高一数学函数的表示法练习题

高一数学函数的表示法练习题

题型一 求函数值

【例1】若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ．

【例2】（2006年安徽高考）

函数()f x 对于任意实数x 满足条件1

(2)()

f x f x +=，若(1)5f =-，则((5))f f = ．

【例3】若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ．

【例4】已知函数2

2(),1x f x x R x =∈+.

（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111

(1)(2)(3)(4)()()()234

f f f f f f f ++++++.

【例5】已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值．

【例6】若函数2()f x x =，则对任意实数12,x x ，下列不等式总成立的是（ ）

A ．12(

)2x x f +≤

12()()2f x f x + B ．12()2x x f +<12()()

2f x f x + C ．12()2x x f +≥12()()2f x f x + D ．12()2x x f +>12()()2f x f x +

典例分析

【例7】（2006．台湾）

将正整数18分解成两个正整数的乘积有：118⨯，29⨯，36⨯三种，又36⨯是这三种分解中两数的差最小的，我们称36⨯为18的最佳分解．当p q ⨯()p q ≤ 是正整数n 的最佳分解时，

我们规定函数()p F n q =

，例如31

(18)62

F ==，下列有关函数()F n 的叙述，正确的序号为 （把你认为正确的序号都写上） ⑴(4)1F =；⑵3(24)8F =；⑶1

(27)3

F =；

⑷若n 是一个质数，则()F n 1

n

=；⑸若n 是一个完全平方数，则()1F n =

【例8】设函数3

(100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥⎧=⎨+<⎩

求

【例9】（2001上海理，1）设函数f （x ）＝812,(,1]log ,(1,)

x x x -⎧∈-∞⎪

⎨∈+∞⎪⎩，则满足f （x ）=14的x 值为 。

【例10】（2006山东 文2）设12

32,2()((2))log (1) 2.

x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，

则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

题型二 求函数解析式

一、定义法：

【例11】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .

【例12】设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）

A ．21x +

B ．21x -

C ．23x -

D ．27x +

【例13】设2

1

)]([++=x x x f f ，求)(x f .

【例14】设3

3

221)1(,1)1(x

x x x g x x x x f +=++

=+，求)]([x g f .

【例15】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.

二、待定系数法：

【例16】如果反比例函数的图象经过点(1,2)-，那么这个反比例函数的解析式为

【例17】在反比例函数k

y x

=

的图象上有一点P ，它的横坐标m 与纵坐标n 是方程2420t t --=的两个根，则k =

【例18】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .

三、换元（或代换）法：

【例19】已知函数1()1x

f x x

-=+. 求：

（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式

【例20】（1）已知1)f x =+()f x 及2()f x ；

（2）已知()3()21f x f x x +-=+，求()f x .

【例21】已知22111

(),x x f x x x

++=+求()f x ．

【例22】设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .

【例23】设()f x 满足1

()()af x bf cx x

+=（其中,,a b c 均不为0，且a b ≠±），求()f x ．

四、反解函数法：

【例24】已知2)(21+=-x a f x ，求)(x f .

五、特殊值法：

【例25】设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均有

xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .

六、累差法：

【例26】若a

f 1

lg

)1(=，且当),0(,lg )()1(,21*∈-=-≥-N x a a x f x f x x φ满足时，求)(x f .

七、归纳法：

【例27】已知a f N x x f x f =*∈+

=+)1()(),(2

1

2)1(且，求)(x f .

八、微积分法：

【例28】设2)1(,

cos )(sin 22=='f x x f ，求)(x f .

九、其他综合问题

【例29】（1）已知3311

()f x x x x +=+，求()f x ；

（2）已知2

(1)lg f x x

+=，求()f x ；

（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；

（4）已知()f x 满足1

2()()3f x f x x

+=，求()f x 。

【例30】（2006重庆理21）已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2+x )=f (x )－x 2+x 。

（Ⅰ）若f (2)=3,求f (1)；又若f (0)=a ,求f (a )；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)= x 0。求函数f (x )的解析表达式。

【例31】已知函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1

(),f x x

=则当

(,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式为（ ）

A ．1x -

B ．12x --

C ．12x +

D ．12

x -+

【例32】（05全国卷I ）已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3)．

⑴方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 的解析式； ⑵若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围．