上海九年级数学-圆复习课(一)知识讲解

上海九年级数学-圆复习课(一)圆复习课（一）【教学目标】1、详细复习圆的基本性质、垂径定理和直线与圆的位置关系；2、熟练掌握相关方法，能做到快速解题；【教学内容】一、圆的有关概念（1）圆是到定点的距离等于定长的点的集合，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最大的弦。

（2）圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

（3）圆心相等、半径不同的两个圆是同心圆，半径相同、圆心不同的两个圆是等圆。

（4）一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外，Rd>；点P在圆上，Rd=；点P在圆内，Rd<≤0。

（5）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，不在同一直线上的三点确定一个圆。

（6）圆内接三角形与三角形的外接圆：三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点。

★例题分析例1：P是平面内任意一点，到圆上的最大距离是8，最小距离是2，求该圆的半径。

例2：判断正误：（1）经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆；（2）经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆；（3）经过三个定点，只能作一个圆；（4）经过三角形三个顶点，只能作一个圆。

（5）任何一个三角形有且仅有一个外接圆；（6）任何一个四边形都有一个外接圆；（7）等腰三角形的外心一定在它的内部；（8）一个圆的内接三角形且只有一个，三角形只有一个外接圆；（9）等腰三角形的外接圆的圆心必在其顶角的平分线上；（10）圆内接梯形是等腰三角形，圆内接平行四边形是菱形，圆内接菱形是正方形；例3：已知一个圆形纸片被撕破了，只剩下一部分，请你用尺规把这个圆补完整。

例4：已知△ABC ，AC =3，BC =4，∠C =90°，以点C 为圆心作⊙C ，半径为r 。

（1）当r 取什么值时，点A 、B 在⊙C 外。

（2）当r 在什么范围时，点A 在⊙C 内，点B 在⊙C 外。

★巩固练习 1、在△ABC 中，如果O 是△ABC 的外心，且∠A=73°，那么∠BOC=_______。

2、锐角三角形外心的位置在_______；直角三角形外心的位置在_______；钝角三角形外心的位置在______________。

3、直角三角形两条直角边分别为8cm 、15cm ，则其外接圆半径长为_______。

B4、经过不共线三点A、B、C的圆的圆心是_______，半径是_________________________；可以画_______个圆。

5、经过M、N两点的圆的圆心在，这样的圆有个。

6、圆的半径为R，则其内接直角三角形斜边长为，内接正方形边长为，内接等边三角形边长为。

7、已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是。

8、直角三角形两条直角边长为a、b，则直角三角形的外接圆半径是_________。

9、已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有个。

10、到定点的距离等于定长的点的轨迹是______________________________________11、到直线l的距离等于2cm的点的轨迹是____________________________________12、⊙O的半径r = 10 cm，圆心到直线l的距离OM = 8 cm，在直线l上有一点N，且MN = 6 cm。

则点N与圆O 的位置关系是。

二、圆心角、弧、弦、弦心距（1）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径。

以圆心为顶点的角叫做圆心角。

（2）圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

圆心到弦的距离叫做弦心距。

能够重合的两条弧称为等弧；半径长相等的两个圆一定能够重合，把半径长相等的两个圆称为等圆。

（3）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。

（4）圆心角的度数等于它所对应弧的度数。

★例题分析例1：（1）如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等； B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等； D．以上说法都不对（2）在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A．»AB=2»CD B．»AB>»CD C．»AB<2»CD D．不能确定（3）⊙O中，如果»AB=2»AC，那么（）．A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC例2：如图，D、E分别是⊙O 的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则AC与BC弧长的大小关系是。

例3：∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD。

O★巩固练习1、在ABC ∆中，060=∠A ，以BC 为直径的圆O 与AB 、AC 分别相交于点D 、E ，试判断DEO ∆的形状。

2、在圆O 中，OA 、OB 是两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过M 作MC 平行于OA 且交⋂AB 于C ，求MCO ∠的度数。

A3、已知点Ｅ是⊙O 上的点，Ｂ、Ｃ分别是劣弧ＡＤ的三等分点，046=∠BOC ，则∠AED 的度数为_________4、请用尺规作图：四等分弧AB （保留痕迹，不写作法）。

5、如图⊙O 是是等腰三角形ABC 的外接圆,AB=AC,D 是弧AC 的中点，已知∠EAD=114O ，求∠CAD 在度数。

6、如图，已知AB是⊙O的直径，»»»BC CD DE==，∠BOC=400，那么∠AOE = 。

OA BCDE7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是。

8、⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB所对圆心角的度数为。

三、垂径定理以及它的推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎩⎨⎧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦得到垂直于弦经过圆心一条直线具有（2）在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦、弦心距四组两种有一组量相等，那么它所对应的其余的量也相等。

★例题分析例1：判断：（1）垂直于弦的直线必平分这条弦。

（2）平分弦的直径必垂直于这条弦。

（3）一个圆的圆心必在一条弦的垂直平分线上。

（4）如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等。

（5）（6）如图，如果AE=BF，那么⋂⋂=BDAC。

FEOA BD（7）圆O与圆'O是等圆，'//OOAD则AB=CD。

例2：计算。

（1）如图，已知圆O中，060,1,=∠=⊥DOBEDBCOD，求圆的直径长和弦BC的长。

EOAC D（2）已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则两条弦和圆心的距离分别为 cm。

（3）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为。

（4）已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为。

（5）在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是。

例3：应用。

1、在1300多年前，我国隋朝建造了赵州石拱桥，它的桥拱是圆弧形，跨度AB （即弧所对的弦长）为37.4m，拱高CD（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径。

O例4：综合应用1、在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8。

现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN其中，DE在AB上，如图所示的设计方案是使AC=8，BC=6。

（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？（3）实际施工时，发现AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。

EM2、如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90 ，AB = 7，BC－AD = 1。

以CD 为直径的圆与AB有两个不同的交点E，F，且AE = 1。

问线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，这样的P点有几个？并求AP的长。

★巩固练习1、过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 cm，则OM的长等于。

2、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径等于。

3、如果⊙O中弦AB与直径CD垂直，垂足为E，AE=4，CE=2，那么⊙O的半径等于。

4、如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AC=CD，AB 的弦心距等于CD的一半。

则这两个同心圆的大小圆的半径之比。

5、如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为。

第2题图第3题图第4题图第5题图6、如图，已知AB为圆O的弦（非直径），E为AB的中点，EO的延长线交圆于点C，CD AB∥，且交AO的延长线于点D．:EO OC1:2=，4CD=，求圆O的半径。

7、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面。

若这个输水管道有水部分的水面宽16cmAB=，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径。

A BCOE8、已知圆O的半径为10，弦AB=16，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是。

9、AB是O⊙的直径，弦CD AB⊥于点E，连结OC，若5OC=，8CD=，则tan COE∠=10、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为。

四、直线和圆的位置关系（1）相离、相切、相交：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。

（2）如果圆O的半径长为R，圆心O到直线L的距离为d，那么直线L与圆O 相交，Rd<；直线L与圆O相切，d=R；直线L与圆O相交，Rd>；（3）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；BA★例题分析例1：在ABC ∆中，cm BC C B 6,45,3000==∠=∠，以A 为圆心，当半径为多长时，圆A 与BC 相切？相交？相离？例2：（1）矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，AE=AD ，以点E 为圆心，EC 长为半径作圆E ，圆E 与AE 交于点F ，连接DF 。