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(微分法)， 次年5月又建立了“反流数术”(积分 法)．1666年10月，牛顿将前两年的研究 成果整理成一篇总结性论文，此文现以 《流数简论》著称 ,是历史上第一篇系统的 微积分文献 .
牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种 特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流 数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关 系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他 超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们
18世纪的时候，欧陆数学家们力图以代数化 的途径来克服微积分基础的困难，这方面 的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格 朗日。
达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它 作为微积分的基础，他认为微分运算“仅 仅在于从代数上确定我们已通过线段来表 达的比的极限” ；欧拉提出了关于无限小 的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积 分可以在极限理论的基础上建立起来，但 他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出 我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。欧拉 和拉格朗日在分析中引入了形式化观点， 而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格 化提供了合理内核。
说牛顿发明了微积分。
莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重
要结果： “由一条曲线的法线形成 的图形，即将这些法线(在 圆的情形就是半径)按纵坐 标方向置于轴上所形成的图 形，其面积与曲线绕轴旋转 而成的立体的面积成正比”。
在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼 茨分享荣誉
着数学本身发展的需要和解决问题的需要， 仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。 有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进 一步拓展到一般的微分流形。
外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式 产生了。然而经典的Green公式、 Ostrogradsky—Gauss公式、以及 Stokes公式也得到了统一。
牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种 特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流 数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关 系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他 超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们
18世纪的时候，欧陆数学家们力图以代数化 的途径来克服微积分基础的困难，这方面 的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格 朗日。
达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它 作为微积分的基础，他认为微分运算“仅 仅在于从代数上确定我们已通过线段来表 达的比的极限” ；欧拉提出了关于无限小 的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积 分可以在极限理论的基础上建立起来，但 他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出 我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。欧拉 和拉格朗日在分析中引入了形式化观点， 而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格 化提供了合理内核。
说牛顿发明了微积分。
莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重
要结果： “由一条曲线的法线形成 的图形，即将这些法线(在 圆的情形就是半径)按纵坐 标方向置于轴上所形成的图 形，其面积与曲线绕轴旋转 而成的立体的面积成正比”。
在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼 茨分享荣誉
着数学本身发展的需要和解决问题的需要， 仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。 有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进 一步拓展到一般的微分流形。
外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式 产生了。然而经典的Green公式、 Ostrogradsky—Gauss公式、以及 Stokes公式也得到了统一。
微积分发展简史-PowerPoint演示文稿
紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是 继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的 创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理 过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先 还是为了处理十七世纪主要的科学问题的。
Hale Waihona Puke 哪些主要的科学问题呢?Archimedes
有四种主要类型的问题.
第一类问题
已知物体移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知 物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距 离。
——狄德罗
任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或 几百年以前，函数的概念也是如此。直到17世 纪，人们对函数才有了明确的理解。函数概念的 提出，与伽利略和格雷戈里有关。格雷戈里将函 数定义为这样一个量：
它是其他的量经过一系列代数运算而得到的， 或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的。
因为这个定义太窄，所以很快就被遗忘了，并 被陆续出现的其它关于函数的定义替代。但即使是 最简单的函数也会涉及到实数。而无理数在17世纪 时并不被人们充分了解，于是，人们在处理数值时 就跳过逻辑，对函数也是如此。在1650年以前，无 理数就一直被人们随心所欲地使用着。
第一类问题
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
第二类问题
费马在推导求面积的公式时，发现当 n 为 无穷大时，包含的 1/n 和 1/n2 项可以忽略不计。 卡瓦列里将上面讨论的面积看成无限多个他称 之为不可分量（牛顿称之为终结不可分量）的 总和。这个终结不可分量到底是什么？当时没 有人能将它说清楚。牛顿后来甚至重申他已经 放弃了终结不可分量，而卡瓦列里只是说，把 一块面积分割为越来越小的小矩形时，最终就 会得到终结不可分量，面积就是由这些终结不 可分量组成的。
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中国古代数学家对微积分也作出了重大 的贡献．例如三国时期的刘徽，他对积分学 的贡献主要有两点：割圆术及求体积问题的 设想．
刘徽
微分学早期史
上面概括地介绍了积分学的早期发展史，这段历史纵跨了二千年的时间．相对来说， 微分学的历史就短得多．原因是积分学研究的问题是静态的，而微分学则是动态的， 它涉及到运动．在生产力没有发展到一定阶段的时候，微分学是不会产生的．
Байду номын сангаас
微积分的创立首先是为了处理下列四类问题：
1．已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度 ．反过来，已知物体 运动的加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与路程． 2 ．求曲线的切线．这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义．例如在光学中，透 镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识．在运动中也遇到曲线的切线问题． 3 ．求函数的最大值和最小值问题．在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题．在天文学中涉及到行 星和太阳的最近和最远距离． 4．求积问题．求曲线的弧长，曲线所围图形的面积，曲面所围立体的体积，物体的重心．
积分学早期史
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪， 但是，积分的思想早在古代就已经产生 了． 公元前3世纪，古希腊的数学家、力学 家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆 的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分 学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面 积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双 曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思 想．
1609年，他在《新天文学》一书中宣称火星的轨道不是圆而是 椭圆，太阳位于椭圆的两个焦点之一．他还发现火星的向径在相等 的时间内扫过相同的面积，并指出，这两定律也适用于其他行星和 月球．1619年开普勒在《宇宙和谐》一书中指出，行星公转周期的 平方与轨道半长轴的立方成正比．行星运动三定律为日后牛顿发现 万有引力定律奠定了基础．
刘徽
微分学早期史
上面概括地介绍了积分学的早期发展史，这段历史纵跨了二千年的时间．相对来说， 微分学的历史就短得多．原因是积分学研究的问题是静态的，而微分学则是动态的， 它涉及到运动．在生产力没有发展到一定阶段的时候，微分学是不会产生的．
Байду номын сангаас
微积分的创立首先是为了处理下列四类问题：
1．已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度 ．反过来，已知物体 运动的加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与路程． 2 ．求曲线的切线．这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义．例如在光学中，透 镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识．在运动中也遇到曲线的切线问题． 3 ．求函数的最大值和最小值问题．在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题．在天文学中涉及到行 星和太阳的最近和最远距离． 4．求积问题．求曲线的弧长，曲线所围图形的面积，曲面所围立体的体积，物体的重心．
积分学早期史
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪， 但是，积分的思想早在古代就已经产生 了． 公元前3世纪，古希腊的数学家、力学 家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆 的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分 学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面 积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双 曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思 想．
1609年，他在《新天文学》一书中宣称火星的轨道不是圆而是 椭圆，太阳位于椭圆的两个焦点之一．他还发现火星的向径在相等 的时间内扫过相同的面积，并指出，这两定律也适用于其他行星和 月球．1619年开普勒在《宇宙和谐》一书中指出，行星公转周期的 平方与轨道半长轴的立方成正比．行星运动三定律为日后牛顿发现 万有引力定律奠定了基础．
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更加注重数学与其他学科 的交叉融合
随着科技的发展，微积分将与物理学、工程 学、经济学等领域更加紧密地结合，推动跨 学科的研究和应用。
数学建模和计算方法的创新
未来微积分的发展将更加注重数学建模和计算方法 的创新，以解决复杂的问题和现象。
数学教育的普及和提高
随着教育水平的提高，微积分将更加普及， 并成为更多人学习和掌握的数学工具。
微积分与其他学科的交叉发展
与物理学的结合
微积分在物理学中有广泛的应用 ，如力学、电磁学等领域。未来 将进一步深化微积分与物理学的 交叉研究，推动理论和实践的结 合。
与工程学的结合
微积分在工程学中发挥着重要的 作用，如流体动力学、控制理论 等。未来将进一步加强微积分在 工程实践中的应用和创新。
与经济学的结合
19世纪的发展
总结词
微积分的严格化
实数理论的建立
实数理论的建立为微积分提供了更加严密的数学 基础，进一步推动了微积分的发展。
ABCD
极限理论的建立
19世纪，极限理论得到了深入的研究和探讨， 为微积分的严格化奠定了基础。
变分法的兴起
19世纪，变分法得到了广泛的应用和发展，为 解决优化和极值问题提供了重要的工具。
03
微积分的发展
18世纪的发展
总结词
微积分的基础建立
牛顿和莱布尼茨的贡献
牛顿的《自然哲学的数学原理》和莱布尼茨的《微积分学 》分别从不同角度奠定了微积分的基础。
微分学的发展
18世纪，微分学在函数、导数、微分等方面取得了重要 进展，为后续的数学和科学领域提供了强大的工具。
积分学的发展
积分学也在18世纪得到了深入的研究和发展，包括定积 分、不定积分以及积分的应用等方面。
随着科技的发展，微积分将与物理学、工程 学、经济学等领域更加紧密地结合，推动跨 学科的研究和应用。
数学建模和计算方法的创新
未来微积分的发展将更加注重数学建模和计算方法 的创新，以解决复杂的问题和现象。
数学教育的普及和提高
随着教育水平的提高，微积分将更加普及， 并成为更多人学习和掌握的数学工具。
微积分与其他学科的交叉发展
与物理学的结合
微积分在物理学中有广泛的应用 ，如力学、电磁学等领域。未来 将进一步深化微积分与物理学的 交叉研究，推动理论和实践的结 合。
与工程学的结合
微积分在工程学中发挥着重要的 作用，如流体动力学、控制理论 等。未来将进一步加强微积分在 工程实践中的应用和创新。
与经济学的结合
19世纪的发展
总结词
微积分的严格化
实数理论的建立
实数理论的建立为微积分提供了更加严密的数学 基础，进一步推动了微积分的发展。
ABCD
极限理论的建立
19世纪，极限理论得到了深入的研究和探讨， 为微积分的严格化奠定了基础。
变分法的兴起
19世纪，变分法得到了广泛的应用和发展，为 解决优化和极值问题提供了重要的工具。
03
微积分的发展
18世纪的发展
总结词
微积分的基础建立
牛顿和莱布尼茨的贡献
牛顿的《自然哲学的数学原理》和莱布尼茨的《微积分学 》分别从不同角度奠定了微积分的基础。
微分学的发展
18世纪，微分学在函数、导数、微分等方面取得了重要 进展，为后续的数学和科学领域提供了强大的工具。
积分学的发展
积分学也在18世纪得到了深入的研究和发展，包括定积 分、不定积分以及积分的应用等方面。
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主要内容
微积分的符号
微分学中的符号“dx”、“dy”等，系 由莱布尼茨首先使用。其中的d 源自拉丁语 中“差”（Differentia ）的第一个字母。积 分符号“∫”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语 “总和”（Summa）的第一个字母s 的伸长 (和Σ有相同的意义)。
微积分发展史
微积分的萌芽
微积分的发展 微积分的建立 微积分的严格化
微积分的发展
4、费马求极大值和极小值方法 按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极
值，费弓用“a+e”代替原来的未知量a，并使 f(a+e)与f(a)逼近,即：
f(a+e)～f(a) 这里所提到的“e”就是后来微积分学当
中的“ x ”
微积分的发展
5、巴罗的“微分三角形” 巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一
出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率
为
．如果是在区间[a,b]上，由[0,b]
上的面积减去[0,a]上的面积,便得到
b
ydx zb za
a
微积分的严格化
自牛顿和莱布尼兹之后，微积分得到了 突飞猛进的发展，人们将微积分应用到自然 科学的各个方面，建立了不少以微积分方法 为主的分支学科，如常微分方程、偏微分方 程、积分方程、变分法等等形成了数学的三 大分支之一的“分析”。微积分应用于几何 开拓了微分几何，有了几何分析；应用于理 学上，就有了分析力学；于天文上就有了天 体力学等。但是微积分的基础是不牢固的， 尤其在适用无穷小概念上的随意与混乱，一 会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人 们对他们的理论的怀疑与批评。
主要内容
微积分的基本概念还包括函数、无穷 序列、无穷级数和连续等，运算方法主要 有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数 学归纳法紧密相连。
《微积分发展史》PPT课件
开普勒在极度贫苦中去世，在他的墓碑上刻着他自己写的墓志 铭：我曾观测苍穹，今又度量大地．
灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
费马(Fermat, P.1601—1665) 费马1601年生于法国南部图鲁斯附近的波蒙，父亲是
个商人，费马从小就受到良好的家庭教育．他在大学攻 读法律，毕业后当了律师．从30岁起，他才开始迷恋上数 学，直至逝世的34年里，他的精神世界始终被数学牢牢地 统治着．费马结交了不少数学高手和哲学家，如梅森、 罗伯瓦、迈多治、笛卡尔等，他们每周一次在梅森寓所 聚会，讨论科学、研究数学．费尔马除了这些之外，还 经常和友人通信交流数学研究工作的信息，但对发表著 作非常淡漠．费马在世时，没有完整的著作问世．当他 去世后，他的儿子萨缪尔·费马在数学家们帮助之下， 将费马的笔记、批注及书信加以整理汇成《数学论集》 在图鲁斯出版．
由于生产实际的需要，力学和天文学的推动， 由于从阿基米德以来多少代人的努力，在17世纪 下半叶，终于由牛顿和莱布尼茨综合、发展了前 人的工作，几乎同时建立了微积分．
伊萨克·牛顿(Isac Newton 1643—1727)
“我不知道世人如何看我，可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子，不时 为捡到比通常更光滑的石子或更美丽的贝壳而高兴，而展现在我面前的是完全未被探 明的趔之海．” 这是牛顿晚年对自己的评价．
开普勒(Kepler Johannes, 1571–1630) 开普勒1571年12月27日生于德国的魏尔，1630年11月15日卒于雷
根斯堡．他是德国天文学家、物理学家和数学家．行星三大定律的 发现者，近代光学的奠基人．
他自幼体弱多病，但智力超群．1587年进图宾根大学，次年得 学士学位，1591年获硕士学位，1594年到奥地利的格拉茨任数学教 师．1600年到布拉格的贝纳泰克的天文台任第谷的助手．第二年第 谷去世，开普勒受聘为皇家数学家．
灵魂遨游太空，身躯化为尘泥．
费马(Fermat, P.1601—1665) 费马1601年生于法国南部图鲁斯附近的波蒙，父亲是
个商人，费马从小就受到良好的家庭教育．他在大学攻 读法律，毕业后当了律师．从30岁起，他才开始迷恋上数 学，直至逝世的34年里，他的精神世界始终被数学牢牢地 统治着．费马结交了不少数学高手和哲学家，如梅森、 罗伯瓦、迈多治、笛卡尔等，他们每周一次在梅森寓所 聚会，讨论科学、研究数学．费尔马除了这些之外，还 经常和友人通信交流数学研究工作的信息，但对发表著 作非常淡漠．费马在世时，没有完整的著作问世．当他 去世后，他的儿子萨缪尔·费马在数学家们帮助之下， 将费马的笔记、批注及书信加以整理汇成《数学论集》 在图鲁斯出版．
由于生产实际的需要，力学和天文学的推动， 由于从阿基米德以来多少代人的努力，在17世纪 下半叶，终于由牛顿和莱布尼茨综合、发展了前 人的工作，几乎同时建立了微积分．
伊萨克·牛顿(Isac Newton 1643—1727)
“我不知道世人如何看我，可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子，不时 为捡到比通常更光滑的石子或更美丽的贝壳而高兴，而展现在我面前的是完全未被探 明的趔之海．” 这是牛顿晚年对自己的评价．
开普勒(Kepler Johannes, 1571–1630) 开普勒1571年12月27日生于德国的魏尔，1630年11月15日卒于雷
根斯堡．他是德国天文学家、物理学家和数学家．行星三大定律的 发现者，近代光学的奠基人．
他自幼体弱多病，但智力超群．1587年进图宾根大学，次年得 学士学位，1591年获硕士学位，1594年到奥地利的格拉茨任数学教 师．1600年到布拉格的贝纳泰克的天文台任第谷的助手．第二年第 谷去世，开普勒受聘为皇家数学家．
微积分发展史课件
文艺复兴时期的数学与微积分思想的突破
文艺复兴时期，欧洲的数学家们开始系统地研究微积分，如意大利数学家卡瓦列里等人对极限、连续 等概念进行了系统化的研究。
英国物理学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立地发展出了微积分的基本理论，从而宣告了微积分 的诞生。
02
微积分的创立
牛顿的贡献
牛顿对微积分的贡献主要体现在他的 著作《自然哲学的数学原理》中。他 提出了流数术，也就是微积分的基本 理论和方法。
05
微积分的未来发展
微积分的理论发展
01
数学建模与仿真
微积分理论在未来的发展将更加深入 地与数学建模和仿真技术相结合，研 究更加复杂、精细的数学模型，提高 微积分的应用范围和效果。
02
机器学习和大数据分 析
随着机器学习和大数据分析技术的不 断发展，微积分理论将与这些技术相 结合，实现更高效、准确的微积分计 算和应用。
高等教育普及
微积分作为一门重要的数学课程将在高等教 育中得到更加广泛的普及和教育，提高大学 生的数学素养和思维能力。
中小学教育改革
微积分教育将进一步渗透到中小学教育中， 促进中小学教育改革和数学教育的创新发展 。
06
参考文献
参考文献
01
02
03
1. 罗伯特·卡尼格尔. 《微积分的 历程》. 人民邮电出版社.
2. 李大潜. 《微积分发展史》. 北 京高等教育出版社.
3. 张顺燕. 《微积分的思想和方 法》. 北京大学出版社.
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投资组合优化
微积分被广泛应用于投资组 合优化中，通过求解最优化 问题来获得最大收益或最小
化风险。
期权定价
微积分在期权定价模型中也 有着重要的应用，例如Black-
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首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发 明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天 文望远镜对准星空而作出了令世人惊奇不已的 天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的 新高涨，而且推动了光学的研究。
微积分的发展
1619年，开普勒公布了他的最后一条行星 运动定律。开普勒行星运动三大定律要意是：
1、行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭 圆的一个焦点；
主要内容
微积分的符号
微分学中的符号“dx”、“dy”等，系 由莱布尼茨首先使用。其中的d 源自拉丁语 中“差”（Differentia ）的第一个字母。积 分符号“∫”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语 “总和”（Summa）的第一个字母s 的伸长 (和Σ有相同的意义)。
微积分发展史
微积分的萌芽
微积分的发展 微积分的建立 微积分的严格化
微积分的萌芽
中国数学家的极限、积分思想
“割圆术”（魏晋刘徽） 一尺之棰，日取其半，万世不竭（战国庄周）
圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅）
刘徽 “割圆术”
庄子.天下篇
微积分的萌芽
外国数学家的极限、积分思想
欧几里得(公元前330年～前275年)是 古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名 于世，其中对不可约量及面积与体积的研究， 包含了穷竭法的萌芽。
主要内容
导数
也就是说，一个函数的自变量趋近某一极限 时，其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即 为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随 时间变化而变化，当时间趋于某一极限时，距离增 量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切 线斜率。
主要内容
微分学
微分学主要研究的是在函数自变量变化 时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分) 。 换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分 学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫 应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻 找点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖”。
积分学
主要内容
积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出
原函数。又分为定积分与不定积分。一个一元函 数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和， 约等于函数曲线下包含的实际面积。根据以上认 识，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包 含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。 而 不定积分，用途较少，主要用于微分方程的解。
凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本 主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈 入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面 临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成 为人们关注的焦点。
微积分的发展
当时，人们主要集中的焦点有：非匀速运 动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研 究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定 透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线 的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射 程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的 函数极大值、极小值问题也亟待解决。
从牛顿实际使用它到制定出周密的定义，数 学家们奋斗了200 多年。现在使用的定义是维斯特 拉斯于 19 世纪中叶给出的。
数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸 时，如果存在一个有限数（非无限大的数），使这 个数列可以无限地接近这个数，这个数就是这个数 列的极限。
主要内容
数列极限的表示方法
其中L就是极限的值。例如当
积分学的主要内容包括：定积分、不定积 分等。
主要内容
微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。
微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运 算。牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了 其他学者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使 我们在微分和积分之间互相转换。这个基本理论也 提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，该方 法并不真正进行极限运算而是通过发现不定积分。 该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决未知 数的积分。微分问题在科学领域无处不在。
微积分的创立是人类精神的最高胜利。
——恩格斯《自然辩证法》
目录
微积分的主要内容
微积分发展史
牛顿和莱布尼茨
主要内容
微积分学是微分学(Differential Calculs)和积 分学(Integral Calculs)统称,英文简称 Calculs,意为计算。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、 微分等。
时，
它的极限为L= 0。就是说 n 越大(越往前延伸)，这
个值越趋近于0。
主要内容
导数
我们知道在运动学中，平均速度等于通过的 距离除以所花费的时间，同样在一小段间隔的时间 内，除上其走过的一小段距离，等于这一小段时间 内的速度，但当这一小段间隔的时间趋于零时，这 时的速度为瞬时速度，无法按照通常的除法计算， 这时的速度为时间的导数。得用求导的方法计算。
2、由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫 过的面积相等；
3、行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆 轨道的半长轴的立方成正比。
开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律 从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然 科学的中心课题之一。
微积分的发展
1638年，伽利略的《关于两门新科学的对 话》出版。伽利略建立了自由落体定律、动量 定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道 的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发 射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡 导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对 他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表 述的巨大热情。
主要内容
微积分的基本概念还包括函数、无穷 序列、无穷级数和连续等，运算方法主要 有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数 学归纳法紧密相连。
微积分被延伸到微分方程、向量分析、 变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等 领域。微积分的现代版本是实分析。
”。微商 （即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研 究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线 下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含 着近代积分学的思想。
微积分的发展
近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半 叶这半个世纪。
为了理解这一酝酿的背景，我们首先来赂 微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天 文、力学等领域发生的重大事件。
微积分的发展
1619年，开普勒公布了他的最后一条行星 运动定律。开普勒行星运动三大定律要意是：
1、行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭 圆的一个焦点；
主要内容
微积分的符号
微分学中的符号“dx”、“dy”等，系 由莱布尼茨首先使用。其中的d 源自拉丁语 中“差”（Differentia ）的第一个字母。积 分符号“∫”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语 “总和”（Summa）的第一个字母s 的伸长 (和Σ有相同的意义)。
微积分发展史
微积分的萌芽
微积分的发展 微积分的建立 微积分的严格化
微积分的萌芽
中国数学家的极限、积分思想
“割圆术”（魏晋刘徽） 一尺之棰，日取其半，万世不竭（战国庄周）
圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅）
刘徽 “割圆术”
庄子.天下篇
微积分的萌芽
外国数学家的极限、积分思想
欧几里得(公元前330年～前275年)是 古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名 于世，其中对不可约量及面积与体积的研究， 包含了穷竭法的萌芽。
主要内容
导数
也就是说，一个函数的自变量趋近某一极限 时，其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即 为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随 时间变化而变化，当时间趋于某一极限时，距离增 量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切 线斜率。
主要内容
微分学
微分学主要研究的是在函数自变量变化 时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分) 。 换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分 学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫 应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻 找点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖”。
积分学
主要内容
积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出
原函数。又分为定积分与不定积分。一个一元函 数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和， 约等于函数曲线下包含的实际面积。根据以上认 识，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包 含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。 而 不定积分，用途较少，主要用于微分方程的解。
凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本 主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈 入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面 临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成 为人们关注的焦点。
微积分的发展
当时，人们主要集中的焦点有：非匀速运 动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研 究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定 透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线 的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射 程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的 函数极大值、极小值问题也亟待解决。
从牛顿实际使用它到制定出周密的定义，数 学家们奋斗了200 多年。现在使用的定义是维斯特 拉斯于 19 世纪中叶给出的。
数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸 时，如果存在一个有限数（非无限大的数），使这 个数列可以无限地接近这个数，这个数就是这个数 列的极限。
主要内容
数列极限的表示方法
其中L就是极限的值。例如当
积分学的主要内容包括：定积分、不定积 分等。
主要内容
微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。
微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运 算。牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了 其他学者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使 我们在微分和积分之间互相转换。这个基本理论也 提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，该方 法并不真正进行极限运算而是通过发现不定积分。 该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决未知 数的积分。微分问题在科学领域无处不在。
微积分的创立是人类精神的最高胜利。
——恩格斯《自然辩证法》
目录
微积分的主要内容
微积分发展史
牛顿和莱布尼茨
主要内容
微积分学是微分学(Differential Calculs)和积 分学(Integral Calculs)统称,英文简称 Calculs,意为计算。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、 微分等。
时，
它的极限为L= 0。就是说 n 越大(越往前延伸)，这
个值越趋近于0。
主要内容
导数
我们知道在运动学中，平均速度等于通过的 距离除以所花费的时间，同样在一小段间隔的时间 内，除上其走过的一小段距离，等于这一小段时间 内的速度，但当这一小段间隔的时间趋于零时，这 时的速度为瞬时速度，无法按照通常的除法计算， 这时的速度为时间的导数。得用求导的方法计算。
2、由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫 过的面积相等；
3、行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆 轨道的半长轴的立方成正比。
开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律 从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然 科学的中心课题之一。
微积分的发展
1638年，伽利略的《关于两门新科学的对 话》出版。伽利略建立了自由落体定律、动量 定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道 的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发 射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡 导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对 他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表 述的巨大热情。
主要内容
微积分的基本概念还包括函数、无穷 序列、无穷级数和连续等，运算方法主要 有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数 学归纳法紧密相连。
微积分被延伸到微分方程、向量分析、 变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等 领域。微积分的现代版本是实分析。
”。微商 （即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研 究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线 下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含 着近代积分学的思想。
微积分的发展
近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半 叶这半个世纪。
为了理解这一酝酿的背景，我们首先来赂 微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天 文、力学等领域发生的重大事件。