概率论与数理统计在电子专业的应用

概率论在通信系统中的应用

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概率论在通信系统中的应用

中文摘要

概率论与数理统计在电子电路的随机信号处理及实验中有着广泛的应用，通信工程中信号的接收和发射，都需要概率论与数理统计学的理论作为基础。因为，信号是信息的载体。信号源的输出都是随机的，怎样在随机信号中找出我们所需要的信息，就需要使用统计方法来描述。同时，对于接收者来说怎样从一个不缺定或不可预测的信号中获取我们所需要的信息，仍然需要再次利用统计学中的知识。

关键词：概率论，数理统计，电子电路，随机信号

Abstract

Probability and mathematical statistics in random signal processing and electronic circuit has been widely used in the experiments, the signal receiving and launch in communication engineering, all need theory as the basis of probability theory and mathematical statistics. Because the signal is the carrier of information. The output of the signal source is random, how to find what we need in the random signal information, you need to use statistical methods to describe. At the same time, for the receiver how to from a not short or unpredictable signal to obtain the information we need, still need the knowledge of statistics again.

Key words: probability theory, mathematical statistics, electronic circuit, random signal

一：概率论与数理统计的起源与发展

1、概率论概率论的研究始于意大利文艺复兴时期，当时赌博盛行，而且赌法复杂，赌注量大，一些职业赌徒，为求增加获胜机会，迫切需要计算取胜的思路，研究不输的方法，十七世纪中叶，帕斯卡和当时一流的数学家费尔马一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题，这就是概率论的萌芽。

1657年荷兰物理学家惠更斯发表了“论赌博中的计算”的重要论文，提出了数学期望

的概念，伯努利把概率论的发展向前推进了一步，于1713年出版了《猜测的艺术》，指出概率是频率的稳定值，他第一次阐明了大数定律的意义。1718年法国数学家棣莫弗发表了重要著作《机遇原理》，书中叙述了概率乘法公式和复合事件概率的计算方法，并在1733年发现了正态分布密度函数，但他没有把这一结果应用到实际数据上，直到1924年菜被英国统计学家K·皮尔森在一家图书馆中发现。德国数学家高斯从测量同一物体所引起的误差这一随机现象独立的发现正态分布密度函数方程，并发展了误差理论，提出了最小二乘法。法国数学家拉普拉斯也独立的导出了该方程，对概率的意义如何抽象化做出了杰出的贡献，提出了概率的古典定义。到19世纪末，概率论的主要研究内容已基本形成。1933年苏联数学家柯尔莫科洛夫总结前人之大成，提出了概率论公理体系，即概率的公理化定义。概率论里所说的极限定理，主要研究独立随机变量序列的各种收敛性问题，其中包括两种类型定理：一类是大数定律，一类是中心极限定理。当代概率论的研究方向大致可分为极限理论，马尔可夫过程，平稳过程，随机微分方程等。

2、数理统计数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的收集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题做出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议。数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动，其发展大致课分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段。古典时期这是描述性的统计学形成和发展的阶段，是数理统计的萌芽时期。在这一时期里，瑞士数学家贝努里较早地系统论证了大数定律。1763年，英国数学家贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，后背发展为一种统计论断方法——贝叶斯方法，棣莫弗发现了正态分布的密度函数，高斯提出最小二乘法。近代时期是数理统计的形成时期，英国数学家皮尔逊提出了矩估计法和频率曲线的理论，χ2检验；统计学家戈赛特创立了小样本检验，即t分布和t检验法，并由费歇推广，这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等有了决定其面貌的内容和理论。现代时期美籍罗马尼亚数理统计学家瓦你德发展了决策理论，提出了一般的判别问题，创立了序贯分析理论，提出著名的序贯概率比检法。

二、概率论与数理统计在电子电路的随机信号处理

根据概率论与数理统计中的知识所描述，事件的概率就是对于一次随机试验E，S是它的样本空间，那么对于随机试验E中的每一个事件A都赋予一个实数，记为P（A），这时，这个实数就是事件A的概率。我们知道一个事件的不确定性可以用事件出现的频率来描述，可能性越小，概率越小；反过来说，可能性越大，则概率就越大。由此就可以看出，信息中包含的信息量与事件发生的概率密切相关。在此，我们可以判断出，当一个事件的不确定性越小时，它所携带的信息量就越大，因为我们可以从中获得更多的信息。这个时候，我们设有一个函数，它满足对于一个事件的概率P(x)，有对应的信息量I满足I=f[P(x)],由以上总结得出：

P （x ）越小，则I 就越大；同样则有当P （x ）越大时，I 就越小。用数学式表达：P （x ）→1时，I →0;P （x ）→0时，I →∞.

因为信息所包含的信息量可以用概率来表述，所以概率的基本性质例如相加性对于信息也是满足的。就是对于概率论来说，设,...,2

1A A 是两两互不相容的事件，即对于A A j

i =Ø，i ≠j,i,j=1,2,...,则 ()()()......2121++=A P A P A A P n n n

通过类比可得出若干个相互独立事件所提供的信息量就等于个独立事件所提供的信息量之和，也就是所谓的信息的相加性，即

()()[]()[]()[]......2121++==x x x x P I P I P P I

由以上两点可以得出，信息量I 与事件出现的概率P （x ）的关系应满足一种数学关系，根据1）、2）可以知道信息量I 与事件出现的概率P （x ）的倒数成对数关系。此时，我们可以得出I 与P （x ）的对应关系，即

I=()x P 1log a =-log a P （x ）

其中，a 的取值可以用来判断信息量的单位。通过这个公式，我们对信息量做出了较为直观的描述，从而对信息做出度量，为信息的传输和处理奠定了基础。

在信号的传输之前，我们需要对信号进行处理，这是因为对于信号源来说，它所发出的信号是一定的，但有时会具有较低的频谱分量，这种信号在很多信道中并不适合传输。因此，我们在信号传输之前需要对信号进行调幅。而需要调幅的信号就称为调幅（AM ）信号。

我们假设，一个调制信号m(t),叠加上直流A 0后与可形成调幅（AM ）信号。

调幅信号的时域表示为

s AM (t)=[A 0+m(t)]cos ωc t=A 0cos ωc t+m(t)cos ωc t

式中：m(t)为调制信号，它的均值为0；A 0是常数，表示的是叠加的直流分量。 AM 信号在1Ω电阻上的平均功率应该等于s AM （t ）的均方值即为其平方的时间平均，即

()[]t t c AM AM t m A s P ωcos 2220)(+=

= =()t t m t t t c c c A m A ωωωcos cos cos

202

22202)(++