概率论与数理统计考题及答案

湖北汽车工业学院

概率论与数理统计考试试卷答案及评分标准

一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请把所选答案填在答题卡指定位置上）：

【B 】1．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ，则=a

)(A 0． )(B 1． )(C 1-． )(D 2．

【B 】2．设X ，Y 为两个随机变量，则下列等式成立的是

)(A )()()(Y E X E XY E =． )(B )()()(Y E X E Y X E +=+．

)(C )()()(Y D X D XY D =．

)(D )()()(Y D X D Y X D +=+．

【C 】3．设随机变量X 的概率密度为()+∞<<∞-=

+-

x e

x f x 4

)2(2

21)(π

，且

)1,0(~N b aX Y +=,则下列各组数中应取

)(A 1,21==

b a ． )(B 1,2

1

-==b a ． )(C 2,22

==

b a ． )(D 2,2

2-==

b a ． 【B 】4．设4321,,X X X X 是来自均值为λ的泊松分布总体的样本，其中λ未知，则下列估计量中不是λ的无偏估计量的是

)(A ()3112

1

X X +=

λ． )(B ()31241X X +=λ．

)(C ()321331X X X ++=λ． )(D ()432144

1

X X X X +++=λ．

【 C 】5. 设总体)3,2(~2

N X ，321,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，已知统计量

()()()[]

()3~22222

32

22

1χ-+-+-X X X c ,则c 取值为

)(A 31． )(B 21． )(C 91． )(D 4

1．

【B 】6．随机变量)1,0(~N X ，对于给定的()10<<αα，数αu 满足αα=>)(u u P ， 若α=<)(c X P ，则c 等于

)(A 2αu ． )(B 2)1(α-u ． )(C α-1u ． )(D 21α-u ． 二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在答题卡指定位置上）：

1.一个工人生产了n 个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是合格品，则至少有一个零件是不合格品事件可表示为n A A A 21.

2.设

3.0)(=A P ，

4.0)(=B P

5.0)(=B A P ,则=)(B A P

6.0.

3. 有4个人在第一层进入7层楼的电梯，假设每人以相同的概率走出任一层（从第二层开始）， 则至少有两人在同一层走出的概率为

18

13

. 4.已知2)(-=X E ，6)(2=X E ，那么=-)42016(X D 32.

5. 设随机变量X 与Y 独立且都服从[]4,0上的均匀分布，则()[]=

≥2,min Y X P 4

1. 6.设一台自动车床加工零件某种电其长度X （单位：厘米）服从正态分布)16.0,(μN ，现从加工出的零件中随机抽取16个进行测量，并算的平均值40=x ，则未知参数μ的置信水平为95.0的置信区间为)196.40,804.39(（精确到小数点后面三位）

【特别提醒】（1）以下各题的求解过程必须按题号写在答题卡上指定的方框内，题号对应错误以及超出方框部分的解答均无效.（2）答题卡上的任何位置不得用胶带粘贴，不得用涂改液涂改，否则将不被阅卷系统识别.

三、（本题满分10分）某射击小组共有20名射手，其中一级射手4名，二级射手8名，三级

射手8名，一、二、三级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.8、0.5，在小组内任选一名射手，求该射手能通过选拔进入决赛的概率. 解：设事件321,,A A A 分别表示任选一名射手,此选手为一级、二级、三级射手，D 任选

一名射手，该射手通过选拔进入决赛， 204)(1=

A P ， ()2082=A P ， 20

8)(3=A P ；……………… 2 9.0)|(1=A D P 8.0)|(2=A D P 5.0)|(3=A D P ………… 2 由全概率公式，得 )|()()(3

1

i

i i

A D P A P D P ∑== (4)

10

75.02088.02089.0204=⨯+⨯+⨯=

……………… 2 故在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率为10

7

. 四、（本题满分10分）设随机变量X 的密度函数为：

()其他，，1

001)(<<⎩

⎨⎧-=x x A x f

求（1）参数A ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛<<213

1

X P

解：（1）()⎰

⎰∞

∞

-=-=10

11)(dx x A dx x f ,解得2=A (6)

(2) 367)1(2213

1

21

31⎰=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<

五、（本题满分12分）设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：

⎩⎨

⎧<<<<=其它

1

0,104)(y x xy

y x f

（1）求随机变量X 与Y 的边缘概率密度； （2）()1≥+Y X P .

解：（1）当0≤x 或1≥x 时，0)(=x f X ； ……………… 1 当10<

⎰∞

∞

-===

1

24),()(x xydy dy y x f x f X ； (2)

故⎩

⎨⎧<<=其它0102)(x x x f X (1)

当0≥y 或1≥y 时，0)(=y f Y ； (1)

当10<

⎰∞

∞

-===

1

24),()(y xydx dx y x f y f Y ； (2)

故⎩⎨

⎧<<=其它

102)(y y

y f Y (1)

（2）⎰⎰≥+=≥+1

),()1(y x dxdy y x f Y X P (2)

dy xy dx x ⎰

⎰

+-=1

1

1

4

6

5

=

……………… 2 六、（本题满分10分）设总体X 的概率密度为：

()⎩⎨

⎧<<+=其他,

01

0,1);(x x x f θθθ 其中参数θ未知，如果取得样本观测值n x x x ,,,21 , 求θ的最大似然估计值．

解：似然函数为 ()()

∏∏∏===+=+==

n

i i n

n

i i n i i x x x f L 1

1

1

11),)(θ

θ

θθθθ（ (4)

取对数，得∑=+

+=n

i i

x

n L 1

ln )1ln()(ln θθθ (2)

令=θθd L d )(ln 0ln 11

=++∑=n

i i x n

θ， (2)

得参数α的最大似然估计值为： 1ln ˆ1

--=∑=i i

x n θ……………… 2 七、（本题满分10分）设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取16个进行检验，

算出平均使用寿命为1991小时，样本标准差s 为82小时，则在显著性水平05.0=α下可否认为该电子管的使用寿命为1950小时.