高等数学系统复习

高等数学系统复习刘丛志第一章 极限与函数连续性1.1基本概念与内容提要1） .极限存在的条件：左极限等于右极限。

相关联的题型：（1）函数连续性和可导性的判断及应用；（2）求函数的间断点：①第一类间断点（左右极限存在）：a>可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。

b>跳跃间断点：左右极限存在但不相等。

②第二类间断点：除第一类间断点以外所有的间断点；（3）用定义求导数，若()()000lim x x f x f x x x →--存在，则函数在0x 处可导且()()()00'00lim x x f x f x f x x x →-=-。

所以，判断可导性就是判断极限()()00limx xf x f x x x →--是否存在；(4)求函数的渐近线：①水平渐近线：()lim x f x A →∞=，则y=A 是f(x)的水平渐近线；②铅直（垂直）渐近线：()0lim x x f x →=∞，则0x x =是()y f x =的铅直（垂直）渐近线；③斜渐近线：y kx b =+其中()()lim,lim x x f x k b f x kx x→∞→∞==⎡-⎤⎣⎦；④斜渐近线最多有两条，水平渐近线最多有两条，水平渐近线与斜渐近线的总条数最多有两条。

2）.连续函数的极限 3）.常用极限：()101,lim cot 0,n n x a arc x →∞→∞→+∞=>==00lim cot ,,limarctan ,limarctan 22lim 0,lim ,lim 1,lim ln 0x x x xxxx x x x arc x x x e e x x x πππ++→-∞→+∞→-∞→-∞→+∞→→===-==∞==4） .极限的四则运算5）.极限存在准则（夹逼定理、单调有界定理）6）.两个重要极限及其变形：()10sin lim 1,lim 1xx x xx e x→→=+= 7）.洛比达法则（重点）8）.等价无穷小替换求极限（注意：有界函数与无穷小的积是无穷小）：等价无穷小是指在乘积型极限中，一个无穷小因式可以用与它等价的无穷小因式代替。

常用等价无穷小：当0x →时，()sin ,tan ,1,ln 1,xx x x x e x x x -+()2111cos ,11,1ln 1,arcsin ,2a x x x x ax a x a x x x n -+--- a r c t an x x 。

注意：高阶无穷小、k 阶无穷小的判断及应用。

补充：无穷大量比较：①当n →∞时，无穷大的阶数由低到高排列为：()()()ln ,0,0,1,n n n n n a a n αβαβα>>>>；②当x →∞时，无穷大的阶数由低到高排列为：()()()ln ,0,0,1,x x x x x a a x αβαβα>>>>。

9） .利用泰勒公式、中值定理求极限，求极限常用迈克劳林公式为：()()()()()()()()()()()2121352224213551231...1!2!!1sin ...3!5!21!1cos 1...2!4!2!12tan 31511ln 1...123nxn n n n nn n nn n x x x e o x n x x x x x o x n x x x x o x n x x x x o x x x x x x o x n--++=+++++-=-++++--=-++++=++++=-+++-+()211...1n n x x x o x x=+++++- 10） .利用定积分的定义求极限11） 证明数列极限存在的方法：①夹逼定理②单调有界定理③级数敛散法：若级数()11nn n aa ∞-=-∑收敛，则lim n n a →∞存在④级数收敛的必要条件：若级数1nn a∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=。

补充：给定数列{}n a ，则lim n n a →∞存在的充要条件是级数()11nn n aa ∞-=-∑收敛。

所以，判断数列的敛散性可以转化为判断级数的敛散性。

12）抓大头公式：0101101,...lim 0,...,n n n m m x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩，数列极限也可用。

13） 中值定理求极限：关键是将欲求的极限写成中值定理的形式。

14）利用级数收敛的必要条件求极限：若()1n f n ∞=∑收敛，则()()l i m l i m 0n x f n f x →∞→∞==。

求极限可以转化为求定积分、判断级数的敛散性等。

例1：tan sin 0lim sin x xx e e x x→--。

解：方法一：由拉格朗日中值定理得()tan sin tan sin xxeee x x ξ-=-，其中ξ在sin x 与tan x 之间，当0x →时0,1e ξξ→→()tan sin 2000tan sin sec cos lim lim lim sin sin 1cos x x x x x e x x e e x xx x x x x ξ→→→---∴==--- ()3220001cos limsec lim lim 1cos cos 31cos x x x x x x x x→→→-==++=- 方法二：先处理一下，在使用等价无穷小和洛比达法则()sin tan sin tan sin 0001tan sin lim lim lim 3sin sin sin x x x x xx x x e e eex x x x x xx x-→→→---===--- 例2.求12lim 1nn x dx x→∞+⎰。

解：10,2ξ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得()120121n n x dx x ξξ=++⎰，()120lim lim 0121n nn n x dx x ξξ→∞→∞∴==++⎰ 例3.设222:r D x y r +≤，则()2221lim cos rx y r D e x y dxdy r +--→+⎰⎰=___________.解：(),r D ξη∃∈使得()()22222cos cos rxy D e x y dxdy r e ξηπξη----+=+⎰⎰，当0r +→时()(),0,0ξη→，()()222221lim cos lim cos rx y r D e x y dxdy e r ξηξηπξηπ+----→→→∴+=+=⎰⎰例4.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn n ππππ .1222201021limcos cos ...cos cos 1sin 211cos 220222n n xdx n n n n x x x dx ππππππππππππ→∞-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭++===⎰⎰ 例5.求极限211lim 1nn i i n n→∞=∑++。

解：()22222211,i i i n nn ++∴<<∴由介值定理得1,i i i n n ξ+⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得2221i i n ξ+=，1122221112102111111lim lim lim lim 11111141n n n n n n n i i i i n n i i n n n n n ndx xξπ--→∞→∞→∞→∞===∴=+=∑∑∑+++++++==⎰+例6.当0x →时，无穷小量()f x =-x 的阶为______。

115155515315331115x x x x o x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++⎢⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦119199315515551113x x x x o x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++⎢⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()159591535351153f x x x x o x o x⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+-⎢⎥⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是关于x的152615315+=阶。

例7.求()2202112limcos sinx xxx e x→+--。

()24411128x x o x=+-+()()222221cos1,12xx x o x e x o x=-+=++()()224422 1131,cos282xx x o x x e x o x∴+-=+-=-+()()()442200222211111882lim lim3312 cos sin22x xxx o xxx e x x x o x→→++-∴===-⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦例8.设()lim20111nnn nαββ→∞=--，求,αβ的值。

解：()1111n n n n n ααββββ-=--⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()limlim2011,0,0111n x n x n n x αβαββββαβ-→∞→∴==∴->≠----又()10001limlim lim 201111x x x x x x x x βαβαβαβββ----→→→===-- 12010110,2011,,20112011βααββ∴--==∴=-=例9.设数列{}n x 满足：11sin(2)sin11n n x n n n <<+++，则 11lim 1nk n k x n →∞==+∑_______。

STOLZ(施托尔茨定理)：11{}+lim ()n n n n n n n x x y y a a y y -→∞--→∞=-∞≤≤+∞-设严格单增，且，如果11lim =lim =n n n n n n n n x x x a y y y -→∞→∞---则 推论：121212121+++1lim lim lim +++(+++)(+++)lim lim lim (1)nn nn n n n n n nn n n x x x x x nx x x x x x x x x x n n n →∞→∞→∞-→∞→∞→∞=-==--（）设存在，则L L L L Q12lim lim ln +ln ++ln 1lim limln limln limln n n nn n n nnn n nn n x x x x x x x nx →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞===（2）设存在(>0)，则由（）可证即L Q-1-1-13lim lim limn nn n n n n n nn n n n x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞==（）设存在(>0)，则Q11sin(2)sin 111n n n x n x n n <<+∴→++证明 显然，；Q 1111lim lim lim lim 1111nnn k k k k k n n n n k x x n n x n n n n n==→∞→∞→∞→∞=∴=⋅=⋅=+++∑∑∑ 例10. 设00x >，112(1)2n n x x x --+=+（1,2,3,...n =）. 证明lim n n x →∞存在，并求之.分析：证明数列极限存在的方法：①夹逼定理②单调有界定理③级数敛散法：若级数()11nn n aa ∞-=-∑收敛，则lim n n a →∞存在④级数收敛的必要条件：若级数1n n a ∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞=。