备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题32线性规划问题的求解策略(原卷版)
拿下必考点——【简单线性规划问题的3种考法】高考提分策略.doc
拿下必考点——【简单线性规划问题的3种
考法】高考提分策略
考法(一)求目标函数的最值平面区域的确定方法：平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．考法(二)已知最值求参数破解含参数的线性规划问题的策略：
(1)解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．
(2)在确定最优解时要注意目标函数对应直线的斜率与可行域边界所在直线的斜率之间的大小关系，以防出错．考法(三)线性规划的实际应用用线性规划求解实际应用问题的基本思路：
(1)认真分析并掌握实际问题的背景，收集有关数据；
(2)将影响该问题的主要因素作为决策量，设未知量；
(3)根据问题的特点，写出约束条件和目标函数；
(4)准确作出可行域，并求出最优解或其他要求的解；
(5)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．
[提醒]在解决实际应用问题时，变量x，y除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在涉及
人数为变量的实际应用问题中，人数必须是自然数，在解题时不要忽略了这些隐含条件．。
线性规划问题的求解
线性规划问题的求解线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化目标函数。
线性规划的应用非常广泛，包括生产计划、投资组合、运输问题、资源分配等。
在实际问题中，线性规划可以帮助我们做出最佳决策，达到最优化的效果。
线性规划的一般形式可以表示为：Max (or Min) C^T * XSubject to:A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧向量。
线性规划的求解方法有很多种，常用的方法有单纯形法、内点法、分支定界法等。
这些方法通过迭代计算寻找目标函数最大（或最小）值的最优解。
在这些方法中，单纯形法是最为常用且效果较好的方法之一。
单纯形法的基本思想是通过不断交替改变基本变量和非基本变量的值来接近最优解。
初始时，选择一个基本可行解。
然后，通过计算单位增大量（reduced cost）判断是否已经到达最优解。
如果还有正的单位增大量，就选择它对应的非基本变量作为进入变量。
接着，通过计算比率（ratio）决定离开变量。
重复这个过程直到达到最优解。
单纯形法虽然是一种有效的求解线性规划的方法，但当问题规模较大时，计算复杂度会非常高。
因此，针对大规模问题，研究者们不断提出改进的算法，如内点法。
内点法基于KKT条件，通过在可行域的内部搜索来找到最优解。
相较于单纯形法，内点法在求解大规模问题时更加高效。
除了单纯形法和内点法，分支定界法也是一种常用的求解线性规划问题的方法。
分支定界法是基于问题的整数性质进行求解的。
当某些决策变量必须是整数时，分支定界法能找到最优解。
该方法通过将问题划分为不同的子问题，并逐步排除不满足约束条件的解来逼近最优解。
线性规划问题的求解不仅仅限于上述方法，还有其他的求解算法。
根据具体问题的特点，选择合适的求解方法可以提高求解的效率和精度。
总之，线性规划是一种重要的数学优化方法，它在解决实际问题时起到了至关重要的作用。
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。
线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。
本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。
它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。
单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。
3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。
首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。
通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。
4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。
但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。
二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。
内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。
首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。
每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。
内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。
此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。
三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。
线性规划问题求解的基本方法
线性规划问题求解的基本方法线性规划是一种重要的数学方法，可用来解决许多实际问题。
它的核心是寻找目标函数下的最优解，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
在实际应用中，我们通常使用线性规划求解器来解决这些问题。
本文将介绍线性规划问题求解的基本方法。
一、线性规划问题的标准形式线性规划问题可以写成如下的标准形式：$$ \begin{aligned} &\text{最小化} \quad \mathbf{c}^T \mathbf{x} \\ &\text{满足} \quad A \mathbf{x} = \mathbf{b}, \mathbf{x} \geq\mathbf{0} \end{aligned} $$其中，$ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 是一个 $ n $ 维向量，$ \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n $ 是目标函数的系数向量，$ A \in\mathbb{R}^{m \times n} $ 是约束条件矩阵，$ \mathbf{b} \in\mathbb{R}^m $ 是约束条件的右侧向量。
二、线性规划问题的求解方法1. 单纯形法单纯形法是求解线性规划问题最常用的方法，基本思想是不断循环迭代，利用基变量与非基变量的互换来寻找可行解，并逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）将标准形式化为相应的单纯形表。
（2）从单纯形表的行中选择一个入基变量，使目标函数值减小。
（3）从入基变量所在列中选择一个出基变量。
（4）用入基变量和出基变量生成一个新的单纯形表。
（5）重复上述步骤直到达到最优解。
单纯形法的优点在于可以找到最优解，但当变量数量增多时，计算时间随之增加。
因此，对于大规模问题来说，单纯形法可能不是最优的求解方法。
2. 内点法内点法是一种比单纯形法更高效的求解线性规划问题的方法。
它选取一个内点作为初始点，逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）选取一个内点作为初始点。
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结一、引言线性规划是高中数学中的重要内容，也是数学建模和实际问题求解中常用的方法之一。
本文将总结解线性规划问题的方法与思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。
二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
其中，线性约束条件可以用一组线性不等式或等式表示，线性目标函数是一次函数。
三、线性规划问题的解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件，并将其转化为数学表达式。
2. 确定可行域：根据约束条件，确定决策变量的取值范围，即可行域。
3. 确定最优解：通过图像、代数或单纯形表等方法，确定最优解的存在性和唯一性。
4. 求解最优解：利用图像、代数或单纯形表等方法，求解最优解，并进行验证。
5. 分析最优解：对最优解进行解释和分析，得出结论。
四、线性规划问题的解题技巧1. 图像法：将线性规划问题转化为几何问题，在平面直角坐标系中绘制可行域和目标函数的图像，通过观察图像找到最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 3x + 4y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 的可行域中的最大值。
通过绘制可行域和目标函数的图像，可以观察到最优解在可行域的顶点处取得。
2. 代数法：通过代数计算，利用不等式关系和线性目标函数的性质，求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 2x + 3y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 的可行域中的最大值。
通过列出不等式组成的方程组，利用代数方法求解方程组，得到最优解。
3. 单纯形表法：适用于多个决策变量和多个约束条件的线性规划问题。
通过构建单纯形表，利用迭代计算的方法求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y, z) = 5x + 4y + 3z 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 6 的可行域中的最大值。
高中数学线性规划解题技巧
高中数学线性规划解题技巧在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
线性规划是一种优化问题，通过建立数学模型，找出使目标函数达到最优值的变量取值。
在解题过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，下面就来具体介绍一下。
一、确定变量和目标函数在解线性规划问题时，首先要明确变量和目标函数。
变量是我们要求解的未知数，而目标函数则是我们要优化的目标。
例如，假设我们要求解一个生产问题，生产两种产品A和B，我们可以将A的产量表示为x，B的产量表示为y，目标函数可以是总利润或总成本。
二、列出约束条件约束条件是限制变量取值范围的条件，也是我们解题的关键。
要列出准确的约束条件，需要仔细分析题目并进行逻辑推理。
约束条件可以是生产能力、资源限制、市场需求等各种限制条件。
例如，假设某工厂生产产品A和B，A的生产需要2个单位的资源1和3个单位的资源2，B的生产需要4个单位的资源1和1个单位的资源2。
工厂拥有资源1的总量为10个单位，资源2的总量为12个单位。
那么我们可以得到以下约束条件：2x + 4y ≤ 103x + y ≤ 12三、确定可行域可行域是指满足所有约束条件的变量取值范围。
在解线性规划问题时，我们需要确定可行域的范围，以便找到最优解。
为了确定可行域，我们可以将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系中。
通过求解这些不等式的交集，我们可以确定可行域的范围。
以前面的例子为例，我们可以将约束条件绘制在坐标系中，得到以下图形：[图1]根据图中的交集部分，我们可以确定可行域的范围。
四、确定最优解确定最优解是线性规划的核心问题。
我们需要找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
在确定最优解时，有两种常用的方法：图形法和单纯形法。
图形法通过绘制等高线图来找到最优解，而单纯形法通过迭代计算来逐步逼近最优解。
以目标函数为总利润的例子为例，我们可以通过图形法找到最优解。
在可行域中，我们需要找到使总利润最大化的点。
通过绘制等高线图，我们可以找到目标函数的等高线与可行域的交点，从而确定最优解。
高中高三数学《线性规划的解》优秀教学案例
小组合作学习是本案例的突出亮点。通过分组讨论、共同解决问题，学生成为学习的主体，主动参与课堂活动。这种教学方式有助于培养学生的合作意识、团队精神和沟通能力，同时也提高了课堂氛围和学生积极性。
4.关注学生个体差异的分层教学
在教学过程中，本案例注重关注学生的个体差异，实施分层教学。通过设计不同难度的题目，使每个学生都能在适合自己的层面上得到锻炼和提高。这种教学策略有助于激发学生的学习潜能，提高他们的自信心和成就感。
（一）导入新课
在导入新课环节，我会以一个生活中的实例来激发学生的兴趣和思考。例如，我可能会提出这样一个问题：“假设你是一家工厂的经理，你想要在生产两种产品A和B时，最大化你的利润。产品A的利润为10元，产品B的利润为20元。但是，生产A需要3小时的工时和2单位的原料，生产B需要2小时的工时和3单位的原料。如果每天有8小时的工时和6单位的原料可用，你该如何安排生产计划？”通过这个实际问题，让学生感受到线性规划与日常生活的紧密联系，从而引出线性规划的概念和意义。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解线性规划的基本概念，掌握线性规划的标准形式及其几何意义。
2.学会利用图解法求解线性规划问题，掌握目标函数在可行域内的最优解。
3.掌握线性规划问题的数学模型构建方法，能够将实际问题转化为数学模型。
4.熟练运用单纯形法求解线性规划问题，并能够解释其原理和步骤。
5.通过对线性规划知识的学习，提高学生的数学建模能力和逻辑思维能力。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会从线性规划的基本概念、数学模型、解题方法等方面进行详细的讲解。首先，介绍线性规划的定义，让学生了解线性规划是研究在一定的约束条件下，线性目标函数取最大或最小值的问题。接着，通过图形示例，讲解线性规划的几何意义，引导学生理解可行域和最优解的概念。然后，详细讲解图解法、单纯形法等解题方法，并配以具体的例题进行演示，让学生跟随步骤逐步掌握解题技巧。
高考数学中的线性规划算法解题技巧
高考数学中的线性规划算法解题技巧高考数学中的线性规划是一种非常重要的问题类型，在考试中经常被考查，对于学生来说是必须掌握的一项技能。
而在线性规划中，解题的算法是关键，正确运用算法不仅能够提高解题效率，还能避免不必要的错误。
本文将介绍一些线性规划解题的算法和技巧，帮助学生在考试中取得更好的成绩。
一、线性规划的基本概念在解题之前，我们需要熟悉线性规划的一些基本概念。
线性规划是指在一定的限制条件下，求解一个线性函数的最大或最小值。
在这个过程中，我们需要确定目标函数、约束条件以及变量的取值范围。
通常情况下，我们可以将线性规划问题表示为标准型或非标准型。
标准型的形式如下：$$\max(z)=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n$$$$s.t.\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n\le b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n\le b_2\\...\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n\le b_m\\\end{cases}$$变量取值范围为$x_i\ge0(i=1,2,...,n)$而非标准型的形式则可以被转化为标准型。
二、单纯形法的原理和步骤单纯形法是解决线性规划问题的一种经典算法，其基本原理是通过不断地构造可行解和寻找可行解中的最优解来达到最终的优化目标。
其具体步骤如下：1、将标准型问题中的目标函数系数、约束条件系数和右端项系数分别组成一个矩阵。
2、选择其中一个非基变量（即取值为0的变量）作为入基变量，计算出使目标函数增大的最大步长。
3、选择其中一个基变量（即取值不为0的变量）作为出基变量，计算出使目标函数增大的最小步长。
4、通过第2步和第3步计算出的步长来更新目标函数和约束条件，得到一个新的可行解。
5、使用新的可行解重复进行第2-4步的计算，直到找到最优解。
需要注意的是，单纯形法有两种可能的结果：一是存在最优解，二是存在无穷多个最优解。
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备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题
32 线性规划问题的求解策略（原卷版）
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【高考地位】
线性规划问题是高考的必考内容，其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。
近年来，
高考中的线性规划问题更趋灵活多样，体现了“活、变、新”等特点，更加深刻的考查学生
解决综合性问题的能力。
在高考中以各种题型中均出现过，其试题难度属中高档题. 【方法点评】
类型一线性目标函数问题使用情景:求目标函数的最值
解题模板:第一步根据已知约束条件画出其可行域;
第二步平移目标函数的直线系，根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解;
第三步得出结论.
x0，?,,例1 已知实数满足不等式组y,2,则的最大值是
___________( 2xy,xy,?,,220,xy，,?,
xy，,,230,
,xy，,,330x例2 已知、满足不等式组，则的最大值是 ( yzxy,，2,
,y,1,
y,2,
,xy，,1【变式演练1】已知变量满足约束条件:，若表示的区域面积为4，则,,xy,,
,xya,,,
的最大值为___________. zxy,,3
xk,,
,xy，,,40k【变式演练2】已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数的,
,xy,,0,
值为( )
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专业文档 A(0 B(1 C.1或3
D(3
类型二非线性目标函数问题使用情景:求非线性目标函数的最值
解题模板:第一步根据已知约束条件画出其可行域;
第二步借助目标函数的几何意义，并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如直线的斜率问题、两点的距离的平方等;
第三步得出结论.
x,0,,
y,1,xy,,0,例3 已知不等式组则的最大值为 ( z,,x，1,4312xy，,，,
360xy,,,,
,xy,，,20例4 在平面直角坐标系中, 为不等式组所表示的区域上一动点, MxOy,
,xy,,0,0,
A,1,2已知点,则直线斜率的最小值为( ) AM，，
240A( B( C( D( ,,253
xy,，,20,
,xy，,,40例5 若满足，则的最大值为( ) xy,zyx,,2||,
,y,0,
A(-8 B(-4 C(1
D(2
xy，,,40,2y,y,,10z,【变式演练3】已知实数满足，则的最大值是( ) xy,,x,x,,10,
1A( B(9 C(2 D(113
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x，2y,0,
y1,x,y,0【变式演练4】若变量满足约束条件，且仅在点z,A(,1,)x，
y,x,a2,x,2y，2,0,处取得最大值，则实数的取值范围为( ) a
A( B( C( [,2,,1)(,,,,1)(,2,,1)
D( (,1,1)
xy,，,210,22xy，，【变式演练5】已知实数满足，则的取值范围为( )
z,xy,,xy,,,10x,
101010，，，,，，A( B( C( 0,2,,,，,,2,:，,,,,,,,333，，，，，,
10，,D( ,,，,,0,:，,,,3，,
类型三含参数线性目标函数问题
使用情景:求含参数线性目标函数的最值
解题模板:第一步根据已知约束条件画出其可行域;
第二步画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行
比较并进行分类讨论;
第三步得出结论.
yx,,
,xy，,2a例6已知满足，且的最大值是最小值的-2倍，则的值xy,zxy,,2,
,xa,,
是 .
yx,,,
,xymx,,m,1zxmy,，【变式演练6】设，变量，在约束条件下，目标函数的最y, ,xy，,1,
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大值为，则_________( m,2
【高考再现】
xy，,2,,
,22239,xy,,1.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则x+y的最大值是( ) , ,x,0,,
(A)4(B)9(C)10(D)12
xy，,,30,,,2.【2016高考浙江文数】若平面区域230,xy,,, 夹在两条斜率为
1的平行直线之间，则,,xy,，,230,
这两条平行直线间的距离的最小值是( )
3532A. B. C. D. 2552
xy,，,10,
,xy，,,30，则的最小值3.【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件zxy,,2,
,x,,30,
为__________
210,xy,，,,
,xy,,,210,4.【2016高考新课标?文数】若满足约束条件则的最
xy,zxy,，,235,
,x,1,,
大值为_____________.
5.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.
生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,
乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900
元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品
B的利润之和的最大值为元.
x,0,,
,y,0,6.【2016高考上海文科】若满足则的最大值为_______. xy,xy,2, ,yx,，1,,
7. 【2016高考天津文数】(本小题满分13分)
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产
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1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两
种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料，产
生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(?)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;
(?)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润,并求出此最大利润.
【反馈练习】
1. 【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测(一)数学(理)试题】动点满Pxy(,)
20xy,,,
,y,0足，则的最小值为 . zxy,，2,
,xy，,,30,
2. 【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学(理)试题】设满足约束条件x,yyx,2,
,xy，,1，则的最大值是____________( zxy,，3,
,y，,10,
3. 【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学(理)试题】已知变量满足xy,xy,，,430,
,xy，,,40，则的取值范围是( ) zxy,,,
,x,1,
6，，,,2,1,2,0A( B( C( 0,,,,,,,5，，
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6，，D( ,2,,,5，，
4. 【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研考试数学(理)试题】设不等式组xy，,4,
,222yx,,0，表示平面区域为，若圆经过区域上的
Cxyrr:110，，，,,DD，，，，，，,
,x,,10,
点，则的取值范围是( ) r
，，，A( B( 22,2522,32，，，，
，C. D( 32,250,2225,:，,，，，，，，
x,0,
,y,05. 【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，8】若为不等式组，表示的平面A,
,yx,,2,区域，则当a从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为( ) xya，,,21A
337( B( C( D( A12446. 【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，13】若满足约束条件xy,x,,20,
y,xy,,0，那么的最大值是__________. ,x,xy，,,60,
220xy,，,,
,xy,，,4107. 【河南百校联考2017届高三9月质检，15】已知实数满足不等式组，xy,,
,xy，,,20,zxy,，3则的最小值为______________(
360xy，,,,,xy，,2x】若8. 【湖南永州市2017届高三第一次模拟，15，满足约束条件，则y,,y,2,22xy，的最小值为 (
x,0,
,y,09. 【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，8】若A为不等式组，表示的平面,
,yx,,2,
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区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为( ) axya，,,21A
337A( B( C( D( 1244
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