高考数学大题专项强化练六

大题专项强化练六

数列(B组)

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1.在数列{a n}中，a1=1

2，其前n项和为S n，且S n=a n+1-1

2

(n∈N*).

(1)求a n，S n.

(2)设b n=log2(2S n+1)-2，数列{c n}满足c n·b n+3·b n+4=1+(n+1)(n+2)·2b n，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n>2n+1-1

504

成立的最小正整数n的值.

【解析】(1)由S n=a n+1-1

2，得S n-1=a n-1

2

(n≥2)，

两式作差得：a n=a n+1-a n，即2a n=a n+1(n≥2)，

所以a n+1

a n

=2(n≥2)，

又a1=S1=a2-1

2

，

得a2=1，所以a2

a1

=2，

所以数列{a n}是首项为1

2

，公比为2的等比数列，

则a n=1

2·2n-1=2n-2，S n=a n+1-1

2

=2n-1-1

2

.

(2)b n=log2(2S n+1)-2=log22n-2=n-2，

所以c n ·b n+3·b n+4=1+(n+1)(n+2)·2b n ， 即c n (n+1)(n+2)=1+(n+1)(n+2)·2n-2， c n =

1(n+1)(n+2)

+2n-2=

1

n+1-

1

n+2

+2n-2，

T n =(12

?13)+(13

?14

)+…+(1

n+1

?

1n+2

)+(2-1+20+…+2n-2)

=1

2-1

n+2

+

1

2

(1?2n )1?2

=12-

1

n+2-12

+2n-1=2n-1-

1

n+2

.

由4T n >2n+1

-1

504，得

4(2n?1

?

1

n+2

)>2n+1

-

1

504

，

即

4

n+2<1

504

，n>2014.

所以使4T n >2n+1-1504

成立的最小正整数n 的值为2015.

2.a i (i=1，2，…，n)，a 1=(1，1)，a n =(x n ，y n )=12

(x n-1-y n-1，x n-1+y n-1)(n ≥2) (1)证明：数列{|a n |}是等比数列.

(2)设θn 表示向量a n-1与a n 间的夹角，若b n =2n θn -1，S n =b 1+b 2+…+b n ，求S n . (3)设c n =|a n |·log 2|a n |，问数列{c n }中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)根据题意，

得|a n |=1

2

√(x n?1?y n?1)2+(x n?1+y n?1)2

=

√22√x n?12+y n?12

=√2

2

|a n-1|， 所以数列{|a n |}是等比数列.

(2)因为cos θn =

=12(x 2

+y 2)√22(x n?1

+y n?1)=√22，

所以θn =π

4， 所以b n =

n π2-1，

所以S n =(12

π?1)+(22

π?1)+…+(n 2

π?1) =π

4(n 2+n)-n.

(3)结论：数列{c n }中存在最小项，最小项为c 5=-3

2

·2?3

2

.

理由如下：

因为|a n |=√2(√2

2

)n?1=22?n 2，

所以c n =

2?n 2

·2

2?n

2，

假设数列{c n }中的第n 项最小，由c 1=√22

，c 2=0，可知0≤c 2

2?n 2

·2

2?n 2≤2?(n+1)2

·2

2?(n+1)2，即2?n 1?n

≥2

?1

2，

所以(

2?n 1?n

)2≥1

2

，所以n 2-6n+7≥0，

解得n ≥3+√2或n ≤3-√2(舍)， 所以当n=5时，即有c 5

故数列{c n }中存在最小项，最小项为c 5=-3

2

·2?3

2

.