第四节最小树问题
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运筹学4
树与图的最小树
练习：应用破圈法求最小树
v1 23 20 v2 4 v7 9 16 17 v4 15
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1
36
v6
28
v3
3
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v5
树与图的最小树
v1 23 v6 28 v5 36 25 17 16 v4
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v2 4
15 9 v3 3
1
v7
树与图的最小树
v1 23 v6 28 v5 25 17 16 v4 1 v7 9 v3 3
最短路问题
定义：
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1）人—M（Man），狼—W（Wolf）， 羊—G（Goat）， 草—H（Hay） 2） 点—— vi 表示河岸的状态 3） 边—— ek 表示由状态 vi 经一次渡河到状态 vj
4） 权——边 ek 上的权定为 1
我们可以得到下面的加权有向图
最短路问题
状态说明： v1,u1 =( M,W,G,H ); v2,u2 =(M,W,G); v3,u3 =(M,W,H); v4,u4=(M,G,H); v5,u5 =(M,G)
v1
v2
v3
v4
v5
v6
最短路问题
把所有弧的权数计算如下表，把权数赋到图中，再用 Dijkstra算法求最短路。
1 1 2 3 4 5 6 2 16 3 22 16 4 30 22 17 5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
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59 22 v1 16 v2 30 41 v4 23 41 23 17 v5 31 18 v6
①
4 s 4 1
4
③
7
t 9
6 2 ④
练习：应用破圈法求最小树
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树与图的最小树
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树与图的最小树
v1 23 v6 28 v5 25 17 16 v4 1 v7 9 v3 3
最短路问题
定义：
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1）人—M（Man），狼—W（Wolf）， 羊—G（Goat）， 草—H（Hay） 2） 点—— vi 表示河岸的状态 3） 边—— ek 表示由状态 vi 经一次渡河到状态 vj
4） 权——边 ek 上的权定为 1
我们可以得到下面的加权有向图
最短路问题
状态说明： v1,u1 =( M,W,G,H ); v2,u2 =(M,W,G); v3,u3 =(M,W,H); v4,u4=(M,G,H); v5,u5 =(M,G)
v1
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最短路问题
把所有弧的权数计算如下表，把权数赋到图中，再用 Dijkstra算法求最短路。
1 1 2 3 4 5 6 2 16 3 22 16 4 30 22 17 5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
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59 22 v1 16 v2 30 41 v4 23 41 23 17 v5 31 18 v6
①
4 s 4 1
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③
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t 9
6 2 ④
最小支撑树问题
§6.2 最小支撑树问题
Minimum Spanning Tree Problem
Ch6 Graph and Network
2012年4月20日星期五 Page 2 of 5
求最小树的方法：破圈法和避圈法 破圈法：任取一圈，去掉圈中最长边，直到无圈。 v1 v3 7 v5 8 5 4 5 8 1 2 v2 v1 4 2 v2 3 v4 v6 3 v4 v3 6 5 1 v6 v5
§6.2 最小支撑树问题
Minimum Spanning Tree Problem
Ch6 Graph and Network
2012年4月20日星期五 Page 5 of 5
作业： 作业：P283 10.4 10.5
最短路问题
Exit
Ch6 Graph and Network
2012年4月20日星期五 Page 4 of 5
加边法：去掉G中所有边，得到n个孤立点；然后加边； 加边的原则：从最短边开始添加，加边的过程中不能形 成圈，直到连通（n－1条边）。 v1 v3 7 v5 8 5 4 5 8 1 2 v2 v1 4 2 v2 3 v4 v6 3 v4 v3 5 1 Min C(T)=15 6 v6 v5
§6.2 最小支撑树问题
Minimum Spanning Tree Problem
Ch6 Graph and Network
2012年4月20日星期五 Page 3 of 5
得到最小树： v1 4 2 v2 3 v4 v6 v3 5 1 v5
Min C(T)=15
§6.2 最小支撑树问题
Spanning Tree Problem
§6.2 最小支撑树问题
Minimum Spanning Tree Problem
最小树问题
6.3.1 狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959) 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路 令 dij 表示 vi vj 的直接距离(两点之间有边)，若两点之间 没有边，则令 dij = ，若两点之间是有向边，则 dji = ； 令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点 • 对每个节点，用两种标号：T和P，表示从始点到该节点的距 离，P是最短距离(权)，为永久标号，T是目前路径的距离，是 临时标号。 • 通过不断改进T值，当其最小时，将其改为P标号。 • 开始时，令始点有P=0的P标号，其它节点为T=+ .
•（3）Kruskal 算法：将图中所有边 v1 按权值从小到大排列，依次选 1 所剩最小的边加入边集 T，只 v8 要不和前面加入的边构成回路， 5 直到 T 中有 n1 条边，则 T 是最小生成树
v7
4
v2
1
v3
2
4 5
1
3
4
1
v4 5 v5
v0 2 3 v6 2 4
图的矩阵表示
将图的几何形状转化为代数矩阵形式，可大 大方便计算机对图的处理与运算。 1、无权图的矩阵表示：
6.2.3 最小生成树
v5 9 v6 17 10 8 7 11 v4 16 v3 9.5 v2 v1 10
12 7 19.5
10 16 11 10 17 10 9.5 19.5 16 9.5 7 12 7 8 7 11 10 8 9 17 19.5 12 7 9
寻找连通图支撑树的方法有“破圈法”。就是从图中 任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图重复以上步 骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个支撑树。 例4 用破圈法求出下图的一个支撑树。 v2 e1 v1 e2 v3 e3 e4 e7 e8 e6 v5
最小树
e∈E1
∑
),W 弧e =(i，j)上的权常记为 (e), e 或w(e)，wij等 ， )上的权常记为W( ), ( ) 如果T*是 的一棵生成树 且对G的任何一棵生成树 的一棵生成树， 的任何一棵生成树T都有 如果 是G的一棵生成树，且对 的任何一棵生成树 都有 W（ T* ）≤W（T），则T*称为网络 的最小支撑树或者最小生 ），则 称为网络 称为网络G的最小支撑树或者最小生 （ （ ）， 成树（ ），或者简称最小树 成树（MST：minimum spanning tree），或者简称最小树 ： ），或者简称最小树. 图的最小树一般不唯一
{
}
11
SOLLIN 算法 （1961） 基本思想：前面介绍的两种算法的综合。每次迭代同 基本思想：前面介绍的两种算法的综合。 时扩展多棵子树， 时扩展多棵子树，直到得到最小树 T.
STEP0 中任意一个顶点i， STEP0. 对N中任意一个顶点 ，定义 i={i}. 令T= 。 中任意一个顶点 定义N STEP1 如果T 中已有n-1条弧 条弧， 的最小树； STEP1. 如果 中已有 条弧，则T为G的最小树；否则，对T 中的所有子树 为 的最小树 否则， * 节点集合N 中的最小弧， 节点集合 k，计算边割 [ N k , N k ] 中的最小弧，即计算 w(ek ) = min w(e), 其中 e
该图正好含有一个圈.
5
最小树
定义2 为权函数, 定义 G=（N，E，W）为一个无向网络，W为权函数 即W: （ ， ， ）为一个无向网络， 为权函数 E→R （这里 表示实数集合）. G中权最小（大）的弧称为最小 这里R表示实数集合 表示实数集合） 中权最小 中权最小（ （大）弧. 如果H=（ 的一个子图， 的权定义为H所包含 如果 （N1，E1）为G的一个子图，子图 的权定义为 所包含 的一个子图 子图H的权定义为 的所有弧的权之和，记为W(H)，即W（H）= 的所有弧的权之和，记为 ， （ ） W ( e) .
∑
),W 弧e =(i，j)上的权常记为 (e), e 或w(e)，wij等 ， )上的权常记为W( ), ( ) 如果T*是 的一棵生成树 且对G的任何一棵生成树 的一棵生成树， 的任何一棵生成树T都有 如果 是G的一棵生成树，且对 的任何一棵生成树 都有 W（ T* ）≤W（T），则T*称为网络 的最小支撑树或者最小生 ），则 称为网络 称为网络G的最小支撑树或者最小生 （ （ ）， 成树（ ），或者简称最小树 成树（MST：minimum spanning tree），或者简称最小树 ： ），或者简称最小树. 图的最小树一般不唯一
{
}
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SOLLIN 算法 （1961） 基本思想：前面介绍的两种算法的综合。每次迭代同 基本思想：前面介绍的两种算法的综合。 时扩展多棵子树， 时扩展多棵子树，直到得到最小树 T.
STEP0 中任意一个顶点i， STEP0. 对N中任意一个顶点 ，定义 i={i}. 令T= 。 中任意一个顶点 定义N STEP1 如果T 中已有n-1条弧 条弧， 的最小树； STEP1. 如果 中已有 条弧，则T为G的最小树；否则，对T 中的所有子树 为 的最小树 否则， * 节点集合N 中的最小弧， 节点集合 k，计算边割 [ N k , N k ] 中的最小弧，即计算 w(ek ) = min w(e), 其中 e
该图正好含有一个圈.
5
最小树
定义2 为权函数, 定义 G=（N，E，W）为一个无向网络，W为权函数 即W: （ ， ， ）为一个无向网络， 为权函数 E→R （这里 表示实数集合）. G中权最小（大）的弧称为最小 这里R表示实数集合 表示实数集合） 中权最小 中权最小（ （大）弧. 如果H=（ 的一个子图， 的权定义为H所包含 如果 （N1，E1）为G的一个子图，子图 的权定义为 所包含 的一个子图 子图H的权定义为 的所有弧的权之和，记为W(H)，即W（H）= 的所有弧的权之和，记为 ， （ ） W ( e) .
教学课件：第五章-最小树问题
最小树问题的实际应用
最小树问题在现实生活中具有广泛的应用，如电路设计、网络路由、物流配送等。通过解 决最小树问题，可以优化网络结构、降低成本、提高效率，为实际问题的解决提供重要的 理论支持和实践指导。
最小树问题的未来研究方向
算法优化与改进
尽管已经存在许多有效的算 法用于解决最小树问题，但 随着问题规模的扩大和复杂 度的增加，需要进一步优化 和改进现有算法，以提高求 解速度和精度。
04 最小小生成树问题是在最小生成树问题的基础上，给 每条边赋予一个权重值，目标是寻找一棵权值最小的生成树 。
详细描述
在带权重的最小生成树问题中，每条边都有一个关联的权重 ，表示该边的长度或代价。算法需要选择一组边，这些边能 够连接所有节点并且总权值最小。常见的带权重的最小生成 树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
理论分析与证明
对于最小树问题的求解算法 ，需要深入的理论分析和证 明，以揭示算法的内在机制 和性能。未来可以进一步研 究算法的理论基础和数学证 明，为算法的设计和分析提 供更严格的依据。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
05 总结与展望
最小树问题的研究现状与成果
最小树问题的定义和性质
最小树问题是一类组合优化问题，旨在寻找一棵具有最小权值的树，该树连接给定的顶点 集。最小树问题在计算机科学、运筹学和图论等领域具有广泛的应用。
最小树问题的研究进展
近年来，最小树问题的研究取得了重要的进展。研究者们提出了许多有效的算法和近似算 法，用于解决最小树问题及其变种。这些算法在理论和实践方面都取得了重要的突破，为 解决实际问题提供了有效的工具。
教学课件：第五章-最小树问
目录
• 引言 • 最小树问题的算法 • 最小树问题的实例分析 • 最小树问题的扩展问题 • 总结与展望
最小树问题在现实生活中具有广泛的应用，如电路设计、网络路由、物流配送等。通过解 决最小树问题，可以优化网络结构、降低成本、提高效率，为实际问题的解决提供重要的 理论支持和实践指导。
最小树问题的未来研究方向
算法优化与改进
尽管已经存在许多有效的算 法用于解决最小树问题，但 随着问题规模的扩大和复杂 度的增加，需要进一步优化 和改进现有算法，以提高求 解速度和精度。
04 最小小生成树问题是在最小生成树问题的基础上，给 每条边赋予一个权重值，目标是寻找一棵权值最小的生成树 。
详细描述
在带权重的最小生成树问题中，每条边都有一个关联的权重 ，表示该边的长度或代价。算法需要选择一组边，这些边能 够连接所有节点并且总权值最小。常见的带权重的最小生成 树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
理论分析与证明
对于最小树问题的求解算法 ，需要深入的理论分析和证 明，以揭示算法的内在机制 和性能。未来可以进一步研 究算法的理论基础和数学证 明，为算法的设计和分析提 供更严格的依据。
THANKS FOR WATCHING
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05 总结与展望
最小树问题的研究现状与成果
最小树问题的定义和性质
最小树问题是一类组合优化问题，旨在寻找一棵具有最小权值的树，该树连接给定的顶点 集。最小树问题在计算机科学、运筹学和图论等领域具有广泛的应用。
最小树问题的研究进展
近年来，最小树问题的研究取得了重要的进展。研究者们提出了许多有效的算法和近似算 法，用于解决最小树问题及其变种。这些算法在理论和实践方面都取得了重要的突破，为 解决实际问题提供了有效的工具。
教学课件：第五章-最小树问
目录
• 引言 • 最小树问题的算法 • 最小树问题的实例分析 • 最小树问题的扩展问题 • 总结与展望
10.2_最小树问题
+50+60 = 290（米）
所以，排污管道最小建设
3
30
成本 = 290×500 = 145000 元 60
1
4
40
5
30 30
7 处理中心A
50
30 20
6
8
12
OR:SM
本章小结
树是图论中应用比较活跃的领域，在各个学科中都有广 泛的应用。
例如在一些地区之间架设电话线路或铺设铁路线，修公 路等施工方案的确定，都可以采用最小树的方法求得最 佳施工方案。
60
100
70
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2栋
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0
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0
表中空格表示由于特殊原因无法铺设管道。
10
OR:SM
三、最小树问题应用案例
树图：无圈的连通图称为树。
4
OR:SM
二、树及性质
性质1 如果树T的点数不小于2，那么至少有两个悬挂点。
性质2 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一个树的 充分必要条件是图G不含圈且恰有n-1条边。
最小树问题VS最短路问题
2
i 1 j 1 8 8
a67
x12 x13 x24 x34 3; x34 x36 x47 x67 3; x47 x45 x78 x58 3; x x x x x x 5; 12 13 24 47 36 67 st x x x x x x 5; 36 34 45 58 78 67 x12 x13 x36 x67 x78 x58 x45 x24 7; x 7; ij ij xij 8； j=1ٛ 8) 0或1；(i=1ٛ
最小树问题 • 已知有六个城市，它们之间 要 架设电话线，要求任意两个城 市均可以互相通话，并且电话 线的总长度最短
最短路问题（SPP-Shortest Path Problem）
• 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一 车货物从甲地运往乙地. 从甲地到乙地的公 路网纵横交错，因此有多种行车路线，这 名司机应选择哪条线路呢？ • 假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这 一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地 6 B D 的最短路. 6 5
A 7 C 4至v7点的最短路问题归结为求解整数规划问题。 1
v2
v5 v4 2 3 3 4 v6 4 v7
最短路问题
• 城市中的管道铺设，线路安排，工 厂布局，设备更新，选址问题
min Z aij xij
i 1 j 1 7 7
9
v1
5 v3
2 8
8
1, 最短路径弧(i, j ); 解：设xij 0, 否则
7
x12 x13 1; x12 x 23 x 24 x 25; x13 x 23 x34 x36; x 24 x34 x 45 x 46; st x 25 x 45 x65 x57; x36 x 46 x65 x 67; x57 x67 1; xij 0或1, (i 1…7；j=1
最小树与最小树形图(数学建模)讲解
最小树与最小树形图（数学建模）讲解一、最小树的定义及性质1. 定义：最小树，又称最小树，是指在给定的带权无向图中，包含图中所有顶点的一个树形结构，且树中所有边的权值之和最小。
2. 性质：（1）最小树中不存在回路；（2）对于最小树中的任意两个顶点，它们之间有且仅有一条路径；（3）最小树中边的数量等于顶点数量减一；（4）在最小树中添加任意一条边，都会形成一条回路；（5）最小树不唯一，但权值之和相同。
二、求解最小树的方法1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，其基本思想是从图中的一个顶点开始，逐步添加边和顶点，直到形成最小树。
具体步骤如下：（1）初始化：选择一个顶点作为最小树的起点，将其加入最小树集合；（2）迭代：在最小树集合和非最小树集合之间，寻找一条权值最小的边，将其加入最小树集合；（3）重复步骤2，直到所有顶点都加入最小树集合。
2. Kruskal算法Kruskal算法同样是一种贪心算法，其基本思想是将图中的所有边按权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，判断是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合。
具体步骤如下：（1）初始化：将所有顶点视为独立的树；（2）按权值从小到大排序所有边；（3）迭代：选择权值最小的边，判断其是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合；（4）重复步骤3，直到所有顶点都在同一棵树中。
三、最小树形图的定义及求解方法1. 定义：最小树形图，又称最优树形图，是指在给定的有向图中，找到一个包含所有顶点的树形结构，使得树中所有边的权值之和最小。
2. 求解方法：朱刘算法（Edmonds' Algorithm）朱刘算法是一种用于求解最小树形图的算法，其基本思想是通过寻找图中的最小权值环，进行收缩和扩展操作，最终得到最小树形图。
具体步骤如下：（1）寻找最小权值环；（2）对最小权值环进行收缩操作，将环中的顶点合并为一个新顶点；（3）在新图中寻找最小树形图；（4）将新图中的最小树形图扩展回原图，得到原图的最小树形图。
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执行第3步时，第一次是(n-2)次比较， 第二次为(n-3)次比较， 第三次为(n-4)次比较，…， 因此总的比较为(n-1)(n-2)次
所以，总的计算量约为O(n2)
证明
W (e) max W (e) eC ( e )
最小树及其性质 续
定理 6.4.2 设 T 是 G 的支撑树，则 T 是 G 的最小树当 且仅当对任意边 eT 有
W (e) min W (e) eΩ ( e )
其中 Ω(e) T * + e 为一个唯一割集。
证明 定理6.4.3 设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅 当对任意边e∈G\T，e是C(e)中的唯一最大边。
在第3步中，判定加边后是否构成回路总共约需m次 比较，而加边后点的重新标号最多需n(n-1)次比较
所以，总的计算量为 mlog2m+n+m+n(n-1)~O(n2log2n)
Dijkstra算法的步骤
第1步 置uj=w1j，T=Φ，R={1}，S={2,3, …,n}
第2步
取 uk
min{u jS
第四节 最小树问题
最小树及其性质 求最小树的Kruskal算法
算法步骤 算法复杂性
求最小树的Dijkstra算法
算法步骤 算法复杂性
最小树及其性质
支撑树T的权（或长）：W (T ) W (e) eE
最小树：G中权最小的支撑树
定理6.4.1 设T是G的一个支撑树，则T是G的最小树 当且仅当对任意边e∈T*有
j
}
wik
，置T
=T
U {eik } ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R = R U{k} ， S = S \ {k} ；
第3步
若 S = Φ ，则停止；否则，置
uk
=
min{u jS
j
,w
kj
}，
j S ，返回第 2 步。
例
Dijkstra算法的复杂性
执行第2步时，第一次是(n-2)次比较， 第二次为(n-3)次比较， 第三次为(n-4)次比较，…， 因此总的比较为(n-1)(n-2)/2次
定理6.4.4 设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅
当对任意边e∈T ，e是Ω(e)中的唯一最小边。
Kruskal算法的步骤
第1步 开始把边按权的大小由小到大排列，即将图的 边排序为a1,a2, …,am，使W(a1) ≤W(a2)≤…≤W(am) 置 S=Φ，i=0，j=1。
第2步 若|S|=i=n-1，则停止。这时G[S]=T即为所求； 否则，转向第3步。
第3步 若G[S∪{aj}]不构成回路，则置ei+1=aj， S=S∪{ei+1} ，i:=i+1，j:=j+1，转向第2步；否则，置 j:=j+1，转向第2步。
例
Kruskal算法的复杂性
首先，在第1步中把边按权的大小由小到大排列起来， 这约需mlog2m次比较(m为此网络的边数) 其次，第2步最多循环n次
所以，总的计算量约为O(n2)
证明
W (e) max W (e) eC ( e )
最小树及其性质 续
定理 6.4.2 设 T 是 G 的支撑树，则 T 是 G 的最小树当 且仅当对任意边 eT 有
W (e) min W (e) eΩ ( e )
其中 Ω(e) T * + e 为一个唯一割集。
证明 定理6.4.3 设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅 当对任意边e∈G\T，e是C(e)中的唯一最大边。
在第3步中，判定加边后是否构成回路总共约需m次 比较，而加边后点的重新标号最多需n(n-1)次比较
所以，总的计算量为 mlog2m+n+m+n(n-1)~O(n2log2n)
Dijkstra算法的步骤
第1步 置uj=w1j，T=Φ，R={1}，S={2,3, …,n}
第2步
取 uk
min{u jS
第四节 最小树问题
最小树及其性质 求最小树的Kruskal算法
算法步骤 算法复杂性
求最小树的Dijkstra算法
算法步骤 算法复杂性
最小树及其性质
支撑树T的权（或长）：W (T ) W (e) eE
最小树：G中权最小的支撑树
定理6.4.1 设T是G的一个支撑树，则T是G的最小树 当且仅当对任意边e∈T*有
j
}
wik
，置T
=T
U {eik } ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R = R U{k} ， S = S \ {k} ；
第3步
若 S = Φ ，则停止；否则，置
uk
=
min{u jS
j
,w
kj
}，
j S ，返回第 2 步。
例
Dijkstra算法的复杂性
执行第2步时，第一次是(n-2)次比较， 第二次为(n-3)次比较， 第三次为(n-4)次比较，…， 因此总的比较为(n-1)(n-2)/2次
定理6.4.4 设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅
当对任意边e∈T ，e是Ω(e)中的唯一最小边。
Kruskal算法的步骤
第1步 开始把边按权的大小由小到大排列，即将图的 边排序为a1,a2, …,am，使W(a1) ≤W(a2)≤…≤W(am) 置 S=Φ，i=0，j=1。
第2步 若|S|=i=n-1，则停止。这时G[S]=T即为所求； 否则，转向第3步。
第3步 若G[S∪{aj}]不构成回路，则置ei+1=aj， S=S∪{ei+1} ，i:=i+1，j:=j+1，转向第2步；否则，置 j:=j+1，转向第2步。
例
Kruskal算法的复杂性
首先，在第1步中把边按权的大小由小到大排列起来， 这约需mlog2m次比较(m为此网络的边数) 其次，第2步最多循环n次