Matlab实现玻尔兹曼晶格模拟
如何在MATLAB中进行模拟实验
如何在MATLAB中进行模拟实验在科学研究和工程设计中，模拟实验是一种常用的工具。
通过在计算机中运行虚拟的实验环境，模拟实验可以帮助研究人员更好地理解问题的本质、验证理论模型的有效性以及预测系统的行为。
MATLAB作为一种强大的数值计算和工程仿真软件，其具备了丰富的工具箱和函数库，能够方便地进行各种模拟实验。
本文将介绍一些常见的MATLAB模拟实验方法和技巧，希望能够帮助读者更好地应用MATLAB进行科研和工程实践。
首先，我们来介绍一下在MATLAB中进行物理仿真的方法。
物理仿真是一种基于物理模型的模拟实验方法，通过对系统的物理规律进行建模和求解，可以模拟出系统的运动轨迹、受力情况等。
在MATLAB中，可以利用一个强大的工具箱——Simulink来进行物理仿真实验。
Simulink是一种基于图形化界面的系统仿真工具，它可以将复杂的系统模型分解成多个子模块，并通过连接这些子模块的信号来构建整个系统模型。
Simulink提供了丰富的组件库，其中包含各种传感器、执行器、控制器等元件，可以方便地构建系统模型。
在构建好系统模型后，通过设置模型的参数和初始条件，并选择合适的仿真方法，就可以进行仿真实验了。
Simulink中的仿真结果可以以图形或数据的形式展示，为科研和工程分析提供了重要的依据。
除了物理仿真外，MATLAB还可以进行电路仿真实验。
在电子电路设计和分析中，MATLAB提供了一种强大的工具箱——电路设计工具箱，可以帮助研究人员模拟和分析各种电子电路。
电路设计工具箱提供了各种电子元件的模型，包括电阻、电容、电感、二极管、晶体管等，可以用来构建完整的电子电路模型。
在构建好电路模型后，可以通过设置元件的参数，并选择合适的交流或直流分析方法进行仿真实验。
仿真结果可以帮助研究人员验证电路设计的正确性，分析电路中各个元件的功耗、电压和电流等信息，以及优化电路的性能。
不仅如此，MATLAB还提供了丰富的数学建模和优化工具箱，可以在MATLAB中进行数学和最优化的模拟实验。
晶格玻尔兹曼法
晶格玻尔兹曼法
晶格玻尔兹曼法是一种在固体中研究热输运和电输运的有效方法，因为它不仅考虑了
传统的纯色散弛射机制，同时还考虑了散射机制中的非色散性。
因此，晶格玻尔兹曼法可
以用来研究混合物、微观结构、表面效应以及更复杂的材料现象。
使用晶格玻尔兹曼法进行计算时，需要考虑以下几个方面：
1. 晶格振动
晶格振动是晶体中一种基本的运动方式，这种运动是由于离子之间的相互作用所产生的。
在晶格玻尔兹曼法中，需要针对晶格振动的本征频率和本征态进行计算。
2. 电子态密度
由于输运过程会受到电子态密度的影响，因此在晶格玻尔兹曼法中必须确保电子态密
度的正确估计。
这通常需要使用一些定量的方法来处理。
3. 散射机制
晶格玻尔兹曼法还需要建立一个良好的散射机制模型，以便准确描述散射机制对输运
的影响。
在晶格玻尔兹曼法中，存在两种基本的散射机制：布里渊散射（phonon-phonon scattering）和散射中心导致的声子散射（phonon-impefect scattering）。
4. 算法和数值方法
最后，在晶格玻尔兹曼法中需要使用一些特定的算法和数值方法来求解玻尔兹曼方程。
这些方法包括Monte Carlo方法、多格子方法、有限差分方法和谱方法等等。
总之，晶格玻尔兹曼法是一种非常重要的计算输运性质的方法，它可以用于研究各种
不同的材料，对于材料科学和工程领域都有着重要的应用价值。
格子玻尔兹曼MATLAB运用(LBGK_D2Q9_poiseuille_channel2D)
%GianniSchenaJuly2005,***************% Lattice Boltzmann LBE, geometry: D2Q9, model: BGK% Application to permeability in porous mediaRestart=false % to restart from an earlier convergencelogical(Restart);if Restart==false;close all, clear all% start from scratch and clean ...Restart=false;% type of channel geometry ;% one of the flollowing flags == truePois_test=true, % no obstacles in the 2D channel% porous systemsobs_regolare=false %obs_irregolare=false %tic% IN% |vvvv| + y% |vvvv| ^% |vvvv| | -> + x% OUT% Pores in 2D : Wet and Dry locations (Wet ==1 , Dry ==0 )wXh_Dry=[3,1];wXh_Wet=[3,4];if obs_regolare, % with internal obstaclesA=repmat([zeros(wXh_Dry),ones(wXh_Wet)],[1,3]);A=[A,zeros(wXh_Dry)];B=ones(size(A));C=[A;B] ; D=repmat(C,4,1);D=[B;D]endif obs_irregolare, % with int obstaclesA1=repmat([zeros(wXh_Dry),ones(wXh_Wet)],[1,3]);A1=[A1,zeros(wXh_Dry)] ;B=ones(size(A1));C1=repmat([ones(wXh_Wet),zeros(wXh_Dry)],[1,3]); C1=[C1,ones(wXh_Dry)]; E=[A1;B;C1;B];D=repmat(E,2,1);D=[B;D]endif ~Pois_testfigure,imshow(D,[])Channel2D=D;Len_Channel_2D=size(Channel2D,1); % LengthWidth=size(Channel2D,2); % should not be hodChannel_2D_half_Width=Width/2,end% test without obstacles (i.e. 2D channel & no obstacles)if Pois_test%over-writes the definition of the pore spaceclear Channel2DLen_Channel_2D=36, % lunghezza canale 2dChannel_2D_half_Width=8; Width=Channel_2D_half_Width*2;Channel2D=ones(Len_Channel_2D,Width); % define wet area%Channel2D(6:12,6:8)=0; % put fluid obstacleimshow(Channel2D,[]);end[Nr Mc]=size(Channel2D); % Number rows and Munber columns% porosityporosity=nnz(Channel2D==1)/(Nr*Mc)% FLUID PROPERTIES% physical propertiescs2=1/3; %cP_visco=0.5; % [cP] 1 CP Dinamic water viscosity 20 Cdensity=1.; % fluid densityLky_visco=cP_visco/density; % lattice kinematic viscosityomega=(Lky_visco/cs2+0.5).^-1; % omega: relaxation frequency%Lky_visco=cs2*(1/omega - 0.5) , % lattice kinematic viscosity%dPdL= Pressure / dL;% External pressure gradient [atm/cm]uy_fin_max=-0.2;%dPdL = abs( 2*Lky_visco*uy_fin_max/(Channel_2D_half_Width.^2) );dPdL=-0.0125;uy_fin_max=dPdL*(Channel_2D_half_Width.^2)/(2*Lky_visco); % Poiseuille Gradient;% max poiseuille final velocity on the flow profileuy0=-0.001; ux0=0.0001; % linear vel .. inizialization%% uy_fin_max=-0.2; % max poiseuille final velocity on the flow profile % omega=0.5, cs2=1/3; % omega: relaxation frequency% Lky_visco=cs2*(1/omega - 0.5) , % lattice kinematic viscosity% dPdL = abs( 2*Lky_visco*uy_fin_max/(Channel_2D_half_Width.^2) ); % Poiseuille Gradient;%uyf_av=uy_fin_max*(2/3);; % average fluid velocity on the profilex_profile=([-Channel_2D_half_Width:+Channel_2D_half_Width-1]+0.5);uy_analy_profile=uy_fin_max.*(1- ( x_profile/Channel_2D_half_Width).^2 ); % analytical velocity profileav_vel_t=1.e+10; % inizialization (t=0)%PixelSize= 5; % [Microns]%dL=(Nr*PixelSize*1.0E-4); % sample hight [cm]%% EXPERIMENTAL SET-UP% inlet and outlet buffersinb=2, oub=2; % inlet and outlet buffers thickness% add fluid at the inlet (top) and outlet (down)inlet=ones(inb,Mc); outlet=ones(oub,Mc);Channel2D=[ [inlet]; Channel2D ;[outlet] ] ; % add flux in and down (E to W)[Nr Mc]=size(Channel2D); % update size% boundaries related to the experimental set upwb=2; % wall thicknessChannel2D=[zeros(Nr,wb), Channel2D , zeros(Nr,wb)]; % add walls (no fluid leak)[Nr Mc]=size(Channel2D); % update sizeuy_analy_profile=[zeros(1,wb), uy_analy_profile, zeros(1,wb) ] ; % take into account wallsx_pro_fig=[[x_profile(1)-[wb:-1:1]], [x_profile,[1:wb]+x_profile(end)] ];% Figure plots analytical parabolic profilefigure(20), plot(x_pro_fig,uy_analy_profile,'-'), grid on,title('Analytical parab. profile for Poiseuille planar flow in a channel') % VISUALIZE PORE SPACE & FLUID OSTACLES & MEDIAL AXISfigure, imshow(Channel2D); title('Vassel geometry');Channel2D=logical(Channel2D);% obstacles for Bounce Back ( in front of the grain)Obstacles=bwperim(Channel2D,8); % perimeter of the grains for bounce back Bound.Cond.border=logical(ones(Nr,Mc));border([1:inb,Nr-oub:Nr],[wb+2:Mc-wb-1])=0;Obstacles=Obstacles.*(border);figure, imshow(Obstacles); title(' Fluid obstacles (in the fluid)' );%Medial_axis=bwmorph(Channel2D,'thin',Inf); %figure, imshow(Medial_axis); title('Medial axis');figure(10) % used to visualize evolution of rhofigure(11) % used to visualize uxfigure(12) % used to visualize uy (i.e. top -> down)% INDICES% Wet locations etc.[iabw1 jabw1]=find(Channel2D==1); % indices i,j, of active lattice locations i.e. porelena=length(iabw1); % number of active location i.e. of pore space lattice cellsija= (jabw1-1)*Nr+iabw1; % equivalent single index (i,j)->> ija for active locations% absolute (single index) position of the obstacles in for bounce back in Channel2D% Obstacles[iobs jobs]=find(Obstacles);lenobs=length(iobs); ijobs=(jobs-1)*Nr+iobs; % as above% Medial axis of the pore space[ima jma]=find(Medial_axis); lenma=length(ima); ijma= (jma-1)*Nr+ima; % as above% Internal wet locations : wet & ~obstables% (i.e. internal wet lattice location non in contact with dray locations)[iawint jawint]=find(( Channel2D==1 & ~Obstacles)); % indices i,j, of active lattice locationslenwint=length(iawint); % number of internal (i.e. not border) wet locations ijaint= (jawint-1)*Nr+iawint; % equivalent singlNxM=Nr*Mc;% DIRECTIONS: E N W S NE NW SW SE ZERO (ZERO:Rest Particle)% y^% 6 2 5 ^ NW N NE% 3 9 1 ... +x-> +y W RP E% 7 4 8 SW S SE% -y% x & y components of velocities , +x is to est , +y is to nordEast=1; North=2; West=3; South=4; NE=5; NW=6; SW=7; SE=8; RP=9;N_c=9 ; % number of directions% versors D2Q9C_x=[1 0 -1 0 1 -1 -1 1 0];C_y=[0 1 0 -1 1 1 -1 -1 0]; C=[C_x;C_y]% BOUNCE BACK SCHEME% after collision the fluid elements densities f are sent back to the% lattice node they come from with opposite direction% indices opposite to 1:8 for fast inversion after bounceic_op = [3 4 1 2 7 8 5 6]; % i.e. 4 is opposite to 2 etc.% PERIODIC BOUNDARY CONDITIONS - reinjection rulesyi2=[Nr , 1:Nr , 1]; % this definition allows implemening Period Bound Cond %yi2=[1, Nr , 2:Nr-1 , 1,Nr]; % re-inj the second last to as first% directional weights (density weights)w0=16/36. ; w1=4/36. ; w2=1/36.;W=[ w1 w1 w1 w1 w2 w2 w2 w2 w0];%c constants (sound speed related)cs2=1/3; cs2x2=2*cs2; cs4x2=2*cs2.^2;f1=1/cs2; f2=1/cs2x2; f3=1/cs4x2;f1=3., f2=4.5; f3=1.5; % coef. of the f equil.% declarative statemetsf=zeros(Nr,Mc,N_c); % array of fluid density distributionfeq=zeros(Nr,Mc,N_c); % f at equilibriumrho=ones(Nr,Mc); % macro-scopic densitytemp1=zeros(Nr,Mc);ux=zeros(Nr,Mc); uy=zeros(Nr,Mc); uyout=zeros(Nr,Mc); % dimensionless velocitiesuxsq=zeros(Nr,Mc); uysq=zeros(Nr,Mc); usq=zeros(Nr,Mc); % higher degree velocities% initialization arrays : start values in the wet areafor ia=1:lena % stat values in the active cells only ; 0 outsidei=iabw1(ia); j=jabw1(ia);f(i,j,:)=1/9; % uniform density distribution for a startenduy(ija)=uy0; ux(ija)=ux0; % initialize fluid velocitiesrho(ija)=density;% EXTERNAL (Body) FORCES e.g. inlet pressure or inlet-outlet gradient% directions: E N W S NE NW SW SE ZEROforce = -dPdL*(1/6)*1*[0 -1 0 1 -1 -1 1 1 0]'; %;%... E N E S NE NW SW SE RP ...% the pressure pushes the fluid down i.e. N to S% While .. MAIN TIME EVOLUTION LOOPStopFlag=false; % i.e. logical(0)Max_Iter=3000; % max allowed number of iterationCheck_Iter=1; Output_Every=20; % frequency of check & outputCur_Iter=0; % current iteration counter inizializationtoler=1.0e-8; % tollerance to declare convegenceCond_path=[]; % recording values of the convergence criteriumdensity_path=[]; % recording aver. density values for convergenceend% ends if restartif(Restart==true)StopFlag=false; Max_Iter=Max_Iter+3000; toler=1.0e-12;endwhile(~StopFlag)Cur_Iter=Cur_Iter+1 % iteration counter update% density and momentsrho=sum(f,3); % densityif Cur_Iter >1 % use inizialization ux uy to start% Moments ... Note:C_x(9)=C_y(9)=0ux=zeros(Nr,Mc); uy=zeros(Nr,Mc);for ic=1:N_c-1;ux = ux + C_x(ic).*f(:,:,ic) ; uy = uy + C_y(ic).*f(:,:,ic) ;end% uy=f(:,:,2) +f(:,:,5)+f(:,:,6)-f(:,:,4)-f(:,:,7)-f(:,:,8); % in short !% ux=f(:,:,1) +f(:,:,5)+f(:,:,8)-f(:,:,3)-f(:,:,6)-f(:,:,7); % in short !end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ux(ija)=ux(ija)./rho(ija); uy(ija)=uy(ija)./rho(ija);uxsq(ija)=ux(ija).^2; uysq(ija)=uy(ija).^2;usq(ija)=uxsq(ija)+uysq(ija); %% weighted densities : rest particle, principal axis, diagonalsrt0 = w0.*rho; rt1 = w1.*rho; rt2 = w2.*rho;% Equilibrium distribution% main directions ( + cross)feq(ija)= rt1(ija) .*(1 +f1*ux(ija) +f2*uxsq(ija) -f3*usq(ija));feq(ija+NxM*(2-1))= rt1(ija) .*(1 +f1*uy(ija) +f2*uysq(ija)-f3*usq(ija));feq(ija+NxM*(3-1))= rt1(ija) .*(1 -f1*ux(ija) +f2*uxsq(ija)-f3*usq(ija));%feq(ija+NxM*(3)=f(ija)-2*rt1(ija)*f1.*ux(ija); % much faster... !! feq(ija+NxM*(4-1))= rt1(ija) .*(1 -f1*uy(ija) +f2*uysq(ija)-f3*usq(ija));% diagonals (X diagonals) (ic-1)feq(ija+NxM*(5-1))= rt2(ija) .*(1 +f1*(+ux(ija)+uy(ija))+f2*(+ux(ija)+uy(ija)).^2 -f3.*usq(ija));feq(ija+NxM*(6-1))= rt2(ija) .*(1 +f1*(-ux(ija)+uy(ija))+f2*(-ux(ija)+uy(ija)).^2 -f3.*usq(ija));feq(ija+NxM*(7-1))= rt2(ija) .*(1 +f1*(-ux(ija)-uy(ija))+f2*(-ux(ija)-uy(ija)).^2 -f3.*usq(ija));feq(ija+NxM*(8-1))= rt2(ija) .*(1 +f1*(+ux(ija)-uy(ija))+f2*(+ux(ija)-uy(ija)).^2 -f3.*usq(ija));% rest particle (.) ic=9feq(ija+NxM*(9-1))= rt0(ija) .*(1 - f3*usq(ija));%Collision (between fluid elements)omega=relaxation frequencyf=(1.-omega).*f + omega.*feq;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%add external body force due to the pressure gradient prop. to dPdL for ic=1:N_c;%-1for ia=1:lenai=iabw1(ia); j=jabw1(ia);% if Obstacles(i,j)==0 % the i,j is not aderent to the boundaries% if ( f(i,j,ic) + force(ic) ) >0; %! avoid negative distributions%i=1 ;% force only on the first row !f(i,j,ic)= f(i,j,ic) + force(ic);% end% endendend% % STREAM% Forward Propagation step & % Bounce Back (collision fluid with obstacles) %f(:,:,9) = f(:,:,9); % Rest element do not movefeq = f; % temp storage of f in feqfor ic=1:1:N_c-1, % select velocity layeric2=ic_op(ic); % selects the layer of the velocity opposite to ic for BBtemp1=feq(:,:,ic); %% from wet location that are NOT on the border to other wet locationsfor ia=1:1:lenwint % number of internal (i.e. not border) wet locations i=iawint(ia); j=jawint(ia); % so that we care for the wet space only !i2 = i+C_y(ic); j2 = j+C_x(ic); % Expected final locations to move i2=yi2(i2+1); % i2 corrected for PBC when necessary (flow out re-fed to inlet)% i.e the new position (i2,j2) is sure another wet location% therefore normal propagation from (i,j) to (i2,j2) on layer ic f(i2,j2,ic)=temp1(i,j); % see circshift(..) fnct for circularly shiftsend ; % i and j single loop% from wet locations that ARE on the border of obstaclesfor ia=1:1:lenobs % wet border locationsi=iobs(ia); j=jobs(ia); % so that we care for the wet space only ! i2 = i+C_y(ic); j2 = j+C_x(ic); % Expected final locations to move i2=yi2(i2+1); % i2 corrected for PBCif( Channel2D(i2,j2) ==0 ) % i.e the new position (i2,j2) is dry f(i,j,ic2) =temp1(i,j); % invert direction: bounce-back in the opposite direction ic2else% otherwise, normal propagation from (i,j) to (i2,j2) on layer icf(i2,j2,ic)=temp1(i,j); % see circshift(..) fnct for circularly shiftsend ; % b.b. and propagationsend ; % i and j single loop% special treatment for Corners% f(1,wb+1,ic)=temp1(Nr,Mc-wb);f(1,Mc-wb,ic)=temp1(Nr,wb+1);% f(Nr,wb+1,ic)=temp1(1,Mc-wb);f(Nr,Mc-wb,ic)=temp1(1,wb+1);end ; % for ic direction% ends of Forward Propagation step & Bounce Back Sections% re-calculate uy as uyout for convergencerho=sum(f,3); % density% check velocityuyout= zeros(Nr,Mc);for ic=1:N_c-1;uyout= uyout + C_y(ic).*f(:,:,ic) ; % flow dim.less velocity out end% uyout(ija)=uyout(ija)./rho(ija); % from momentum to velocity% Convergence check on velocity valuesif (mod(Cur_Iter,Check_Iter)==0) ; % check for convergence every'Check_Iter' iterations% variables monitored% mean density andvect=rho(ija); vect=vect(:);cur_density=mean(vect);% mean 'interstitial' velocity% uy(ija)=uy(ija)/rho(ija); ?vect=uy(ija); av_vel_int= mean(vect) ; % seepage velocity (in the wet area)% on the whole cross-sectional area of flow (wet + dry)av_vel_int=av_vel_int*porosity, % av. vel. on the wet + dry area %av_vel_int=mean2(uy),av_vel_tp1 = av_vel_int;Condition=abs( abs(av_vel_t/av_vel_tp1 )-1), % should --> 0Cond_path=[Cond_path, Condition]; % records the convergence path (value)density_path=[density_path, cur_density];%av_vel_t=av_vel_tp1; % time t & t+1if (Condition < toler) | (Cur_Iter > Max_Iter)StopFlag=true;display( 'Stop iteration: Convergence met or iteration exeeding the max allowed' )display( ['Current iteration: ',num2str(Cur_Iter),...' Max Number of iter: ',num2str(Max_Iter)] )break% Terminate execution of WHILE .. exit the time evolution loop.end% if(Condition < tolerendif (mod(Cur_Iter,Output_Every)==0) ; % Output from loop every ...%if (Cur_Iter>60) ; % Output from loop every ...rho=sum(f,3); % densityfigure(10); imshow(rho,[0.1 0.9]); title(' rho'); % visualize density evolutionfigure(11); imshow(ux,[ ]); title(' ux'); % visualize fluid velocity horizontalfigure(12); imshow(-uy,[ ]); title(' uy'); % visualize fluid velocity downfigure(14), imshow(-uyout,[]), title('uyout'); % vis vel flow out up=2; % linear section to visualize up from the lower rowfigure(15), hold off, feather(ux(Nr-up,:),uy(Nr-up,:)),figure(15), hold on , plot(uy_analy_profile,'r-')title('Analytical vs LB calculated, fluid velocity parabolicprofile')pause(3); % time given to visualize properlyend% every% pause(1);end% End main time Evolution Loop% Output & Draw after the end of the time evolutionfigure, plot(Cond_path(2:end)); title('convergence path')%figure, plot(density_path(2:end)); title('density convergence path') figure, plot( [uy(Nr-up,:)-uy_analy_profile] ); title('difference : LB - Analytical solution')toc% Permeability KK_Darcy_Porous_Sys= (av_vel_int*porosity)/dPdL*Lky_visco , K_Analy_2D_Channel=(Width^2)/12。
KdV方程的格子Boltzmann模型求解
第46卷 第1期华北理工大学学报(自然科学版)V o l .46 N o .12024年01月J o u r n a l o fN o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )J a n .2024收稿日期:2023-03-17 修回日期:2023-12-18基金项目:国家自然科学基金项目(32070669)㊂ 第一作者:陈梦涵,女,硕士研究生㊂研究方向:应用数理统计㊂E -m a i l :2094953965@q q .c o m. 通讯作者:王希胤,男,博士,教授㊂研究方向:生物信息学㊂E -m a i l :w a n g x i y i n @v i p.s i n a .c o m. D O I :10.3969/j.i s s n .2095-2716.2024.01.013文章编号:2095-2716(2024)01-0103-08K d V 方程的格子B o l t z m a n n 模型求解陈梦涵,王希胤,李金(华北理工大学理学院,河北唐山063210)关键词:K d V 方程;D 1Q 5模型;格子B o l t z m a n n 方法摘 要:浅水波模型被广泛地用于模拟水波传播的动力学行为㊂很多问题,如强非线性问题㊁非平衡问题㊁实际应用中发生的问题等,使得传统的理论研究手段通常无能为力㊂文章首先给出了格子B o l t z m a n n 方法(L B M )的基本理论,然后利用经典的一维五速度(D 1Q 5)的离散速度模型,给出K o r t e w e g -d eV r i e s (K d V )方程中含有修正项的格子B o l t z m a n n (L B )模型推导公式,最后进行数值模拟,将K d V 方程的精确解和模拟解进行比较,然后验证修正模型的精确性㊂实验结果表明,用格子B o l t z m a n n 方法对K d V 方程进行求解,其模拟解和精确解吻合度较高㊂中图分类号:O 212.1 文献标识码:A波动现象是自然界最普遍的现象之一,对于水波的研究也一直是科学和工程研究领域的重要课题㊂尽管波动问题所涉及的领域不同,但是描述波动现象的方程却是相同的㊂由于水波千姿百态,用肉眼就可以观察到,因此很早就引起了人们的注意,可以说是人们最为熟悉的一种波㊂波动是物质运动的重要形式,广泛存在于自然界㊂波动中被传递的物理量的扰动和振动有多种形式,例如,弦线中的波㊁空气或固体中的声波㊁水波㊁电磁波,等等㊂为了更加具体地研究各种波动,就产生了各种形式的波动方程,因此,浅水波方程也成为重要的研究对象之一㊂而K o r t e w e g -d eV r i e s (K d V )方程是1895年由荷兰数学家科特韦格(K o r t e w e g )和德弗里斯(d eV r i e s )在研究浅水中小振幅长波运动时共同发现的一种单向运动浅水波偏微分方程㊂在求解偏微分方程地过程中,我们经常用到的数值计算方法有:有限元法(F i n i t eE l e m e n tM e t h o d s),有限差分法(F i n i t eD i f e r e n c eM e t h o d s ),有限体积法(F i n i t eV o l u m e M e t h o d s )和格子B o l z m a n n (L B M )方法等㊂其中,有限差分法虽然相对其他三种方法而言简便易行,而且有丰富多样的离散方法,但是它在求解问题时对求解区域的适应性比较差㊂有限元法虽然采用的网格剖分更加灵活,从一定程度上讲对求解区域具有更强的适应性,但是它在求解间断问题时会受到很大的限制,达不到有限差分法的效果㊂而有限体积法可以被视为是上述两种方法的结合,虽然能够充分利用有限元网格灵活性和克服差分法对网格适应性差的缺陷,但是数值实验较难进行[1]㊂作为一种新兴的数值模拟方法,L B M 基于B o l t z m a n n 方程的离散,是一种自下而上的求解方法㊂它描述了微观粒子的碰撞和迁移,利用分布函数(一种概率密度分布函数)来确定粒子的分布,即分布函数描述了流体的宏观运动㊂近年来,由于L B M 具有计算简便㊁良好的并行性㊁处理不规则的复杂边界容易且对于源项的考虑简单等诸多优势,已经自然而然地发展成为了求解浅水波方程的一种新方法[2]㊂在以往的研究中,英国利物浦大学的教授Z h o u [3]较为全面地阐述了浅水波方程的L B M 理论,包括外力的不同处理格式㊁湍流模型的构造㊁多种边界条件的处理方法以及对于许多经典浅水波问题的验证㊂中山大学环境科学与工程学院的L i 和H u a n g [4]进行了对流-扩散方程与浅水波方程耦合的研究,并采用L B 的多松弛模型和双松弛模型分别对流场和污染物场进行了模拟㊂文献[5]提出了一类粘性浅水方程的晶格B o l t z m a n n (L B )模型,该模型采用源项的二阶矩来恢复控制方程中的粘性,并消除C h a p m a n -E n s k o g 分析过程中产生的附加误差㊂文献[6]建立了一种适用于浅水方程的晶格玻尔兹曼模型(L A B S W E ),它用源项如床面坡度,床面摩擦力来求解方程㊂通过求解定常和非定常流动问题,验证了该模型的有效性㊂鉴于以上背景,文章首先给出了格子B o l t z m a n n 方法(L B M )的基本理论,然后利用经典的一维五速度(D 1Q 5)的离散速度模型,给出K d V 方程中含有修正项的格子B o l t z m a n n (L B )模型推导公式,最后进行数值模拟,将K d V 方程的精确解和模拟解进行比较,然后验证修正模型的精确性㊂实验结果表明,用格子B o l t z m a n n 方法对K d V 方程进行求解,其模拟解和精确解吻合度较高㊂1方法格子玻尔兹曼方法(L a t t i c eB o l t z m a n n M e t h o d)是一种基于微观介观的流体力学计算方法,适用于二维或三维流体流动问题的模拟[7]㊂图1是格子玻尔兹曼方法的流程图:其主要思想是离散化流体的分布函数,通过对分布函数的演化来模拟流体的运动㊂近年来,L B M 由于计算简单㊁并行性好㊁易于处理复杂不规则的边界及能简单方便地考虑源项等优势,已经发展成为求解浅水波方程(S W E s )的一种新方法㊂下面是格子玻尔兹曼方法的求解步骤:图1 L B M 方法流程图(1)确定格子和速度模型:首先需要确定流场的离散化格点和速度模型㊂通常情况下,将流体分成若干个小区域,每个小区域都对应一个格点,格点上有一组离散的速度向量㊂(2)定义分布函数:为了描述格点上流体的状态,引入一个分布函数g ,用来表示在每个格点上,每个速度方向上的粒子数密度㊂它是时间和位置的函数,通常用离散的速度和离散的时间步长表示㊂(3)离散B o l t z m a n n 方程:基于B o l t z m a n n 方程,对分布函数进行离散化,得到离散化的B o l t z m a n n 方程,它描述了分布函数的演化过程㊂在格子玻尔兹曼方法中,B o l t z m a n n 方程可以看成是一个简单的微分方程,其左侧是分布函数的时间导数,右侧是一个碰撞项和一个弛豫项,用于描述粒子之间的相互作用和粒子与流体之间的相互作用㊂401 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷(4)离散碰撞项和弛豫项:将碰撞项和弛豫项进行离散化,得到离散化的碰撞算子和弛豫算子㊂碰撞算子用于描述粒子之间的相互作用,而弛豫算子用于描述粒子与流体之间的相互作用㊂(5)迭代求解:通过迭代求解离散化的B o l t z m a n n 方程,计算出每个格点上的分布函数,从而得到流场的速度场和密度场㊂(6)计算宏观量:根据格点上的分布函数,可以计算出宏观量,如速度㊁密度㊁压力等㊂(7)处理边界条件:对于边界处的格点,需要根据具体的物理问题设置边界条件㊂(8)模拟结束:当达到预设的模拟时间或达到收敛条件时,模拟结束㊂2模型简介2.1 离散速度模型L B M 中一维离散速度模型最常见的是D 1Q 3模型和D 1Q 5模型[8],具体如下:(1)对于D 1Q 3模型(见图2),模型参数如下: c ң=c 01-1[], c s =c3, ωi =2/3,c i2=01/6,c i2=c 2{(1)图2 D 1Q 3离散速度模型其中,ωi 为权重系数,c =Δx /Δt 为粒子迁移速度,c s 是与当地声速相关的量㊂(2)对于D 1Q 5模型(见图3),模型参数如下: c ң=c 01-12-2[],c s =c (2) ω0=12,ω1=ω2=16,ω3=ω4=112(3)图3 D 1Q 5离散速度模型其中,ωi 为权重系数,c =Δx /Δt 为粒子迁移速度,c s 是与当地声速相关的量㊂2.2 K d V 方程将L B 模型应用于K d V 方程中,需要将K d V 方程离散化成网格上的方程组,然后通过L B 模型求解这个方程组㊂具体来说,L B 模型中的速度分布函数被定义为格点上的波高,通过计算速度分布函数在不同时间和空间的演化来模拟K d V 方程的行为㊂与传统的有限差分法和有限元法相比,L B 模型具有计算效率高㊁适合并行计算等优点,因此在模拟非线性波等问题时得到了广泛应用㊂考虑非线性偏微分方程一般形式[9]: ∂u ∂t +αu ∂u ∂x +βu n ∂2u ∂x 2-γ∂2u ∂x 2+δ∂3u ∂x3=0(4)其中,u =u x ,t ()是物质在空间x 处和时刻t 时的密度,α,β,γ,δ为参数㊂当β=0,γ=0时,方程(4)化为K d V 方程:∂u ∂t +αu ∂u ∂x +δ∂3u∂x3=0(5)501 第1期 陈梦涵,等:K d V 方程的格子B o l t z m a n n 模型求解3模型推导采用D 1Q 5模型给出K d V 方程含有修正项的L B 模型推导,给出的演化方程为: g i x ң+c ңi Δt ,t +Δt ()-g i x ң,t ()=-1τg i x ң,t ()-g e q i x ң,t ()()+Δt h i x ң,t ()(6)其中,τ表示松弛时间,c ңi 为沿着流动方向的单位速度矢量,gi x ң,t ()表示在t 时刻,位于x ң处沿着离散速度方向c ңi 运动的粒子分布函数,Δt h i x ң,t ()为修正项㊂根据参考文献[10-12],将修正函数h i x ң,t ()和平衡态分布函数g e qi x ң,t ()分别定义为: h i x ң,t ()=λ1,i u 2+λ2,iu n +1,i =0~4(7) g e qix ң,t ()=ρ1u (8)其中,λ1,i ,λ2,i 和p i 为调整参数㊂宏观变量u x ,t ()定义为[13-15]: u =ðigi (9)为了得到稳定的宏观变量u ,假设分布函数g i 也处于平衡状态,且有: u =ðig e qi =ði g 0()i =ðigi (10)由(10)可得, ði gn ()i=0,n ⩾1(11)为了能够恢复到宏观方程,平衡态分布函数g e q i 和修正函数需要满足下面几个约束条件:ðic i g e qi()=0,ðic 2i g e q i ()=c 2λu ,ðic3i g e qi ()=c 3ηu (12) ði hi=0,ði c i h i ()=c λ1u 2+c λ2u n +1,ðic2i h i ()=0(13)使用多尺度分析将方程恢复到宏观方程,引入1个离散的时间尺度和3个连续的时间尺度,其具体表达形式为:t 0,t 1=εt ,t 2=ε2t ,t 3=ε3t (14)对分布函数g i 和时间导数进行Ch a p m a n -E n s k o g 展开,可得: g i =g 0()i +εg1()i +ε2g 2()i +ε3g 3()i +O ε4()(15)∂∂t =∂∂t 0+ε∂∂t 1+ε2∂∂t 2+ε3∂∂t 3+O ε4()(16)其中,ε表示任意小的参数,在宏观方程的推导过程中,不妨假设ε=Δt ,将(6)式的左边对时间和空间进行泰勒展开,并保留Οε4()项,可得 ε∂g i ∂t +ε∂∂x c i g i ()+12ε2∂2g i ∂t 2+ε2∂2∂t ∂x c i g i ()+12ε2∂2∂x 2c 2i g i ()+16ε3∂∂t +c i ∂∂x æèçöø÷3g i =-1τg i -g e qi ()+εh i +Οε4()(17)将(15)和(16)代入(17)式中得,并对比左右两边可得ε的同阶项:可以得出,O ε()系数: g e qi =g0()i (18)O ε1()系数:601 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷∂∂x c i g e qi ()=-1τg 1()i +h i (19)O ε2()系数: ∂g e q i ∂t 1+∂∂x c i g 1()i ()+12∂2∂x 2c 2i g e qi ()=-1τg 2()i (20)O ε3()系数: ∂g e q i ∂t 2+∂g 1()i ∂t 1+∂∂x c i g 2()i ()+∂2∂x ∂t 1c i g e qi ()+12∂2∂x 2c 2i g 1()i ()+16∂3∂x 3c 3i g 1()i ()=-1τg 3()i (21)结合约束条件(12)和(13),将方程(19)两边分别乘以c i 和c 2i 后并对i 求和得:ði c i g 1()i =τði c i h i -τ∂∂x ðic 2i ge q ()i ()=c τλ1u 2+λ2u n +1()-c 2τλ∂u ∂x (22) ði c 2i g 1()i =τðic 2i h i -τ∂∂x ði c 3i g e q ()i ()=-c 3τη∂u ∂x (23)同理,结合约束条件(12)和(13),将方程(20)式两边分别乘以c i 后并对i 求和,得出:ðic i g 2()i=τ∂∂t 1ðic 2i g e q i ()+∂∂x ði c 2i g 1()i ()+12∂2∂x 2ði c 3i g e q ()i ()æèçöø÷ =c 3τ2η∂2u ∂x 2-12c 3τη∂2u ∂x 2=c 3ητ2-12τæèçöø÷∂2u ∂x2(24)结合(7)(8)(9)和(19),将方程(16)两边对i 求和,得出: ∂u ∂t 1+2c τλ1u ∂u ∂x +n +1()c τλ2u n ∂u ∂x +c 2λ12-τæèçöø÷∂2u ∂x 2=0(25)同理,结合(10)(11)(12)和(22)~(24),将方程(20)两边对i 求和,得出: ∂u ∂t 2+c 3ητ2-τ-16æèçöø÷∂3u ∂x 3=0(26)将3.19()ˑε+3.20()ˑε2,可得: ∂u ∂t 1+2c τλ1εu ∂u ∂x +n +1()c τλ2εu n ∂u ∂x +c 2λε12-τæèçöø÷∂2u ∂x 2+c 3ηε2τ2-τ-16æèçöø÷∂3u ∂x 3=0(27)将方程(27)和(4)对比可得: α=2c τλ1ε,β=n +1()c τλ2ε(28) γ=c 2λ12-τæèçöø÷ε,δ=c 3ητ2-τ-16æèçöø÷ε2(29)其中,τ=12+112+δε2ηc 3,λ=γεc 2τ-1/2(),λ1=α2τεc ,λ2=βn +1()τεc 可以得出,方程(27)就是一维K D V 方程的L B 模型㊂由方程(7)和(13)式,得出修正函数h i 为: h 0=-12λ1u 2-12λ2u n +1h 1=h 2=13λ1u 2+13λ2u n +1h 3=16λ1u 2+16λ2u n +1h 4=-13λ1u 2-13λ2u n +1ìîíïïïïïïïïïï(30)701 第1期 陈梦涵,等:K d V 方程的格子B o l t z m a n n 模型求解联立方程(10)和(12)式,可得平衡态分布函数f e q i 为:g e q 0=η2+6ρ4-λ+1æèçöø÷u =ρ0u g e q 1=λ-η2-4ρ4æèçöø÷u =ρ1u g e q2=λ2-η6-4ρ4æèçöø÷u =ρ2u g e q 3=η6+ρ4æèçöø÷u =ρ3u g e q 4=ρ4u ìîíïïïïïïïïïïïï(31)4数值模拟将L B 模型应用于K d V 方程中,需要将K d V 方程离散化成网格上的方程组,然后通过L B 模型求解这个方程组㊂具体来说,L B 模型中的速度分布函数被定义为格点上的波高,通过计算速度分布函数在不同时间和空间的演化来模拟K d V 方程的行为㊂与传统的有限差分法和有限元法相比,L B 模型具有计算效率高㊁适合并行计算等优点,因此在模拟非线性波等问题时得到了广泛应用㊂(1)考虑如下的K d V 方程:∂u ∂t +6u ∂u ∂x +∂3u∂x3=0设置参数如下:Δx =0.001,Δt =0.00001,边界条件u 0,t ()=u 255128π,t æèçöø÷=0,t >0,初始条件u x ,0()=s i n x ,x ɪ0,255128πéëêêùûúú,该方程的精确解为: u x ,t ()=c 212s e c h 2c 212x -c 21t ()+l n c 2-l n c 3éëêêùûúú取c 1=2c ,c 2=c 3=1,得出该方程的精确解为: u x ,t ()=2c 2s e c h 2c x -4c 2t ()[],x ɪ0,255128πéëêêùûúú图4 t =0.01,L B 模拟解和精确解对比 图5 t =0.25,L B 模拟解和精确解对比模拟结果如图4㊁图5所示㊂图4和图5分别给出了t =0.01和t =0.25时刻的L B 模拟解和解析解的对比图,从图中可以看出:在t =0.25之前,模拟解和解析解吻合的程度较高,但是随之时间的推移,模拟解与解析解存在一定的偏离,这主要是原因有扰动项O ε4(),它在一定程度会对孤子高度㊁速度以及形状有影801 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷响,且当t >0.25时,方程的模拟解和精确解差别较大㊂(2)考虑如下的K d V 方程:∂u ∂t +αu ∂u ∂x +δ∂3u∂x3=0其中,u =u x ,t (),u 为波动地振幅,x 为波横向传播的位移,t 为时间㊂初始条件为:u x ,0()=3A s e c h 2B x +C (),x ɪ0,2[]边界条件为:u 0,t ()=u 2,t ()=0,t >0解析解为:u x ,t ()=3A s e c h 2B x -D t +C (),x ɪ0,2[]其中,B =12αAδ,D =αA B .设置参数如下:Δx =0.001,Δt =5ˑ10-4,α=1,δ=4.84ˑ10-4,模拟结果如图(6)和图(7)所示. 图6 t =0.0005时,模拟解与解析解对比 图7 t =0.0020时,模拟解与解析解对比图6和图7分别给出了t =0.0005和t =0.002时刻的L B 模拟解和解析解的对比图,通过对该方程的模拟结果进行分析,发现在t =0.002之前,模拟解和解析解吻合的程度较高,但是随着时间的推移,模拟解与解析解存在一定的偏离,主要的原因是含有扰动项O ε4(),当然也可能是该类波的传播速度极快,长时间模拟就会产生偏差㊂表1给出了该方程在不同时刻的误差㊂表1 方程在不同模拟时刻的误差比较时刻/tt =0.0005t =0.0010t =0.0015t =0.0020L ɕ3.2371ˑ10-43.8721ˑ10-42.0518ˑ10-33.6037ˑ10-3L 27.4783ˑ10-55.8732ˑ10-56.4976ˑ10-47.1335ˑ10-4G R E3.8516ˑ10-44.7039ˑ10-42.5450ˑ10-34.6530ˑ10-3 从表1可以看出,在L B 模型下得到的模拟解和解析解非常逼近,无论是L ɕ误差,还是均方根误差L 2和整体相对误差G R E ,其两者之间的误差数量级都达到了,说明该数值结果是比较理想的㊂5结论现在,微分方程无处不在,各个科学领域的研究都伴随着微分方程模型㊂由于实际生活中的微分方程模型形式日趋复杂,为了与实际问题相匹配,微分方程解的形式越来越多样化㊂本文对两个特殊的K D V 方程,利用格子B o l t z m a n n 模型求解并与其精确解进行比较,得出使用格子B o l t z m a n n 方法对非线性偏微分方程求解取得了较好的效果㊂在未来的工作中,将尝试继续改进格子B o l t z m a n n 模型,并对更加复杂的偏微分901 第1期 陈梦涵,等:K d V 方程的格子B o l t z m a n n 模型求解011华北理工大学学报(自然科学版)第46卷方程或者浅水波方程进行模拟㊂希望本文可以为其他学者在求解偏微分方程方面的研究工作提供一定的参考价值㊂参考文献:[1]张海军.求解浅水波方程的熵稳定格式研究[D];西安:长安大学,2018.[2]陈文文,张文欢,汪一航,等.浅水波方程的一类改进的格子B o l t z m a n n模型[J].宁波大学学报(理工版),2020,33(01):72-79.[3] R I C K,S A L MO N.T h e l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d a s ab a s i s f o r o c e a n c i r c u l a t i o nm o d e l i n g[J].J o u r n a l o fM a r i n eR e s e a r c h,1999,57(3).[4]冯士德,赵颖,茑原道久,等.旋转流场中的格子波耳兹曼模型[J].地球物理学报,2002,45(2):170-175.[5] Y U L,Z C AC,X G D,e t a l.A l a t t i c eB o l t z m a n nm o d e l f o r t h e v i s c o u s s h a l l o ww a t e r e q u a t i o n sw i t h s o u r c e t e r m s[J].J o u r n a l o fH y-d r o l o g y,2021.[6] Z H O UJG.L a t t i c eB o l t z m a n nm o d e l f o r t h e s h a l l o w w a t e r e q u a t i o n s[J].C o m p u t e rM e t h o d s i nA p p l i e d M e c h a n i c s a n dE n g i n e e r i n g,2002,191(32):3527-39.[7]张宗宁.基于格子B o l t z m a n n方法求解若干非线性偏微分方程[D];银川:北方民族大学,2022.[8]戴厚平,郑洲顺,段丹丹.一类偏微分方程的格子B o l t z m a n n模型[J].计算机工程与应用,2016,52(3):21-26.[9]王慧敏.非线性偏微分方程中孤波解的格子B o l t z m a n n模拟[D];长春:吉林大学,2014.[10]何郁波,林晓艳,董晓亮.应用格子B o l t z m a n n模型模拟一类二维偏微分方程[J].物理学报,2013,62(19):290-296.[11]乐励华,高云,刘唐伟.偏微分方程求解的一种新颖方法--格子B o l t z m a n n模型[J].大学数学,2011,27(03):75-82.[12]张春泽,程永光,李勇昌.二维浅水波方程格子B o l t z m a n n算法的G P U并行实现[J].水动力学研究与进展A辑,2011,26(2):194-200.[13]赫万恒,钱跃竑.浅水波方程的格子B o l t z m a n n模拟[C].中国力学学会北方七省市区第十三届学术大会论文集.郑州.2010:42-45.[14]赖惠林,马昌凤.非线性偏微分方程的高阶格子B G K模型[J].中国科学(G辑:物理学力学天文学),2009,39(07):913-922.[15]施卫平,胡守信,阎广武.用格子B o l t z m a n n方程模拟浅水波问题[J].力学学报,1997,(05):7-11.S o l u t i o n M e t h o d f o rK D VE q u a t i o nb y L a t t i c eB o l t z m a n n M o d e lC H E N M e n g-h a n,WA N G X i-y i n,L I J i n(C o l l e g e o f S c i e n c e,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y,T a n g s h a nH e b e i063210,C h i n a)K e y w o r d s:K D Ve q u a t i o n;D1Q5m o d e l;l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o dA b s t r a c t:S h a l l o w w a t e rw a v em o d e l i sw i d e l y u s e d t o s i m u l a t e t h e d y n a m i c b e h a v i o r o fw a t e rw a v e p r o p a-g a t i o n i n o c e a n a n d a t m o s p h e r e f i e l d.M a n y p r o b l e m s,s u c h a s s t r o n g n o n l i n e a r p r o b l e m s,n o n-e q u i l i b r i u m p r o b l e m s,p r o b l e m s i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s,m a k e t h e t r a d i t i o n a l t h e o r e t i c a l r e s e a r c hm e t h o d s a r e u s u a l l y p o w e r l e s s.I n t h i s p a p e r,t h e b a s i c t h e o r y o f l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d(L B M)w a s f i r s t l y g i v e n.T h e n,t h ef o r m u l a o f l a t t i c eB o l t z m a n n(L B)m o d e lw i t hc o r r e c t i o n t e r mi nK o r t e w e g-d eV r i e s(K d V)e q u a t i o nw a sg i v e nb y u s i n g t h e c l a s s i c a l o n e-d i m e n s i o n a l f i v e-v e l o c i t y(D1Q5)d i s c r e t ev e l o c i t y m o d e l.F i n a l l y,t h e a c-c u r a t e s o l u t i o no f t h eK d Ve q u a t i o nw a s c o m p a r e dw i t ht h e s i m u l a t e ds o l u t i o n,a n d t h e nt h ea c c u r a c y o f t h em o d i f i e dm o d e l i s v e r i f i e d.T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o wt h a t t h e l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d i s u s e d t o s o l v e t h eK d Ve q u a t i o n,a n d t h e s i m u l a t i o n s o l u t i o n i s i n g o o d a g r e e m e n tw i t h t h e e x a c t s o l u t i o n.。
受限玻尔兹曼机matlab编程实现
受限玻尔兹曼机matlab编程实现受限玻尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machine, RBM）是一种常用于机器学习和深度学习的无监督学习模型。
它具有强大的模式识别和特征提取能力，被广泛应用于图像识别、自然语言处理等领域。
在本文中，我们将深入探讨受限玻尔兹曼机在MATLAB中的编程实现，并分享一些对该模型的观点和理解。
第一部分：受限玻尔兹曼机简介在这一部分中，我们将简要介绍受限玻尔兹曼机的基本概念和原理。
我们将探讨其结构和工作原理，以及其与其他神经网络模型的比较。
我们还将讨论受限玻尔兹曼机在无监督学习中的应用，以及为什么它被广泛使用。
第二部分：受限玻尔兹曼机的MATLAB编程实现在这一部分中，我们将详细介绍如何使用MATLAB实现一个受限玻尔兹曼机模型。
我们将讨论如何定义网络结构、初始化参数，以及如何使用反向传播算法进行模型训练。
我们还将分享一些在MATLAB中编写受限玻尔兹曼机代码时的技巧和注意事项。
第三部分：利用受限玻尔兹曼机进行特征提取在这一部分中，我们将探讨如何利用受限玻尔兹曼机进行特征提取。
我们将介绍如何将输入数据编码为受限玻尔兹曼机的隐藏层表示，并讨论如何从隐藏层中重构输入数据。
我们还将讨论如何使用受限玻尔兹曼机进行降维和数据可视化。
第四部分：案例研究和应用实例在这一部分中，我们将分享一些受限玻尔兹曼机在实际问题中的应用实例。
我们将介绍一些经典的案例研究，包括图像识别、文本生成等领域。
我们还将讨论一些当前的研究热点和挑战，以及对受限玻尔兹曼机未来发展的展望。
总结和回顾：受限玻尔兹曼机的优势和局限性在这一部分中，我们将对前文的内容进行总结和回顾。
我们将强调受限玻尔兹曼机作为一种无监督学习模型的优势和局限性，并讨论其与其他模型的比较。
我们还将提出一些进一步研究和探索受限玻尔兹曼机的方向，以及对该模型的未来发展的看法。
我对受限玻尔兹曼机的观点和理解通过研究和编程实践，我认为受限玻尔兹曼机是一种强大而灵活的机器学习模型。
matlab 金属晶粒
matlab 金属晶粒
金属晶粒是指金属材料中由原子排列组成的微小晶体结构。
在MATLAB中，研究金属晶粒通常涉及到晶体学、材料科学和计算机模
拟等领域。
下面我将从几个角度来回答你关于MATLAB中金属晶粒的
问题。
首先，MATLAB可以用于对金属晶粒的分析和建模。
通过MATLAB
的图像处理和分析工具箱，可以对金属晶粒的显微结构进行图像处
理和分析，包括晶粒的大小、形状、分布等特征。
可以利用MATLAB
中的图像处理算法来提取晶粒的边界，进行晶粒分析和统计。
此外，MATLAB还可以用于建立金属晶粒的三维模型，进行晶体结构的可视
化和分析。
其次，MATLAB在金属晶粒的模拟和计算方面也有应用。
通过MATLAB的数值计算和仿真工具箱，可以进行金属晶粒的数值模拟和
计算，包括晶粒的生长、晶界的运动和变形等过程。
可以利用MATLAB编写数值模拟程序，对金属晶粒的演变过程进行模拟和分析，从而深入理解金属材料的微观结构和性能。
此外，MATLAB还可以用于金属晶粒的数据处理和统计分析。
通
过MATLAB的数据处理和统计工具箱，可以对实验或模拟得到的金属晶粒数据进行处理和分析，包括数据的平均值、方差、相关性等统计特征。
可以利用MATLAB编写数据处理程序，对金属晶粒数据进行可视化和统计分析，为进一步的研究提供数据支持。
综上所述，MATLAB在金属晶粒的分析、建模、模拟和数据处理方面都有广泛的应用。
通过MATLAB强大的图像处理、数值计算和数据分析功能，可以对金属晶粒进行全面而深入的研究，为材料科学和工程领域的相关研究提供有力的工具支持。
二类超晶格matlab
二类超晶格matlab摘要：I.引言- 介绍二类超晶格- 说明其在材料科学中的重要性II.二类超晶格的matlab 模拟- 介绍matlab 及其在二类超晶格模拟中的应用- 详述二类超晶格的matlab 模拟步骤III.二类超晶格模拟结果与分析- 展示二类超晶格模拟结果- 对结果进行深入分析IV.二类超晶格模拟在材料科学中的意义- 阐述二类超晶格模拟对材料科学的影响- 指出二类超晶格模拟在未来材料研究中的应用前景V.结论- 总结全文- 对未来二类超晶格matlab 模拟的发展提出展望正文：I.引言二类超晶格，作为材料科学中的一个重要概念，引起了广泛的关注。
它不仅具有丰富的物理性质，还在许多实际应用中发挥着关键作用。
为了更好地理解和研究二类超晶格，matlab 作为一种强大的科学计算工具，被广泛应用于二类超晶格的模拟中。
本文将详细介绍二类超晶格以及其在matlab 中的模拟方法。
II.二类超晶格的matlab 模拟Matlab 是一种功能强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析、可视化等领域。
在二类超晶格的模拟中，matlab 可以提供强大的计算能力和丰富的工具箱。
以下是二类超晶格在matlab 中的模拟步骤：1.准备模型参数：根据实际需求，设定二类超晶格的各项参数，如晶格常数、能带间隙等。
2.构建模型：利用matlab 中的晶体结构相关函数，构建二类超晶格模型。
3.计算能带结构：利用matlab 中的相关函数，计算二类超晶格的能带结构。
4.分析模拟结果：对计算得到的能带结构进行深入分析，探讨二类超晶格的物理性质。
III.二类超晶格模拟结果与分析通过matlab 模拟二类超晶格，我们可以得到其能带结构。
根据能带结构，我们可以分析出二类超晶格的一些重要物理性质，如带隙、电子密度等。
这些性质对于理解二类超晶格的宏观性能具有重要意义。
IV.二类超晶格模拟在材料科学中的意义二类超晶格matlab 模拟在材料科学领域具有广泛的应用前景。
格子玻尔兹曼方法计算流体matlab
格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method，简称LBM）是一种用于模拟流体流动行为的计算方法。
它利用微观格子模型和玻尔兹曼方程来描述流体的宏观运动行为，通过离散化的方式进行流体动力学模拟，是流体力学领域中的一种重要数值模拟方法。
而在计算机辅助科学和工程领域，使用MATLAB进行格子玻尔兹曼方法的模拟已经成为一种常见的做法。
格子玻尔兹曼方法的核心思想是通过在空间网格上建立分布函数，利用离散速度模型对流体的密度和速度进行描述，并通过碰撞和迁移操作来模拟流体的宏观行为。
与传统的有限差分或有限元方法相比，格子玻尔兹曼方法具有更好的并行性和可扩展性，特别适用于复杂流体流动问题和多尺度现象的模拟。
在MATLAB中实现格子玻尔兹曼方法，一般需要以下几个步骤：1. 设置模拟参数首先需要确定流体的基本性质，如密度、粘度等，以及模拟的空间和时间范围。
这些参数将直接影响到模拟的精度和收敛性。
2. 网格初始化在MATLAB中，可以通过创建二维或三维的网格数据结构来表示流体的位置和速度场。
根据模拟的要求，可以选择不同的网格类型和边界条件。
3. 碰撞和迁移格子玻尔兹曼方法的核心操作是碰撞和迁移步骤。
通过离散化的碰撞算子和迁移规则，可以更新流体的分布函数，从而模拟流体分子的运动和相互作用。
4. 边界处理在模拟过程中，需要对流体的边界进行特殊处理，以保证边界条件的正确性。
这涉及到处理入流、出流、固壁等情况，需要根据具体情况进行适当的修改。
5. 结果可视化在模拟结束后，可以利用MATLAB的绘图和可视化工具对流体的密度、速度、压力等物理量进行可视化。
这对于结果分析和验证模拟的有效性非常重要。
格子玻尔兹曼方法计算流体流动在MATLAB中的实现，既需要理解流体动力学的基本原理，又需要熟练运用MATLAB的编程技巧。
通过对模拟参数和算法的合理选择，以及对结果的准确分析，可以得到符合实际的流体流动模拟结果。
在MATLAB中实现格子玻尔兹曼方法的流体模拟过程中，除了以上的基本步骤外，还可能会涉及到优化算法、并行计算、多物理场耦合等更复杂的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Matlab实现格子玻尔兹曼方法(Lattice Boltzmann Method,LBM)模拟clear
% GENERAL FLOW CONSTANTS
lx = 250;
ly = 51;
obst_x = lx/5+1; % position of the cylinder; (exact
obst_y = ly/2+1; % y-symmetry is avoided)
obst_r = ly/10+1; % radius of the cylinder
uMax = 0.02; % maximum velocity of Poiseuille inflow
Re = 100; % Reynolds number
nu = uMax * 2.*obst_r / Re; % kinematic viscosity
omega = 1. / (3*nu+1./2.); % relaxation parameter
maxT = 400000; % total number of iterations
tPlot = 5; % cycles
% D2Q9 LATTICE CONSTANTS
t = [4/9, 1/9,1/9,1/9,1/9, 1/36,1/36,1/36,1/36];
cx = [ 0, 1, 0, -1, 0, 1, -1, -1, 1];
cy = [ 0, 0, 1, 0, -1, 1, 1, -1, -1];
opp = [ 1, 4, 5, 2, 3, 8, 9, 6, 7];
col = [2:(ly-1)];
[y,x] = meshgrid(1:ly,1:lx);
obst = (x-obst_x).^2 + (y-obst_y).^2 <= obst_r.^2;
obst(:,[1,ly]) = 1;
bbRegion = find(obst);
% INITIAL CONDITION: (rho=0, u=0) ==> fIn(i) = t(i)
fIn = reshape( t' * ones(1,lx*ly), 9, lx, ly);
% MAIN LOOP (TIME CYCLES)
for cycle = 1:maxT
% MACROSCOPIC VARIABLES
rho = sum(fIn);
ux = reshape ( ...
(cx * reshape(fIn,9,lx*ly)), 1,lx,ly) ./rho;
uy = reshape ( ...
(cy * reshape(fIn,9,lx*ly)), 1,lx,ly) ./rho;
% MACROSCOPIC (DIRICHLET) BOUNDARY CONDITIONS
% Inlet: Poiseuille profile
L = ly-2; y = col-1.5;
ux(:,1,col) = 4 * uMax / (L*L) * (y.*L-y.*y);
uy(:,1,col) = 0;
rho(:,1,col) = 1 ./ (1-ux(:,1,col)) .* ( ...
sum(fIn([1,3,5],1,col)) + ...
2*sum(fIn([4,7,8],1,col)) );
% Outlet: Zero gradient on rho/ux
rho(:,lx,col) = rho(:,lx-1,col);
uy(:,lx,col) = 0;
ux(:,lx,col) = ux(:,lx-1,col);
% COLLISION STEP
for i=1:9
cu = 3*(cx(i)*ux+cy(i)*uy);
fEq(i,:,:) = rho .* t(i) .* ...
( 1 + cu + 1/2*(cu.*cu) ...
- 3/2*(ux.^2+uy.^2) );
fOut(i,:,:) = fIn(i,:,:) - ...
omega .* (fIn(i,:,:)-fEq(i,:,:));
end
% MICROSCOPIC BOUNDARY CONDITIONS
for i=1:9
% Left boundary
fOut(i,1,col) = fEq(i,1,col) + ...
18*t(i)*cx(i)*cy(i)* ( fIn(8,1,col) - ...
fIn(7,1,col)-fEq(8,1,col)+fEq(7,1,col) );
% Right boundary
fOut(i,lx,col) = fEq(i,lx,col) + ...
18*t(i)*cx(i)*cy(i)* ( fIn(6,lx,col) - ...
fIn(9,lx,col)-fEq(6,lx,col)+fEq(9,lx,col) );
% Bounce back region
fOut(i,bbRegion) = fIn(opp(i),bbRegion); end
% STREAMING STEP
for i=1:9
fIn(i,:,:) = ...
circshift(fOut(i,:,:), [0,cx(i),cy(i)]);
end
% VISUALIZATION
if (mod(cycle,tPlot)==0)
u = reshape(sqrt(ux.^2+uy.^2),lx,ly);
u(bbRegion) = nan;
imagesc(u');
axis equal off; drawnow
end
end。