清华大学断裂力学讲义Ch4-2
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断裂力学课件
断裂力学目录第一章绪论 (2)§1.1 断裂力学的概念 (2)§1.2 断裂力学的基本组成 (2)第二章线弹性断裂力学概述 (4)§2.1 裂纹及其对强度的影响 (4)§2.2 断裂理论 (6)第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子 (13)§3.1 Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 (13)§3.2 Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 (18)§3.3 Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 (20)§3.4应力强度因子的确定 (22)第一章 绪论§1.1 断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。
在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。
但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。
例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。
1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。
五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。
这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。
特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。
于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。
人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。
《断裂力学绪论》PPT课件
从工程观点看，如何防止或减少断裂事故的 发生呢？首先提出以下5个问题
1.多小的裂纹或者缺陷是允许存在的，即此小裂纹 或者缺陷不会在预定的服役期间发展成断裂的大 裂纹？
2.多大的裂纹就可能发生断裂，即用什么判据来判 断断裂发生的时机？
3.从允许存在的小裂纹扩展到断裂时的大裂纹需要 多长时间，即机械结构的寿命如何估算？
亡最惨重的空难。
四十年代后期美国曾 建造大约2500艘“自由 号”万吨轮，在服役期间 有145艘断成两截，700 艘左右受到严重的损坏。
1949年，东俄亥俄煤气公司的 圆柱形液态天然气罐爆炸，使 周围街市变为废墟。
断裂破坏
美国航空公司一架波音737-800型 客机22日晚抵达牙买加首都金斯 敦诺曼曼利国际机场时冲出跑道， 致伤90多人 (2009-12-22)
断裂破坏
2011年2月13日，美国海军 “格拉维利”号驱逐舰（DDG 107）在佛罗里达南部海域航行 途中，桅杆上部发生断裂. 所幸 无人员伤亡
2009-11-08, 伊朗籍货轮在浙江舟山触 礁断裂
宜宾小南门桥(事故原因：吊杆断裂)
断裂力学的产生背景
传统的强度理论：
传统的强度设计是以材料力学为基础的。假设材料均质， 连续，各向同性，没有裂纹和缺陷，设计时只要满足传统 强度条件就安全。近些年，随着宇航和航空工业的飞速发 展，高强度合金使用量越来越大，而这些高强度合金制成 的机械机构比较脆，容易发生断裂；在腐蚀环境中，甚至 在在相对湿度较高的环境中，就有可能萌生出裂纹。这些 用传统的强度理论，例如屈服判据，是解释不了的。因此 需要寻求新的断裂判据。现代断裂力学就在这种背景下诞 生了。
1-2 脆性断裂和韧性断裂
韧度：是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力
清华大学断裂力学讲义Ch5_1
1
III
U固 t U I t U II t U固 t t U I t t U II t t U固 U II t t U II t U I t U I t t U 移 t U I t U II t U移 t t U II t t U III t t U移 U II t t U II t U I t U III t t
由虚功原理知（怎么来的？） （推导过程中要用到无体力条件） , x2 , t ij x1 u t t x ,x d A移 ij t dA 0 1 2 若材料沿 x1 和 x2 方向均不均匀， w w ij , x1, x2
A移 t wx1, x2 , t dA A移 t w ij x1, x2 , t , x1 at , x2 dA 上述推导不成立！
u a wn1 t x1
u d t t x 2 ,t
d d wdA dt A移 , x2 x1
J 积分 0 流入围道的能通量 1） 定常裂纹扩展 2 1/ 2 与 Griffith 能量释放率在 r rd 0 ） 2 ） 无限小围道（第一项 0 满足右列条件之一时相等 第二项如何？ 已将能量释放率变成一条线 3） 超弹性材料（或形变塑性不卸载） ，且 上的积分！ ！ ！ 材料沿 x1 方向均匀（见下页证明）
J 积分 0 流入围道的能通量 1） 定常裂纹扩展 2 1/ 2 与 Griffith 能量释放率在 r rd 0 ） 2 ） 无限小围道（第一项 0 满足右列条件之一时相等 第二项如何？ 已将能量释放率变成一条线 3） 超弹性材料（或形变塑性不卸载） ，且 上的积分！ ！ ！ 材料沿 x1 方向均匀（见下页证明）
断裂力学讲义
目录第一章绪论§断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。
在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即σ≤[σ]～安全设计安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。
但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。
例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。
1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。
五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。
这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。
特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。
于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。
人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。
传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。
因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。
断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。
因此，给断裂力学下的定义就是断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科。
或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件安全工作的一门科学。
断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。
它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。
断裂力学讲义Ch5_2
紧凑拉伸
圆盘型紧凑拉伸
三点弯
五种标准试件
中心裂纹拉伸
弧形拉伸
以三点弯试件为例，深缺口（解释：加载下行为基本与a无关）
q Q U J dq 0 a a q
J
M
0
M M P d 0 d 0 d a a c
J a T
CM 4P2 2 c P 1 CM cr
J c
讨论CM与裂纹扩展的稳定性。
E dJR 撕裂模量 TR 2 决定了裂纹扩展的稳定性。 0 da
J积分理论的不足
J积分路径无关性的一个重要前提是超弹性材料（或形变塑性不 卸载），当裂纹未起裂时，这个条件能严格满足，故J积分断裂 准则是准确和严格的。当含有塑性变形的裂纹扩展时，在裂纹 尾岸有塑性卸载，需意识到再使用J积分断裂准则只是近似，需 要用实验或理论来验证其适用性。
1 n 1
n n 1
0 0
n
J J u u 0 I n 0 0 I n r
其中In仅与n有关, u 是刚体位移。
~ ; n u
•当硬化指数n＝1时，HRR场的奇异性退化为K场奇异性；当n>1时，
R
M c
M
确定e：圆弧假设在-e/2≤y<e/2处
2 R y 2R y x y 2R R
在y=-e/2处
e e / 2 ys x R E 2
2 R ys e E
确定R
确定R：由相似性和量级分析得
R c
2 R ys 2 c ys e E E
清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学PPT课件
III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切
lim
r0
2
r
22 12
r,0
r,
0
32
r
,
0
KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal3of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
a
0 i2
x1,
0
ui
a
x1,
dx1
wtip a
5
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtip da dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
σ
x1
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
KIII
lim
x1 0
2 x1 32 x1, 0
32 x1, 0
KIII
2 x1
u3 u3+ a x1, u3- a x1, =2u3+ a x1, =
清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力学共37页
清华大学断裂力学讲义线弹性断裂力 学
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
清华大学断裂力学讲义 Griffith断裂理论共52页PPT
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
பைடு நூலகம்
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
清华大学断裂力学讲义 Griffith断裂 理论
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
பைடு நூலகம்
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
清华大学断裂力学讲义 Griffith断裂 理论
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
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C I
2 z 2 a r 2 a r a2
1 u2 x1 , 0 u x1 , 0 u x1 , 0 Im 4
C 2 D 2
Z
C I
Z dz
D I
8 ys a
3 4 3 1
平面应力
塑性区为扩散型 不严格考虑K场与塑性区的 相互作用
假设塑性区为条带状（针对含 裂纹薄板较准确，平面应力） 准确考虑塑性区与弹性场的相 互作用
Dugdale-Barenblatt带状屈服的内聚区模型
内聚力（ cohesive traction ）与 张开位移（separation）的关系
4.4 裂纹尖端张开位移（COD＝Crack Opening Displacement） —又一种延性材料抗断裂指标
脆性材料断裂
延性（韧性）材料断裂
优点：直观， 如何定义和测量？
如何定义和测量裂纹尖端张开位移（COD）？ Alan Wells（1961）建议用原裂纹尖端处的张开位移定义COD
Alan Wells at TWI LTd, UK 但是何为“原裂纹尖端处”？ 原裂尖物质点：便于显微量测，对工程量测可操作性不好 原裂尖空间坐标：科学性差，因为试件可能会随加载而横向漂移
Plane strain Plane stress
【作业题4-5】
u2 a , 0 u 2 a , 0 ln sec E 2 ys
裂尖在x1/s=-1处
附：III型裂纹面上承受集中力
Z III Z III 1 za 1 za za z a
2
2
z b i0 Z III
T i z b T i z b
z b i0 Z III
Dugdale模型思路总结
ys
2(a+r)
2(a+r)
*
假设r，则由 KI
D
r KIC r 0
，可得到r ，之后再求位移场，
Grigory Isaakovich Barenblatt /~gibar/
2005 – Timoshenko Medal
Dugdale, D.S., “Yielding in Steel Sheets Containing Slits.” Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 8, 1960, pp. 100–104. Barenblatt, G.I., “The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in Brittle Fracture.” Advances in Applied Mechanics, Vol. VII, 1962, pp. 55–129.
ys
2(a+r)
2(a+r)
*
【作业题4-4】
K a r
D I
K 2 ys
C I
ar
a cos 2 ys a r
ys , r
a arccos ar
与Irwin修正比较
a
2 2 1 1 2 a 8 ys
r
K I2 r 2 8 ys
Z III 0 z
Z III ~ T z b i 0 z b T z b i 0 z b
Z III
T
z a z a z b
T
z 2 a2 z b
Z III ~
Z III
T z 2 a2 z b
a b
过程简单，顺序求解。因为内聚力不随裂纹张开位移而变化，已知。 而对于一般的内聚力本构，所有这些求解是耦合在一起的。
※一般情形 Barenblatt 内聚力模型
内聚力与张开位移的 关系
由于内聚力随张开位移变化，内聚力、张开位移及 L 都为 未知，需要求解一个非线性积分方程。
u a
4 x1 E 8 L s L x E x1 s 2 x12
2 2 1 s
x 2 u x , 0 , L ， 外场的位移容易得到， 考虑到 1 而 x1 x1 ， 2 1
t
s t
2 2
2a s
Hutchinson 等理想弹塑性全塑性解 郝苏引入低度硬化和大变形几何学
Dugdale模型中的裂纹张开位移
a cos 2 ys a r
4 x1 E 8 L s L x E x1 s 2 x12
4.4 节裂纹张开位移小结 1. 裂纹张开位移（COD） ，或裂尖张开位移（CTOD）是几何 上十分直观的可以观测的断裂参量，但是如何方便和客 观的测量其值还有一定讲究，Rice 提出的 45 度 COD 2. 裂纹张开位移与其他表征断裂的参量存在关系。Wells 发展了针对 SSY 的关系，还提出全面屈服的条件下的 Wells 公式，但后者存在较大误差。 3. 介绍了 Dugdale 模型下 COD 的计算， 由于 Dugdale 模型 相对简单，可以得到带状屈服的精确解，并与 SSY 下的 渐近解进行对比，进而估算出 SSY 解的适用范围。 4. 裂纹张开位移的断裂准则在英国占主导地位， 但现在其 他国家也开始作为一种综合判断裂纹扩展指标之一
4.3 节小结
1. 裂 尖 塑 性 区 有 扩 散 型 和 集 聚 型 之 分 ， 本 节 的 Dugdale － Barenblatt 带状屈服的内聚力模型是针对集聚型的裂尖塑性变形 而发展的，一般在薄板断裂时的平面应力状态下容易出现集聚型 塑性区。 2. 该理论的研究方法是假想将裂纹的塑性区剖开代之以内聚力， 在 这个扩展裂纹的外部，仍可采用线弹性断裂力学，但为了消除应 力在扩展裂纹裂尖的奇异性，要求该裂尖应力强度因子为零从而 求出塑性区长度。 x a * 3. 断裂准则为 ,表面能或断裂功为内聚力曲线下面积
SSY 渐近解：
SSY
a 2 G E s s
一般小范围屈服 （SSY） 在 P 0.5P0 时成立， P0 是裂 纹体达到全面屈服的载 荷。 研究方法可以借鉴之处
实验测量裂纹尖端张开位移（CTOD）
r代表一个旋转因子（rotational factor），通常是一个无量纲常 数（介于0-1）。对于一般材料，rp=0.44。
2 2 1
s
t
s t
2 2
a
dtds
2(a+r)
8 s a ln sec 原裂尖处的COD值为 a E 2 ys
在小范围屈服条件下可取 / ys
【习题4-6】
为小量，作Taylor展开（渐近分析常用手段），可得
第四章：弹塑性断裂力学
背景 小范围屈服理论 Irwin修正 Irwin修正模型的改进（刘彬老师） Dugdale-Barenblatt内聚区模型 CTOD理论
讨论
4.3 Dugdale－Barenblatt内聚区模型（带状屈服模型）—另一种 简化理论模型
Irwin修正模型是对LEFM模型的相对粗略的改进。Dugdale-Barenblatt发展 了strip-yield模型，考虑了更为精确的改进，并得出了封闭解。这一理论 随后促进了内聚区模型的发展，是弹塑性断裂力学中一个经典例子。
附：若载荷左右对称，则两端应力强度因子相等 已知无穷大介质中长为 2a 的裂纹的解，作为已知解来求权函数。 * E u h 2 K * a （裂纹长采用 2L 是为了和后面的章节一致） K I L u 2 x1 ,0 , L L2 x12 E 对应的权函数为
在实际对裂尖塑性区的观测中，不是所有的塑性区都呈扩散型。
平面应力
平面应变和平面应力的裂尖 塑性滑移模式 Rice 和 Druker 曾 证 明 在 Tresca 屈服条件和平面应力 状态下，屈服区确为带状。
Dugdale-Barenblatt（带状屈服）模型针对的是集聚型塑性区的 情形，而小范围屈服是扩散型塑性区，在模型处理上各有特点
如何定义裂纹尖端张开位移（COD）――Rice的t定义
线弹性裂尖场
u2 x1 , 0
1
4
a 2 x12
x1 a
3 4 3 1
Plane strain Plane stress
线弹性裂尖场的t与应力强度因子的关系【习题4-7】
2 ys z
2
Z IC z
ar
a
a r b2 db 2 2 2 2 z a r z b
2 ys z
2
a ys z a Z z arccos 2 z2 a r z ar
b
2(a+r)
2(a+r)
D、C状态的Westergaard函数
Z ID z
Westergaard函数
ZI z
z
z2 a r
2
z 2 a 2 z 2 b2
2 Pz a 2 b 2
Z IC z
ar
a
a r b2 db 2 2 2 2 z a r z b
P
2K h x ; a E
h2 x1 ,0 , L
L L2 x12
KI 2
L
2 z 2 a r 2 a r a2
1 u2 x1 , 0 u x1 , 0 u x1 , 0 Im 4
C 2 D 2
Z
C I
Z dz
D I
8 ys a
3 4 3 1
平面应力
塑性区为扩散型 不严格考虑K场与塑性区的 相互作用
假设塑性区为条带状（针对含 裂纹薄板较准确，平面应力） 准确考虑塑性区与弹性场的相 互作用
Dugdale-Barenblatt带状屈服的内聚区模型
内聚力（ cohesive traction ）与 张开位移（separation）的关系
4.4 裂纹尖端张开位移（COD＝Crack Opening Displacement） —又一种延性材料抗断裂指标
脆性材料断裂
延性（韧性）材料断裂
优点：直观， 如何定义和测量？
如何定义和测量裂纹尖端张开位移（COD）？ Alan Wells（1961）建议用原裂纹尖端处的张开位移定义COD
Alan Wells at TWI LTd, UK 但是何为“原裂纹尖端处”？ 原裂尖物质点：便于显微量测，对工程量测可操作性不好 原裂尖空间坐标：科学性差，因为试件可能会随加载而横向漂移
Plane strain Plane stress
【作业题4-5】
u2 a , 0 u 2 a , 0 ln sec E 2 ys
裂尖在x1/s=-1处
附：III型裂纹面上承受集中力
Z III Z III 1 za 1 za za z a
2
2
z b i0 Z III
T i z b T i z b
z b i0 Z III
Dugdale模型思路总结
ys
2(a+r)
2(a+r)
*
假设r，则由 KI
D
r KIC r 0
，可得到r ，之后再求位移场，
Grigory Isaakovich Barenblatt /~gibar/
2005 – Timoshenko Medal
Dugdale, D.S., “Yielding in Steel Sheets Containing Slits.” Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 8, 1960, pp. 100–104. Barenblatt, G.I., “The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in Brittle Fracture.” Advances in Applied Mechanics, Vol. VII, 1962, pp. 55–129.
ys
2(a+r)
2(a+r)
*
【作业题4-4】
K a r
D I
K 2 ys
C I
ar
a cos 2 ys a r
ys , r
a arccos ar
与Irwin修正比较
a
2 2 1 1 2 a 8 ys
r
K I2 r 2 8 ys
Z III 0 z
Z III ~ T z b i 0 z b T z b i 0 z b
Z III
T
z a z a z b
T
z 2 a2 z b
Z III ~
Z III
T z 2 a2 z b
a b
过程简单，顺序求解。因为内聚力不随裂纹张开位移而变化，已知。 而对于一般的内聚力本构，所有这些求解是耦合在一起的。
※一般情形 Barenblatt 内聚力模型
内聚力与张开位移的 关系
由于内聚力随张开位移变化，内聚力、张开位移及 L 都为 未知，需要求解一个非线性积分方程。
u a
4 x1 E 8 L s L x E x1 s 2 x12
2 2 1 s
x 2 u x , 0 , L ， 外场的位移容易得到， 考虑到 1 而 x1 x1 ， 2 1
t
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2 2
2a s
Hutchinson 等理想弹塑性全塑性解 郝苏引入低度硬化和大变形几何学
Dugdale模型中的裂纹张开位移
a cos 2 ys a r
4 x1 E 8 L s L x E x1 s 2 x12
4.4 节裂纹张开位移小结 1. 裂纹张开位移（COD） ，或裂尖张开位移（CTOD）是几何 上十分直观的可以观测的断裂参量，但是如何方便和客 观的测量其值还有一定讲究，Rice 提出的 45 度 COD 2. 裂纹张开位移与其他表征断裂的参量存在关系。Wells 发展了针对 SSY 的关系，还提出全面屈服的条件下的 Wells 公式，但后者存在较大误差。 3. 介绍了 Dugdale 模型下 COD 的计算， 由于 Dugdale 模型 相对简单，可以得到带状屈服的精确解，并与 SSY 下的 渐近解进行对比，进而估算出 SSY 解的适用范围。 4. 裂纹张开位移的断裂准则在英国占主导地位， 但现在其 他国家也开始作为一种综合判断裂纹扩展指标之一
4.3 节小结
1. 裂 尖 塑 性 区 有 扩 散 型 和 集 聚 型 之 分 ， 本 节 的 Dugdale － Barenblatt 带状屈服的内聚力模型是针对集聚型的裂尖塑性变形 而发展的，一般在薄板断裂时的平面应力状态下容易出现集聚型 塑性区。 2. 该理论的研究方法是假想将裂纹的塑性区剖开代之以内聚力， 在 这个扩展裂纹的外部，仍可采用线弹性断裂力学，但为了消除应 力在扩展裂纹裂尖的奇异性，要求该裂尖应力强度因子为零从而 求出塑性区长度。 x a * 3. 断裂准则为 ,表面能或断裂功为内聚力曲线下面积
SSY 渐近解：
SSY
a 2 G E s s
一般小范围屈服 （SSY） 在 P 0.5P0 时成立， P0 是裂 纹体达到全面屈服的载 荷。 研究方法可以借鉴之处
实验测量裂纹尖端张开位移（CTOD）
r代表一个旋转因子（rotational factor），通常是一个无量纲常 数（介于0-1）。对于一般材料，rp=0.44。
2 2 1
s
t
s t
2 2
a
dtds
2(a+r)
8 s a ln sec 原裂尖处的COD值为 a E 2 ys
在小范围屈服条件下可取 / ys
【习题4-6】
为小量，作Taylor展开（渐近分析常用手段），可得
第四章：弹塑性断裂力学
背景 小范围屈服理论 Irwin修正 Irwin修正模型的改进（刘彬老师） Dugdale-Barenblatt内聚区模型 CTOD理论
讨论
4.3 Dugdale－Barenblatt内聚区模型（带状屈服模型）—另一种 简化理论模型
Irwin修正模型是对LEFM模型的相对粗略的改进。Dugdale-Barenblatt发展 了strip-yield模型，考虑了更为精确的改进，并得出了封闭解。这一理论 随后促进了内聚区模型的发展，是弹塑性断裂力学中一个经典例子。
附：若载荷左右对称，则两端应力强度因子相等 已知无穷大介质中长为 2a 的裂纹的解，作为已知解来求权函数。 * E u h 2 K * a （裂纹长采用 2L 是为了和后面的章节一致） K I L u 2 x1 ,0 , L L2 x12 E 对应的权函数为
在实际对裂尖塑性区的观测中，不是所有的塑性区都呈扩散型。
平面应力
平面应变和平面应力的裂尖 塑性滑移模式 Rice 和 Druker 曾 证 明 在 Tresca 屈服条件和平面应力 状态下，屈服区确为带状。
Dugdale-Barenblatt（带状屈服）模型针对的是集聚型塑性区的 情形，而小范围屈服是扩散型塑性区，在模型处理上各有特点
如何定义裂纹尖端张开位移（COD）――Rice的t定义
线弹性裂尖场
u2 x1 , 0
1
4
a 2 x12
x1 a
3 4 3 1
Plane strain Plane stress
线弹性裂尖场的t与应力强度因子的关系【习题4-7】
2 ys z
2
Z IC z
ar
a
a r b2 db 2 2 2 2 z a r z b
2 ys z
2
a ys z a Z z arccos 2 z2 a r z ar
b
2(a+r)
2(a+r)
D、C状态的Westergaard函数
Z ID z
Westergaard函数
ZI z
z
z2 a r
2
z 2 a 2 z 2 b2
2 Pz a 2 b 2
Z IC z
ar
a
a r b2 db 2 2 2 2 z a r z b
P
2K h x ; a E
h2 x1 ,0 , L
L L2 x12
KI 2
L