第一学期期末质量抽测高三数学理科试卷

第一学期期末质量抽测高三数学理科试卷

一、填空题（每小题4分，共48分）

1．已知集合},3,1{m A -=，}4,3{=b ，若A B ⊆，则实数m= 。

2．=-∞

→n

n

n )1(lim 2

。 3．函数x y 2

sin =的最小正周期为 。

4．若5

)1(-ax 的二项展开式中含3

x 的系数是80，则实数a 的值为 。 5．设函数⎩⎨

⎧<<-≤≤=0

,cos 0,

sin )(x x x x x f ππ，则方程31)(=x f 解的个数为 。

6．在极坐标系中，O 是极点，设点),4(4

πA ，),

2(6

5πA ，则=||AB 。

7．无穷数列{a n }中，n

n a 31=

，则a 2+a 4+a 6+…+a 2n +…= 。

8．函数)(x f y =的反函数)(1

x f y -=的图象与y 轴交于点P （0，2），则方程0)(=x f

的根是x= 。

9．从1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个数，能组成等差数列的概率是 。 10．函数x

p

x x f -

=)(在（1，+∞）上单调递增，则实数p 的取值范围是 。

11．数列}{n a 中，|2|||k n k n a n -+-=，若对任意的正整数n ，43a a a n =≥都成立， 则k 的取值范围为 。 12．右面是某次测验成绩统计表中的部分数据。 某甲说，B 校文理平均分都比A 校高，全体学生的 平均分肯定比A 校的高；

某乙说，两个学校平均分不一样，全体学生的平均分可以相等； 某丙说，A 校全体学生的平均分可以比B 校的高。

你同意他们的观点吗？我不同意 的观点，请举例 。

二、选择题（每小题4分，共16分） 13．设z 是复数，以下命题中错误的是

（ ）

（A ）z 为实数的充分必要条件是0=-z z ； （B ）z 为实数的充分必要条件是02≥z ； （C ）z 为纯虚数的充分必要条件是0=+z z ； （D ）z 为纯虚数的充分必要条件是02

||b x a y +=，（0＜a ＜1，-1＜b ＜0）的图象为

（ ）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ） 15．设)(x f 是定义在R 上的函数，给出下列命题：

（ ）

①若存在x 1、x 2∈R ，x 1＜x 2，使)(1x f <)(2x f 成立，则函数)(x f 在R 上单调递增； ②若存在x 1、x 2∈R ，x 1＜x 2，使)(1x f ≤)(2x f 成立，则函数)(x f 在R 上不可能单

调递减；

③若存在x 2＞0，对任意x 1∈R ，都有)(1x f <)(21x x f +成立，则函数)(x f 在R 上单

调递增；

④对任意x 1、x 2∈R ，x 1＜x 2，都有)(1x f ≥)(2x f 成立，则函数)(x f 在R 上单调递减。 以上命题正确的序号是 （A ）①③；

（B ）②③； （C ）②④； （D ）②。

16．记数列}{n a 前n 项的积为n n a a a 21=∏，设n n T ∏∏∏= 21。若数列 1

21)(2007-=n n a ，n 为正整数。则使n T 最大的n 的值为

（ ）

（A ）11；

（B ）22；

（C ）25；

（D ）48。

三、解答题（满分86分） 17．（本满分12分）

已知α为锐角，53sin =α，β是第四象限有角，54)cos(-=+βπ，求)sin(βα+的值。

解：

18．（本满分12分，第（1）题4分，第（2）题8分）

Z 为一元二次方程0222

=+-x x 的一个根，且0Im

log 1

||2

+-a i a z ≤

2

1

，求a 的取值范围。

解： 19．（本满分14分，第（1）题8分，第（2）题6分）

据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上,按月呈B

x A x f ++=)sin()(ϕω的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为)(x g （x 为月份），且满足2)2()(+-=x f x g 。 （1）分别写出该商品每件的出厂价函数)(x f 、售价函数)(x g 的解析式； （2）问哪几个月盈利？ 解： 20．（本满分14分，第（1）题4分，第（2）题10分）

已知函数n x n x x f 2)2()(2

--+=的图像与x 轴正半轴的交点为 ,3,2,1),0,(=n a A n 。 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n

a n a n

b 2)1(3

1⋅⋅-+=-λ（n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任

意正整数n ，都有n n b b >+1？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。

解：

21．（本满分16分，第（1）题4分，第（2）题7分，第（3）题5分） 已知函数+=x x f )(3

log x

x

-4，

（1）求)4()(x f x f -+的值；

（2）猜测函数)(x f 的图像具备怎样的对称性，并给出证明。

（3）若函数)(x f 的图像与直线3,1==x x 及x 轴所围成的封闭图形的面积为S ，

求S 的值。

解： 22．（本满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）

（1）若等比数列}{n a 的前n 项和为a S n

n +⋅=23，求实数a 的值；

（2）对于非常数数列}{n a 有下面的结论：若数列}{n a 为等比数列，则该数列的前n 项

和为B a A S n n +⋅=(A 、B 为常数)。写出它的逆命题并判断真假，请说明理由。 （3）若数列}{n a 为等差数列，则该数列的前n 项和为2

)

(1n a a n n S +=

。对其逆命题进行

研究，写出你的结论，并说明理由。

解：