高中数学必修4平面向量复习5正弦定理余弦定理

高中数学必修4平面向量复习5正弦定理余弦定理第一篇：高中数学必修4平面向量复习5正弦定理余弦定理5．5正弦定理、余弦定理要点透视：1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C来解题．2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．3．要注意利用△ABC中A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式B CAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，进行三角变换的运22用．4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：（1）根据题意画出示意图．（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．（4）给出答案．活题精析：例1．(2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD的边长是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四边形ABCD的面积．要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．解：如图所示，连BD，四边形ABCD的面积11S=SςABD+SςCDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，221∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCco sC＝52－48cosC．213又cosA=－cosC, ⇒cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.2323∴ S=16×=8.2例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要点精析：（1）∵ a，b，c成等差数列，∴ b2=ac．又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得b2+c2-a21cosA==．∴ A=60°； 22bcbsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，absinBb2sin60︒32∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca211解法2.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C 的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．13要点精析：∵ S=ab sinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，当∠C=60°时，c2＝a2＋b2－ab，c当∠C=120°时，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c.练习题一、选择题tanAa2=1．在△ABC中，若，则△ABC是（）tanBb2A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形A+Ba-b=2．在△ABC中，tan，则三角形中（）2a+bA．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b2cD．a=b或c2=a2+b23．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）33A．20(1+)mB．20(1+)m 32C．20(1+)mD．30m4．设α，β是钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）α+β1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）C．a=b=A．1C．056．△ABC的三边分别为2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m ＞0），则最大内角的度数为（）A．150°B．120°C．90°D．135°二、填空题：a+b+c7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，则sinA+sinB+sinC113+=8．△ABC的三边满足：，则∠B＝ a+bb+ca+b+c4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，则sinC的值是.51310．在△ABC中，BC边上的中线长是ma，用三边a，b，c表示ma，其公式是.三、解答题11．设a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－ax=0有两个相等实根，且sinCcosA－cosCsinA=0，试判断△ABC的形状。

12．已知⊙O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；（2）求△ABC的面积S的最大值．13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．（1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式；（2）当a等于多少时，S有最大值并求出最大值；（3）当a等于多少时，周长l有最小值并未出最小值．14．在△ABC中，已知面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S 的最大值．υρρυρρCCCCπ15．在△ABC中，m=(cos,sin)，n=(cos,-sin)，且m与n的夹角是． 22222（1）求C；73（2）已知c=，三角形面积 S＝3，求a+b。

22第二篇：高中数学必修5第一章正弦定理1．1．1正弦定理（一）教学目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2.过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：asinA=bsinB=csinC，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想[创设情景]如图1．1-1，固定∆ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动。

思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt∆ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数abc=sinA，=sinB，又sinC=1=,A cabc则===csinsinsinabc从而在直角三角形ABC中，CaB ==sinAsinBsinC的定义，有(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：3如图1．1-3，当∆ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB=bsinA,则同理可得从而asin=bsin，csinC==bsinB=，asinAbsinBcsinCAcB(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作j⊥AC，C 由向量的加法可得AB=AC+CBυρυυυρυυρυυυρυυρυρυυρυρυυυρυυρ则j⋅AB=j⋅(AC+CB)υρυυρυρυυυρυρυυρ∴j⋅AB=j⋅AC+j⋅CBjρυυυρρυυυρ0jABcos(90-A)=0+jCBcos(900-C)∴csinA=asinC，即ac=ρυυυρbc同理，过点C作j⊥BC，可得=从而asinA=bsinB=csin类似可推出，当∆ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA=bsinB=csin[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC；（2）asinA=bsinB=csin等价于asinA=bsinB，csinC=bsinB，asinA=csinC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a=bsinA； sinB②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA=sinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

ab[例题分析]例1．在∆ABC中，已知A=32.00，B=81.80，a=42.9cm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，C=1800-(A+B)=1800-(32.00+81.80)=66.20；根据正弦定理，asinB42.9sin81.80b==≈80.1(cm)；sin32.00根据正弦定理，asinC42.9sin66.20c==≈74.1(cm).sin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。