 3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
返回
• 3.1.1 非稳态导热过程的特点
t f (x, y, z, )
A t
x
f( )
正规状况 阶段
非正规状况 阶段
5
导热体内温度变化过程： ➢ 首先，靠近壁面附近的区域温度很快升高，其余部分仍保持原来温度不变 ➢ 随时间推移，中心区域的温度也开始发生变化 ➢ 当时间足够长时，导热物体温度分布达到稳态时分布 ，并不再随时间变化。
解 （1）以水银泡为研究对象， 首先检验是否可用集总参数分析法。
tw1=50ºC tw2=20ºC
2 m d1
d1=200mm d2=d1+2=200+236=272mm
d1
圆筒壁的平均温度为
tm
t w1
tw2 2
50 20 2
35
d2
平均导热系数为
m=0.56（1+0.0018 t ）=0.56×(1+0.0018×35) = 0.5953 W/(mK)
hA d d
Vc
积分
0 0 t0 t
d
hA
d
0 0 cV
d hA
d
0
Vc 0
ln hA
0
Vc 10
t t
hA
e Vc
t t 0 温度随0时间变化规律
4 有关热量的计算
物体内的导热量 Φ A t n =0
n
t t
hA
e Vc
0 t0 t
ql
tw1 tw2 1 ln d2
2 m d1
50 20
364.92
1
ln 272
2 3.14 0.5953 200
W/m
1
铁
块
300oC
水20oC
2
第3章 非稳态热传导
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析法-集中参数法 3.3 典型一维问题非稳态导热的分析解 3.4 半无限大物体的非稳态导热 3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
2.数学模型
dτ时间段内，满足能量守恒 Ein E g Eout Es
Ein
hA
t
t
d
E g 0; Eout 0
Es mcdt Vc dt
hAt t d Vc dt
分离变量得
hA d dt
Vc
t t
t 0 t0
控制方程 初始条件
9
3.求解
令θ= t - t，θ称过余温度，则有
已知有一根内直径为200mm、壁厚为36 mm的长圆筒壁，两侧表面温度分别 为50℃和20℃。已知圆筒壁材料的导热系数为λ=0.56（1+0.0018t）W/(mK) (其中t的单位为℃)，试计算通过单位长度圆筒壁的导热量。
解 这是圆管壁的一维稳态导热问题
单位管长的热流量为
ql
t w1 t w2 1 ln d 2
AA
(平板厚度的一半)
平板BiV = Bi
M=1
圆柱 V R2l R A 2Rl 2
圆柱 BiV = Bi/2 M=1/2
球 V 4R3 / 3 R A 4R2 3
球 BiV = Bi/3
M=1/3
14
例题 用水银温度计测量管道中原油的温度，原油温度为70 ℃ 。温度计的水银泡
呈圆柱形，长20mm，直径为7mm，初始温度为10 ℃ ，设水银泡同原油间对流传 热系数为42 W/(m2K)，试计算此条件下温度计的时间常数，计算插入2分钟后温度 计的读数？水银的物性参数为c=0.138kJ/(kgK)，ρ=13110 kg/m3，λ=10.4 W/(mK)。
瞬时换热量 hAt t hA hA0ehA cV f
导热体表面在0~ 时间段内的总换热量
Q0
Leabharlann Baidu
d
0
ha
0
hA0e
cV
d
hA0
cV hA
hA
e
0
cV
d
hA cV
hA
cV0e cV
0
cV0 ehA cV
1
hA
cV0 1 e cV
当τ为无穷大时，导热体与周围流体总换热量为
厚度为2δ的平板，取 l
半径为R的圆柱，取 l R 半径为R的球体，取 l R
Bi / h 1/ h
物体内部导热热阻 ＝
物体表面对流换热热阻
如果采用取lc=V/A 作为特征长度，则
h(V / A)
BiV 0.1M
体积Biot 数
M是与物体几何形状 有关的无量纲常数
平板 V A
一任意形状固体，初始温度为t0，突然置于温度为t∞的流体中。 已知物体的体积V、表面积A、导热系数λ、密度ρ及比热容c且 均为常数，物体表面与流体间的表面传热系数h也已知且为常数。
假设该物体的非稳态导热满足看作0维非稳态导热的条件，要求 确定导热体温度随时间τ变化的规律
该问题物理特点： 0维、非稳态、常物性、无内热源、 第三类边界条件导热问题