数学冲刺2答案一份

数学冲刺2答案一、选择题目1.A ； 2C ； 3D ； 4D ； 5D ； 6B ；7B ；8D ； 9A ； 10C ； 11C.； 12B.. 13B 14C 15C 16B 17D 18B 19C 20D 21A 22C 23A 24B 二填空题25.214-； 26. -4,0,4； 27 1-=x 5.； 28. π12 29、64 30、4 31、])4(3[7111++--n n 32、 10三、解答题33. (本小题满分12分) 解：（1）由题意知⎩⎨⎧++=+=+).6)(()2(,106411211d a d a d a d a …………………………3分 解得⎩⎨⎧=-=321d a ……………………………………………………… 5分所以a n =3n －5.………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）∵15384122--⋅===n n a n n b ∴数列{b n }是首项为41，公比为8的等比数列，---------------------------9分 所以;281881)81(41-=--=n n n S …………………………………………12分34解：（1）由f (0)=2a =2, 得a =1 ,2,4321)3(=+=b b a f 得π∴f (x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2x +cos2x +1=1)42sin(2++πx∴f (x )的最大值是12+，最小值是21- （2）∵,22)42sin(01)42sin(2,0)(-=+⇒=++=παπαα得f .).12(4743232),2,0()10(,24,452424242分或或或分或或παπαπαπαπαππαππαπππαπππα====∴∈∈+=-=∴∈+=+-=+∴ZkkkZkkk35（1）由已知:∴∴锐角△ABC ∴（2）原式===36解：(Ⅰ)茎叶图…………2分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；………………4分（Ⅱ）设事件A为：甲的成绩低于12.8，事件B为：乙的成绩低于12.8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于12.8秒的概率为：=P))((1BAP-=541051041=⨯-；……………8分(此部分，可根据解法给步骤分:2分)（Ⅲ）设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则0.8x y-<，……………10分得0.80.8x y x-+<<+，如图阴影部分面积即为33 2.2 2.2 4.16⨯-⨯=，则4.16104(0.8)(0.80.8)33225P x y P x y x-<=-+<<+==⨯.…………12分O z yxFMEDCB A 37.解：（Ⅰ）记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件A ，…………………（1分）则()31115222310C C C C 2==C 3P A ,即取出的3张卡片上的数字互不相同的概率为23．…………（3分）（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为2，3， 4，5，……………………………（4分）相应的概率为：34310C 1(2)C 30P X ===，12212424331010C C C C 2(3)C C 15P X ==+=，12212626331010C C C C 3(4)C C 10P X ==+=，12212828331010C C C C 8(5)C C 15P X ==+=，………………………………………（6分）∴随机变量X 的分布列为：X 2 3 4 5P130 215 310 815 从而123813()2345301510153E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………（8分） （Ⅲ）从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，所以要计分超过30分，随机变量X 的取值应为4或5，…………………………………（10分）故所求概率为385(4)(5)10156P P X P X ==+==+=.……………………（12分）38解：（1）以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,2(A ，)0,2,2(B )0,4,0(C ，)2,0,0(E ，所以)1,2,0(M .∴)1,0,2(-=BM ————————2分 又，)0,4,0(=OC 是平面A D E F 的一个法向量. ∵0=⋅OC BM 即OC BM ⊥ ∴BM ∥平面A D E F ——————4分 （2）设),,(z y x M ，则)2,,(-=z y x EM ， 又)2,4,0(-=EC设10(<<=λλEC EM ，则，λλ22,4,0-===z y x 即)22,4,0(λλ-M .——6分 设),,(111z y x n =是平面BDM 的一个法向量，则02211=+=⋅y x n OB 0)22(411=-+=⋅z y n OM λλ取11=x 得 λλ-=-=12,111z y 即 )12,1,1(λλ--=n又由题设，)0,0,2(=OA 是平面ABF 的一个法向量，——————8分∴ 2166)1(4222|||||,cos |22=⇒=-+=⋅⋅=><λλλn OA nOA n OA ————10分 即点M 为EC 中点，此时，2=DEM S ∆，AD 为三棱锥DEM B -的高，∴ =-BDE M V 342231=⋅⋅=-D EM B V ————————————12分39解：(Ⅰ)存在，线段BC 的中点就是满足条件的点P ．…………………（1分） 证明如下：取AB 的中点F ，连接DP PF EF ,,，则PF AC ，且12FP AC =.…………………………………（2分） 取AC 的中点M ，连接,EM EC ，AE AC = 且60EAC ∠=︒，EAC ∴V 是正三角形，EM AC ∴⊥．∴四边形EMCD 为矩形，12ED MC AC ∴==． 又ED AC ，ED FP ∴ 且ED FP =，∴四边形EFPD是平行四边形．………………………………………（4分）∴DP EF ，又EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，∴DP平面EAB ．………（6分）（II ）（解法1）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连接DG ，ED AC ，∴ED l ，则l 是平面EBD 与平面ABC 的交线．…………（8分） 平面EAC ⊥平面ABC ， DC AC ⊥，∴DC ⊥平面ABC ，又CG l ⊥ ，∴l DG ⊥，∴DGC ∠是所求二面角的平面角．……………（10分）设2AB AC AE a ===，则3CD a =，2GC a =，227GD GC CD a ∴=+=，∴27cos cos 7GC DGC GD θ=∠==． …………………………（12分）（解法2） 90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，∴以点A 为坐标原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示．设2AB AC AE a ===，由已知，得(200)B a ，，，(0,,3)E a a ，(0,2,3)D a a ．(2,,3)EB a a a ∴=--，(0,,0)ED a =，……………………………（8分）设平面EBD 的法向量为(,,)x y z =n ， 则EB ⊥ n 且ED ⊥n ，EB =ED =⎧⋅⎪∴⎨⋅⎪⎩ n n ，2300 ax ay az ay ⎧--=⎪∴⎨=⎪⎩， 解之得320 x z y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，取2z =，得平面EBD 的一个法向量为(3,0,2)=n .………………………（10分） 又因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)'=n ．……………………（11分）22222230002127cos |cos ,|7(3)02001θ⨯+⨯+⨯'∴===++⋅++狁n n .……………（12分） 40. (本小题满分12分)解：（1）设),(y x M 、),(00y x P ，由于DP DM λ=和⊥PD x 轴，所以⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==⇒==λλy y x x y y x x 0000代入圆方程得：144222=+λy x --------------2分 当11<<λ时，轨迹C 表示焦点在x 轴上的椭圆；当1=λ时轨迹C 就是圆O ； 当1>λ时轨迹C 表示焦点是y 轴上的椭圆.---4分（2）由题设知)0,2(A ，)2,0(λB ，E ，F 关于原点对称，所以设)32,(11x x E ，)32,(11y x F --，)32,(00x x G ，不妨设01>x ---------------6分直线 AB 的方程为：122=+λy x 把点G 坐标代入得2360+=λλx 又， 点E 在轨迹C 上，则有⇒=+19422121λx x 49621+=λλx -------8分∵ GF EG 6=即 )(60110x x x x --=- 1075x x =⇒-----------10分 ∴ ⋅=+75236λλ4962+λλ（0>λ）⇒ 9821or =λ----------12分41解：(Ⅰ)由题意得，直线AB 的方程为0(0).bx ay ab a b +-=>>……………（1分）由55222=+ba ab及2322=-a b a ，得.1,2==b a ……………………（3分） 所以椭圆的方程为.1422=+y x ………………………………………（4分） (Ⅱ)43QM QN QP =-，4PM PN ∴= . ①……………………………（6分）当直线l 的斜率不存在时，(0,1)M -，(0,1)N ，易知符合条件，此时直线l 的方程为.0=x ………………………………………………（8分）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为35+=kx y ，代入1422=+y x 得.064120)369(22=+++kx x k由2214 400256(936)0Δk k =-+>，解得942>k . 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122120936kx x k +=-+， ②22136964k x x +=， ③…………………………………（10分）由①得.421x x = ④由②③④消去21,x x ，得222216(24)936(936)k k k =++，即22361936k k =+，无解. 综上存在符合条件的直线0.l x =：…………………………………（12分）42．(本小题满分12分)解：（1）22)1()()1)(2()(++-++='x bx ax x b ax x f .由于直线.0145=+-y x 的斜是45，且过点（23,1）， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=+⇒='=21454323245)1(23)1(b a b a b a f f 即1)(2++=x x x x f -------4分（2）由（1）知：),1(12)1ln(2)(2->++-+=x x xx mx x g 则 22)(22)22()(+-+-+-='x mx m mx x g ，--------------------------6分 令m x m mx x h 22)22()(2-+-+-=，当0=m 时，22)(+=x x h ，在[)+∞∈,0x 时，0)(>x h 0)(>'x g 即，)(x g 在[)+∞,0上是增函数，则0)0()(=≥g x g ，不满足题设.当0<m 时，∵011222<-=---mm m 且022)0(>-=m h ∴[)+∞∈,0x 时，0)(>x h 0)(>'x g 即，)(x g 在[)+∞,0上是增函数，则 0)0()(=≥g x g ，不满足题设.----------------------------------8分当10<<m 时，则0)1(4)22(4)22(22>-==+-=m m m m ∆，由0)(=x h 得01121<---=m m m x ； 01122>-+-=mm m x则，),0[2x x ∈时，0)(>x h ，0)(>'x g 即，)(x g 在[)2,0x 上是增函数，则 0)0()(2=≥g x g ，不满足题设.--------------------------------------10分当1≥m 时，0)1(4)22(4)22(22≤-==+-=m m m m ∆，0)(≤x h 0)(≤'x g 即，)(x g 在[)+∞,0上是减函数，则0)0()(=≤g x g ，满足题设.综上所述，),1[+∞∈m -------------------------------------------------12分43解：（Ⅰ）22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x-++--'=-++==，0x >，令0)(='x f 得1=x 或2a x =. 2a > ， 1.2a ∴>当01x <<及2a x >时，()0f x '>；当12ax <<时，()0f x '<， ()f x ∴的单调递增区间为(0,1),(,)2a+∞.……………………………（3分）（Ⅱ）当4a =时，x x x x f ln 46)(2+-=，4()26f x x x'=+-，0x >.令4()266f x x x '=+-=-，方程无解，∴不存在60x y m ++=这类切线.…………（5分） 令4()263f x x x '=+-=得12x =或4x =，当12x =时，求得174ln 24n =--； 当4x =时，求得8ln 220n =-.………………………………………（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当4=a 时，函数)(x f y =在其图象上一点))(,(00x f x P 处的切线方程为20000004()(26)()64ln y m x x x x x x x x ==+--+-+, 设220000004()()()64ln (26)()(64ln )x f x m x x x x x x x x x x x ϕ=-=-+-+----+， 则0()0.x ϕ=………………………………………………（8分）00000044222()26(26)2()(1)()()x x x x x x x x xx xx x x ϕ'=+--+-=--=--， 若02x <，)(x ϕ在002(,)x x 上单调递减，所以当002()x x x ∈，时，0()()0x x ϕϕ<=，此时0)(0<-x x x ϕ；若02x >，()x ϕ在002(,)x x 上单调递减，所以当002(,)x x x ∈时，0()()0x x ϕϕ>=，此时0)(0<-x x x ϕ.所以()y f x =在(0,2)(2,)+∞ 上不存在“类对称点”.………………（10分） 若02x =，22()(2)x x xϕ'=-，()x ϕ∴在(0,)+∞上是增函数， 当0x x >时，0)()(0=>x x ϕϕ，当0x x <时，0)()(0=<x x ϕϕ，故0()0.x x x ϕ>-即此时点P 是()y f x =的“类对称点”.综上，()y f x =存在“类对称点”，2是一个“类对称点”的横坐标.………………（12分）44（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 解：（I ）证明：∵CBD ABD ∠=∠，ECD ABD ∠=∠∴ECD CBD ∠=∠，又EDC CDB ∠=∠，∴△BCD ～△CED ，∴DBDCDC DE =， ∴CD 2=DE ·DB ； ………………（5分）45．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=---------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=⇒ρπθ.（ 也可以是：3πθ=或)0(34≥=ρπθ）---------------------5分（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ 得 0332=--ρρ-----------------------------7分 设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ，则154)(||||2122121=--=-=ρρρρρρAB .---------10分（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 46．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>-<<-+--≤=)2(3)21(12)1(3)(x x x x x f ，------------------3分又当21<<-x 时，3123<+-<-x ，∴3)(3≤≤-x f -----------------------------------------------5分（2）当1-≤x 时，121322=⇒≤≤-⇒≤-x x x x ；当21<<-x 时，11111222≤<-⇒≤≤-⇒+-≤-x x x x x ； 当2≥x 时，φ∈⇒-≤-x x x 322；-------------------------8分综合上述，不等式的解集为：[]1,1-.-------------------------10分47解：（Ⅰ） CE AC =，∴E CAE ∠=∠．……………………………（2分） AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠．DBC CAE ∠=∠，∴DBC E CAE ∠=∠=∠．ABC ABD DBC ∠=∠+∠，ACB E CAE ∠=∠+∠，……………………（4分） ∴ABD CAE ∠=∠，ABD DBC ∴∠=∠，即BD 平分ABC ∠．……………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知CAE DBC ABD ∠=∠=∠．又 ADF ADB ∠=∠，∴ADF BDA V V ∽．………………………（7分）∴AD DFBD AD=， 6AD =，8BD =． ∴236982AD DF BD ===．…………………………………（10分） 48解：（Ⅰ）将点P 43π⎛⎫⎪⎝⎭，化为直角坐标，得()223P ，，………………（2分） 直线l 的普通方程为31y x =+，显然点P 不满足直线l 的方程， 所以点P 不在直线l 上.………………………………………（5分）（Ⅱ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点()2cos ,sin Q θθ+，…………………（6分） 点Q 到直线l ：31y x =+的距离为2sin 2313|233cos sin 1|231d θθθπ⎛⎫-++ ⎪+-+⎝⎭==+，………………（8分） 所以当sin 13θπ⎛⎫-=-⎪⎝⎭时，min 2312d -=， 当sin 13θπ⎛⎫-=⎪⎝⎭时，max 2332d +=． 故点Q 到直线l 的距离的最小值为2312-，最大值为2332+.……………（10分） 49解：(Ⅰ)()135()213(4)235(4)x x f x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=+⎨⎪->⎪⎪⎩剟.………………………（2分） 由35412x x -+>⎧⎪⎨<⎪⎩解得13x <；由34142x x +>⎧⎪⎨⎪⎩剟解得14x <…； 由3544x x ->⎧⎨>⎩解得4>x ，…………………………………（4分）综上可知不等式()4f x >的解集为1|13x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或.………………………（5分） （Ⅱ）由()y f x =的图象，可知()f x 在12x =处取得最小值72，…………（6分） x ∀∈R ，29()2f x λλ-+…,………………………………………（8分）∴27922λλ-+…,即22970λλ-+…,∴1λ…或72λ…. ∴实数λ的取值范围为(]7,1,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭.…………………………（10分）。