山东省胶州市高考数学一轮复习 第1讲 数系的扩充与复数的引入学案(无答案)文
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-数系的扩充与复数的引入含答案解析
第2讲数系的扩充与复数的引入[考纲解读] 1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．(重点)2．了解复数的代数表示法及几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．3．能进行复数形式的四则运算，并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容．预测2021年将会考查：①复数的基本概念与四则运算；②复数模的计算；③复数的几何意义．题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型．对应学生用书P1971.内容意义备注复数的概念形如□01a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为□02a，虚部为□03b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔□04a＝c且b＝d实部与实部、虚部与虚部对应相等共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔□05a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)实数的共轭复数是它本身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，□06x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋bi 一一对应复平面内的点□01Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →. 3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，则复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)． (3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝□06z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝□07z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝□08z 1z 2＋z 1z 3. (4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是□09OZ 1→＋OZ 2→所对应的复数． ②复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是□10OZ 1→－OZ 2→即Z 2Z 1→所对应的复数． 4.模的运算性质：①|z |2＝|z －|2＝□01z ·z －；②|z 1·z 2|＝□02|z 1||z 2|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝□03|z 1||z 2|.1.概念辨析(1)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)一定有两个根．( ) (2)若复数a ＋bi 中a ＝0，则此复数必是纯虚数．( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.小题热身(1)已知i 为虚数单位，z ＝41＋i，则复数z 的虚部为( ) A.－2i B ．2i C ．2 D ．－2答案 D 解析 z ＝41＋i ＝4(1－i )(1＋i )(1－i )＝4(1－i )2＝2－2i ，故虚部为－2.故选D. (2)(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. (3)在复平面内，复数z ＝cos3＋i sin3(i 为虚数单位)，则|z |为( )A.4 B ．3 C ．2 D ．1答案 D解析 |z |＝cos 23＋s i n 23＝1.(4)设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i (i 为虚数单位，a ∈R )，若z 1z 2∈R ，则a ＝________. 答案 4解析 因为z 1z 2＝(2－i )(a ＋2i ) ＝2a ＋2＋(4－a )i ，且z 1z 2是实数，所以4－a ＝0即a ＝4.对应学生用书P198题型 一 复数代数形式的四则运算1.(2019·全国卷Ⅲ)若z (1＋i )＝2i ，则z ＝( ) A.－1－i B ．－1＋i C.1－i D ．1＋i答案 D解析 由z (1＋i )＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i (1－i )＝1＋i .故选D.2.已知i 是虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2020＝________. 答案 0解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21010＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1010＝i 8＋i 1010＝1＋i 4×252＋2＝0.1.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可． (2)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可． (3)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．2.记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i )2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i ；(4)a ＋bii ＝b －ai ；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i (n ∈N )．1.(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A.2 B ．－2 C.13 D ．－13答案 A解析 (2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i＝－4i ＋21－2i ＝2(1－2i )1－2i＝2. 2.(2019·武汉模拟)设复数z 满足1＋2z1－z＝i ，则z ＝( ) A.15＋35i B.15－35i C.－15＋35i D ．－15－35i 答案 C 解析 解法一：由1＋2z 1－z ＝i 得1＋2z ＝i －iz ，所以z ＝－1＋i 2＋i ＝(－1＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－15＋35i .故选C.解法二：设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则1＋2z1－z＝i 可化为1＋2a ＋2bi ＝i －ai ＋b ，则1＋2a ＋2bi ＝b ＋(1－a )i ，所以⎩⎨⎧1＋2a ＝b ，2b ＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝35，所以z ＝－15＋35i .故选C.题型 二 复数的有关概念1.(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i (2＋i )，则z －＝( ) A.1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案 D解析 ∵z ＝i (2＋i )＝－1＋2i ，∴z －＝－1－2i .故选D.2.(2019·青岛二模)“a ＝2”是“复数z ＝(a ＋2i )(－1＋i )i (a ∈R )为纯虚数”的( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当a ＝2时，(a ＋2i )(－1＋i )i ＝2(1＋i )(－1＋i )i ＝－4i ＝4i ，为纯虚数；若(a ＋2i )(－1＋i )i ＝－a －2＋(a －2)ii ＝a －2＋(a ＋2)i 是纯虚数，则a －2＝0，a＋2≠0，所以a ＝2.所以“a ＝2”是“复数z ＝(a ＋2i )(－1＋i )i (a ∈R )为纯虚数”的充要条件．故选C.3.(2019·全国卷Ⅰ)设z ＝3－i1＋2i ，则|z |＝( )A.2B. 3C. 2 D ．1答案 C 解析 ∵z ＝3－i 1＋2i ＝(3－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－7i5， ∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝ 2.故选C. 4.(2019·东北育才学校模拟)若复数z ＝a ＋i1－i ，且zi 3>0，则实数a 的值等于( )A.1 B ．－1 C.12 D ．－12答案 A解析 ∵z ＝a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －1＋(a ＋1)i2，∴zi 3＝(a －1)i 3＋(a ＋1)i 42＝－(a －1)i ＋(a ＋1)2.∵zi 3>0，∴zi 3为实数，∴－a －12＝0，∴a ＝1.当a ＝1时，zi 3＝1>0，符合题意．故选A.处理复数基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部和虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．1.(2019·山西大学附中模拟)复数i (－6＋i )|3－4i |的实部与虚部之差为( )A.－1 B ．1 C ．－75 D.75答案 B解析 因为i (－6＋i )|3－4i |＝－15－65i ，所以实部为－15，虚部为－65，所以实部与虚部之差为－15－－65＝1.故选B.2.(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋bi )2＝3＋4i (i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 答案 5 2解析 因为(a ＋bi )2＝a 2－b 2＋2abi .由(a ＋bi )2＝3＋4i ，得⎩⎨⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 题型 三 复数的几何意义1.(2020·福州质检)设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A.1＋iB.35＋45iC.1＋45i D ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i ，故选B.2.(2019·长沙一模)在复平面内表示复数m ＋im －i的点位于第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B ．(－∞，0) C.(0，＋∞) D ．(1，＋∞)答案 D解析 由题意，得m ＋i m －i ＝(m ＋i )2(m －i )(m ＋i )＝m 2－1＋2mi m 2＋1＝m 2－1m 2＋1＋2m m 2＋1i ，所以复数m ＋i m －i 对应的点的坐标为m 2－1m 2＋1，2mm 2＋1.又此点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1m 2＋1>0，2m m 2＋1>0，解得m >1，即实数m 的取值范围是(1，＋∞)．故选D.3.(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i |＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析 由已知条件，可得z ＝x ＋yi .∵|z －i |＝1， ∴|x ＋yi －i |＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离．1.(2019·长春二模)已知复数z ＝i ＋i 2，则在复平面内z 对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵i ＋i 2＝－1＋i ，∴i ＋i 2在复平面内对应的点为(－1,1)，在第二象限．故选B.2.在复平面内，若O (0,0)，A (2，－1)，B (0,3)，则在▱OACB 中，点C 所对应的复数为( )A.2＋2i B ．2－2i C ．1＋i D ．1－i答案 A解析 在▱OACB 中，OC →＝OA →＋OB →＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以点C 所对应的复数为2＋2i .3.如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z 对应的复数z 满足(z 1－i )·z ＝1，则复数z 1＝( )A ．－25＋45i B.25＋45i C.25－45i D.－25－45i 答案 B解析 由图可知z ＝2＋i ，因为(z 1－i )·z ＝1， 所以z 1＝1z ＋i ＝12＋i＋i ＝2－i 5＋i ＝25＋45i .对应学生用书P289组 基础关1.(2019·潍坊模拟)设z ＝i 3＋2－i1＋2i ，则z 的虚部是( )A.－1 B ．－45i C ．－2i D ．－2答案 D解析 z ＝i 3＋2－i 1＋2i ＝－i ＋(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－i ＋2－5i ＋2i25＝－i －i ＝－2i ，∴z 的虚部为－2.故选D.2.(2020·大连摸底)在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B 解析 z ＝4－7i 2＋3i＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i 13＝－1－2i ，其共轭复数z －＝－1＋2i 对应的点(－1,2)在第二象限.3.(2019·南宁二模)若复数z 满足(1＋z )(1＋i )＝1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝( ) A.22 B.32 C. 2 D. 3答案 A解析 解法一：由(1＋z )(1＋i )＝1＋2i ，得z ＝1＋2i 1＋i－1＝12＋12i ，所以|z |＝122＋122＝22.故选A.解法二：设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．由(1＋z )(1＋i )＝1＋2i ，得(1＋a ＋bi )(1＋i )＝1＋2i ，所以(1＋a －b )＋(1＋a ＋b )i ＝1＋2i ，所以⎩⎨⎧1＋a －b ＝1，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，所以z ＝12＋12i ，则|z |＝122＋122＝22.故选A.4.(2019·广东湛江测试)若z ＝(a －2)＋ai 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋ai ＝( ) A.i B ．1 C ．－i D ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋ai ＝2－i1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i .故选C.5.已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i >0，则m ＋2i2－2i＝( )A.i B ．1 C ．－i D ．－1答案 A解析 因为m ＋(m 2－4)i >0，所以m ＋(m 2－4)i 是实数，所以⎩⎨⎧m >0，m 2－4＝0，故m ＝2.所以m ＋2i 2－2i ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i1－i＝i . 6.(2019·江西省重点中学协作体第一次联考)已知i 为虚数单位，(1＋i )x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则|x ＋yi |＝( ) A.2 2 B. 2 C ．2 D ．4答案 A解析 ∵(1＋i )x ＝2＋yi ，x ＋ix ＝2＋yi .∴x ＝2，y ＝2，∴|x ＋yi |＝2 2.故选A. 7.(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z－2；p4：若复数z∈R，则z－∈R.其中的真命题为()A.p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，则b＝0且a≠0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z－2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒z－＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.8.(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．答案－2解析∵a∈R，a－i2＋i＝(a－i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝2a－1－(a＋2)i5＝2a－15－a＋25i为实数，∴－a＋25＝0，∴a＝－2.9.设i是虚数单位，若z＝i2020i2021－1，则复数z的虚部是________．答案－1 2解析因为z＝i2020i2021－1＝i505×4i505×4＋1－1＝1i－1＝－12－12i，所以复数z的虚部是－12.10.已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝________. 答案 43＋i解析 设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．因为z ＋|z |＝3＋i ，所以a ＋a 2＋b 2＋bi ＝3＋i ， 即⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，所以z ＝43＋i .组 能力关1.(2019·哈尔滨模拟)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，i 为虚数单位，z －为z 的共轭复数，则以下结论正确的是( ) A.z 2＝|z |2B.若a ＝0则z 为纯虚数C.(z －z －)(z ＋z －)＝0D.若a ＝b ，则z 对应复平面上的点在复平面一、三象限角平分线上 答案 D解析 z 2＝(a ＋bi )2＝a 2－b 2＋2abi ，|z |2＝(a 2＋b 2)2＝a 2＋b 2，故A 错误；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数，故B 错误；因为z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，所以z －＝a －bi ，(z －z －)(z ＋z －)＝2bi ·2a ＝4abi ≠0，故C 错误；z ＝a ＋bi ，对应复平面上的点坐标为(a ，b )，若a ＝b ，则此点在复平面一、三象限角平分线上，故D 正确.2.(2019·湖北四地七校联考)欧拉公式e iθ＝cos θ＋i sin θ(e 是自然对数的底数，i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有e i π＋1＝0.根据上述背景知识，试判断e －i 2020π3表示的复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B解析 由题意，e －i 2020π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2020π3＋i sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2020π3＝－cos π3＋i sin π3＝－12＋32i ，则e －i 2020π3表示的复数在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，位于第二象限．选B. 3.(2019·西安模拟)已知方程x 2＋(4＋i )x ＋4＋ai ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋bi ，则复数z 等于( ) A.2－2i B ．2＋2i C.－2＋2i D ．－2－2i答案 A解析 由题意得b 2＋(4＋i )b ＋4＋ai ＝0，整理得(b 2＋4b ＋4)＋(a ＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧ (b ＋2)2＝0，a ＋b ＝0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，所以z ＝2－2i . 4.已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则z 1＝z －＋|z |在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 A解析 令z ＝a ＋bi (a <0，b <0)，则|z |＝a 2＋b 2>|a |，z 1＝z －＋|z |＝(a 2＋b 2＋a )－bi ，又a 2＋b 2＋a >0，－b >0，所以z 1在复平面内对应的点在第一象限. 5.已知复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i (a ∈R )的对应点在复平面的第二象限，则|1＋ai |的取值范围是________． 答案 [1，5)解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.所以|1＋ai |＝1＋a 2∈[1，5).6.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3s i n θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫s i n θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.。
2023版高考数学一轮总复习第十五章数系的扩充与复数的引入课件文
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面, x轴 叫作实轴,
复平 y轴 叫作虚轴.
面 说明 实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚
数,各象限内的点都表示虚数.
复数
的模
考点1
复数的有关概念
2. 复数的几何意义
思维拓展 (1)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心,以r1和r2为半径的两圆所
乘法
z1·z2=(a+bi)·(c+d i)= (ac-bd)+(ad+bc)i
除法
.
考点2
复数的四则运算
2. 复数的运算律
对任意的z1,z2,z3∈C:
加法运算律
交换律:z1+z2= z2+z1 .
结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) .
交换律:z1z2=z2z1.
乘法运算律 结合律:(z z )z =z (z z ).
义.
考向1
复数的概念
2.变式 (1)[2020浙江高考]已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,
则a= ( C )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
(2)[2019全国卷Ⅱ][文]设z=i(2+i),则=( D )
A.1+2i
B.-1+2i
C.1-2i
D.-1-2i
(3)[2020全国卷Ⅰ]若z=1+i,则|z2-2z|=( D )
第十五章
入
数系的扩充与复数的引
要点提炼
考点1
复数的有关概念
1. 复数的有关概念
名称
2020年高三数学第一轮复习教案-复数-数系的扩充与复数的引入
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
→ 向量OZ的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作
|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
【知识必备】
知识点二 复数的几何意义
1．复数 z＝a＋bi 2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
→ 平面向量OZ.
【知识必备】
知识点三 复数的运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
对应的复数．
→→→ (4)复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是OZ1－OZ2＝Z2Z1所对应的
复数．
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典型例题】
【典题演练】
【典题演练】
【典题演练】
9.
-1
【作 业】
完成课时作业（六十一）
再见
【知识必备】
知识点三 复数的运算
2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1 ＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【知识必备】
【配套K12】[学习]山东省胶州市2018届高考数学一轮复习 第1讲 数系的扩充与复数的引入课前学案
![【配套K12】[学习]山东省胶州市2018届高考数学一轮复习 第1讲 数系的扩充与复数的引入课前学案](https://img.taocdn.com/s3/m/52ccca62767f5acfa0c7cd02.png)
4．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足 ＝i，则|z|＝()
A．1 B． C． D．2
5. 已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________．
我的困惑：
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)若a∈C,则a2≥0. ()
(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数. ()
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为 bi. ()
(4)方程x2+x+1 =0没有解. ()
(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因而在复数范围内两个数也能比较大小. ()
【双基自测】
1. 设m∈R，复数z＝m2 －1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为()
A．1B．－1 C．±1D．0
2. 设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝ x＋yi在复平面上对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 复数 的共轭复数为()
课堂设计
学生随堂手记
【课前自主复习区】
【基础自查】
1、复数的定义
定义
实部
虚部
相等
2、复数的分类
定义
3．复数的模
向 量 的模叫做复数z＝a＋ bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝(r≥0，a、b∈R)．
4．．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复 数z＝a＋bi(a，b∈R ) 平面向量 ．
第1讲 数系的扩充与复数的引入
学习目标
高三数学一轮复习讲义 数系的扩充与复数的引入教案 新人教A版
数系的扩充与复数的引入自主梳理1．数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集． 自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2．复数的有关概念 (1) 复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的________和________． 实部 虚部复数a ＋b i ⎩⎨⎧实数 b ＝0虚数――→ b ≠0纯虚数 a ＝0(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．a ＝c ，b ＝d(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．z 为z 的共轭复数。
a ＝c ，b ＝－d3．复数的几何意义(1) 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；，虚轴上的点（除原点外）都表示________；各象限内的点都表示____________．x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数（2）复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．_____平面向量OZ →________ (3)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作______或________，即|z |＝|a ＋b i|＝____________.|z | |a ＋b i| a 2＋b 24．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝________________； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝________________；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ a ＋b i c －d ic ＋d i c －d i＝________________________(c ＋d i≠0)．① (a ＋c )＋(b ＋d )i ②(a －c )＋(b －d )i ③(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ④ac ＋bd ＋ bc －ad ic 2＋d 2(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________， (z 1＋z 2)＋z 3＝______________________. z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3)5．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程(1) (a ±b i)2＝a 2±2ab i －b 2＝a 2－b 2±2ab i ，(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(2) i 4n ＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0 (n ∈N )(3) (1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i 的幂的性质，区分(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2与(a ＋b )2＝a2＋2ab ＋b 2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2与(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2失误与防范两个虚数不能比较大小． z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.自我检测1．复数i 2＋i 3＋i41－i 等于( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC .12－12i D.12＋12iC [i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1－i ＋11－i ＝－i 1－i ＝ －i 1＋i 1－i 1＋i ＝1－i 2＝12－12i.]2．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1等于( ) A ．－2iB ．－iC ．iD ．2iB [∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z ·z ＝|z |2＝2， ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.]3．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________. 解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ， 得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.4．在复平面内，复数z 满足iz ＋i＝2－i(i 为虚数单位)，则复数z 对应的点的坐标为________． (－15，－35)，5．已知复数z 满足1＋2i z ＝1－2i ，则复数z ＝__.－35＋45 i __________.题型一 复数的分类例1 已知m ∈R ，复数z ＝m m －2 m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面第二象限；(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．11．解 (1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0 得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m m －2 m －1＝0m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0，或m ＝2.∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(3)当z 对应的点位于复平面第二象限时，则有，⎩⎪⎨⎪⎧m m －2 m －1<0.m 2＋2m －3>0解得m <－3或1<m <2，故当m <－3或1<m <2时，z 对应的点位于复平面的第二象限． (4)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，则有m m －2 m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，得m m 2＋2m －4 m －1＝0，解得m ＝0或m ＝－1± 5.∴当m ＝0或m ＝－1±5时，点Z 在直线x ＋y ＋3＝0上．点评： (1)本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为代数形式，再依据概念求解．(2) 判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．变式训练1 当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限． 解得m ＝－1.解 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0m ＋3≠0，解得m ＝－2. (2)若z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3<0m 2＋5m ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－3或－2<m <3m <－3或m >－2，∴m <－3或－2<m <3.题型二 复数的代数运算例2 计算：.(1)(2＋2i)4(1－3i)5； (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 010； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i； (4)2＋2i (1－i)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 008. 解 (1)原式＝16(1＋i)4(1－3i)4(1－3i)＝16(2i)2(－2－23i)2(1－3i) ＝－644(1＋3i)2(1－3i)＝－16(1＋3i)×4＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 005＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 005＝i ＋i 1 005＝i ＋i4×251＋1＝i ＋i ＝2i.(3)方法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)226＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)226＋(2＋3i)i (3－2i)i ＝i 6＋(2＋3i)i 2＋3i ＝－1＋i. (4)原式＝2＋2i －2i ⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 004＝1＋i －i ⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1 004＝i －11·1＝－1＋i.点评：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．运算结果在解题中的应用，运算的最后结果化为a ＋b i (a ，b ∈R )的形式．要记住一些常用的结果，如i 、－12＋32i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度．变式训练2 (1) i 是虚数单位，1＋i 1－i 2＋1－i1＋i2等于( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1(2)已知复数z ＝3＋i (1－3i)2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝__14______. (3)复数(－1＋3i)51＋3i的值是__－16______．题型三 复数的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →， ∴OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.点评： 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合． 变式训练3(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i复数6＋5i 对应A 点的坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i.(2)复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若∠BAC 是钝角，则实数c 的取值范围为________________．解析 在复平面内三点坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c ，2c －6)，由∠BAC 是钝角得AB →·AC →<0且B 、A 、C 不共线，由(－3，－4)·(c －3,2c －10)<0，解得c >4911，其中当c ＝9时，AC →＝(6,8)＝－2AB →，三点共线，故c ≠9. c >4911且c ≠9(3)已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为___3_____．妙解] 由|z －2|＝3可得，|z －2|2＝(x －2)2＋y 2＝3.设y x＝k ，即得直线方程为kx －y ＝0，∴圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心(2,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝2|k |k 2＋1≤ 3.解得k ∈[－3，3]，即得y x的最大值为 3.题型四 用待定系数法解决复数问题例4（1）已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . （2）已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根，求m. 解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4－3(a 2＋b 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－1.故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋iy ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－iy ＝－1＋i .点评 复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题。
数学(文)一轮教学案：第十四章 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
第十四章 数系的扩充与复数的引入考纲展示 命题探究1 复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中实部是a ，虚部是b . 2 复数的分类 3 复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 4 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点表示纯虚数．5 复数的几何意义6 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，则|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )，即复数a ＋b i 的模表示点Z (a ，b )与原点O 的距离．特别地，b ＝0时，z ＝a ＋b i 是实数a ，则|z |＝|a |. 注意点 复数概念的理解的注意事项 (1)两个不全是实数的复数不能比较大小． (2)复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是i.(3)复数与向量的关系：复数是数的集合，而向量是有大小和方向的量，二者是不同的概念．为了令复数更好地发挥解决实际问题的作用，所以用向量来表示复数.1．思维辨析(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ，∈R )中，虚部为b i.( )(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小．( )(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．( ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限．3．在复平面内，已知6＋5i 对应的向量为OA →，AB →＝(4,5)则OB →对应的复数为________．答案 10＋10i解析 由AB →＝OB →－OA →得：OB →＝OA →＋AB →又∵AB →＝(4,5) ∴AB →对应的复数为4＋5i. ∴OB →对应的复数为：4＋5i ＋6＋5i ＝10＋10i.[考法综述] 复数的分类、实部、虚部、复数相等的条件、共轭复数、复数的模都会结合复数的运算一起考查．难度一般不大．命题法1 复数的概念与分类典例1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12 [解析] 解法一：设1＋a i2－i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2b ＝2.解法二：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋1＋2a 5i ，令2－a 5＝0且1＋2a5≠0，得a ＝2.[答案] A【解题法】 与复数概念及分类题型的解题步骤第一步，先把题目中的复数z 的代数形式设出，即设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．第二步，把非标准代数形式的复数通过复数的运算法则化为代数形式的标准形式，即化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．第三步，紧扣复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )根据分类列出相应的方程，如：若题目要求该复数是实数，则根据虚部b ＝0列出相关方程(组)．第四步，解方程(组)，求得结果． 命题法2 复数相等典例2 若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i[解析] 解法一：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ＝11＋7i ，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝11，2b －a ＝7，解得a ＝3，b ＝5，故选A.解法二：z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )5 ＝22－7＋(14＋11)i 5＝3＋5i. [答案] A【解题法】 复数相等问题的解题策略两复数相等的充要条件，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d ，(a ，b ，c ，d ∈R )．解决此类问题的本质就是分离出实部与虚部，使之分别相等，得到方程组，从而解决问题．命题法3 复数的模及几何意义典例3 (1)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)(2)a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B ． 3 C. 2D ．1[解析] (1)由i z ＝2＋4i ，得z ＝2＋4ii ＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.故选B.[答案] (1)C (2)B【解题法】 与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与向量OZ →对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质． 1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i D ．3－2i答案 A解析 因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i.2.设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点位于第二象限．3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i答案 A解析由题意知：z2＝－2＋i.又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A.4．设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为() A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i 答案 D解析z＝10i3＋i＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝30i＋1032＋12＝1＋3i，z＝1－3i，选D.5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i答案 D解析由a－i与2＋b i互为共轭复数，可得a＝2，b＝1.所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i.6. i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．答案－2解析由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.7．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 答案5解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z＝±(2＋i)，故|z |＝ 5.8．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 答案 21解析 由题意，得z ＝(5＋2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，其实部为21.1 复数的加法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两复数，那么z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.(2)运算律：交换律、结合律．(3)几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数，其中OZ 1→，OZ 2→分别为z 1，z 2所对应的向量．2 复数的减法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)几何意义：复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数．3 复数的乘法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)运算律：交换律、结合律、分配律． 4 共轭复数(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．用z 表示z 的共轭复数，若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.特别地，实数的共轭复数还是它本身．(2)几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．(3)性质：z ·z ＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2(a ，b ∈R )． 5 复数的除法运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，以简化运算．注意点 虚数单位i 的周期性计算得i 0＝1，i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，继续计算可知i 具有周期性，且最小正周期为4，故有如下性质(n ∈N )：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ； (2)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0. 1．思维辨析(1)若a ∈C ，则a 2≥0.( ) (2)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( ) (4)z ＝z ⇔z ∈R .( )(5)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．复数z 满足(z ＋2)(1＋i 3)＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i答案 D解析 由题意得：(z ＋2)(1＋i 3)＝2，(z ＋2)(1－i)＝2，z ＝21－i－2＝1＋i －2＝－1＋i ，故选D.3．已知实数m 是方程x 2＋(2＋i)x ＋n ＋2i ＝0，n ∈R 的一个根，则m ＋n ＝________.答案 －2解析 由题意知：m 2＋(2＋i)m ＋n ＋2i ＝0， 即m 2＋2m ＋n ＋(m ＋2)i ＝0，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋n ＝0m ＋2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝0，即m ＋n ＝－2[考法综述] 复数的四则运算法则及其加减法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则)，尤其除法运算及i 的运算规律为命题热点．命题法 复数的四则运算典例 (1)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1， 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(2)已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________. [解析] (1)z ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，故|z |＝2，p 1错误；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2正确；z 的共轭复数为－1＋i ，p 3错误；p 4正确．(2)∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.故填14.[答案] (1)C (2)14【解题法】 复数四则运算中常用技巧 (1)巧用“分母实数化”，求解复数除法运算．复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．其原理是(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a 、b ∈R )．(2)巧用“结论”，求解复数的乘方运算．记忆结论(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，在化简复数的过程中构造出结论的形式，便可直接代入进行计算．1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2 C. 3 D ．2答案 A解析 由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝i ，所以|z |＝1.2．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B. 3.若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i答案 A解析 由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 4.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i答案 C解析 i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i ，选C.5.已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 D解析 z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.6.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 D解析 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.故选D.7．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i答案 C解析 原式＝1＋ii ＋i(1－i)＝－(i ＋i 2)＋i(1－i)＝1－i ＋i ＋1＝2. 8．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 答案 3解析 复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2－b 2·i 2＝a 2＋b 2＝3.9．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 答案 6解析 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 10．复数2－2i 1＋i ＝________.答案 －2i解析 2－2i 1＋i ＝(2－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2－4i 2＝－2i. 已知复数z 满足z ＝2i 1＋3i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部是( )A.32 B ．－32 C ．－12 D ．－12i [错解][错因分析] 对虚部的概念理解不清，将复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部错误地认为是b i.[正解] z ＝2i 1＋3i ＝2i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝23＋2i 4＝32＋12iz 的共轭复数为32－12i ，∴z 的共轭复数的虚部为－12，故选C. [答案] C [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＝( ) A ．i B ．2－i C ．1－i D ．0答案 C解析 因为2z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，故选C.2．[2016·衡水中学周测]i 为虚数单位，若a1－i ＝1＋i i ，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2i 答案 C解析 由已知a 1－i ＝1＋i i 得，a i ＝(1－i)(1＋i)，a i ＝2，a ＝2i ＝－2i ，故选C.3．[2016·冀州中学月考]设复数z ＝2－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则在复平面内i z 对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)答案 C解析 ∵z ＝2－1－i ＝－1＋i ，∴i z ＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．4．[2016·武邑中学周测]在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45i B ．25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i答案 A解析 由2i 2－i ＝－25＋45i 可知该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45，故复数z ＝25＋45i ，故选A.5．[2016·衡水中学月考]已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A.12－12i B ．72－12i C.12＋12i D ．72＋12i答案 C解析 2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝5＋5i 10＝12＋12i.6．[2016·枣强中学猜题]若复数z ＝(2－i)i(其中i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．2－iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i答案 D解析 z ＝(2－i)i ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，选D.7．[2016·衡水中学期中]已知复数z ＝3＋4i ，z 表示复数z 的共轭复数，则|zi |＝( )A. 5 B ．5 C. 6 D ．6答案 B解析 由z ＝3＋4i ，得z ＝3－4i ，所以|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－4i i ＝|(3－4i)(－i)|＝|－4－3i|＝(－4)2＋(－3)2＝5.8. [2016·武邑中学期中]复数z ＝2i 20141－2i (i 是虚数单位)在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵i 2014＝(i 2)1007＝(－1)1007＝－1，∴z ＝2i 20141－2i ＝－21－2i ＝－2(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋2i 3，∴z 在复平面内的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－23，－23，故选C.9．[2016·衡水中学期末]若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )A.12＋i B ． 5 C.52 D ．54答案 C解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b＝－1，所以|a ＋b i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－i ＝52，选C.10．[2016·衡水二中期中]复数z ＝1－i ，则1z ＋z ＝( ) A.12＋32i B ．12－32i C.32－32i D ．32－12i答案 D解析 ∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝11－i ＋1－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＋1－i ＝1＋i 2＋1－i ＝32－12i ，故选D.11. [2016·枣强中学模拟]设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1 答案 A解析 解法一：|(1－z )·z |＝|1－z ||z |＝|2＋i||－1＋i|＝22＋12·(－1)2＋(1)2＝10.解法二：|(1－z )·z |＝|z －z ·z |＝|－1＋i －2|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.12．[2016·衡水二中期末]若a 为实数，i 为虚数单位，2＋a i 1＋2i ＝－2i ，则a 等于________．答案 － 2解析 由已知2＋a i1＋2i ＝－2i ，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)，即2＋a i ＝－2i ＋2，∴a ＝－ 2.能力组13.[2016·武邑中学猜题]复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7答案 C解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.14. [2016·冀州中学仿真]已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C解析 z ＝1＋2i1－i＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2014＝1×(1－z 2015)1－z ＝1－i 20151－i ＝1－i4×503＋31－i＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i. 15．[2016·武邑中学预测]已知x 1＝1－i(i 是虚数单位)是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则实数a ＝________，b ＝________.答案 －2 2解析 由题意，知x 2＝1＋i 是方程的另一根，因此－a ＝x 1＋x 2＝2，a ＝－2，b ＝x 1x 2＝(1－i)(1＋i)＝2.16．[2016·衡水二中模拟]已知复数 z ＝4＋2i(1＋i )2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________.答案 －5解析 z ＝4＋2i (1＋i )2＝4＋2i 2i ＝(4＋2i )i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.。
高三数学 一轮复习 第13知识块第1讲 数系的扩充与复数的引入课件 文 新人教A版
④除法： (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2 z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)
1．下列命题正确的是(
)
①(－i)2＝－1；②i3＝－i；③若a＞b，则a＋i＞b＋i；④若z∈C， 则z2＞0. A．①② B．①③ C．②③ D．①②④
解析：z＝(3＋i)i＝3i＋i2＝－1＋3i，∴点(－1,3)位于第二象限． 答案：B
4．复数i2(1＋i)的实部是________．
解析：i2(1＋i)＝－(1＋i)＝－1－i. 答案：－1
解答有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部，然后
根据定义列出方程或方程组．
【例1】 (1)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(
解析：虚数不能比较大小，故③错误．④错误． 答案：A 2．(2009· 安徽)i是虚数单位，i(1＋i)等于( A．1＋i B．－1－i C．1－i ) D．－1＋i
解析：i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i. 答案：D
3．复数z＝(3
)
B．第二象限 D．第四象限
2．复数的几何意义 (1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴， y轴 叫做虚轴．实轴上的点都表示 示 . 纯虚数 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． 平面向量 (a，b∈R)． 实数 ；除原点外，虚轴上的点都表
(2)复数与点：复数 ＝a＋bi (3)复数与向量：复数 ＝a＋bi (4)复数的模：向量 作 |z|或|a＋bi| ， .
答案：(1)C (2)D
变式3：(1)复数
高考数学一轮复习 5.4 数系的扩充与复数的引入学案(文,含解析)新人教A版
学习资料5.4数系的扩充与复数的引入必备知识预案自诊知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义3.复数的运算(1）复数的加、减、乘、除运算法则 设z 1=a+b i ，z 2=c+d i(a ，b ，c ,d ∈R ）,则 ①加法：z 1+z 2=(a+b i)+(c+d i)= ； ②减法：z 1—z 2=(a+b i ）—(c+d i ）= ; ③乘法：z 1·z 2=(a+b i)·(c+d i ）= ； ④除法：z 1z 2=a+bi c+di =(a+bi )(c -di )(c+di )(c -di )=ac+bd c 2+d 2+bc -adc 2+d 2i （c+d i ≠0）.(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1，z 2,z 3∈C ,有z 1+z 2= ，（z 1+z 2)+z 3= .（3）复数加、减法的几何意义若复数z 1,z 2对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,则复数z 1+z 2是以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数；复数z 1-z 2是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数。
1。
（1±i)2=±2i;1+i 1-i =i;1-i1+i =-i 。
2。
—b+a i =i （a+b i ）（a ,b ∈R ）.3.i 4n =1，i 4n+1=i ，i 4n+2=-1,i 4n+3=—i （n ∈N ＊)。
4。
i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0（n ∈N ＊). 5。
复数z 的方程在复平面上表示的图形（1）a ≤|z|≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环;（2）|z —（a+b i)|=r （r>0）表示以（a ，b ）为圆心,r 为半径的圆.考点自诊1。
2015届高三数学(文,山东版)一轮课件：第11章 第4节 数系的扩充与复数的引入
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三、复数的运算 1．运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
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【尝试解答】 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项 A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则aab2≥＝b02，， 故 b＝
0 或 a，b 都为 0，即 z 为实数，正确．选项B Nhomakorabea，
z2
＝
(a
＋
bi)2
＝
a2
－
b2
p1：|z|＝2； p2：z2＝2i；
p3：z 的共轭复数为 1＋i； p4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
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【思路点拨】 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，结合选项逐一判断． (2)把复数 z 化成 m＋ni(m，n∈R)的形式，然后根据复数的相 关概念判断命题是否正确．
＋
2abi<0
，
则
ab＝0， a2<b2，
则
a＝0， b≠0，
故 z 一定为虚数，正确．
选项 C，若 z 为虚数，则 b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
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2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 数系的扩充与复数的引入课件
州
二
次
质
检
)
定
义
运
算
a c
b d
＝
ad
－
bc
，
则
符
合
条
件
z 2
11＋i＝0 的复数 z 对应的点在(
A．第一象限
) B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A [由题意得 z×1－2(1＋i)＝0，则 z＝2＋2i 在复平面内对应的点为(2,2)，位
于第一象限，故选 A．]
[变式训练 1] (1)(2017·合肥二次质检)已知 i 为虚数单位，复数 z＝2＋i i的虚部为
( ) 【导学号：00090142】
A．－15
B．－25
C．15
D．25
(2)设 z＝1＋1 i＋i，则|z|＝(
)
A．12
B．
2 2
C．
3 2
(1)D (2)B
D．2 [(1)复数 z＝2＋i i＝2＋i2i－2i－ i＝1＋5 2i＝15＋25i，则其虚部为25，故
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔_a_＝__c_，__b_＝__d_ (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔_a_＝__c_，__b_＝__－__d_ (a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：设复数 z＝a＋bi 在复平面内对应的点是 Z(a，b)，点 Z 到原点 的距离|OZ|叫作复数 z 的模式绝对值．即|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2__.
[规律方法] 1.复数 z、复平面上的点 Z 及向量O→Z相互联系，即 z＝a＋bi(a，b ∈R)⇔Z(a，b)⇔O→Z. 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与 解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直 观．
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第1讲数系的扩充与复数的引入
学习目标
1.通过基础自查，.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
2．了解复数的代数表示法及其几何意义．
3．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的意义．重难点
会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意
义
合作探究
课堂设计
随堂手记
【课堂互动探究区】
考点一: 复数的有关概念
(1)(2016·高考全国卷乙)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为
实数，则a＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
(2)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于
( )
A．3，－2 B．3，2 C．3，－3 D．－1，4
(3)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2 C． 2 D． 3
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)
(2
[我会做]
1．(2017·九江第一次统考)设复数z＝
2－i
1＋i，则z的共轭复数为( )
A．
1
2－
3
2i B．
1
2＋
3
2i C．1－3i D．1＋3i
2．(2017·郑州第一次质量预测)设i是虚数单位，若复数m＋
10
3＋i(m∈R)是纯虚
数，则m的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
考点二: 复数的几何意义
(1)(2017·唐山模拟)复数z＝
3＋i
1＋i＋3i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)在复平面内与复数z＝
5i
1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )
A．1＋2i B．1－2i C．－2＋i D．2＋i
(3)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA
→
，OB
→
，则|z1＋z2|＝( )
A．2 B．3 C．2 2 D．3 3
复数的几何意义及应用
(1
(2)
[我会做]
1．(2017·长春质量检测)复数
1－i
2－i的共轭复数对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．(2016·高考全国卷甲)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
考点三: 复数代数形式的运算(高频考点)
复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小．
高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)复数的乘法运算； (2)复数的除法运算； (3)利用复数相等求参数．
(1)(2016·高考北京卷)复数1＋2i
2－i ＝( ) A ．i B ．1＋i C ．－i D ．1－i
(2)(2016·高考全国卷丙)若z ＝1＋2i ，则4i
z z －1
＝( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
(3)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－i 2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6
＝________．
复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法 (2)复数的除法 [我会做]
角度一 复数的乘法运算
1．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5i D ．7＋5i
角度二 复数的除法运算 2．计算下列各式的值：
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2
(2)2＋4i
（1＋i ）2
(3)1＋i
1－i ＋i 3.
角度三 利用复数相等求参数
3．(2015·高考全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i
1＋i ＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3
D ．4
4．(2015·高考全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝( )
A ．1
B ．2
C ． 3
D ．2
5.教材习题改编 已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________．
达标检测
1．(2017·安徽安庆模拟)设i 是虚数单位，如果复数a ＋i
2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )
A ．13
B ．－1
3 C ．3
D ．－3
2．(2017·广东肇庆模拟)若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则|z |＝( )
A ．25
B ．35
C ．105
D ．10
3．(2017·福建基地综合测试)已知x
1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2＋i
D ．2－i
4．(2017·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( )
A ．2－1
2 B ．2－1 C ．1
D ．2＋12
5．(2017·商丘模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2
＝a ＋b i(a ，b ∈R ，
i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4
D ．4
6．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i
(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i
（1－i ）2
(3)1－3i （3＋i ）2.
★7.定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x 1x 2 y 1y 2＝x 1y 2－x 2y 1，则复数z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋i 3－i －1 i (i 是虚数单
位)的共轭复数是________________________________________________________ ★8.已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i.
求z .
我的困惑：。