高考数学平面向量专题复习含答案
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
)
)
10.(多选)设 M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是(
A.若⃗
1 ⃗
2
1 ⃗
,则
2
⃗
M 是边 BC 的中点
B.若⃗=2⃗
⃗ ,则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若⃗=-⃗
⃗,则 M 是△ABC 的重心
1
1
D.若⃗=x⃗+y⃗ ,且 x+y= ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的
2
2
1
4
11.(历年山东德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+ λb 与-a+b 平行.则实数 λ=
.
12.(历年浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设⃗=a,⃗=b,⃗ =2⃗,M 为 BC 的中点,则
2
3
1
3
A. a+ b
2
3
1
3
C. a- b
2
3
)
(
)
1
3
B.- a+ b
2
3
1
3
D.- a- b
5.(历年四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD 中,若|⃗
A.▱ABCD 为菱形
(
⃗|=|⃗
⃗|,则必有(
)
B.▱ABCD 为矩形
C.▱ABCD 为正方形 D.▱ABCD 为梯形
6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的
A.充分不必要条件
高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答
高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答1．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA a =，OB b =,OC c =，又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量DE 等于（ ）A.()12a b c ++ B. ()12a b c -++ C. ()12a b c -+ D. ()12a b c +-2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是 A ．34 B ．1 C ． 32 D. 31 3．若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE = A.12b a +B.12a b + Ｃ.12b a - Ｄ.12a b -4．在平面内，已知31==，0=⋅OB OA ，30=∠AOC ，设n m +=，（,R m n ∈），则nm等于A ．B ．3±C ．13±D ．3±5．在等腰Rt ABC △中，90A ∠=，(1,2),(,)(0)AB AC m n n ==>，则BC = ( ） A ．（-3，-1）B ．（-3,1）C ．(3,1)-D ．（3,1）6．已知,,A B C 三点共线，且(3,6)A -，(5,2)B -，若C 点横坐标为6，则C 点 的纵坐标为（ ）．A ．13-B ．9C ．9-D ．137．设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是 A ．()()a b c c b a ⋅⋅=⋅⋅ B. a b a b -≤+C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =D ．若//,//a b a c ，则//b c 8．设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形B.等腰梯形C. 矩形D.菱形9．已知()()0,1,2,3-=-=，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为( ). A.17-B.17C.16- D.1610．若点M 为ABC ∆的重心，则下列各向量中与共线的是（ ） A ．++ B ．++ C ．AC AM +3 D ．CM BM AM ++11．若|a |=|b |=|a －b|,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°12． 已知()23,a =,47(,)b =-,则b 在a 上的投影为（ ）（A）(B)13．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0000，则||的最小值是 A. 2 B.22C. 1D. 2114．矩阵A 1002⎛⎫=⎪⎝⎭，向量12α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 10α= （ ） A ．1012⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2060⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1122⎛⎫⎪⎝⎭15．如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量：①OA OB +；②1123OA OB +；③3143OA OB +； ④3145OA OB +；⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．⑤16．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( ) A. B. C. D.17．已知O 为空间内任意一点，P 为ABC ∆所在平面内任意一点，且2OP OA OB mCO =++ 则m 的值为( )A 、 2B 、2-C 、3D 、 3-18．设向量(cos25,sin 25),(sin 20,cos20)a b =︒︒=︒︒，若c a t b =+（t ∈R ），则()2c 的最小值为（ ）A.2B.1C.22 D.2119．已知20()OA x OB x OC x R ⋅+⋅-=∈，其中,,A B C 三点共线，O 是线外一点，则满足条件的x （ ）A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．以上情况均有可能 20．平面直向坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1） B （－1，3）若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为 。
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-平面向量的数量积(含解析)
一、单项选择题1．(2023·黔西模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于() A．－2B．－1C．1D．22．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t 等于()A．－6B．－5C．5D．63．(2023·大同模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于()A．(－3，－4)B．(4,3)C．(－4,3)D．(－4，－3)4．已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影数量为()A.102B．－102C.102c D．－102c5．(2023·泰州模拟)已知平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝2π3，则|3a＋2b＋c|等于()A．0B．1 C.3 D.66．(2023·佛山模拟)在△ABC中，设|AC→|2－|AB→|2＝2AM→·(AC→－AB→)，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心B．内心C．重心D．外心二、多项选择题7．(2024·亳州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的可能取值是()A．－2B．2C．4D．88．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影数量为12C．2m＋n＝4D．mn的最大值为2三、填空题9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝________. 10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60N的物品，在另一个秤盘中放入重量60N的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为π3，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F1的大小为________N.11．(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|等于________．12．(2023·西安模拟)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圆的圆心为O，则AO→·BC→＝________.四、解答题13．(2023·白银模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB→|＝2|DC→|＝2，∠BAD＝π3，E 是BC边的中点．(1)试用AB→，AD→表示AE→，BC→；(2)求DB→·AE→的值．14．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.(1)求∠EMF的余弦值；(2)设AM→＝λAF→，求λ的值及点M的坐标．15．(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O →·OE→的最小值为()上运动，则PEA．－1B．－2C．1D．216．(2023·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝9，AM和AN分别是BC边上的高和中线，则MN→·BC→等于()A．14B．15C．16D．17§5.3平面向量的数量积1．D2.C3.D4.A5.C6.D 7．BC [如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易知正六边形的每个内角为120°，所以∠CBx ＝60°，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．]8．CD [对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，则a ·b ＝2－1＝1>0，又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误；对于B ，向量a 在b 上的投影数量为a ·b |b |＝22，故B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，故C 正确；对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，故D 正确．]9．(1，－1)(答案不唯一)10.10611.612．10解析如图，设BC 的中点为D ，连接OD ，AD ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·(AC →－AB →)＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＋DO →·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝10.13．解(1)AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →，AE →＝12(AB →＋AC →)＋AD →＋12＝34AB →＋12AD →，BC →＝AC →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →.(2)由题意可知，|AD →|＝12(|AB →|－|DC →|)cos π3＝1212＝1，DB →＝AB →－AD →，所以DB →·AE →＝(AB →－AD→＋12AD 34|AB →|2－12|AD →|2－14AB →·AD →＝34|AB →|2－12|AD →|2－14|AB →||AD →|·cos π3＝34×4－12×1－14×2×1×12＝94.14．解(1)如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，则D (0,6)，E (3,0)，A (0,0)，F (6,2)，∴DE →＝(3，－6)，AF →＝(6,2)，由于∠EMF 就是DE →，AF →的夹角，∴cos ∠EMF ＝cos 〈DE →，AF →〉＝18－129＋36·36＋4＝210，∴∠EMF 的余弦值为210.(2)因为AM →＝λAF →，则AM →＝(6λ，2λ)，则M (6λ，2λ)，又D ，M ，E 三点共线，则设DM →＝tDE →，0<t <1，即(6λ，2λ－6)＝t (3，－6)，λ＝3t ，λ－6＝－6t ，解得λ＝37，故15．D [如图，以O 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴，AF 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点P (cos θ，sin θ)(0≤θ≤2π)，由题意知，E (2,0)，O (0,0)，则PE →＝(2－cos θ，－sin θ)，OE →＝(2,0)，所以PE →·OE →＝4－2cos θ，当cos θ＝1，即θ＝0时，PE →·OE →取最小值2.]16．C [如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，BM →＝λBC →，则有AM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →＝(1－λ)a ＋λb ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝72＋92－822×7×9＝1121，∵AM →⊥BC →，∴AM →·BC →＝0，即[(1－λ)a ＋λb ]·(b －a )＝(1－2λ)a ·b －(1－λ)a 2＋λb 2＝0，其中a ·b ＝|a ||b |cos ∠BAC ＝63×1121＝33，a 2＝49，b 2＝81，解得λ＝14，BN →＝12BC →，∴MN →＝BN →－BM →＝14BC →，MN →·BC →＝14BC →2＝16.]。
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
全国卷高考—平面向量试题带答案资料讲解
5．平面向量（含解析）一、选择题【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( )A ．(-7,-4)B ．(7,4)C ．(-1,4)D ．(1,4)【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+( )A ．B ．21 C ．21 D ． 二、填空题 【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ．【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________．【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量一、选择题（2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（ ）A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b（2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2（2014·4）设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=⋅b a ρρ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题（2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.（2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=uu u r uu u r _______.（2012·15）已知向量a ，b 夹角为45º，且|a |=1，|2-a b |b |= .（2011·13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k = .5．平面向量（解析版）一、选择题【2015，2】解：(3,1),u u u r u u u r u u u r u u u r Q AB BC AC AB =∴=-=(-7,-4)，故选A【2014，6】解：+EB FC EC CB FB BC +=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =111()222AC AB AB AC AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选A 二、填空题【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ．【解析】由题得(1,3)a b m +=-r r ，因为()0a b a +⋅=r r r ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =；【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ． 解析：23-．由题意()210x x ⋅=++=a b ，解得23x =-．故填23-． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______． 解析：2． ∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=． ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0．∴12t ＋1－t ＝0． ∴t ＝2．【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ，则||b =r _________． 【解析】23． 由已知||2245cos ||||=︒⋅⋅=⋅．因为|2|a b -=r r 10||4||422=+⋅-，即06||22||2=--， 解得23||=． 【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 【解析】因为a 与b 为两个不共线的单位向量，所以1==a b ．又k -a b 与+a b 垂直，所以()()0k +⋅-=a b a b ，即220k k +⋅-⋅-=a a b a b b ，所以10k k -+⋅-⋅=a b a b ，即1cos cos 0k k θθ-+-=．（θ为a 与b 的夹角）所以()()11cos 0k θ-+=，又a 与b 不共线，所以cos 1θ≠-，所以1k =．故答案为1．2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4．平面向量（解析版）一、选择题此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 （2017·4）A 解析：由||||+=-a b a b r r r r 平方得2222()2()()2()++=-+a ab b a ab b r r r r r r r r ，即0=ab r r ，则⊥a b r r ，故选A.（2015·4）C 解析：由题意可得a 2=2，a ·b =-3，所以(2a +b )·a =2a 2+a ·b =4-3=1.（2014·4）A 解析：2222||210.||2 6.a b a b ab a b a b ab +=++=-=∴+-=r r r r r r r r r r r r Q Q Q 两式相减，则 1.ab =r r二、填空题（2016·13）-6解析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．（2013·14）2解析：在正方形中，12AE AD DC =+uu u r uuu r uuu r ，BD BA AD AD DC =+=-uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .（2012·15）∵|2-a b |=224410-⋅=a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）（2011·13）k = 1解析： (a +b )·(k a -b )=0展开易得k =1.。
专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。
高考数学平面向量及复数专项训练试题、参考答案
高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 （ ）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是 （ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是 （ ） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为 （ ） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是 （ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。
高考数学复习专题训练平面向量含详解
高考数学复习专题训练--平面向量一、选择题1．把y=f〔x〕按平移后，得到函数为，那么f〔x〕=〔〕〔A〕y=sinx 〔B〕y=cosx〔C〕y=sinx+2 〔D〕y=cosx+42．A〔3，7〕，B〔5，2〕，向量按向量〔1，2〕平移后所得向量是〔〕〔A〕〔2，－5〕〔B〕〔3，－3〕〔C〕〔1，－7〕〔D〕都不是3．在△ABC中，那么B=〔〕〔A〕105°〔B〕60°〔C〕15°〔D〕105°或15°4．在△ABC中，a=6，b=4，Ｃ=120°，那么sinB值是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5．在△ABC中，有a=2b，且Ｃ=30°，那么这个三角形一定是〔〕〔A〕直角三角形〔B〕钝角三角形〔C〕锐角三角形〔D〕以上都有可能6．△ABC中，b=30，c=15，C=26°，那么此三角形解情况是〔〕〔A〕一解〔B〕二解〔C〕无解〔D〕无法确定7．在△ABC中，中，假设，那么△ABC是〔〕〔A〕等边三角形〔B〕等腰三角形〔C〕直角三角形〔D〕等腰直角三角形8．在△ABC中，，那么等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕或〔D〕9．直角△ABC斜边AB=2，内切圆半径为r，那么r最大值是〔〕〔A〕〔B〕1 〔C〕〔D〕答案123456789B D D B B B B B D二、填空题10．假设是单位向量，那么= ．11．“与方向相反向量〞是“相反相量〞条件．12．设平面内有四边形ABCD与点O，假设，那么四边形ABCD形状是．13．假设平行四边形ABCD顶点A〔4，2〕，B〔5，7〕，C〔－3，4〕，那么D点坐标为．14．A 〔3，4〕，B 〔12，7〕，点C 在直线AB 上，且那么点C 坐标为 ． 15．假设且与夹角是钝角，那么λ取值范围是 ． 16．假设那么在方面上投影为 ． 17．非零向量，那么垂直于充要条件是 ． 答案：10．11．必要不充分条件 12．平行四边形13．〔―4，―1〕 14．〔0，3〕或〔6，5〕 15．〔 16．17．三、解答题18．在直角坐标系xoy 中，点P(2cosx ＋1, 2cos2x ＋2)与点Q(cosx, －1)，其中x ∈[0, π]，假设向量OP →与OQ →垂直，求x 值．19．非零向量e1→与e2→不共线．(1)假设AB →＝e1→＋e2→，BC →＝2e1→＋8e2→，CD →＝3(e1→－e2→)，求证：A 、B 、D 三点共线．(2)欲使ke1→＋e2→与e1→＋ke2→共线，确定实数k 取值范围．20．两点M(－1, 0)，N(1, 0)，且P 点使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零等差数列．(1)求点P 轨迹方程．(2)假设点P 坐标为(x 0, y 0)，记θ为PM →与PN →夹角，求tan θ． 21．等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为CB 中点，E 为AB 上点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE ．22．假设a →＝(cos α, sin α)，b →＝(cos β, sin β)，且|k a →＋b →|＝3|a →－k b →|，k ∈R ＋．(1)用k 表示a →·b →；(2)求a →·b →最小值，并求出此时a →与b →所成角θ．(0≤θ≤π)大小．23. 假设向量a →与b →夹角为30°，且|a →|＝3，|b →|＝1，p →＝a →＋b →，q →＝a →－b →，求p →与q →夹角余弦．24. a =〔cosα，sinα〕,b =〔cosβ,sinβ〕(0<α<β<π)，〔1〕求证： a +b 与a -b 互相垂直；〔2〕假设k a +b 与a -k b 大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α 25. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A 〔1，0〕、B 〔0，－2〕，点C 满足、〔1〕求点C 轨迹方程；〔2〕设点C 轨迹与双曲线交于两点M 、N ，且以MN 为直径圆过原点，求证：.答案： 18．19．(1)证，〔2〕存在，使不共线，20．〔1〕设，，由题得且〔2〕且又，21．设，那么22．〔1〕又，〔2〕等号仅当时成立，故，此时23.24. 〔1〕证法一：∵a=〔cosα，sinα〕,b=〔cosβ,sinβ〕∴a+b＝〔cosα+cosβ，sinα+ sinβ〕, a-b＝〔cosα-cosβ，sinα- sinβ〕∴(a+b)·(a-b)=〔cosα+cosβ，sinα+ sinβ〕·〔cosα-cosβ，sinα- sinβ〕=cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0∴(a+b)⊥(a-b)证法二：∵a=〔cosα，sinα〕,b=〔cosβ,sinβ〕∴|a|＝1，|b|＝1∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0 ∴(a+b)⊥(a-b)证法三：∵a=〔cosα，sinα〕,b=〔cosβ,sinβ〕∴|a|＝1，|b|＝1,记＝a，＝b，那么||＝||=1,又α≠β，∴O、A、B三点不共线。
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高考数学平面向量专题复
习含答案
The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
2020年高考数学平面向量专题练习
一、选择题
1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（）
A. B. C. D.
2、向量,，若，且，则x＋y的值为（）
A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1
3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4
4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则
（）
A．B． C．D．
5、在平行四边形中，，若是的中点，则（）
A. B. C. D.
6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D.
7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( )
A. C. D. 3
8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为
A． B． C．5 D．10
9、下列命题中正确的个数是（）
⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0
⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则
A．0 B．1 C．2 D．3
10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且
，若存在最大值，则的取值范围为（）
二、填空题
11、已知向量与的夹角为120°,且,则____.
12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________.
13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________.
14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为
__________.
15、已知向量与的夹角为120°，，，则________.
16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若
，
则__________．
17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为.
18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。
若
(λ，µ∈R)，则λ＋µ的值为。
三、简答题
19、已知平面直角坐标系中，向量，，且.
（1）求的值；（2）设，求的值．
20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)．
（1）若∥，求的值；
（2）若，0＜＜，求的值．
21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若
在区间[1,6]内取值，求满足的概率.
22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量，
（1）求证：且；
（2）设向量，，且，求实数t的值．
23、已知，设．
（1）求的解析式并求出它的周期T．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求△ABC的面积. 24、已知为圆:上一动点，圆心关于轴的对称点为,点分别是线段
,上的点，且 , 。
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围。
参考答案
一、选择题
1、A
2、C
3、A 【解析】依题意，将两边同时平方可得，
化简得，故向量在方向上的投影为，故选A．
4、B
5、C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，以为基底，利用平面向量基本定理可得结果．
【详解】如图所示，
平行四边形中，，，
则，
又是的中点，
则．
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，求解过程中关键是基底的选择，向量加法与减法法则的应用，注意图形中回路的选取．
6、C
【解析】
【分析】
根据向量平行可求得，利用坐标运算求得，根据模长定义求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.
7、.D
8、D
9、A
10、D
二、填空题
11、-5
12、
解析：因为对任意都有，故点C到AB所在直线的距离为2
设AB中点为M，则
当且仅当时等号成立
13、
【解析】
【分析】
利用数量积定义中对投影的定义，即，把坐标代入运算，求出投影为.
【详解】因为，故填：.
【点睛】本题考查向量数量积定义中投影的概念，考查对投影的基本运算.
14、.
【解析】
【分析】
直接利用向量数量积公式化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以=-7.
故答案为：-7
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15、
16、
17、
18、7/6
三、简答题
19、解：（1）因为，且，
所以，
即………………………………4分
（2）由，，
可得，……………………6分
……………8分
所以…………10分
20、
21、(1)x,y的所有取值共有6×6＝36个基本事件．由，得 ,
满足包含的基本事件(x,y)为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种
情形，故 .
(2) 若x， y在[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为，满足的基本事件的结果为．
画出图形如图，正方形的面积为，阴影部分的面积为，
故满足的概率为．
22、（1）证明：，所以，因为，所以；
（2）因为，所以，
由（1）得：
所以，解得．
23、解析：（1）
...........4分函数的周期，
故，周期为
． ...............................................................6分
（2）因为，所以，
即
， ................................. ............7分
又，所以，
所以
， ............................................... .....................9分
又，
由余弦定理得：
，所以
所以 (11)
分
24、解：（1）连接,因为，所以为的中点，因为，所以
，所以点在的垂直平分线上，所以,因为
,所以点在以为焦点的椭圆上，因为，所以，所以点的轨迹方程为：.…………………4分
（2）由得…………………5分
因为直线与椭圆相切于点，所以
，即，解得，
即点的坐标为，…………………7分
因为点在第二象限，所以，所以，
所以点的坐标为，设直线与垂直交于点，
则是点到直线的距离，且直线的方程为，
所以
，…………………10分
当且仅当，即时，有最大值，所以,即面积的取值范围为.。