八年级数学全等三角形能力培优

八年级数学《全等三角形》能力培优

一．解答题（共8小题）

1．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．

（1）试判断B′E与DC的位置关系；（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．

2．已知：点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC．

（1）当点B坐标为（0，1）时，求点C的坐标；

（2）如图2，以OB为直角边作等腰直角△OBD，点D在第一象限，连接CD交y轴于点E．在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由．

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF=BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF；

4．如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；

若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．

5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）

（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

6．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；

（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC的长．

7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．

求证：DE=BF．

8．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．求证：AB=AC．

八年级数学《全等三角形》能力培优

参考答案与试题解析

一．解答题（共8小题）

1．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．

（1）试判断B′E与DC的位置关系；

（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．

【分析】（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，所以∠AB′E=∠B=∠D=90°，∴B′E ∥DC；

（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．

【解答】解：（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，

∠AB′E=∠B=∠D=90°，

∴B′E∥DC；

（2）∵折叠，

∴△ABE≌△AB′E，

∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=∠BEB′，

∵B′E∥DC，∴∠BEB′=∠C=130°，

∴∠AEB=∠BEB′=65°．

【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD边上的B′点，则△ABE≌△AB′E，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．

2．已知：点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作

等腰直角三角形ABC．

（1）当点B坐标为（0，1）时，求点C的坐标；

（2）如图2，以OB为直角边作等腰直角△OBD，点D在第一象限，连接CD交y轴于点E．在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由．

（1）过C作CM⊥y轴于M，通过判定△BCM≌△ABO（AAS），得出CM=BO=1，【分析】

BM=AO=4，进而得到OM=3，据此可得C（﹣1，﹣3）；

（2）过C作CM⊥y轴于M，根据△BCM≌△ABO，可得CM=BO，BM=OA=4，再判定△DBE≌△CME（AAS），可得BE=EM，进而得到BE=BM=2．

【解答】解：（1）如图1，过C作CM⊥y轴于M．

∵CM⊥y轴，

∴∠BMC=∠AOB=90°，

∴∠ABO+∠BAO=90°

∵∠ABC=90°，

∴∠CBM+∠ABO=90°，

∴∠CBM=∠BAO，

在△BCM与△ABO中，

，

∴△BCM≌△ABO（AAS），

∴CM=BO=1，BM=AO=4，

∴OM=3，

∴C（﹣1，﹣3）；

（2）在B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为2，

理由：如图2，过C作CM⊥y轴于M，

由（1）可知：△BCM≌△ABO，

∴CM=BO，BM=OA=4．

∵△BDO是等腰直角三角形，

∴BO=BD，∠DBO=90°，

∴CM=BD，∠DBE=∠CME=90°，

在△DBE与△CME中，

，

∴△DBE≌△CME（AAS），

∴BE=EM，

∴BE=BM=2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定△DBE≌△CME是解第（2）题的关键．

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，