上海 七年级数学 整式、分式复习

上海七年级数学整式、分式总复习及专项训练一、有理数的复习有理数有理数的概念及分类有理数的有关概念数轴相反数绝对值有理数的大小比较有理数的运算加法和减法统一成加法乘法和除法统一成乘法乘方——科学记数法用计算器进行数的简单运算混合运算⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪（一）有理数的意义理解有理数的概念，要注意以下几个问题：1. 有限小数可化成分母是10，100，1000，……的分数，如09910547547100..==，，故在有理数的分类表中，这样的小数包括在分数中。

2. 整数也可看作是分母为1的分数，因此一切有理数都可表示为最简分数pq（q≠0）的形式，这里的分数是指不包括整数的分数，因此有理数的分类有两种：有理数整数正整数零自然数负整数分数正分数负分数⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪有理数正有理数正整数正分数零非负数负有理数负整数负分数⎧⎨⎩⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪3. 0既不是正数，又不是负数，0是正数和负数之间的界限，是惟一的中性数。

另外由算术数扩充到有理数后，0除了表示“没有”以外，还有丰富的意义，如在温度计上，0度不是表示没有温度，而是表示一个完全确定的温度。

4. 作数轴时，应防止如下错误（如图）：5. 应理解下面常用的一些数字语言和符号。

a 是非负数，指a ≥0（a >0或a =0） a 是非正数，指a ≤0（a <0或a =0） a 不大于b ，指a b ≤（a b <或a b =） a 不小于b ，指a b ≥（a b >或a b =） 二、相反数 1. 相反数的概念（1）只有符号不同的两个数，我们称它们互为相反数，零的相反数是零。

（2）互为相反数的两个数分别在原点的两旁，且到原点的距离相等。

2. 在一个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数。

3. 可知，互为相反数的两个数之和是0。

如果x 与y 互为相反数，那么x y +=0，反之，若x y +=0，则x 与y 互为相反数。

4. 注意事项：（1）-a 表示a 的相反数，但是-a不一定是负数。

（2）相反数是指两个数之间的一种特殊关系，而不是指一个种类。

例如：“-3是一个相反数”这句话是不对的。

5. 乘方运算要注意以下几点：（1）要熟记常用的乘方结果，如1～20的平方数，1～10的立方数；熟练地掌握小数乘方结果的小数点的定位，如010010010000122....==，，…，0100001..nn =…个零。

（2）掌握负数幂的符号法则。

当n 为偶数时，()-=a a nn；当n 为奇数时，()-=-a a nn。

（3）注意运算顺序，如()-24和-24是不同的，前者是-2的四次幂，后者是2的四次幂的相反数，灵活运用有理数的运算律。

6. 在有理数的混合运算中，要注意运算顺序与去括号的顺序，注意同级运算从左到右依次进行。

在分析算式的结构基础上，可运用乘法对加法的分配律，使运算简便，如：()121314324121314243122413241424312863103313-+⎛⎝ ⎫⎭⎪÷⨯=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⨯÷=⨯-⨯+⨯⎛⎝ ⎫⎭⎪÷=-+÷== 7. 精确度和有效数字，是从不同的角度来表示近似数的两种概念。

应搞清以下几点： （1）正确掌握精确度和有效数字意义的规定，在取近似值时只需对精确度要求精确到的那一位的下一位上的数四舍五入就行了，如把4.149精确到0.1，就只需把0.01位的4舍去得到近似值4.1，至于“4”以后的数位上的数无需管它。

同样地，按保留有效数字取近似值时，只需对保留的有效数字（个数）的下一位上的数四舍五入。

（2）对于一个整数位数较多的数取近似数一般宜用科学记数法，如20473.05，①精确到百位可得205104.⨯；②保留两个有效数字可得20104.⨯。

（3）如果一个近似数小数点后末位是0，这个“0”不能舍去，这主要是与准确数的取值范围有关，准确数N ≈16.，则N 的取值范围是155165..≤<N ，若准确数M ≈160.，则15951605..≤<M ，显然N ≠M 。

（4）用科学记数法表示数N 的近似值N a n≈⨯10（110≤<a n ，为正整数）时，N的有效数字就是a 的有效数字，但是N 的精确度需返还原数才能统计，如N ≈⨯1067105.，N 的有效数字是1，0，6，7，精确度却不是千分位而是百位（∵N ≈106700）。

8. 严格要求自己，养成良好的解题习惯，计算前，认真审题，确定运算顺序；计算过程中，要认真按顺序算，一丝不苟；计算结束，应认真复查，防止出错。

三、整式的运算字母表示数代数式列代数式求代数式的值整式单项式系数与次数同类项—合并同类项多项式几次几项式多项式的排列整式的加减去括号与添括号一般步骤−→−⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪（一）准确理解代数式代数式中包含数量关系及运算顺序关系，用代数式表示数学语句，首先要理解语句中各种数量的意义及相关关系，用适当的字母表示各种数量，然后将字母及数用适当的运算符号连接起来，从而把相应的数量关系表示出来。

要注意单独的一个数（或字母）也叫代数式。

准确理解代数式应掌握。

1. 用字母表示数，若没有特别说明，应理解为它可以表示任何一个数，表示实际问题的字母取的值要使实际问题有意义。

2. 在含有字母的乘法中，数与字母相乘，字母与字母相乘，乘号“·”可省略不写。

数字要写在字母前面。

如：2x ab ，；字母应按英文字母表的顺序排列；数字是带分数的要写成假分数；数字与数字相乘仍用“×”号。

如：3×5，4×1.3；在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式，如：a ÷3应写成a3。

3. 要区别运算顺序，先读的先写，最后的运算步骤要在最后体现出来。

同时也要分清与运算顺序有关的关键词语，如：两数差的平方，两数的平方差，前者是先相减再平方，后者是先平方再相减。

4. 代数式要注明单位时，积、商形式不必加括号，和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来。

5. 一式多叙。

如代数式a ba b-，可叙述为： a ，b 两数之积除以a ，b 两数之差；a ，b 两数之积与a ，b 两数之差的商； a ，b 两数之差除a ，b 两数之积； a ，b 两数之积与a ，b 两数之差的比。

6. 在列代数式时，要认真审题，正确分析问题中的数量关系，注意抓住关键性的词语：如：和（加）、差（减）、积（乘）、商（除）、大、小、多、少、倍、几分之几、倒数、平方、立方、增加了、增加到等词的意义。

7. 代数式区别于公式和等式，在公式和等式中都有“＝”，而代数式不含等号，它是用代数运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子。

（二）求代数式值的一般步骤及注意事项求代数式值的一般步骤是化简代数式，再将已知数值代入，最后计算求值。

求代数式值时应注意：1. 代数式的值是由代数式中字母所取的值确定的。

当代数式中字母取不同值时，代数式的值也随之变化。

2. 代数式的分母取值，不应当使代数式和它所表示的实际问题失去意义。

如代数式52x中，x 不能取零，即x ≠0。

又如圆的周长2πr r ，不能取负数或者零，即r >0。

3. 数的有关运算规律也适用于代数式。

（三）在整式的加减运算中，要准确地理解整式的有关概念1. 要注意单项式的系数包括前面的符号，如在多项式34253223-+-x y x y x y 中，第二项的系数是-4，第四项的系数是-5。

2. 去括号有两种方法，一种是从里向外逐步去括号，另一种是从外向里，结合从里向外逐步去括号。

不论采用哪种方法，解题关键在于正确掌握去括号的法则。

3. 化简含有绝对值符号的代数式，只要根据绝对值的概念去掉绝对值符号。

去掉绝对值符号的关键在于确定绝对值符号里式子是正数、零还是负数。

化简的步骤是：①定分点；②划范围；③去绝对值符号；④合并同类项。

典型例题例1. 观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的三个数，你能说出第66个数，第166个数，第167个数是什么吗？---112233445，，，，，，，，……例2. 社会的信息化程度越来越高，计算机网络已进入普通百姓家，某市电信局对计算机拨号上网用户提供三种付费方式供用户选择（每个用户只能选择一种付费方式）：甲种方式是按实际用时付费，每小时付信息费4元，另加付电话费每小时1元2角；乙种方式是包月制，每月付信息费100元，同样加付电话话费每小时1元2角，丙种方式也是包月制，每月付信息费150元，但不必再另付电话话费，某用户为选择合适的付费方式，连续记录了7天中每天上网所花的时间（单位：分），如下表。

根据上述情况，该用户选择哪种付费方式比较合适，请你帮助选择，并说明理由（每个月以30天计算）。

第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 上网时间62403574276080解：该用户一个月总上网时间约为624035742760807306027++++++⨯÷=（小时） 选择甲种付费方式，每月应付费：()412271404+⨯=..元 选择乙种付费方式，每月应付费：10012271324+⨯=..元 选择丙种付费方式，每月应付费150元 所以该户应选择乙种付费方式比较恰当。

例 3 已知当x =-2时，代数式a x b x 31++的值为6，那么当x =2时，求代数式a xb x 31++的值。

例4. 合并同类项：（1）()()()()22723222323x y x y x yx y ---+--- （2）3454311aa aa m m m m --+--- 例5. 若代数式()()26235122x a x y b xx y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式()()3242222aa b b a a b b---++的值。

例6. 当a 、b 分别为何值时，多项式()-++--1331222222x y z x y z b x yx y a是七次三项式。

巩固试题一. 选择题。

1. 用文字语言叙述下列代数式的意义，其中错误的是（ ） A. ()22x y +的意义是x 的2倍与y 的和的平方 B. 22x y +的意义是x 的2倍与y 的平方的和C. 22x y ⎛⎝ ⎫⎭⎪的意义是x 的2倍的平方除以y 的商D. ()22x y +的意义是x 与y 的和的平方的2倍 2. 下列各组数中，数值相等的是（ ） A. 32和23B. ()-+322和-+322C. ()-⨯322和-⨯322D. ()-33和333. -2的倒数是（ ） A. -2B. -12C.12D. 24. -+-x y z 的相反数是（ ） A. --+x y z B. x y z -+ C. x y z+-D. x y z++ 5. 若代数式2372y y ++的值是8，那么代数式4692y y ++的值是（ ） A. 2B. 17C. 11D. 76. 下列化简结果正确的是（ ）A. ()[]---+-=-2432222a a a aB. ()[]{}()[]{}---++---=-a b a b b 2 C. ()[]2352271110a b aa b a b ----=- D. ()()()---++-=-x yx yx y x y 355 7. 一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台实际售价为（ ） A. ()()125%170%++a 元 B. ()70%125%+a 元 C. ()()125%170%+-a 元 D. ()125%70%++a 元 8. 数学课上，李老师编制了一个程序，当输入任一有理数，显示屏上的结果总是所输入的有理数的平方与1的差的2倍。