一类狄拉克激波与非线性古典波之间的相互作用
第七章 等离子体 __
第第77章章 等等离离子子体体中中非非线线性性波波§7.1有弱色散的KdV 方程1．非线性波的一般讨论为了讨论非线性波动的行为，我们先从一维流体元运动方程F t xυυυ∂∂+=∂∂ （7.1） 的讨论开始．其中F 为作用力项，方程左端第二项为非线性对流项，这一项可以导致大量波一波相互作用，产生波的畸变．进一步，设起始有一余弦波cos kx υ=入射，则经过非线性项/x υυ∂∂的作用,会产生cos sin (/2)sin 2k kx kx k kx -=-的波，说明经过对流项的作用，已经将二次谐波耦合进来．如果继续传播，非线性项会将更高次的谐波耦会进来，使得初始的余弦波发生变形．为了进一步了解波如何在非线性项的作用下发生畸变，可以在对流速度0υ附近对方程(7.1)线性化，1101F t xυυυ∂∂+=∂∂， (7.2) 当F 1为零，余弦波人射时，方程（7.2）描述扰动波的形式解即为0cos ()k x t υ-．即扰动波以速度0υ在介质中传播．这样，原有波的相速度就发生了变化，成为010(,)cos ()x t k x t υυυυ=+- (7.3)这意味在波峰顶部(相当于0()0k x t υ-=)的相速度将大于原有波的相速度0υ；而在波谷底部(相当于0()k x t υπ-=)的相速度会小于0υ．于是，在波的传播中，波的峰顶部分要比波的谷底部分运动得快．这种波的追赶过程，使得初始的余弦波变得陡峭起来，如图 2-1(ii)中2t t =所示；直至最后，3t t =(图2-1(iii))中波形发生破裂．如果在方程（7.1）的右边F 项不为0，则可以阻止由非线性项作用产生波形变陡和破裂．我们先考虑F 与波振幅的二次微商项22/x υ∂∂成正比,则方程（7.1）可以改写为202t x xυυυυα∂∂∂+=∂∂∂ (7.4) 从方程(7.4)的性质来看，这是一个非线性扩散方程，00α>代表扩散系数．此方程称之为柏格斯方程．如前面讨论过的那样，将方程(7.4)在0υυ=处线性化，并以单色平面波exp ()i kx t ω-代入，可得此方程的色散关系为200k i k ωυα=- (7.5)由此可见，扩散项的存在，使频率ω成为复数．或者说，在波的传播中，一部分波要耗散掉．故(7.4)的右边项又称为耗散项．前面已经在(7.3)的讨论中看到：非线性项的作用会使原来的余弦波形逐步变陡．现在由于扩散项的存在，在波形变陡的同时，二次徽商项22/x υ∂∂的贡献也随之迅速地增加，它起了抑制波形变陡的作用，直到某一时刻，它与非线性项的贡献相等，此时，波形达到一个平衡形状，变陡的波形不再继续发展，更不会使其发生破裂．设想一个随着波运动的行波坐标系0x t ξυ=-,柏格斯方程(7.4)可改写为 2002()υυαυυξξ∂∂=-∂∂ (7.6) 考虑到有意义的解在无穷远处应保持有限，方程(7.6)的积分为00000tan ()2x t υυυυυα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭(7.7)这个解的形状是一个斜坡形状的激波(如图2-2所示)，斜坡的高度为0υ,厚度为00/αυ．激波以速度0υ沿x 轴传播．因此，柏格斯方程可得到激波形状的解．对此，在下章还会进一步讨论．2. KdV 方程的孤波解上面谈到的由耗散项来平衡非线性项而形成定态解只是一种可能性．另一种可能是色散项与非线性项相平衡．最低阶次的线性色散项比例于33/x υ∂∂，于是方程（7.1）可改写为3030t x xυυυυβ∂∂∂++=∂∂∂ (7.8)3其中0β为色散系数．这个方程是19世纪末科特韦格（D.J.Korteweg ）和德弗里斯(G.de Vries)在研究浅水波的非线性行为时首先采用的，现在简称为KdV 方程．也可以把KdV 方程（7.8）在0υ附近线性化，即可得到此方程的线性色散关系为300k k ωυβ=-. (7.9)将此色散关系与伯格斯方程的线性色散关系（7.5）作一比较，即可发现（7.9）的频率ω总是实数，说明波在传播中没有耗散．波的相速度/k ω和群速度/d dk ω可表为200k k ωλυβ==-， (7.10a)2003d k dkωυβ=-. (7.10b) 由（7.10）看出，相速度和群速度都不是常数，这表示不同的波数k 的波有不同的传播速度，这是由于色散项导致的变化。
一类耦合非线性Klein-Gordon方程组的驻波
一类耦合非线性Klein-Gordon方程组的驻波
甘在会;张健
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2006(026)004
【摘要】该文在二维空间中研究了一类耦合非线性Klein-Gordon方程组的初值问题.首先用变分法证明了具基态的驻波的存在性;其次根据这个结果证明了该初值问题解爆破和整体存在的最佳条件;最后证明了具基态的驻波的不稳定性.
【总页数】11页(P559-569)
【作者】甘在会;张健
【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院,成都,610068;四川师范大学数学与软件科学学院,成都,610068
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.非线性Schr(o)dinger及Klein-Gordon方程组和Kdv方程组的一类孤立波解[J], 韩伟;郑丽霞
2.一类耦合非线性Klein-Gordon方程组解的稳定集和不稳定集 [J], 张宏伟;呼青英
3.一类非线性Klein-Gordon方程组初边值问题的整体经典解 [J], 董旺远
4.一类非线性Klein-Gordon方程组的整体解和爆破解 [J], 孟宪良;蒋毅;蒲志林
5.一类耦合非线性Klein-Gordon方程组整体解存在的充分条件 [J], 陈渝芝;张晓强
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非线性波-波相互作用的特征
非线性波-波相互作用的特征非线性波-波相互作用是指当波系统中存在非线性效应时，两个或两个以上的波相互作用并产生新的波动现象的过程。
非线性波-波相互作用是一种普遍存在的波动现象，广泛应用于物理、工程、地球科学等领域。
在这篇文章中，我们将讨论非线性波-波相互作用的特征、产生机制和应用。
一、非线性波-波相互作用的特征1.能量交换当两个波相互作用时，它们之间会发生能量交换。
如果波的频率和波数满足一定的相互作用条件，能量将会从一个波传递到另一个波，导致波的幅度、频率和波数的变化。
这种能量交换是非线性波-波相互作用的典型特征。
2.波模式转换在非线性波-波相互作用过程中，波的模式可能会发生转换。
例如，两束具有不同频率的波相互作用后，可能会产生新的波，其频率为两原始波的和或差。
这种模式转换是非线性波-波相互作用的另一个重要特征。
3.波单守恒在非线性波-波相互作用中，波的线性动量和能量并不守恒，而是在波之间进行交换和转化。
这种波单守恒是非线性波-波相互作用的特征之一。
4.波的合并和分裂在非线性波-波相互作用中，波的合并和分裂是常见现象。
例如，当两个波相互作用时，它们可能会合并成一个更大的波，也可能会分裂成多个波。
这种合并和分裂现象是非线性波-波相互作用的典型特征。
5.非定常性非线性波-波相互作用还表现为非定常性。
在非线性波-波相互作用过程中，波场的幅度、频率和波数都可能发生变化，导致系统的动态特性不断变化。
二、非线性波-波相互作用的产生机制非线性波-波相互作用的产生机制是由波动方程的非线性项引起的。
在波动方程中，通常包括波的线性项和非线性项。
线性项描述了波的传播特性，而非线性项描述了波的相互作用和能量转换。
非线性波-波相互作用的产生机制可以通过多种方式实现。
最常见的非线性波-波相互作用包括声子-声子相互作用、声子-光子相互作用、光子-光子相互作用等。
这些相互作用可以通过介观量子场论、经典非线性波动方程等来描述。
三、非线性波-波相互作用的应用1.光学非线性光学是非线性波-波相互作用的一个重要应用领域。
08 第五章 三阶非线性光学效应
n 4
16
强光引起折射率变化的物理机制：
（1） 原子或分子中的电子云畸变
（2） 与极性分子取向有关的高频克尔效应
（3） 分子感应偶极矩之间相互作用 引起的 分子重新分布 （4） 电致伸缩效应 （5） 光-热效应
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光致折射率变化的机理、非线性折射率系数 及响应时间
机 理 非线性折射率 响应时间（s） 系数n2 m2/v2） 10-13 10-22～10-23 10-20～10-21 10-21～10-22 10-20～10-21 10-11～10-12 2×10-13 10-8～10-9
如果光场感应的折射率变化 是正的，具有较高强度的 光束中心部分所经受到的折射率应比其边缘部分所经受到的 折射率大，因此，光束中心部分传播的速度比边缘部分的低， 从而，当光束在介质中传播时，光束原来的平面波前逐渐地 畸变得越来越厉害。这种畸变类似于由一个正透镜强加于光 束的畸变。由于光线是沿与波前垂直的方向传播的，所以光 束就象被自己所聚焦。
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Z-SCAN 实验装置--n2 (3)
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30
Leff (1 e l ) /
31
§5.2 三次谐波(Third Harmonic Generation-THD)
1、耦合波方程求解：
无论是中心对称或各向同性介质，均可能存在 3 的三次谐波，来源于 的三阶极化。 设入射光场为沿Z轴传播，频率为 的单色平面波：
10
克尔常数：
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( 3) ( 3) P () 6 0 (, ,, ) E () E () E ()e ikz 2 ( 3) 6 0 (, ,, ) a ()a ()a () E() E ()e ikz
等熵Chaplygin气体动力学系统三片常数的黎曼问题
等熵Chaplygin气体动力学系统三片常数的黎曼问题周同;杜珍珍;杨汉春【摘要】本文研究等熵Chaplygin气体动力学方程组带有三片常数的黎曼问题.借助特征分析方法,在适当的广义Rankine-Hugoniot条件和熵条件下,得到狄拉克激波之间以及狄拉克激波与接触间断之间相互作用的结果,建立了5种不同的唯一的黎曼解结构.【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(024)002【总页数】6页(P40-44,51)【关键词】等熵Chaplygin气体动力学系统;黎曼问题;广义Rankine-Hugoniot 条件;熵条件;狄拉克激波(δ−激波)【作者】周同;杜珍珍;杨汉春【作者单位】铜陵职业技术学院基础教学部,安徽铜陵244000;铜陵职业技术学院基础教学部,安徽铜陵244000;云南大学数学与统计学院,云南昆明650091【正文语种】中文【中图分类】O175.29考虑等熵Chaplygin气体动力学系统，1904年，Chaplygin[1]首次引入了以下方程组：其中p=-1 ρ。
在空气动力学中，当计算飞机机翼上升所承受的压力时，Tsien[2]和von Karman[3]把系统(1)作为一个合适的数学模型，(1)式还可以被视为暗物质和暗能量的统一模型[4-8]，而此暗能量模型对宇宙结构的形成有很大的影响。
对于一维情形Chaplygin气体的欧拉系统正是Born-Infeld[9]系统，它也是Maxwell系统的一个非线性形式。
对于Chaplygin气体，Brenier[10]研究了一维黎曼问题并获得了初值在相平面上位于某特定区域时带有集中的解。
Serre[11]考虑了二维等熵无旋Chaplygin气体压力波的相互作用，证明了超音速解的存在性。
最近，Guo等[12]系统地研究了等熵Chaplygin气体的一维和二维黎曼问题，构造了14种不同的黎曼解结构，且在一些情形中出现了δ-激波和简单波。
非线性光学材料与自旋极化电子输运的相互作用
非线性光学材料与自旋极化电子输运的相互作用光学材料一直以来都是材料科学领域的热点研究方向，近年来，非线性光学材料引起了广泛的关注。
而与非线性光学材料相联系的自旋极化电子输运也成为了一个备受研究者们关注的领域。
本文将探讨非线性光学材料与自旋极化电子输运的相互作用。
首先，让我们来了解一下非线性光学材料的基本概念。
非线性光学材料是指在外加电磁场作用下，其光学性质发生显著变化的材料。
与线性光学材料不同，非线性光学材料的光学响应随入射光的强度而变化，具有二次、三次甚至更高次的非线性效应。
这些非线性效应包括二次谐波发生、光学泵浦、自聚焦效应等。
非线性光学材料的研究和应用涉及到很多领域，例如光通信、激光器、全息存储等。
在这些应用中，非线性光学材料能够提供更高效率、更精确的光学功能。
此外，非线性光学材料还被用于光学调制、光学频率转换等领域。
接下来，让我们来看看自旋极化电子输运的概念。
自旋极化电子输运是指通过调节电子的自旋，实现电子在材料中的输运过程。
相比于传统的电子输运，自旋极化电子输运具有更高的速度和更低的能耗。
自旋极化电子输运还可以用于实现新型的存储器和逻辑门等器件。
非线性光学材料与自旋极化电子输运的相互作用已经引起了研究者们的兴趣。
一方面，非线性光学效应可以通过控制自旋极化电子输运来实现。
例如，通过调控自旋的方向和强度，可以改变光学材料中的非线性系数，从而实现对光学效应的精确控制。
另一方面，自旋极化电子输运也可以被非线性光学材料所影响。
非线性光学材料的性质可以通过自旋极化电子输运来改变，从而实现对光学效应的调节。
研究者们通过实验和理论模拟的方法，探索了非线性光学材料与自旋极化电子输运的相互作用。
他们发现，非线性光学材料中的自旋极化电子输运不仅受到光场的影响，还受到非线性材料的调控。
这种相互作用机制可以用来设计和制造新型的自旋光电子器件。
然而，非线性光学材料与自旋极化电子输运的相互作用仍然存在很多未解之谜。
物理学中的量子隧穿和非线性现象
物理学中的量子隧穿和非线性现象量子隧穿和非线性现象是物理学中两个非常有趣且重要的概念。
量子隧穿主要发生在微观量子世界中，而非线性现象则贯穿于整个物理学领域。
本文将详细介绍这两个概念的原理、特点和应用。
1. 量子隧穿量子隧穿是一种量子力学现象，指的是粒子在经典物理学看来是不可能通过势垒的区域时，在量子力学中却有一定的概率穿过势垒。
这个现象最早由英国物理学家理查德·费曼在1966年提出，并用量子力学来解释。
1.1 量子隧穿原理量子隧穿现象可以用量子力学的波函数和势垒来解释。
假设有一个粒子，其波函数在某一区域被势垒阻挡。
在经典物理学中，粒子不可能穿越势垒。
然而，在量子力学中，粒子的波函数会在势垒两侧形成振荡，有一定的概率穿越势垒。
这个概率与势垒的宽度、高度以及粒子的能量有关。
1.2 量子隧穿效应量子隧穿效应在很多领域都有应用，如半导体 devices（如隧道二极管）、量子计算、量子点等。
其中一个典型的应用是隧道二极管，它利用量子隧穿现象实现了电流的单向传输。
1.3 量子隧穿与宏观现象虽然量子隧穿现象主要发生在微观领域，但它也与宏观现象密切相关。
例如，量子隧穿现象在材料科学中的应用，如超导现象、量子相变等。
此外，量子隧穿还在生物学领域中有着重要的应用，如DNA测序技术。
2. 非线性现象非线性现象是指在物理学中，系统的输出不是输入的简单线性函数。
这个概念涉及到许多不同的物理领域，如电磁学、力学、光学等。
2.1 非线性现象的原理非线性现象的产生有很多原因，其中一个重要原因是系统内部存在着复杂的相互作用。
这些相互作用使得系统的演化过程不再遵循简单的线性规律。
例如，在力学系统中，非线性现象可以表现为物体运动的加速度与作用力不成正比；在光学系统中，非线性现象可以表现为光强与输入光的强度不成正比。
2.2 非线性现象的特点非线性现象具有以下几个特点：1.叠加原理失效：在线性系统中，两个输入的叠加会导致两个输出的叠加。
四波相互作用过程
第4章 四波相互作用过程在弱相互作用下，即当极化强度可展开场强的幂级数时，四波相互作用的非线性过程是一个三阶过程，因而支配四波相互作用过程的是三阶非线性极化张量。
如前所述，在偶极矩近似下，对于具有中心对称的介质，(200χ≡。
三阶过程则不然，它在所有的介质中都是允许的。
三阶极化率张量比二阶极化率张量小得多。
就晶体而言，(3)χ通常很小，典型值为121510~10esu −−。
与之相比，(2)χ的数量级为7910~10esu −−。
因此，为了提高三阶非线性现象，需要用更强的激光。
但是激光强度的提高常常受晶体损伤的限制。
所以在晶体中三阶非线性过程的转换效率比较低。
而且相位匹配也比较困难。
因此人们想到了气体。
气体介质中的原子或分子密度比固体中的低得多，似乎气体介质的(3)χ就会比液体或固体的(3)χ小的多，因而气体的三阶非线性过程效率是发出之低，以致它绝不会有什么实际意义。
然而，实际上气体的(3)χ能被共振增强，因为气体中极其尖锐的跃迁允许在近共振时有极强的增强，对于具有较大跃迁矩阵元的跃迁就更是如此。
其次，气体中的极限激光强度比凝聚态物质中的极限激光强度高几个数量级，前者大于几千MW/cm 2，后者仅为几百MW/cm 2。
因此尽管气体的(3)χ很小，但由于高强度激光感应的非线性极化强度(3)P却能与固体中用中等强度激光感应的(3)P相比拟。
图4-1 简单四能级系统中的三次谐波元产生以原子中三次谐波的产生为例，这些原子具有如图4-1所示的能级图。
能态g 为基态和态j ′有相同的宇称，而与能级j 及j ′′的宇称相反。
与往常一样，在相反宇称的能级间，偶极矩阵元才不为零，在许多可能对(3)χ有贡献的项里，重要的项在图4-1中给出。
这样简化后的表达式如垂直箭号所示：()()()3(3;,,)432j g j g j g j g j g jg g p j j p j j p j j p g Ni i i αβγδαβγδχωωωωωωΓωωΓωωΓ′′′′′′′′′′′′′′′−≈−−−−−−h(3)χ中的其它项，因为分母比较大，因此对(3)χ的贡献也就不重要。
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Keywords：hyperbolic systems of conservation laws；delta shock wave；generalized Rankine-Hugoniot relation；entropy condition
发生相互作用，由此便产生了另一个新的黎曼问题。通过解
收稿日期：2019-05-12 基金项目：河北省教育厅项目：二维定 常等熵磁流体中狄拉克激波形成机制的研究 （项目编号：QN2018307）。
相互作用处产生的新的黎曼问题，得出涉及到狄拉克激波的 相互作用共分为四大类：δ 和 δ，δ 和 + ，δ 和 + ，δ 和
+。
1 求解式（1）的黎曼问题
对式（1）的黎曼问题进行求解，如式（3）所示：
（u，v）（t=0，x）=（u±，v±），（x≷0）
（3）
1.1 古典波解
对于光滑解，式（1）的两个特征根和所对应的右特征
向量分别是 λ1=ϕ，λ2=ϕ+rϕr； =（ ，- ）， =（ ， ）且满 足 · ， · = + 。这表明 λ1 是线性退化的， 若 2rϕr+r2ϕrr ≠ 0，则 λ2 是真正非线性的。为了研究方便， 我们假设 ϕr ＞ 0，（rϕ）rr ＞ 0，因此，λ1 和 λ2 都关于 r 严 格单增。不失一般性，进一步假设 ϕ（0）=0。
WANG Jinhuan1，NIE Yongsheng2 （1.Department of Mathematics and Information Sciences，Tangshan Normal University，Tangshan 063000，China；
2. School of Mathematics and Statistics，Yunnan University，Kunming 650091，China）
data，the problem is classified into four different cases：δ and δ，δ and ，δ and ，δ and
. With the help of characteristic
analysis method，by solving generalized Rankine-Hugoniot relation and entropy condition，six kinds of different configurations of
Abstract：In this paper，we study the interactions between delta-shock waves and nonlinear classical waves in a hyperbolic conservation law system，which is equivalent to solve Riemann problem with three constant states. According to combination of initial
= （6）
=
14 2019.6
现代信息科技6月11期排版文件.indd 14
2019/7/1 19:04:22
王金环，等：一类狄拉克激波与非线性古典波之间的相互作用
第 11 期
为了保证间断解的唯一性，还应满足熵条件 r+ ＜ r-。 进而知，第二族波或为激波：
２０１９ 年 ６ 月 １０ 日 第 ３ 卷 第 １１ 期
现代信息科技 Modern Information Technology
Jun.2019 Vol.3 No.11
一类狄拉克激波与非线性古典波之间的相互作用
王金环 1，聂永胜 2
（1. 唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000；2. 云南大学数学与统计学院，云南 昆明 650091）
本文讨论以下一维双曲守恒律系统：
+（ ）= +（ ）=
（1）
具有以下三片初始常值：
（ （ ，（） = ， ）=（
（
， ），- ＜ ＜ ， ）， ＜ ＜ ， ）， ＜ ＜ +
（2）
上述的初值问题，其中 ϕ=ϕ（r）是一个光滑函数，且 r=u+v，a 是大于 0 的常数。由以上初值可知，在初始间断 处产生两个黎曼问题，并且在两个间断处产生的初等波将会
关键词：双曲守恒律系统；狄拉克激波；广义 Rankine-Hugoniot 条件；熵条件
中图分类号：O413.1；O174
文献标识码：A
文章编号：2096-4706（2019）11-0014-03
Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｄｅｌｔａ Ｓｈｏｃｋ Ｗａｖｅｓ ａｎｄ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｗａｖｅｓ
摘 要：本文研究一类双曲守恒律系统的狄拉克激波与非线性古典波之间的相互作用问题，它等价于解决具有三片常初始
状态的黎曼问题。根据初值的不同组合，将该问题分为四大类：δ 和 δ，δ 和 ，δ 和 ，δ 和 ，并进一步借助于特征线 分析方法，在适当的广义 Rankine-Hugoniot 条件（简称 RH 条件）和熵条件下，获得了六种不同的黎曼解结构及其相应的准则。
寻找自相似解（u，v）（t，x）=（u（ξ），v（ξ）），
ξ=x/t，黎曼问题式（1）和式（2）的古典解除了常态解（u，
v）（ξ）=C 之外，第一族波为接触间断：
J：ξ=ϕ（r-）=ϕ（r+），（r-=r+）
（4）
第二族波为疏散波：
= + ， = ，（0 ＜ r- ＜ r，r- ＜ r ＜ 0）（5） 考虑到式（1）的间断解，在间断 ξ=w 处则应该满足 Rankine-Hugoniot 条件（简称 RH 条件）：
0引言
双曲守恒律方程组源自于流体力学、电磁动力学、空气
动力学、天体物理学等学科作用的研究在双曲守恒律方
程组的探讨中具有重要的价值，在拟线性双曲方程的一般数
学理论的框架中也起到了基本的作用。关于非线性古典波之
间的相互作用，可参考文献 [1]，涉及狄拉克激波的相互作 用还可参考文献 [2]、[3] 等等。