数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)复习过程

第三学期数学分析考试题

一、 判断题（每小题2分，共20分）

1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）

2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）

3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）

4.xy y x f =

),(在原点不可微． （ ）

5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ）

6.

dy y x xy

y )

1(sin 2

1

+⎰

+∞

在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ）

9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i n

i σ∆≤≤来代替． （ ）

二、 填空题（每小题3分，共15分）

1.设)sin(y x e z xy

+=，则其全微分=dz ． 2.设3

2

),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线2

2x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则

⎰=+L

ydx xdy ．

4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．

5.曲面2732

2

2

=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限

xy y x y x )(lim

22)0,0(),(+→．

2． 设),(y x z z =是由方程z

e z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=

A

y x ydxdy

I 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2

>=+a ax

y x 与x 轴所围的面积.

四、(10分)密度22),,(y x z y x +=

ρ的物体V 由曲面222y x z +=与2=z 所围

成，求该物体关于z 轴的转动惯量． 五、（10分）求第二类曲面积分

⎰⎰++S dxdy z dzdx y dydz x

222

其中S 是球面2

2

2

2

)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向． 六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）．

1. 求曲线62

2

2

=++z y x ，2

2

y x z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：

2

21140

π

=+⎰

+∞

dx x ． 七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )

1cos(ln 1

0>>-⎰a b dx x

x x x a

b ．

第三学期数学分析参考答案及评分标准

一、 判断题（每小题2分，共20分）

1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （

⨯） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ √ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ⨯） 4.xy y x f =

),(在原点不可微． （ √ ）

5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ⨯）

6.

dy y x xy

y )

1(sin 21

+⎰

+∞

在)1,0(内不一致收敛． （ √ ）

7.平面图形都是可求面积的． （

⨯） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ √ ）

9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （

⨯）

10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i n

i σ∆≤≤来代替． （ √ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy

+=，则其全微分=dz

dy y x y x x e dx y x y x y e xy xy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++．

2.设3

2

),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线2

2x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则

⎰=+L

ydx xdy 2 ．

4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于

b a 5

3

2． 5.曲面2732

22=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为1

1

1193--=-=-z y x ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限

xy y x y x )(lim

22)

0,0(),(+→．

解：先求其对数的极限

)ln(lim

22)

0,0(),(y x xy y x +→．

由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，

所以

)ln(lim

22)

0,0(),(y x xy y x +→=0，故

xy y x y x )(lim

22)0,0(),(+→=1．

2． 设),(y x z z =是由方程z

e z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 解：方程z

e z y x =++两边对x ，y 求偏导数，得 x

z

e x z z

∂∂=∂∂+

1 y z e y z z ∂∂=∂∂+1 解得

1

1

-=∂∂=∂∂z e y z x z 3

2)1()1()11(-=

∂∂⋅--=-∂∂=z z

z z z xy e e y z e e e y z 。 3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=

A

y x ydxdy

I 2322)1(. 解：先对y 后对x 积分，得到

⎰⎰++=1

02

32210)1(y x ydy

dx I ⎰+-+=102

2)2

111(dx x x 3

122ln

++= 。

4．计算抛物线)0()(2

>=+a ax

y x 与x 轴所围的面积.

解：曲线ACO 由函数],0[,a x x ax y ∈-=表示，ONA 为直线0=y ，于是

⎰=

xdy S D ⎰

⎰

+=ACO

ONA

xdy xdy dx ax

a x a

⎰-=0

)12(

20

6

1

)2(

a dx x ax a

=-=⎰。