十三届希望杯数学竞赛高二第一试
历届希望杯全国中学生数学竞赛试题
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:
ﻩ
ﻫ
ﻫ
ﻫ
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫ
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
ﻫ
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫ
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
ﻫ
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫHale Waihona Puke ﻫ第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
ﻫ ﻫ ﻫ
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试
ﻫ ﻫ
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试
ﻫ ﻫ ﻫ
ﻫ
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫ
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第２试
ﻫ ﻫ
第十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ ﻫ
第十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第２试
ﻫ ﻫ
第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
ﻫ
第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
ﻫ ﻫ
第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第１试
ﻫ
第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
高二希望杯数学竞赛试题hope2-1-14
1 1 bx. ,lnx 成等比列，则 xy 的 2 2
（B）最大值是 e
2
（C）最小值是 2.
（D）最小值是 e
2
4、 如图 1、一个正方体的容器 ABCD- A ' B ' C ' D ' 中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处 出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方 体容器容量的。 (A) . 5、 函数 y= （A） 2 5
橙子奥数工作室
教学档案
非卖品
第十四届“希望杯”全国数学邀请赛
高二 一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1、 已知函数 f ( x) = 2 x + 3, 则函数 f （A）y=
−1
第1试
( x + 1) 的反函数是
（C）y=2X+5 （D）y=2X+2
( x − 2) 2 ( x + 2) (A) − =1 25 4 ( x + 2) 2 ( x − 2) (C) − =1 25 4
2
2
( y − 2) 2 ( x − 2) (B) − =1 9 16 ( x − 2) 2 ( x + 2) (D) − =1 9 16 1 1 、 ak = ，则该数列前 mk 项之和是 k m mk + 1 mk （C） （D） +1 2 2
（B）
(2 − 2)(1 + 3) 2 (2 − 2)( 3 − 1) 2
2
（C）
（D）
10、Suppose the y-axis is (A) −
the least distance fron poinrs of the xurve(曲线) ya ∉ R ) to
希望杯竞赛数学试题详解(31-40题)
题31 已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yzu x y z x y z+=++的最大值. （第九届高二培训题第61题）题32 已知a,b R ∈，且a b 10++=，则()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）题33 实数x ，y 满足方程94622--=+y x y x ，则y x 32-的最大值与最小值的和等于_______.（第十届高二第二试第17题）题34 线段AB 的端点坐标是A （-1，2），B （2，-2），直线y=kx+3与线段AB 相交的充要条件是 （ ）A 、125≤≤-k B 、251≤≤k C 、125≤≤-k 且k ≠0 D 、125≥-≤k k 或 （第八届高二培训题第2题）题35 过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题) 题36 某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A 、B 、C 、D 四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37 点M ()00,y x 是圆()0222>=+r r y x 内圆心以外的一点，则直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是 （ ）（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题）题38 过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 .（第二届高二第二试第15题）题39 若实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y的取值范围是——. （第九届高二第一试第17题）题40 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，则C 的取值范围是（ ）A 、(]0,∞-B 、[2,)+∞ C 、[21,)-+∞ D 、[12,)-+∞(第七届高二第一试第10题)31.解法1 取待定正数βα、，由均值不等式得()()11xy yz x y y z αβαβ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222222222111111,22x y y z x y z αβαβαβαβ⎛⎫⎡⎤⎛⎫≤+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令,112222ββαα=+=则.21,2,2,244422==∴==βαααα于是()()2222222222z y x z y xyz xy ++=++≤+α ()222,,xy yzu x y z x y z+∴=++ ()222222222,2x y z x y z ++≤=++当1,2,1===z y x 时取等号..22max =∴u 解法2 (),1,,,22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++=∈+y z y x y zy x zy x yzxy z y x u R y 可化为,01122=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛u y z y x y z y x 配方，得.1212121222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u y z u y x 由上式可得,01212≥-u 即,,,.2222+∈≤≤-R z y x u 由已知，显然有20,0.2u u >∴<≤ max 22u ∴=（当22==y z y x 时，u 取得最大值）.解法3 由已知，得(),,,.222+∈+++=R z y x z y x yz x u 且,22222z x z x +≤⎪⎭⎫⎝⎛+ ()()222222222222.22x z yy x z u xz y y x z +⋅+∴≤≤=+++当且仅当z x =且,222y z x =+即 y z x 22==时取等号..22max =∴u 解法4 ,,,x y z R +∈ 22222221122x y z x y y z ∴++=+++ 22122x y ≥⋅22122y z +⋅()2,xy yz =+当且仅当y z x 22==时取等号. ()222,,xy yzu x y z x y z +∴=++ ()2.22xy yz xy yz +≤=+∴当且仅当y z x 22==时，u 取得最大值.22A D BC1A 1D 1B 1C 解法5 222222211122x y y z x y z u xy yz xy yz ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==++ 112222xy yz xy yz +≥+()22,xy yz xy yz+==+,22≤∴u 当且仅当,21222z y x ==即y z x 22==时取等号，.22max =∴u 解法6 (),2,222222y x yx xy y x +≥+≥+ ()222222xy yz xy yzu x y z x z y ++∴=≤++++ ()()()()()22222.2222xy yz x z y x z yx z y++=≤=+++当且仅当∴y z x 22==时，.22max =u 解法7 构造如图长方体1AC ，设对角线11,AC d AC =与交于点1C 的三个面所成的锐角分别为γβα,,，长方体的三条棱分别为.,,z y x 则有.s i n ,s i n ,s i n .2222dzd y d x z y x d ===++=γβα ()1sin sin sin222=++γβα于是2222sin sin sin sin xy yz xy yz x y y z u x y z d d d d dαββγ++===⋅+⋅=+++222222211sin sin sin sin sin sin sin 222.2222αβγβαβγ++++≤+==,sin 2sin sin γβα==∴当且仅当即y z x 22==时，.22max =u 解法8 由,222zy x yz xy u +++=得()()2220uy x z y u x z -+++=（1）,0,,,>∈+u R z y x ∴关于y 的一元二次方程（1）的判别式()()042222≥+-+=∆z x u z x ，解得()().2144222222222222=++++≤+++≤z x z x z x z x xz z x u 当且仅当z x =时取得等号. 2max1,2u ∴= max 2.2u ∴=把z x =代入（1）可得x y 2=,.2222m ax ===∴u y z x 时，当且仅当 评析 222,xy yzu x y z+=∴++ 若()222xy yz k x y z +≤++，则u k ≤，这就是说，只要xy yz +与222x y z ++的倍数之间建立了不大于的关系，则u 的最大值就求出了.因而解决问题的关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数α、β，并运用,222b a ab +≤解法3运用公式22222b a b a +≤⎪⎭⎫⎝⎛+，解法4、解法5运用ab b a 2≥+，解法6运用()2222222y x yx xy y x +≥+≥+及，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将u 的分子、分母同除以2y ，巧妙地通过配平方，得到2110,2u-≥进而得202u <≤，很富新意.解法7通过构造长方体（若三条棱分别为z y x ,,的长方体的对角线长为l ，则有,2222z y x l ++=而222z y x ++恰好是u 的分母，且长方体中有1s in s in s in 222=++γβα）解决问题.解法8则把222xy yz u x y z+=++变为()()2220uy x z y u x z -+++=，看作关于y 的一元二次方程，利用其有正根的条件得到22≤u ，是方程思想的典型运用. 拓展 设,x y R +∈，显然有()22,xy u x y x y =+的最大值为12，即c o s 3π；设,,x y z R +∈，已解出()222,,xy yz u x y z x y z +=++的最大值为22，即cos .4π我们不妨猜想：命题 若()01,2,,2,k a k n >=≥ 则1223122212n n n n a a a a a a f a a a -++⋯+=++⋯+的最大值是.1cos +n π证明 取正参数有,,,,21n λλλ⋯()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋯++----n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1113222211113221111λλλλλλ 22222221122112221211111.2n n n n n a a a a λλλλλλ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+++⋯+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦令222121222121111n n n λλλλλλ---=+=⋯=+=（1），因求最大值，故还必须有,1,,1,111132222111n n n n a a a a a a ---=⋯==λλλλλλ此即,1221a a =λ.,,1212322--=⋯=n n n a a a a λλ将上式代入（1），得nn n n n a a a a a a a a a a 11223112---=+=⋯=+= （2），令21,r λ=则21132211,,,,.n n n n n a ra a a ra a a ra a ra ---=+=⋯+==观察（2）的形式，考虑作代换(),1.,1112---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+∈∈+=k k k k a q q ra a a R r C q q q r q qa a k k 11=-∴-()()123,k k a qa k n ---≤≤故数列{}1k k a qa --是公比为1q 的等比数列， ()112111221111.k k k k k a a qa a qa q a qa q q q q----⎡⎤⎛⎫∴-=-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦于是111k k k k q a q a a ---= （3）.再令则,1k k k a qb -=（3）为()11112a b b b q b k k =+=-注意，上式变形为.11211221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---q b b q q b b k k 这样，又得到一个公比为2q 的等比数列()12211212111,1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--k k k q q b b q b b q b b ，即22112211,11k kk q q b b a q q --==-- ()()211121,1k kk k k q a b a q q q ---∴==-故有()()2211221,1n n n q a a q q ----=-()()211211q q a q a n n n --=-.而 11,n n n a ra q a q -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭故有()()()()22211221211111n nn n q a q a q q q q q q-----⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭，整理得()2221n q q -- ()()2211,n q q =-+化简得22 1.cossin 11n m m q q i n n ππ+=∴=+++(),021m Z m n ∈≤≤+. n f 的最大值唯一，∴应能求出m 的一个确定的值，对于这个m 的值，我们有()().1cos 2112121max+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n m q q q q r f n π12231122212n n n n na a a a a a a a f a a a -++⋯++<++⋯+ ()()()()()222222221223111223112n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤=++⋯++÷++++⋯++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()122311max 12231121,1,2n n n n n n n a a a a a a a a f a a a a a a a a --++⋯++≤=∴<++⋯++从而0.m ≠又 （1）和（2）是n f 取最大值的充要条件，由（1）（2）可推得()()211211kk k q a a q q --=-（3）.将cos sin 11m m q i n n ππ=+++代入（3），化简得1sin1,sin1k km n a a m n ππ+=+ 对任意1,,k n k Z ≤≤∈都有0,k a >∴应取1m =.至此，已推知()max cos.1n f n π=+32.解法1 (),a b 是直线10x y ++=上的动点，点()2,3A 到此直线上各点距离的最小值是点A 到该直线的距离231322d ++==，()()222min 2318a b d ⎡⎤∴-+-==⎣⎦.解法2 ()()()()()2222211232232322a b a b a b ⎡⎤-+-=⋅-+-≥-+-⎣⎦()()221116061822a b =++-=-=.当23a b -=-，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法3 ()()()()()()()222222211a 2b 3a 2b 311a 21b 3122⎡⎤-+-=-+-+≥-⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22112361822a b =-+-=-=.当2311a b --=，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法4 ()()()()()()()222222a 2b 3a 2b 3a 2b 3a b 5⎡⎤-+-=-+-+---=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()21a b +-+，()()()()()22222111123515(2222a b a b a b a b a b ∴-+-=+-+-+≥+-=+ ()22116)6182+-=⋅-=．当10,a b -+=即1,0a b =-=时取等号()()22,23a b ∴-+-的最小值为18.解法5 ()()()()2222210,1,23242a b b a a b a a a ++=∴=--∴-+-=-+--=+()24202118.a a +=++∴当1a =-时，()()2223a b -+-有最小值18.解法6 设()()22230,a b t -+-=>又设2cos ,3sin ,a t b t θθ-=-=则a =cos 2,sin 3,t b t θθ+=+由10,a b ++=得cos sin 60,t t θθ++=即2sin()4t πθ+60.22sin()2,262sin()626,44t t t t t t ππθθ+=-≤+≤∴-+≤++≤+ 即2t -6026,t +≤≤+解得()()2218.23t a b ≥∴-+-的最小值为18.解法7 构造向量()221,1,(2,3),cos ,x y a b x y x y x y x y θ==--⋅=⋅⋅≤⋅∴⋅2,x y ≥⋅ 即()()()()()()222222112312135a b a b a b ⎡⎤+⋅-+-≥⋅-+⋅-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()2221636,2318.a b a b =++-=∴-+-≥∴当且仅当1,0a b =-=时， ()()2223a b -+-取得最小值18.评析 因为已知10,a b ++= 所以要求()()2223a b -+-的最小值，关键就是得到()()2223a b -+-与关于a b +的式子之间的大于等于关系.解法2利用()()2222,a b a b +≥+解法3利用柯西不等式()()()22222,ab c d ac bd ++≥+解法4巧妙地利用配方法，都顺利地解决了这一关键问题.解法5则是把1b a =--代入所求式，使之变为关于a 的二次函数，再求其最小值，是函数思想的具体运用.解法6设()()2223a b t -+-=后，运用三角代换，最终转化成解关于t 的不等式，是等价转化思想在解题中的一次妙用.解法7通过构造向量，利用x y x ⋅≤⋅,y即222x y x y ⋅≥⋅ 使问题获解，充分发挥了新教材中向量这一工具在求代数最值中的作用.应当指出，许多最值问题都可以通过构造向量，利用向量的上述性质得到解决.而解法1则是将()()2223a b -+-看作定点()2,3A 与直线10x y ++=上的动点的距离的平方，故能直观地知道点()2,3到直线10x y ++=的距离的平方就是所求的最小值，简洁明了，充分显示了等价转化与数形结合思想的威力.拓展 将此赛题一般化，便得下面的定理 若x,y 满足0Ax By C ++=（A 、B 、C 是实常数，A 、B 不全为零），m ，n 是实常数，则()()22x m y n -+-的最小值是()222Am Bn C A B+++.证明 ()()()()22222x m y n x m y n ⎡⎤-+-=-+-⎢⎥⎣⎦，表示定点(),m n 与直线Ax By ++ 0C =上的动点之间的距离d 的平方.()()2222,Am Bn C d x m y n A B++=∴-+-+ 的最小值是()222Am Bn C A B +++.运用该定理解本赛题：1,2,3,A B C m n =====∴ 所求最小值是222(12131)1811⨯+⨯+=+. 下面的题目供读者练习：1.已知x ，y 满足x 2y 40+-=，求()()22x 3y 2-++的最小值. 2.已知p,q R ∈，且2p 3q 60++=，求()()22p 1q 3++-的最小值. 3.已知m,n R ∈，且3m 2n 120--=，求()()22m 2n 3++-的最小值.答案 241.52.133.131333.解法1 题设方程就是()22(3)24x y -++=，设⎩⎨⎧=+=-θθs i n 22c o s 23y x ，即⎩⎨⎧+-=+=θθs i n 22c o s 23y x ,则232(32cos )3(22sin )x y θθ-=+--+4cos 6sin 12θθ=-+ 213cos()12θψ=++(3tan 2ψ=)，13212)32(max +=-∴y x ， 13212)32(m in -=-y x .24)32()32(m in m ax =-+-∴y x y x .解法2 题设方程就是()22(3)24x y -++=，根据柯西不等式，22222[2(3)(3)(2)][2(3)][(3)(2)]13452x y x y -+-+≤+--++=⨯=，即52)1232(2≤--y x ,52123252≤--≤-∴y x ,5212325212+≤-≤-y x , 24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法3 题设方程就是()22(3)24x y -++=，结合23u x y =-， 又配方2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ，于是2)1232(413--≥⨯y x ，即5212325212+≤-≤-y x .m in m ax )32()32(y x y x -+-∴24)5212()5212(=-++=.解法4 设23u x y =-，则233uy x =-，代入94622--=+y x y x ，整理得2213(430)12810x u x u u -++-+=，R x ∈ ， 22(430)413(u u ∴∆=+-⨯⨯-1281)0u +≥，即224920u u -+≤，解之得12521252u -≤≤+. 24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法5 已知等式()22(3)24x y -++=表示一个圆，令t y x =-32，即y x 32-0=-t ，表示一直线，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离应小于等于圆的半径，即2)2(3|)2(332|22≤-+--⨯-⨯t ，即132|12|≤-t ，解得52125212+≤≤-t ，24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法6 已知方程就是()22(3)24x y -++=，构造向量)3,2(-=→a ，)2,3(+-=→y x b . |||||||cos |||||a b a b a b θ→→→→→→⋅=⋅≤⋅ ，222||||||→→→→⋅≤⋅∴b a b a ，即[]()()22222222(3)3(2)2(3)(3)(2)13452x y x y --+≤+-⋅-++=⨯=.即2(2312)52x y --≤,于是,5212-521232+≤-≤y x ，24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .评析 因为已知方程就是()22(3)24x y -++=，而要求的是一次式y x 32-的最大值与最小值的和，所以解法1运用三角换元，将问题转化为求三角函数的值域，这是解决这类问题的通法，已知方程表示椭圆时，此法仍然适用.解法2运用柯西不等式求解，之所以凑成2)]2()3()3(2[+⨯-+-⨯y x ，是因为这样才会出现y x 32-，并可利用()22(3)24x y -++=.解法3运用的是配方法，请读者思考为什么如此配方：2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ?解法4运用的是待定参数法及方程思想，也是解决这类问题的通法.解法5运用数形结合思想，将抽象的代数问题转化成直观的几何问题，轻松解决问题.解法6通过已知方程()22(3)24x y -++=联想到向量模的平方，从而通过构造向量，运用222||||||a b a b →→→→⋅≤⋅解决问题，思路清晰，体现了向量在解题中的工具作用.拓展 将此赛题一般化，便得命题1 实数y x ,满足()),0()(222>=-+-r r n y m x ，实数q p ,不全为零，则m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明 设px qy u +=，即0px qy u +-=①，又已知()222)(r n y m x =-+-②，由题意，直线①与圆②有公共点，故圆心),(n m 到直线①的距离小于等于圆的半径r ，即22||pm qn u r p q +-≤+，即22|()|u pm qn r p q -+≤+，22()r p q u pm qn ∴-+≤-+22,r p q ≤+即qn pm q p r +++-22u ≤≤qn pm q p r +++22，∴m ax )(qy px + qn pm q p r qy px +++-=++22min )()(222qn pm qn pm q p r +=++++.将命题1中的圆改为椭圆，又得命题2 实数y x ,满足),0,(1)()(2222b a b a b n y a m x ≠>=-+-，q p ,不全为零，则m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明 设θcos a m x =-，θsin b n y =-即θcos a m x +=,θsin b n y +=,qy px +∴(cos )(sin )cos sin p m a q n b pa qb pm qn θθθθ=+++=+++ 2222cos()p a q b θϕ=+-2222[,pm qn p a q b pm qn ++∈-+++]2222qn pm b q a p +++，（其中paqb=ϕtan ）. ∴m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.34.解法1 线段AB 的方程为212222---=++x y ，即4x+3y-2=0(-1≤x ≤2),由⎩⎨⎧=-++=02343y x kx y ，得k x 347+-=，令-1≤k347+-≤2，解得125≥-≤k k 或，选D.解法2 如图1所示，y=kx+3是过定点M （0，3）的直线系方程，易求得直线MA 、MB 的斜率分别是25,1-==MBMA k k ,当直线MA绕点M 逆时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由1增加到+∞；当直线MB 绕点M 顺时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由25-减小到-∞，所以125≥-≤k k 或，故选D.解法3 如图2，设直线MA 与MB 分别与x 轴交于点A ’，B ’，易求得直0），B ’（-56，线MA 、MB 的方程分别为y=x+3,y=25-x+3,从而可求得A ’（-3，0），在△MA ’B ’ 中，过M 任作一条直线y=kx+3交边A ’B ’于点N ，则直线也必与线段AB 相交，反之亦然.OM ⊥A ’B ’，|OM|=3，k=tan ∠MNO （N 在OA ’上）或k=tan （π-∠MNO ）（N 在OB ’上）两种情形，但都有ON OM k -=，所以k ON 3-=，由5633≤-≤-k ，解得125≥-≤k k 或，故选D.解法4 设直线3y k x =+与线段AB 交于点xy 图1O ABM -332 -2xy 图2O ABM-332 -2A ’B ’Ny=kx+300(,3)N x kx +,点N 内分AB 所成的比为λ,则001212231x kx λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩,消去0x ,得1025k k λ-=>+，得52k <-或1k >.又当直线3y kx =+过点A 、B 时，k 的值分别为51,2-，所以所求充要条件为125≥-≤k k 或.故选D. 解法5 当k=0时，直线y=kx+3即y=3与线段AB 显然不相交，所以排除含0的A 、B ，又当k=-1时，直线y=kx+3即y=-x+3与线段AB 也不相交，所以又排除含-1的C,故选D.评析 解法1运用的是方程思想，若运用这个思想，先求出直线MA 、MB 与x 轴的交点A ’，B ’的横坐标A x ’，B x ’,并求出直线y=kx+3与x 轴的交点N 的横坐标N x ，再解A x ’≤ N x ≤B x ’，同样可以解决问题.解法2直接通过观察图象，看直线y=kx+3与线段AB 相交时的k 与MB MA k k 、之间的关系而选D ，显得直观明了.解法3运用平面几何知识求N x ，别具一格.解法4运用定比分点知识求解,也是解此类问题的通法之一.解法5运用了特殊值法，显得最为简捷.值得注意的是，如果取k=1，发现直线y=kx+3与线段AB 相交，此时就选A 那就错了，请读者想想这是什么原因.拓展 已知直线:(,)10l f x y x y =--=,显然点A （0，1）、B （1，3）与点C （1，-1）、D （3，1）都在l 的同侧，点A 、C 与点B 、D 都在l 的异侧，∵f (0,1)=-2<0，f (1,3)=-3<0，f (1,-1)=1>0，f (3,1)=1>0∴f (0,1)与f (1,3)同号，f (1,-1)与f (3,1)同号，f (0,1)与f (1,-1)异号，f (1,3)与f (3,1)异号，是否对于任意直线l 的同侧或异侧的任意两点都有此结论呢？经研究，我们有下面的定理1 已知两点M （x 1,y 1）、N(x 2,y 2)及直线:(,)0l f x y Ax By C =++= (1) 若点M 、N 在l 的同侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0; (2) 若点M 、N 在l 的异侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.证明 （1）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 都在l 的上方，则,,2211BC x B A y B C x B A y -->--> 所以当B>0时，有0,02211>++>++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当B<0时，有0,02211<++<++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0,所以当B ≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为(,)0f x y Ax c =+=，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 都在l 的右侧，则ACx A C x ->->21,，所以当A>0时，0,021>+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0.综上可知，当点M 、N 在l 的同侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0. （2）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 分别在l 的上、下方，则1122,A C A Cy x y x B B B B>--<--，故当B>0时，有11220,0Ax By C Ax By C ++>++<, 即f （x 1,y 1）>0， f (x 2,y 2)<0; 当B<0时，有0,02211>++<++C By Ax C By Ax , 即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；所以当B ≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为f(x,y)=Ax+c=0，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 分别在l 的左、右侧，则ACx A C x ->-<21,.所以当A>0时，0,021>+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.综上可知，当点M 、N 在l 的异侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0. 根据定理1，不难得到定理2 直线Ax+By+C=0与以点P 1（x 1,y 1）、P 2 (x 2,y 2)为端点的线段相交的充要条件是0))((2211≤++++C By Ax C By Ax .运用定理2，可得本赛题的如下解法：直线y=kx+3即kx-y+3=0，由定理2，可知（-k-2+3）（2k+2+3）≤0，即125≥-≤k k 或为所求的充要条件，故选D.35.解法 1 记过点()1,1P 的动直线为l ,()O Q ,1,0为坐标原点(如图),则当直线l 从OP 的位置绕点P 顺时针转动到直线PQ 的位置时,它和坐标轴在第二象限内围成的三角形的面积从零增加到∞+,故围成的三角形在第二象限时,满足条件的直线l 有且只有一条,同理,围成的三角形在第四象限时,满足条件的直线l 也有且只有一条,并且,满足条件的三角形在第三象限不存在.当围成的三角形在第一象限时,显然l 存在斜率k ,设l 的方程为l k x k y ),0(),1(1<-=-与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，则1(1,0),(0,1).A B k k --111(1)(1)22S OA OB k k∴=⋅=-- ()()∴≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=,21211k k 当1-=k 时,S 的最小值为2,故当围成的三角形在第一象限时,满足题设的直线也只有一条.综上,所求的直线为3条. 下面的解法中,对“围成的三角形在第二、四象限时,满足题设的直线l 都只有一条,且满足题设的三角形在第三象限不存在”不再一一叙述,仅对围成的三角形在第一象限时加以解答.解法 2 设直线l 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点),0,0(),,0(),0,(>>b a b B a A 则直线l 的方程为.1=+b y a x 直线l 过点.111),1,1(=+∴b a P 故设θθ22s i n 1,c o s 1==b a (其中20πθ<<),则θθ22sin 1,cos 1==b a ,故θθθθ2222cos sin 42cos sin 2121===ab S 2122sin 22=≥=θ (当4πθ=时取等号),即2m in =S .故所求的直线共有3条. 解法3 同解法2,得4,2111,111≥∴≥+=∴=+ab abb a b a ,(当且仅当2111==b a ,即 2==b a 时取等号), 114222S ab ∴=≥⨯=,即2m in =S .故所求的直线共有3条.解法 4 设直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点),0(),0,(b B a A ,点)1,1(P 分AB所成的比为λ,则110,11a b λλλλ⎧=⎪⎪+>⎨⎪=⎪+⎩,即)0(111>⎪⎩⎪⎨⎧+=+=a b a λλ.故xO 1 AP1 y B Q211)1(211)11)(1(212121=+≥++=++==⋅=λλλλab OB OA S 1.=λ时，.2m in =S 故所求直线共有3条. 评析 上述解法都是用运动变化的观点与数形结合的思想方法分析答案的可能性.围成的三角形在第二、四象限时,l 只有一条,围成的三角形在第三象限不可能,这些是容易看到的,关键是围成的三角形在第一象限时，满足题设的直线l 有几条.直观地看,可能性有三个:0条,1条,2条.那么到底有多少条?四种解法分别用不同的方法求出了三角形面积的最小值为2,故此时的l 只有一条,从而解决了问题.此题也可直接求解:不论围成的三角形在第几象限, l 的斜率总是存在的.设l 的方程为)1(1-=-x k y .则l与x轴,y轴的交点分别为)1,0(),0,11(k B kA --.故k k kk k k S 4)1(,2)1(211112122=-=-=-⋅-=①.当0>k 时,①就是016,4)1(22=+-=-k k k k ,有两个不等的正数解；当0<k 时,①就是,4)1(2k k -=-1,0)1(2-==+k k .故所求直线为3条.拓展 将此题内容拓广,可得定理 1 动直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P ,则直线和坐标轴在点P 所在象限内围成三角形的面积的最小值是.2mn证明 设直线l 与x 轴,y 轴分别交于点OAB b B a A ∆ ),,0(),0,(在点),(n m P 所在象限,0,0>>∴bn am ,直线l 的方程为.1=+bya x 直线l 过点ab mn b n a m b n a m n m P 21,1),,(≥+=∴=+∴,即mn ab 4≥,当且仅当n b m a 2,2==时取等号..221mn ab S OAB ≥=∴∆ 定理2 直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P 且和坐标轴围成的三角形的面积为S ,则 ⑴当mn S 20<<时,满足条件的直线l 有且仅有两条. ⑵当mn S 2=时,满足条件的直线l 有且仅有三条. ⑶当mn S 2>时,满足条件的直线l 有且仅有四条.根据定理1的结论及图象不难知道定理2的正确性.证明从略. 题意可知求36.解 设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 、y .则根据函数23z x y =+的最大值，限制条件为80,2480,260,770,0,0.x y x y x x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪+≤⎪≥≥⎪⎩如图，上述不等式组约束区域即图中的阴影部分.区域的顶点坐标为M （0，20），N （10，0），R ⎪⎭⎫⎝⎛13210,13100，O （0，0）,直线k y x =+32的斜率x+y =807x+y =70X=302x+3y =k2x+4y =80yxOMRN321-=k .直线8042=+y x 的斜率212-=k .由图可知，y x 32+在点R 处取得最大值，最大值为13830132103131002=⨯+⨯（百万元）. 故填13830;13100. 评析 可用若干不等式表示的限制条件下某二元一次函数的最大（小）值的应用题，通常可用线性规划知识求解，其步骤如下：1、设变量（如y x ,），建立目标函数()y x f z ,=（如y x z 32+=）.2、根据约束条件列出不等式组.3、画出不等式组表示的平面区域.4、作出直线()0,=y x f ，并将其向上或向下平移确定最优解.5、将最优解代入()y x f z ,=便得所求最值. 37.解法1 圆222ry x =+的圆心是O()0,0，它到直线200ry y x x =+的距离220222020000y x r y x r y x d +=+-⋅+⋅=， 点M ()00,y x 在圆222ry x =+的内部且不在圆心，∴r d r y x >∴<+<,02020.可知直线200r y y x x =+与圆222r y x =+相离.故选C.解法2 令1,200===y x r ，满足题设.此时，直线4=+y x 与圆422=+y x 相离.由正确选择支的唯一性，选C.评析 解析几何中，判断直线与圆的位置关系就看圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系： ⇔>r d 直线与圆相离； ⇔=r d 直线与圆相切；⇔<r d 直线与圆相交.对于二次曲线()0,:=y x f C 与点M ()00,y x 的位置关系，有下面的结论： 点M 在曲线C 上()0,00=⇔y x f ； 点M 在曲线C 内()0,00<⇔y x f ； 点M 在曲线C 外()0,00>⇔y x f .所谓二次曲线内是指曲线把平面分成的两（或三）部分中含有焦点（或圆心）的部分. 以上这些就是解法1的依据.由于是选择题，解法2运用特殊化思想求解，显得更简捷.应当指出，特殊值法（包括适当选取特殊点、特殊角、特殊函数、特殊曲线、特殊位置等）通常应是解选择题时首先考虑的方法，一旦用上，简单快捷，可以大量节省时间.此题来源于课本上的一道习题：“已知圆的方程是222r y x =+，求经过圆上一点M ()00,y x 的切线方程.”答案是200r y y x x =+.拓展 给定圆C ：222r y x =+与定点M ()00,y x ，（02020≠+y x ），则直线200:r y y x x l =+就是存在且确定的，它与定圆到底是什么样的位置关系呢？经研究，有下面的结论.结论1 若点,C M ∈则l 与C 切于点M.（这是显然的，证明略）结论2 若点M 在圆外，过点M 引圆C 的两条切线1MT 与2MT ，则200r y y x x =+为过两切点的直线方程，因而l 与C 相交.证明 设()111,y x T 和()222,y x T 是两个切点，由结论1，直线1MT 与2MT 的方程分别是211r y y x x =+与222r y y x x =+.因为它们相交于点M ()00,y x ，于是20101r y y x x =+与20202r y y x x =+同时成立.于是得200r y y x x =+表示直线21T T 的方程.l 与C 显然相交.结论3 若点M 在圆C 内且不是圆心，以M 为中点的圆的弦为AB ，过A 、B 的两条切线相交于点N ，则200r y y x x =+表示过点N 且平行于AB 的直线方程，因而l 与C 相离.证明 令N ()n m ,，由结论2，直线AB 的方程一定是2r ny mx =+.因为M 是AB 的中点，所以200r ny mx =+，这说明点N 在直线200:r y y x x l =+上.下面证明AB ∥l .①当000≠y x 时，由于O 、M 、N 三点共线，可知0≠mn ，过M 、N 引同一坐标轴的垂线，由点的坐标定义及直角三角形的相似关系，易知22001r r y n x m --=≠=，故AB ∥l .②当000=y x 时，由于02020≠+y x ，则有0,00==m x 或0,00==n y .无论哪种情况，两直线都同时垂直于同一坐标轴，并且在该坐标轴上截距不等.故AB ∥l .此时l 与C 显然相离.38.解 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+-++0176601622222y x y x y x y x ，得⎩⎨⎧==32y x ，故两圆相切于点（2，3），所以所求直线方程是()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数.评析 先通过解方程组求出两圆的交点坐标，如果交点有两个：()()2211,,,y x y x ，则所求直线方程为()()()()112112x x y y y y x x --=--.但此题中的两圆只有一个交点()3,2，过点()3,2的所有直线该如何表达呢？有人表述为()23-=-x k y （k 为参数），这就错了，因为方程()23-=-x k y 表示的所有直线中并不包括直线2=x （即过点()3,2且垂直于x 轴，亦即过点()3,2且斜率不存在的那一条）.而()()032=-+-y x μλ（μλ,为参数）才能表示过点()3,2的所有直线.当0≠λ且0=μ时，该直线方程就是2=x .一般地，过点()00,y x 的所有直线组成的直线系方程为()()000=-+-y y x x μλ（其中μλ,为参数）.拓展 我们先看下面的问题：求过两圆074422=+--+y x y x 与03661222=+--+y x y x 的交点的直线方程.分析：按上面评析中的思路，先解方程组得两交点坐标，再求出过这两点的直线方程为02928=-+y x . 如果将两圆方程相减，也得02928=-+y x ，恰好就是过两圆交点的直线方程.这是否是一种巧合呢？非也.设两圆交于A 、B 两点，则A 、B 的坐标既是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+02928074422y x y x y x 的 解，也是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+0292803661222y x y x y x 的解，即A 、B 的坐标都适合方程02928=-+y x ，故02928=-+y x 就是直线AB 的方程.那么，当两圆外切时，两圆方程相减所得方程又表示什么样的直线呢？就拿此赛题为例，016222=+-++y x y x 与0176622=+--+y x y x 两边相减，得2=x .由图形，可知直线2=x 恰好是过两圆切点的公切线.这也不是偶然的，道理与两圆相交时一样.当两圆内切时，此结论也成立.于是，我们有下面的 定理 已知两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ,则⑴当两圆相切时，过切点的公切线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D ； ⑵当两圆相交时，公共弦所在的直线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D . 39.解法1 已知方程就是()()42122=-+-y x ，()202---=+x y x y ，所以题意就是求圆()()42122=-+-y x 上的点()y x ,与定点A ()0,2-的连线的斜率的取值范围.如图,，只须求切线AN 的斜率k .易知20.1(AM k -==--tAN k NAx ∴=∠()2222123tan 2.41519AM AMk MAx k ⋅=∠===-- 120,.25y x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦注：切线AN 的斜率k 的另一种求法：设AN 的方程是(),20+=-x k y 即02=+-k y kx ，则圆心M 到切线AN 的距离等于圆M 的半径,即212212=++-⋅k kk ，解得0=k （舍去），512=k . 解法 2 已知方程就是()()42122=-+-y x ，故设,s i n 22,c o s 21θθ=-=-y x 即,sin 22,cos 21θθ+=+=y x 则.cos 23sin 222θθ++=+x y 令k =++θθcos 23sin 22，得,23c o s 2s i n 2-=-k k θθ即()()223244sin 32,sin .44k k k k θϕθϕ-++=-+=+ ()232sin 1,1,44k k θϕ-+≤∴≤+ 解得,5120≤≤k 即.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 解法3 设k x y=+2，则,2k kx y +=代入014222=+--+y x y x 并整理，得x1-2OA NMy()().018424412222=+-+--++k k x k kx k 由()22442k k ∆=--()()22414810,k k k -+-+≥得1205k ≤≤.由,014222=+--+y x y x 即()()42122=-+-y x 可知,212≤-≤-x 即.31≤≤-x 经验证，当5120≤≤k 时，(1)0,(f f -≥≥且对称轴()[]224421,3.21k k x k --=-∈-+故.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 评析 解法1将2+x y 看作()20---x y ，进而看作圆()()42122=-+-y x 上的动点()y x ,与定点()0,2-的连线的斜率，将问题转化为求此斜率的范围；解法2 通过换元，将问题转化为求三角函数的值域；解法3 通过整体换元并消去y 后，利用二次方程在某区间内有解的条件求出所求范围.都体现了化归转换的思想.由于椭圆()012222>>=+b a by a x 有性质22b a y x +≤+（请读者自证），故本赛题又有如下解法：设t x y =+2，则02=+-t y tx .已知方程就是()()12122=-+-y x ，则()()1424222=-+-y t t tx ，由上面的性质，得4422+≤+--t y t tx ，即44322+≤-t t ，解得120,5t ≤≤∴.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 拓展 让我们进一步思考下面的问题：1、若将题中的条件方程改为()(),1429122=-+-y x 则答案是什么？2、若将题中的条件方程改为()(),42122=---y x 则答案是什么？与本赛题同样的思考方法，不难得到上面两题的答案分别是[).,,0R +∞若将原题中的2+x y 改为y x 2+或632+x y ，结果又怎样？事实上，用同样的方法还可以求()0≠++ac bax dcx 的取值范围.解法1 ()∴=-+,1122y x 可设.sin 1,cos θθ=-=y x 于是0≥++c y x 化为01sin cos ≥+++c θθ，即,14sin 2--≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+c πθ1sin .42c πθ--⎛⎫∴+≥⎪⎝⎭ 1sin 14πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ .∴由题意得121-≤--c ，解得12-≥c ，故选C.解法2 图1、图2、图3依次表示0≥++c y x ，()1122=-+y x ，及1-c y -c-c l2 0y xM 1 2 0y xM 1 x+y+c ≥0图 1 图 2 图3()⎩⎨⎧=-+≥++11022y x c y x 的图象.在图3中，直线0:=++c y x l 过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，切圆M 于N ，这时圆M 上所有的点（N 点除外）都在l 的上方，因而圆M 上N 点以外的点的坐标()y x ,都使0>++c y x 成立，而N 点坐标使0=++c y x 成立，结合题意，易求得此时的12,21-=-=-c c ，故当21-≤-c ，即12-≥c 时，圆M 都在l 的上方（含相切），因而圆M 上的点的坐标()y x ,可使不等式0≥++c y x 成立，故选C.解法3 21,23=-=y x 满足()1122=-+y x ，此时，若0=c ，则0≥++c y x 不成立，故排除含0的A 、D ；若1=c ，则0≥++c y x 成立，又排除不含1的B ，故选C.评析 从代数角度看，0≥++c y x ，即()y x c +-≥恒成立，有()[]m ax y x c +-≥，因此问题的关键就是如何求()[]m ax y x +-.由于()y x ,满足()1122=-+y x ，故解法1运用三角代换将问题转化成求三角函数的最大值问题，通过三角函数的有界性使问题获解.从几何角度看，原问题的实质就是c 在什么范围内时，才能保证圆()1122=-+y x 在直线0=++c y x 的上方（相离或相切）.解法2便是运用数形结合思想，直观地解决问题的.由于是选择题，解法3运用特殊值排除干扰支，从而选出正确答案，这种抓住题目本质特征，避开常规思路的创新解法更值得提倡.拓展 按照上面所说的思想方法，请读者思考并解决下列问题：⒈ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0178222≥+++-+c y x y x 成立，求c 的取值范围.（答案：22627c ≥-）⒉ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式2222120x y x y c +-++->成立，求c 的取值范围.（答案：552c <-）--c 0x N。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
希望杯竞赛数学试题详解(31-40题)
yz 2z
2 的最大值为
2 ，即 cos .
2
4
我们不妨猜想：
命题
若 ak
0 k 1,2,
,n 2 , 则 fn
a1a2 a2a3 a12 a2 2
证明 取正参数 1, 2 , , n ,有
an 1 an 的最大值是
a
2 n
cos n
. 1
a1 a2 a 2a 3
an 1an
1
1a1
a2
1
1
2 a2
sin 1
B1
于是 u
xy yz x2 y2 z2
xy yz x y y z
d2
sin sin d d dd
sin sin
C
A1
D1
C1
sin 2
1 sin 2
sin 2
1 sin 2
2
2
2
2
sin2 sin 2 sin 2 2
2 . 当且仅当 sin
2
sin sin , 即
2
2
2
xz
y 时， u max
题 31 已知 x、 y、 z R ，求函数 u x, y, z
xy yz 的最大值 . x2 y 2 z2
2
2
题 32 已知 a, b R ，且 a b 1 0 ，则 a 2 b 3 的最小值是
（第九届高二培训题第 61 题） .
题 33
实数 x ， y 满足方程 x2
（第十届高二培训题第 44 题）
.
2
2
解法 8 由 u
x2
xy y2
yz z2
,
得
uy 2
x z y u x2 z2
希望杯竞赛数学试题详解(41-50题)
题41 E 、F 是椭圆22x y142+=的左、右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈，则EPF∠的最大值是（ ）A 、15°B 、30°C 、45°D 、60°（第十三届高二培训题第21题）解法1 不妨设l 是右准线，点P 在x 轴上方（如图所示），则l 的方程为2a x 22c==，故可设点P 为()()22,0yy >，记EPF θ∠=，由PE 到PF 的角为θ，得tan 1PF PEPF PEk k k k θ-=+ .又知,2222PFy y k ==-22232PE y yk ==+，代入上式并化简，得222tan 6yy θ=+.由假设知0y >，所以tan 0,0,2πθθ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭.由基本不等式得223tan 326y y θ≤=，所以θ的最大值为30°，当6P y =时取得最大值.故选B.解法2 如上图，设,EPD FPD αβ∠=∠=，则(),tan tan θαβθαβ=-=-=222222tan tan 222222361tan tan 322222262612y y y y y y y yαβαβ+---==≤==++-++,因为0,,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以θ的最大值为30°.故选B.解法3 由EPF ∆面积的两种表示方法，即11sin 22s EF y EP FP θ== ，得sin θ= ()()224222222222236203622222220EF y cyy EP FPy y y y y y===+++++-++222222124236220y y≤==+ ，因为θ为锐角，所以θ的最大值为30°.故选B.θxyDPFEO lPyxlFoEC A图1解法4 依题意，经过E 、F 且与椭圆的准线l 相切于点P 的圆，使EPF ∠最大.如图1，不妨设l 是右准线，点P 在x 轴上方，则准线方程为222a x c==，易得圆心C 的坐标为()0,6，因此点P ()22,6使EPF ∠最大.又PE 、PF 的斜率分别为33、3，设准线l x ⊥轴于点A ，则30,60PEA PFA ∠=∠= ，此时30EPF ∠=.故选B.评析 一般说来，要求某个角的最值，常常先求出此角的某一三角函数的最值.然后根据角所在范围内此三角函数的单调性确定角的最值.解法1运用到角公式与基本不等式求出了EPF ∠正切的最大值，又利用θ为锐角时tan θ单调增，求出了EPF ∠的最大值.解法2将θ表示成两角差，并利用基本不等式求出了tan θ的最大值，进而求出θ的最大值.而解法3利用同一三角形面积的两种不同表示方法,求出了sin θ的最大值,再由sin θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调增,求出了θ的最大值.此法颇有新意.解法4则利用平几中“同弧所对的圆周角总大于圆外角”巧妙地解决问题.我们知道，平面解析几何研究的就是平面几何问题，只不过所用研究方法是代数方法，即解析法而已.解法4告诉我们，若能直接运用平几中的结论解决解析几何问题，常可收到化繁为简的效果.拓展 经研究，我们还可得到下面的定理 若点P 在过椭圆22221x y a b+=的长轴的一个端点的切线l 上移动，则当点P 到长轴的距离等于半短轴长时，点P 与两焦点连线的夹角θ取得最大值arcsin e .证明 如图2，不妨设0,a b l >>的方程为x a =，则以椭圆的上顶点Q 为圆心，且过焦点E 、F 的圆必与l 相切（设切点为P ˊ）（因为QF QP a ='=）根据同圆Q 的弦EF 所对的圆周角总大于圆外角，可知EP F ∠'就是最大的θ，此时(),P a b '，又()(),0,,0,,P bE CF C k a c'E -=+222222.tan ,121P FP E P F P F P Eb bk k bbc bc ca c a c k EP Fb b ac k k a c b b b a c a c'''''---+=∠'=====-+-++-+ 22sin ,arcsin c cEP F e EP F e ab c ∠'===∴∠'=+.原命题得证. 练习1． 在直线20x y --=上求一点P ，使它与点()()1,1,1,1A B -连线的夹角APB ∠最大.2． 足球比赛场地宽为m 米，球门宽为n 米，在足球比赛中，甲方边锋带球过人沿边线直进，试问该x图2ylP ’ oQAEF边锋在距乙方底线多远处起脚射门，能使命中角最大？最大角是多少？ 答案 ()2211.1,1,45 2.2P APB m n -∠=-米,arcsin n m题42 椭圆()012222>>=+b a by a x 的两焦点是1F 、2F ，M 为椭圆上与1F 、2F 不共线的任意一点，I为21F MF ∆的内心，延长MI 交线段1F 2F 于点N ，则IN MI :的值等于 ( ) A 、b a B 、c a C 、c b D 、ac（第十三届高二培训题第19题）解法1 如图1，设点M 的坐标为()y x ,，21F MF ∆的内切圆半径为r ，y c y F F S F MF =⋅=∆212121,又 ()()121212112222MF F S MF MF F F r a c r ∆=++=+()a c r =+.()r c a y c +=∴，c ca r y +=，ca r r y =-，caIM MI =∴:.故选B. 解法2 如图2，不妨令M 为椭圆与y 轴的正半轴的交点.由已知，I 必在线段MO 上，且N 与O 重合.I 为21F MF ∆的内心，caOF MF IO MIIN MI ===∴22.故选B.评析 按常规，可设()()0,≠y y x M ,然后求出21MF F ∠与21F MF ∠（或12F MF ∠）的平分线的方程，解方程组求出点I 的坐标，令21MF F ∠平分线的方程中的0=y ，得点N 的坐标，再求出MI 与IN .求比值时如何消去x ，y 还不得而知，其复杂程度也是完全可以想象的.作为一个选择题，轻易地这样去解显然是不可取的.解法1灵活运用平面几何等知识巧妙地解决了问题.解法2更是抓住了选择题的本质特征，运用特殊化思想，轻而易举地解决了问题.由题意，不论点M 在椭圆上的何种位置（只要与1F 、2F 不共线即可），:MI IN 的值总是定值，即结论对一般情形成立，故对其中的特殊情形M 为椭圆与正半y 轴的交点时也应当成立，从而排除特殊情形下不成立的选择支，进而得出正确答案.充分显示了运用特殊化思想解某些选择题的优越性.拓展 对此题作研究，可得下面的定理 1 设 1F 、2F 是椭圆:C ()012222>>=+b a by a x 的左，右焦点，点P 在此椭圆上，且点P 、1F 、xMy IF 1O NF 2图2图1xM yIF 1O NF 22F 不共线，椭圆的离心率为e ，则（1）21F PF ∆的内心内分21PF F ∠的平分线PM 所成的比是定值e1. （2）21F PF ∆的与边()21PF PF 相切的旁切圆的圆心横坐标为定值()a a -；21F PF ∆的与边21F F 相切的旁切圆的圆心外分21PF F ∠的平分线PQ 的比为定值e1-. （3）由焦点向21F PF ∆的21PF F ∠的外角平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，a 为半径的圆上.证明 （1）如图3，设I 为21F PF ∆的内心，连接I F 1、I F 2，则在PM F 1∆及PM F 2∆中由角平分线定理得MF P F MF P F IM PI 2211==，所以ec a MF M F P F P F IMPI 1222121==++=. （2）如图4，设旁切圆圆心为()00,y x I ，M 、N 、R 为切点，则PM PN =，R F M F 11=，22020F R F N c x F P PM c x =⇒-=+⇒-121212F M F P PM F M PF PF a +=++=+=012c x F R a ⇒-+=002c x c x a ⇒---=0x a ⇒=-为定值.同样的方法可以证明与21F PF ∆的边2PF 相切的旁切圆的圆心横坐标为定值a .如图5，设PQ 交21F F 与R .由外角平分线定理得RF PF RF PF QR PQ 2211==,由合比定理得e c a R F R F PF PF QR PQ1222121==++=，eQR PQ 1-=∴. （3）如图6，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，A 为图3xP yIF 1O M F 2 图4 xP yI .R F 1O F 2 NM图5xPyRF 1OF 2QxBy OA PF 1F 2垂足，延长A F 2交P F 1的延长线于B ，则PB PF =2，AB A F =2.由椭圆定义可知a PF PF 221=+，故PB PF B F +=11a PF PF 221=+=.又21OF O F =，∴OA ∥B F 1且112OA F B =，所以a OA =.∴垂足A 在以O 点为圆心，a 为半径的圆上.若将定理1中的椭圆该为双曲线，又得定理2 设1F 、2F 是双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的两个焦点，点P 在此双曲线上，且点P 、1F 、2F 不共线，双曲线的离心率为e ，则（1） 21F PF ∆的内心横坐标是定值，且当点P 在左支上时，定值为a -；当点在右支上时，定值为a . （2） 21F PF ∆的与边1PF （或与边2PF ）相切的旁切圆的圆心分21PF F ∠的外角平分线PM 的比为定值e1；21F PF ∆的与边21F F 相切的旁切圆的圆心横坐标为常数（当点P 在右支上时常数为a -；当点P 在左支上时，常数为a ）.（3） 由焦点向21F PF ∆的21PF F ∠的平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，a 为半径的圆上. 读者可仿照定理1的证明，证明定理2.题43 过椭圆左焦点F 作直线交椭圆于B A 、两点，若3:2:=BF AF ，且直线与长轴的夹角为4π，则椭圆的离心率为 （ ）A 、51B 、52C 、53 D 、52 （第十一届高二第一试第8题）解法1由''AF BF e AABB==及23AF BF =：：，得23.AA BB =‘’：：如图1，过A 作B B AM '⊥于M,则154522BM AA AB AF MBA ︒==∠=’，，.22BM AB ∴=.由 122522AA AF '=，得'25AF e AA ==.故选B.xy 图1OF A MBA ’B ’y 图2xO F AB解法2 设椭圆222210x y a b a b +=>>（），1122,,(,),A x y B x y AF a =（）则,1ex + )(,122x x e AF BF ex a BF -=-+=①，又32：：=BF AF ②，由①、②得 =BF 21213(),2(),e x x AF e x x -=- 215()AB AF BF e x x =+=-③．又AB与长轴夹角为4π，所以2121212121211,,2()2()AB y y k y y x x AB y y x x x x -==-=-=-=--④ .由③、④得)(2)(51212x x x x e -=-, 52=∴e .故选B.评析 解法1是运用椭圆第二定义求离心率e 的,AA BM '与及BM 与AB 的关系沟通了A A '与AF 的关系,也是用此法解题的关键所在．解法2则先设出椭圆方程及A 、B 的坐标，运用焦半径公式带出e ，由)(12x x e AF BF -=-及32：：=BF AF 解出AF 与BF ,由AB 与长轴夹角为︒45得1212x x y y -=-,又由弦长公式求出AB ，同为AB ，得)(2)(51212x x x x e -=-，从而52=e ，是典型的运用方程思想解题的实例．拓展 以此题为背景，对于椭圆、双曲线、抛物线有以下一般结论．命题1 如图3，过椭圆12222=+by a x 的焦点F 作直线交椭圆于B A 、两点，若n BF m AF ==,，直线与长轴的夹角为θ，椭圆的离心率为e,则有)(cos n m e nm +-=θ．证明 设直线过椭圆的左焦点，过B A 、作相应准线l 的垂线B B A A ''和，B A ''和为垂足．过A 作B B '的垂线与B B '的延长线交于点C ，则θ=∠ABC ．由椭圆定义，可知A A AF ':=:.BF BB e '=,m n AA BB e e''∴==．于是e nm B B A A BC -='-'=．在ABC Rt ∆中， xy 图3O FBCAA ’B ’lcos cos ()m nABC e m n θ-∠==+．当直线过右焦点时，证法与上相同．又由于θ为直线与长轴的夹角，)(cos .0cos n m e nm +-=≥∴θθ故．命题2 如图4，过双曲线12222=-by a x 的焦点F 作直线与双曲线中的一支交于B A 、两点，若n BF m AF ==,，且直线与实轴的夹角为θ，双曲线的离心率为e,则有cos ()m ne m n θ-=+．命题3 如图5，过双曲线12222=-by a x 的焦点F 作直线与双曲线的两支分别交于B A 、两点，若n BF m AF ==,，且直线与实轴的夹角 为θ，双曲线的离心率为e, 则有cos ()m ne m n θ+=-．命题4 如图6，过抛物线px y 22=的焦点F 作直线与抛物线交于B A 、两点，若AF =n BF m =,，且直线与抛物线的对称轴的夹角为θ，则有cos m nm nθ-=+． 命题2、3、4的证明与命题1的证明类似，留给读者完成． 对于焦点在y 轴上的圆锥曲线与过焦点的直线交于两点，弦被焦点分成的两段n m 、与圆锥曲线的离心率e 及直线和y 轴的夹角θ之间仍有上述关系成立．运用上述命题可得本题如下解答：令2312,3(0),cos ()(23)5m n t t AF m t BF n t t e m n e t t eθ--====>===++，e51,4∴=πθ 52,22==e ． 请读者完成下面两题：1．过抛物线x y 32=的焦点F 的直线与抛物线相交于B A 、两点．AF ：BF =3：1．求该直线的方xy图4OF BA xy图5 O FBAxy图6O FBA程．（答案：)43(3-±=x y ）2．过双曲线1322=-y x 的左焦点1F 作倾斜角为︒30的直线与双曲线交于B A 、两点，求11:BF AF 的值．（答案：32-）题44 如果点A 的坐标为(1,1)，1F 是椭圆459522=+y x 的左焦点，点P 是椭圆上的动点，则1PF PA +的最小值为_________________.（第十一届高二培训题第66题）解 己知椭圆方程可化为15922=+y x ，其半长轴长3=a ，由椭圆定义，可得2121216,26AF PF PA AF PA PF PF PF a -≥+∴++≤+==， 右焦点2F 的坐标为26)(,211),0,2(m in 12-=+∴=+=∴PF PA AF ，（此时2,,P A F 共线，且A 在2,F P 之间）.评析 此题运用了椭圆定义及11AF PF PA ≥+，体现了二次曲线的定义在解题中的作用. 如果将此题改为求1PF PA +的最大值，又如何解答呢？设)0(1>=+t t PF PA ，则21222()6662,t PA PF PF PF PA PF AF =-++=-+≤+=+1max ()62PA PF ∴+=+（此时P 、2F 、A 共线且2F 在P 、A 之间）.拓展 此题可作如下推广：推广1 如果A 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>内的定点，则2m in 12m ax 12)(,2)(AF a PF PA AF a PF PA -=++=+.证明 由椭圆定义，得212PF a PF -=，则122()PA PF a PA PF +=+-22a AF ≤+，又2212)(2AF a PA PF a PF PA -≥--=+，故当P 在2AF 的延长线上时，2m ax 12)(AF a PF PA +=+；当P 在A F 2的延长线上时，2m in 12)(AF a PF PA -=+（如图1）.说明：如果点A 在椭圆上，推广1仍成立. 推广2 如果A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外的定点，21,F F 是两个焦点，P是椭圆上的动点，则1m in 12m ax 1)(,2)(AF PF PA AF a PF PA =++=+.F 1AF 2 P Pxy O证明 由椭圆定义，得212PF a PF -=，于是2212)(2AF a PF PA a PF PA +≤-+=+，故当P 在2AF 的延长线上时，2m a x 12)(AF a PF PA +=+;当P 在线段1AF 上时，1m i n 1)(AF PF PA =+（如图2）.推广3 如果A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内的定点，21,F F 是两个焦点，P是椭圆上的动点，则0,min 11m ax 1=-=-PF PA AF PF PA .证明 ∴≤-,11AF PF PA 当1,,F A P 三点共线时，1max1AF PF PA =-;当P 在线段1AF 的中垂线上，即1PF PA =时，0min1=-PF PA （如图3）.说明：如果点A 在椭圆上，推广3仍成立.推广4 如果A 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外的定点，21,F F 是两个焦点，P 是椭圆上的动点，则,min11max1=-=-PF PA AF PF PA （当线段1AF 的中点在椭圆内或椭圆上时）.证明 ∴≤-,11AF PF PA 当P 在1AF 的延长线上时，;1max1AF PF PA =-当P 在线段1AF 的中垂线上（当线段1AF 的中点在椭圆内或椭圆上），即1PF PA =时，1m i n 0P A P F -=（如图4）.以此题为背景，通过猜想与探索，还能得到下面关于圆锥曲线的一些一般结论： 命题1 如图5，若M 为椭圆内一定点，直线M F 1与椭圆交于Q P ,两点，则Q P ,分别为椭圆上到M 及2F 的距离之和的最小和最大的点.证明 设K为椭圆上任意一点，11KF MF KM -≤ 11,KF F M ≤+F 1 AF 2PP图2xyOF 1AF 2P 图3xyOPP PF 1AF 2图4xy OPPPF 1F 2P xyOMQ11212a MF KF KF MF ∴-=+-2KM KF ≤+12112KF KF F M a F M ≤++=+，以上两不等式左端取等号的条件为点M 在线段1KF 上，右端取等号的条件为点1F 在线段KM 上，即Q P ,分别为椭圆上到M 及2F 距离之和的最小和最大点.命题2 如图6，若M 为椭圆外一定点，直线M F 1与椭圆交于Q P ,两点，则有（1）点)(Q P 为椭圆上到1F 及M 距离之差（和）最大（小）点.（2）点)(Q P 为椭圆上到M 及1F 距离之和（差）最小（大）点.证明 （1）设K 为椭圆上任意一点，MF a M F KF KF KM KF M F KF KM KF MF 1121211112,+=++≤+∴+≤≤- ①，M F a MF KF KF KM KF 111222-=-+≤-②，不等式①取等号的条件为点1F 在线段KM 上，不等式②取等号的条件为点K 在线段1MF 上，故点)(Q P 为椭圆上到2F 及M 距离之差（和）最大点.对于（2），同理可证.命题3 如图7，若M 为双曲线右支内一定点，直线1MF 与双曲线分别交于Q P ,两点，则有（1）点)(Q P 为双曲线右（左）支上到)(12F F 及M 距离之和最小的点；（2）点)(P Q 为双曲线左（右）支上到)(12F F 及M 距离之和最小的点. 证明 （1）设K 为双曲线右支上任意一点， 图7,2,1211211a M F KF KF M F KM KF KF M F KM -=+-≥+∴-≥ 当K 在线段M F 1上时取等号，故P 为双曲线右支上到2F 及M 距离之和最小的点，对于点Q ，命题显然成立.(2)设K 为双曲线左支上任意一点，由（1）易得,212a M F KF KM +≥+，当且仅当K 在线段M F 1上时取等号，故Q 为双曲线左支上到2F 及M 距离之和最小点，对于点P ，命题显然成立.命题4 如图8，若M 为双曲线外一定点，直线1MF 与双曲线左、右支分别交于P Q ,两点，则F 1F 2P图6xyOMQ（1）点)(Q P 为双曲线右（左）支上到)(12F F 及M 距离之差（和）最大（小）的点； （2）点)(P Q 为双曲线左（右）支上到)(12F F 及M 距离之和（差）最小（大）的点. 证明 （1）设K 为双曲线右支上任意一点，11,KM KF MF ≥-221112,KF KM KF KF MF MF a ∴-≤-+=-当且仅当点M 在线段1KF 上时取等号，即P 为双曲线右支上到2F 及M 距离之差最大的点，对于点Q ，命题显然成立.（2）设K 为双曲线左支上任意一点，,11KF MF KM -≥,211212a MF KF KF MF KM KF +=-+≥+∴当且仅当K 在线段1MF 上时取等号，即Q 为双曲线左支上到2F 及M 距离之和最小的点，对于点P ，命题显然成立.命题5 如图9，若M 为抛物线内一定点，过M 作抛物线准线l 的垂线交抛物线于点P ，则点P 为抛物线上与M 及F 距离之和最小的点.命题6 如图10，若M 为抛物线外一定点，过M 作抛物线准线l 的垂线交抛物线于点P ，则点P 为抛物线上与F 及M 距离之差最大的点.命题5、6留给读者自己证明.运用这些命题，可以很容易地解决下列问题：1、如果点A 的坐标为（2，2），2F 是椭圆459522=+y x 的右焦点，点P 是椭圆上的动点，则2PF PA -的最大值为____，PA PF +2的最大值为____.2、如果点A 的坐标为(3,1)，21,F F 分别是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，点P Q ,分别为双曲线左、右支上的动点，则2PF PA +的最小值为____，2QA QF +的最小值为____.3、如果点A 的坐标为(1,1)，21,F F 分别是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，点P Q ,分别为双曲线左、右支上的动点，则PA PF -2的最大值为____，QA QF +2的最小值为____.4、如果点A 的坐标为(1,3)，F 是抛物线x y 42=的焦点，点P 为抛物线上的动点，则PA PF -的最大值为____.答案：1、526;526+- 2、3226;3226+-3、210;210+-4、2题45 设1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使oPF F 12021=∠，则椭圆离心率e 的范lyF P图10xO MyF P图9x O Ml围是______.（第十二届高二第一试第20题）解法1 如图1，当点P 与短轴端点B 重合时，21PF F ∠最大.故由题设可知oPF F 12021≥∠. ∴tan 1F BO ∠≥tan 360=o，即tan 31≥=∠b cBO F .则==ac e 2313111)(1222=+≥+=+cbc b c .又椭圆离心率1<e ，∴123<≤e . 解法2 设m PF =1，n PF =2，c F F 221=.则由椭圆定义及余弦定理，得mn n m c 24222-+=o 120cos mn n m ++=22，即mn n m c -+=22)(4，亦即mn a c -=2244.从而，22222)22()2(44a a n m mn c a ==+≤=-，即，22244a c a ≤-，2234a c ≥∴432≥e .又知10<<e ，故123<≤e 为所求. 解法3 不妨设点),(y x P 在x 轴上方，又知)0,(1c F -，)0,(2c F ，则=o120tan 12121PF PF PF PF k k k k ⋅+-cx y c x y c x y c x y +⋅-++--=12222c y x cy -+=.由椭圆方程有22222y b a a x -=，代入上式，得03234222=--b cy b y c .解得032>=c b y 或032<-=cb y （舍去）.又知，0y b <≤故有，203b bc <≤，33b c ≤.∴222222a ba a c e -==221a b -=223()31c a≥-2113e =-，即432≥e .又10<<e ，∴123<≤e 为所求. 解法4 设α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则ooo60120180=-=+βα.由正弦定理得，PxBo1F2F y 图1βαβααβsin sin 2sin sin sin sin 120sin 2+=++===an m n m c o ，故2sin1203332sin sin 24sin cos 4sin 30cos 222o o c e a αβαβαβαβ====≥+--+ .又10<<e ，故123<≤e 为所求. 解法5 由焦半径公式及余弦定理得op p p p ex a ex a ex a ex a c 120cos ))((2)()(4222-+--++=，解得222234ea c x p-=.由椭圆的范围知220a x p ≤≤，故有2222043c a e a ≤-≤.∵10<<e ，∴123<≤e 为所求. 解法6 由已知及椭圆焦点三角形的面积公式得2232120tan 21b b S oPFF ==∆.由椭圆的范围知bc S PF F =∆m ax )(21，∴有bc b ≤23，c b 33≤以下同解法3. 评析 椭圆的离心率e 反应了椭圆的扁平程度，而扁平程度与椭圆的范围相关.解法1中的“∠12F PF 最大”，解法3中的“b y ≤≤0”，解法5中的“220a x p ≤≤”，解法 6中的“bc S PF F =∆m ax )(21”，都是运用椭圆的范围求离心率e 的范围.解法2运用椭圆定义、余弦定理及基本不等式，解法4运用三角函数的有界性，巧妙地求出了离心率e 的范围.拓展 解法1的依据是下面的定理 椭圆上的任意一点与其长轴上关于中心对称的两点连线所成张角中以短轴端点所成的张角为最大.证明 如图2，经过对称的两点1P 、2P 及短轴端点A 作圆，则点A 显然在圆上，椭圆在x 轴上方部分（含左、右顶点）的任意一点P （A 除外）都在圆外 ，根据平几中“同弦上的圆周角大于圆外角”，可知2121PP P AP P ∠≥∠.由椭圆的对称性，可知当点P 是椭圆上任意一点时，也都有2121PP P AP P ∠≥∠，故定理成立. 该定理是椭圆的一个重要性质，它对与椭圆有关的离心率、范围、字母讨论、位置等问题能起到优化解题思路的作用. 本赛题可作如下推广推广1 设1F 、2F 是椭圆12222=+by a xPxyAO .1P2P)0(>>b a 的两个焦点，若椭圆上恒存在一点P ，使得12F PF θ∠=，则221cos e -≥θ.证明 由已知及焦点三角形面积公式，得bc b S PF F ≤=∆2tan221θ，即t a n2b c θ≤，从而222tan 2b c θ≤，222222tan 2tan c c a ≤-θθ，2sec )2tan 1(2tan 222222θθθc c a =+≤，2222tan 112sin cos 222sec 2e θθθθ∴≥==-.221cos e -≥∴θ.推广2 如图3，设1A 、2A 是椭圆12222=+by a x的长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点P 使得θ=∠21PA A ，则θ为钝角且有24244tan ee -≥θ. 证明 不妨设点),(y x P 在x 轴上方，又知)0,(1a A -，)0,(2a A 则有=θtan 12121PA PA PA PA k k k k ⋅+-ax y a x y a x ya x y +⋅-++--=12222a y x ay-+=.由椭圆方程有22222y ba a x -=，代入上式，得)(2tan 222a b y ab -=θ.由假设0>y ，而022<-a b .从而知0tan <θ.又),0(πθ∈ ，故θ为钝角.由上式可得θcot 2222⋅-=a b ab y .由椭圆的性质，知b y ≤，故b c ab ≤⋅-θcot 222，即22cot 1abc θ⋅≤-，，θ 为钝角, cot 0,θ∴< 22244cot 1a b c θ∴⋅≤2222242444tan .a c e c e eθ-∴≥⋅=-若将焦点换为长轴所在直线与准线的交点，又得推广3 设1E 、2E 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的两条准线与x 轴的交点，若椭圆上恒存在一点P (P 与长轴端点不重合)，使得θ=∠21PE E ，则θ为钝角且1tan eθ≥-.x 轴上证明 如图4，不妨设点),(y x P 在yPxo1E2E PBxy o2A 图31A方，因为)0,(21c a E -，)0,(22ca E ，所以由1PE 到2PE 的角为θ，得=θtan 12121PE PE PE PE k k k k ⋅+- c a x y c a x y c a x yc a x y 22221+⋅-++--=4222222a y c x c cy a -+=.由椭圆方程得22222a x a y b =-，代入上式，得=θtan 22422420a b cy c y a b -<+,θ∴为钝角,且222221tan 2a b cy a c yab c e θ≥-=-=-，即1tan eθ≥-. 题46 1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点， P 是椭圆上任意一点，则21PF PF ⋅的最小值是＿＿＿＿.（第七届高二第一试第19题）解法1 如图,设x PF =1，则x PF -=42，易知1211F A x F A ≤≤，即3232+≤≤-x .4)2(4)4(2221+--=+-=-=⋅x x x x x PF PF 在]2,32[-上递增，在]32,2[+上递减，21PF PF ⋅∴在32+=x 或32-=x 时的值达到最小.14)232()(2m in 21=+-±-=⋅∴PF PF .解法2 设),(00y x P ，由焦半径公式，得01232x PF +=，02232x PF -=， 200021434)232)(232(x x x PF PF -=-+=⋅∴.220≤≤-x ，∴当20-=x 或20=x 时，21PF PF ⋅取得最小值1)2(4342=±-. 解法3 421=+PF PF ，=--+=⋅∴])()[(4122122121PF PF PF PF PF PF 2121[16()]4PF PF --.显然，当点P 位于长轴端点时，221)(PF PF -取得最大值12221=F F .1)1216(41)(m in 21=-=⋅∴PF PF .解法4 421=+PF PF .设坐标原点为O ，则PO 为21F PF ∆的中线，由中线公式，得P xy B 1o1F2F A 1 A 2 -2-1222212221)2()(2PO F F PF PF +=+，将3221=F F ，421=+PF PF 代入，得2215PO PF PF -=⋅.21≤≤PO ，∴当2=PO 时，21PF PF ⋅取最小值1.解法5 设11r PF =，22r PF =，m r r =21，421=+r r .则1r 、2r 是方程042=+-m x x 的两个实根，其中1r 、]32,32[2+-∈r .设m x x x f +-=4)(2，则在]32,32[+-上0)(=x f 有解的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≥∆0)32(0)32(0f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤114m m m ，即41≤≤m .∴21r r 即21PF PF ⋅的最小值为1.解法6 由椭圆焦点三角形的面积公式得2tan 221θb S F PF =∆.又θsin 212121PF PF S F PF =∆,得θθsin 2tan2221b PF PF =⋅，12=b ，2tan12tan2sin 2θθθ+=，代入上式得2tan 1221θ+=⋅PF PF .故当02tan=θ时，21PF PF ⋅取最小值1.评析 本题要求的是21PF PF ⋅的最小值，若能把它表示为某变量的函数，则问题变为求此函数的最小值.除解法5运用方程思想外的所有方法都是运用这种函数思想解决问题的，不过选取的自变量有所不同罢了.当21PF PF ⋅表示为某变量的函数后，确定该函数的定义域也是很关键的一点.解法2与解法5还分别用到了焦半径公式及椭圆的焦点三角形面积公式等重要结论.会推导这些公式，并能灵活运用这些公式对解题也是十分重要的.解法4运用平面几何中的中线公式为我们进一步拓宽了解题思路.拓展 将此题条件一般化，便得下面的定理1 若P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 上的任意一点，则2212a PF PF b ≤⋅≤.证明 PO 为21F PF ∆的边21F F 上的中线，由中线公式，得22212221)2()(2PO F F PF PF +=+，即2221212214]2)[(2PO F F PF PF PF PF +=⋅-+，整理得22212121211()24PF PF PF PF F F PO ⋅=+--.把a PF PF 221=+，222122b a c F F -==代入上式并整理，得22212PF PF a b PO ⋅=+-.a POb ≤≤ ，2212a PF PF b ≤⋅≤∴.当点P 位于长轴端点处时左边取等号；当点P 位于短轴端点处时右边取等号.若将椭圆改为双曲线，又得定理2 若点P 是以1F 、2F 为焦点的双曲线12222=-by a x 上的任意一点，则221b PF PF ≥⋅.证明 PO 为21F PF ∆的边21F F 上的中线，由中线公式，得22212221)2()(2PO F F PF PF +=+，即2221212214]2)[(2PO F F PF PF PF PF +=⋅+-.把222214)2()(a a PF PF ==-，2222221444)2(b a c c F F +===代入上式并整理得22221PO a b PF PF +-=⋅.a PO ≥ ，222221b a a b PF PF =+-≥⋅∴.当P 位于实轴端点处时取等号.题47 21,F F 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦点，P 是椭圆上的一点，且︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的面积是 .（第四届高二第一试第30题）解法1 设,,2211r PF r PF ==则.221a r r =+ ︒=∠9021PF F ,().42222221c c r r ==+∴()()[]()2222221221214441412121b c a r r r r r r S PF F =-=+-+==∴∆. 解法2 设,cos 2cos ,90,2112121αααc F F PF PF F F PF ==∴=∠=∠︒.cos sin 2sin 2cos 22121.sin 2sin 22121221ααααααc c c PF PF S c F F PF PF F =⋅⋅=⋅=∴==∆,221a PF PF =+ 即,cos sin ,2sin 2cos 2c aa c c =+=+αααα,两边平方,得..1cos sin 2,cos sin 21222222222222221b cb c S c b c c a c a c a PF F =⋅=∴=-=-=∴=+∆αααα 解法3 设()∴=∠︒︒︒,90,,21PF F y x P 点P 在线段21F F 为直径的圆222c y x =+上，222c y x =+∴︒︒①.又点P 在已知椭圆上，12222=+∴︒︒bya x ②.①-⨯2a ②,并注意到,222c b a =-得2122222221.21PF PF S b a c a x c PF F ⋅=∴-=∆︒ ()()()()22222222222222422142121︒︒︒︒︒︒︒︒-=-++=+-⋅++=x c c x c cy xy c x y c x .24222222224224b b c b b a b a c a c x c c ==-=+-=-=︒评析 因为要求的是直角21PF F ∆的面积,且21,F F 的坐标确定,按常规思路,只要知道点P 的坐标,问题便解决了.于是解法3设()︒︒y x P ,,便得121212F PF S PF PF ∆=⋅ ()2222214.,2xy c c x x y ︒︒︒︒︒=++-必须消去,因为222cy x =+︒︒(这也可由121-=⋅PF PF k k 得到),且12222=+︒︒bya x ,于是得到,222222b a c a x c -=︒,从而使问题获解.这里运用了方程的思想,整体思想的运用也使得解题过程相对简化.解法1则综合运用了椭圆的定义,勾股定理,直角三角形的面积公式,且巧妙运用代数式的恒等变形,使得整个过程极其简捷,充分显示了二次曲线定义及平几知识在解题中的作用(解法2也运用了椭圆的定义).三种解法都引进了参数,参数思想也是重要的解题思想.消参的方法很多,涉及许多知识与技巧,灵活运用各种知识是消参的捷径.1994年的一道全国高考题与此题十分类似：设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足︒=∠9021PF F .则21PF F ∆的面积是 （ ）A 、1B 、25C 、2D 、5 拓展 如果将21PF F ∠一般化,我们便得定理 1 21,F F 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦点,P 是椭圆上的点,且θ=∠21PF F ,则21PF F ∆的面积为.2tan2θb证明 设2211,r PF r PF ==,则a r r 221=+,两边平方并整理,得212222124r r a r r -=+①.又由余弦定理得θcos 242122212r r r r c -+=,即θcos 242122221r r c r r +=+②.由①,②得.cos 12,cos 2424221212212θθ+=+=-b r r r r c r r a.2tan cos 1sin cos 1sin 221sin 212222121θθθθθθb b b r r S PF F =+⋅=+⋅==∴∆ 由定理1,此赛题的答案应是22290tan b b =︒. 随着b a ,取值的不同,即椭圆的扁平程度不同,椭圆上是否一定存在一点P ,使得︒=∠9021PF F 呢?经研究,有下面的定理.定理2 已知21,F F 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦点.⑴椭圆上存在点P 使︒=∠9021PF F 的充要条件是b a 2≥.⑵在⑴的条件下,21PF F ∠的最大值是bc arctan 2. 证明 设2211,r PF r PF ==⑴22212121212222222121224290(2)4r r a r r a r r F PF r r c r r c︒+=⎧+=-⎧⎪∠=⇔⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩ 2212424a r r c ⇔-= 2122r r b ⇔=.又.2222222121b a b a r r r r ≥⇔≥⇔≥+故椭圆上存在点P 使︒=∠9021PF F 的充要条件是b a 2≥.⑵由对称性,不妨设点P 的坐标为()y x ,且b y a x ≤≤≤≤0,0.在21PF F ∆中,c F F ex a r ex a r 2,,2121=-=+=,由余弦定理得21222212124cos r r c r r PF F -+=∠,0.21222222222222a x x e a b x e a c x e a ≤≤-+-=--+= ∴当0=x 时,21cos PF F ∠取得最小值2221a b +-,即2222a a b -.又[)π,021∈∠PF F 且21222,2arctan 2cos PF F a a b b c ∠∴-=⎪⎭⎫ ⎝⎛的最大值是bcarctan 2.若将焦点改为顶点,我们又得定理 3 已知21,A A 与21,B B 分别是椭圆12222=+by a x 的长轴与短轴的两个端点,P 是椭圆上的动点,则21PA A ∠的最大值为21,arctan 2PB B b a∠的最小值为ab arctan2. 证明 不妨设()()()0,,0,,0,0,,21a A a A b y a x y x P -≤<<≤,则21.,21PA A ax y k a x y k PF PA ∠-=+=是直线1PA 到直线2PA 的角， 2222121tan 1212ay x ay k k k k PF A PF PF PF PF -+=⋅+-=∠∴,又22222,a x a y b -=- ()212222tan .ab A PA a b y -∴∠=-122220,tan .aby b A PA b a <≤∴≥∠>-∞- 又222tan 2arctan,a ab b b a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭12A PA ∴∠的最大值为baarctan 2.同样的思路,可证21PB B ∠的最小值是ab arctan 2. 有了这些定理,不难解决下面的问题:1. 21,F F 是椭圆221123x y +=的焦点,点P 在椭圆上,且︒=∠6021PF F ，则12F PF ∆的面积= .2．21,F F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一点,︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0`A ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0`B ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21`C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21`D (第十届高二培训题第23题)3. 已知圆22:25C x y +=与x 轴交于两点1F 、2F ,求以1F 、2F 为焦点且与圆C 有公共点的长轴最长的椭圆方程.答案:1. 3 2.B 3.2215025x y += 题48 椭圆12222=+by a x 的内接三角形的最大面积是＿＿＿＿.（第九届高二第二试第20题）解 不妨设b a >，ABC ∆为以原点为中心的椭圆E 的内接三角形（如图）.显然，ABC ∆的面积可以写成（划分为）若干个（至多4个）底边平行于（或在）x 轴的三角形面积之和.若x 轴方向上不变，在y 轴方向上的长度都增大ba倍，则椭圆E 就变成以O 为圆心，a 为半径的圆.设A 、B 、C 三点经伸长后的对应点为'A 、'B 、'C ，它们就在此圆上.因此，ABC C B A S baS ∆∆='''.易知圆O 的内接三角形'A 'B 'C 面积的最大值是2max 433'a S =，所以椭圆E 的内接三角形ABC 面积的最大值是ab a a b S a b S 433433'2max max===. 评析 直接将椭圆内接三角形的面积用其三个顶点的动坐标表示，再求其最大值，难度是可想而知的.考虑到圆是特殊的椭圆（椭圆的长、短轴相等时即为圆），当b a >时，将椭圆上的每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的b a倍，椭圆就变成了半径为a 的圆.由于圆内接三角形面积的最大值可求，故问题解决.这里，运用特殊化思想，把求椭圆内接三角形面积最大值转化为求圆内接三角形面积的最大值；通过伸缩变换，把椭圆变为圆，运用了简单化原则；半径为a 的圆的内接三角形面积的最大值为2433a ， BAyB'A'oC' Cx运用了熟悉化原则；由于在伸缩变换中椭圆上各点的横坐标不变，则内接三角形的底在变换过程中不变（不妨设圆的面积最大的内接三角形的底边与y 轴垂直），伸缩前的高为伸缩后的b a倍，则运用了直观化原则.灵活运用上述原则解题，常常可收到意想不到的效果.拓展 椭圆的投影可以是圆，看下面的定理 椭圆所在的平面α与平面β所成二面角为θ（abarccos =θ，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴和短半轴的长），且椭圆的短轴与平面β平行，则椭圆在平面β上的投影为圆，且半径为b .证明 不妨设椭圆所在位置如图所示.在平面α内分别以长轴和短轴所在直线为x 轴和y 轴建立直角坐标系xoy ；在平面β内分别以长轴与短轴的射影所在直线为'x 轴和'y 轴建立直角坐标系'''y o x .在椭圆上任取一点)sin ,cos (θθb a P ，过P 作 x 轴和y 轴的垂线PQ 、PR ，垂足为Q 、R ；过 P 的射影'P 分别作'x 轴和'y 轴的垂线''Q P 、''R P ， 垂足为'Q 、'R ，由y 轴与β平行，可知PQ ∥''Q P且PQ =''Q P ，θθθcos cos cos ''b aba PR R P =⋅==，∴'P 在坐标系'''y o x 中的坐标是)sin ,cos (θθb b ，由P的任意性，知'P 的轨迹是半径为b 的圆.用此定理解决本赛题：设椭圆的内接三角形面积为S ，则它在β上的射影为圆的内接三角形,其面积为S abS S ==θcos '.因为圆内接三角形面积最大时为正三角形，其面积2433b S =，所以椭圆的内接三角形面积的最大值2max 333344a Sb ab b == . 运用此定理，不难求得椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的面积为ab π.题49 Rt △ABC 中，AB=AC ，以C 点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB 上，且椭圆过A ，B 两点.求这个椭圆的离心率.（第二届高二第二试第21题）解法1 如图，设θ=∠AFC ，则4πθ-=∠BCF（F 在AB 内，F 是椭圆的另一个焦点）.设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x .则c CF 2=，θsin 2⋅=c AC ，θcos 2⋅=c AF .在△BCF 中，由正弦定理和合分比定理，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin sin 24sin sin 4sin sin πθθπθθπθθaBFBC BFBC . xx ’yO pQ Rp'R' O'Q'y ’α β。
希望杯数学竞赛题目
希望杯数学竞赛题目
希望杯数学竞赛题目
第一题：
小明有一个盒子，里面装有一些红色和蓝色的小球。
他从盒子中随机地抽取了一个小球，发现是红色的，然后又将它放回盒子中。
他再次从盒子中抽取了一个小球，发现还是红色的。
请问，这个盒子中至少有多少个小球？
第二题：
小明喜欢玩拼图游戏。
他有一个3x3的拼图方块，里面有1到9这九个数字。
他想要将这些数字按照一定的规律排列，让每一行、每一列和对角线上的三个数字之和都相等。
请问，小明有多少种不同的排列方法？
第三题：
小华参加了一个数学竞赛，需要解决一个复杂的方程组。
方程组如下：x + y + z = 10
2x + y - z = 3
3x - y + 2z = 7
请问，x、y和z的解分别是多少？
第四题：
小李正在学习圆的性质。
他知道一个圆的周长可以通过公式C = 2πr计算，其中C表示周长，r表示半径。
现在他需要计算一个圆的周长，但是他只知道这个圆的面积是16π。
请问，这个圆的周长是多少？
第五题：
小红是一个热爱数学的孩子，她每天都在做不同难度的数学题。
今天，她遇到了一个挑战。
有一个等差数列，第一项为1，公差为2。
请问，这个数列的第10项是多少？
以上是希望杯数学竞赛的几道题目，希望能够激发学生们对数学的兴趣，锻炼他们的思维能力和解题能力。
希望杯竞赛数学试题详解(21-30题)
题21 若0,>y x ，且12=+y x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是 . （第一届高二第一试第20题）题22 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题)题23 设R y x ∈,，且221x y +≤，则xy y x ++的最大值是 ，最小值是 ．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）题24 若223x xy 3y 20-+=，则228x 23y +的最大值是 ．（第十三届高二培训题第68题）题25 函数xxx y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿．（第九届高二培训题第43题）题26 函数1212y sin x cos x =+的值域是 .（第十一届高二培训题第46题）题27 设+∈N n ，则|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是 ．（第九届高二培训题第53题）题28 611112310s =++++ ，则s 的整数部分是 （ ）A 、１９９７ Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题） 题 29 求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值（第十三届高二培训题第81题）题30 函数223223x x x x y -+++-=的最大值是 ,最小值是 .(第十四届高二第二试第16题)21.解法1 比较：当1,0,=+>b a b a 时，42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ，当且仅当 21==b a 时取等号.可见，82542521212121411=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x y y x x ，当且仅当41,21==y x 时取等号.825m in =∴u . 解法2 xy xy xy x y y x xy y y x x u 411414411++≥+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 令12,=+=y x xy t 且xy y x y x 222,0,0≥+∴>>，即81≤xy ，即81≤t .可证函数()t t t f 411++=在⎥⎦⎤⎝⎛81,0上单调递减，81=∴t 时，()82581min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t f .即当41,21==y x 时，min 258u =. 解法3 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==2,0,tan 2,tan πϕθϕθy x ，则tan tan 1,θϕ+=21112sin 2sin 22.sin 2sin 222sin 2sin 22u x y x y θϕθϕθϕ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=++=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （当且仅当ϕθ=时取等号）.又222tan 2tan sin 2sin 21tan 1tan θϕθϕθϕ+=+++ ()22222221tan tan tan tan 1tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕ++=+++()()22222tan tan tan tan 1tan tan 2tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕθϕ++=++-+()2tan tan 11tan tan 22ϕθϕθ-++=.由1tan tan =+ϕθ，易得41tan tan ≤ϕθ（当且仅当ϕθ=时取等号）.于是()22191tan tan 1.416θϕ⎛⎫-≥-= ⎪⎝⎭ 12284sin 2sin 295116θϕ+⋅∴+≤=+（ϕθ=时取等号）.故∴=⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥.82558822sin 2sin 222ϕθu 当21arctan ==ϕθ，即212==y x 时，825m in =u . 评析 解法1的依据就是课本上一道习题的结论.本赛题就是这道课本习题的变题.利用现成的一些重要结论可以简化解题过程，尤其是解选择题、填空题时更可直接利用.由于a 、+∈R b 时，2≥+baa b ，当且仅当b a =时取等号，所以解法2将u 展开成xy xy x y y x 414+++后，只能对x y y x +4使用上述公式（因为12=+y x ，所以必须使212==y x 时取等号）.若也对xy xy 41+使用上述公式就错了，因为由212==y x ，得41,21==y x ，此时xy xy xy ,241,81==与xy 41并不相等.这是同一式子中几处同时使用基本不等式时必须注意的，是一个常见的易错点.x 与()0,0>>x k xk不可能相等时，通常运用函数的单调性求x k x +的最小值（易证函数()0,0>>+=k x xkx y 在(0,]k 上单调减，在[,)k +∞上单调增）. 解法3运用三角代换法，虽然较繁，但仍可起到开阔视野，活跃思维的作用. 拓展 命题“若0,>b a 且1=+b a ，则42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ”可作如下推广： 推广1 若0,,>c b a 且1=++c b a 则271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+c c b b a a . 证明 1111b c c a a b ca b a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 331133abc abc abc abc ≥+++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33131abc abc abc abc ，当且仅当31===c b a 时取等号.31,271313333≤∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤abc c b a abc .又()x x x f 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛271,0及⎥⎦⎤⎝⎛31,0上都是减函数，,2710003113132712713133=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴abc abc abc abc 当且仅当271=abc 时取等号.271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴c c b b a a （当且仅当31===c b a 时取等号）. 推广2 若0(1,2,,)i a i n >= ，11=∑=ni i a ，则2111nni i i n a a n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏.推广3 若0(1,2,,)i a i n >= ，k a ni i =∑=1，则2211nni i i n k a a nk =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏. 推广2、3的证明，叙述较繁，此处从略. 22.解法1 11,,1,,224a b a b R a b ab ab ++∈+=∴≤=∴≤ 且. 111111*********a b a b a b ab ab ab ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=++=+≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当21==b a 时取等号.min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.解法2 3311111111113a b a b b a b a a b a b a b a b++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++≥⋅ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =9，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解法3 1111112252a b a b b a b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++=++≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9225=⨯+，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 评析 求条件最值离不开利用条件.如何利用条件1=+b a ？解法1把1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开后将b a +用1代，解法2与3将a 1与b1中的1用b a +代，其目的都是为了能利用均值不等式或基本不等式求最值. 拓展 此题可作如下推广：推广1 若+∈R n b a ,,，且n b a =+，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明ab b a n R n b a 2,,,≥+=∴∈+，于是241nab ≥， 2211114(1)211111a b n n n a b ab ab n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=+≥+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2nb a ==时取等号，1111a b ⎛⎫⎛⎫∴++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭.推广2 若+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，则12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是n n )1(+. 证明 +∈R a a a n ,,,21 ，121=+++n a a a ，1121112111)1(11a a a a a n a a a a a a n nn ++≥++++=+∴ .同理112121222(1)(1)111,,1n n n n nn n n a a a a n a a a a a a a a +++++≥+≥ .故 112121212(1)()()111111(1)n nn n n n nn n a a a a a a n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当 121n a a a n ==== 时取等号. 12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是nn )1(+.推广3 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且∑==ni i m a 1，则111n k i ia =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是 1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 证明 由均值不等式得111nnnni ii i nn a m a ==⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∏∑， 111212111111()(1,2,,)p p n n p p kppk n nkC p p p C n n n n k k kk i i i n i i i i i i i n C C C p n a a a a a m --≤<<<≤==⎛⎫⎛⎫≥=≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∏∏ , 从而1212112121111111111111n n nn nkk k k k k k ki i i i n i i i n i i i i i i i i i a a a a a a a a --==≤<≤≤<<<≤=⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭∏∑∑∑∏ 2112111n nnkk kkk n n n n n n k k k k k n n n n n C C C C mm m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当),,2,1(n i n ma i ==时取等号.故111nk i i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且)0(1n m m a ni i≤<=∑=，则11nk i k i i a a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小 值为nk k k k m n nm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4的证明与推广3类似，留给读者.运用这些推广，读者可做练习： 1、 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求：（1）221111a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（2）1111nna b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（3）221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 2、已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 3、已知+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，求22212111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最小值. 4、求ββαα2222sin cos cos 1sin 1+的最小值.(提示：22222sin cos cos cos sin 1ααβαβ++=， 原式22222111sin cos cos cos sin ααβαβ=++.) 5、已知+∈R a a a a 4321,,,，且14321=+++a a a a ，求3214214314321111a a a a a a a a a a a a +++++++++++的最小值. 答案：1、（1）18 （2）n 32⋅ （3）9 2、64 3、2)1(+n n 4、9 5、316 23.解法1 122≤+y x ，1,1≤≤-∴y x ，10,10x y ∴+≥+≥． 由2)(2)(222≤+≤+y x y x ，有22≤+≤-y x ，22322212)(2)1()1()1)(1(22222+=++≤++++=+++≤++∴y x y x y x y x ．记1)1)(1(-++=++=y x xy y x u ，立得1-≥u 和221+≤u ．故当1-=x 或1-=y 时，1mi n -=u ，当22==y x 时，221m ax +=u ． 解法2 由题意，设)2,0[,10,sin ,cos πθθθ∈≤≤==r r y r x ． 则2211cos sin cos sin 2sin sin 22422x y xy r r r r r πθθθθθθ⎛⎫++=++=++≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当1=r 且4πθ=，即22==y x 时取等号．max 1()22x y xy ∴++=+．又 ]1)cos [(sin 2)cos (sin cos sin )cos (sin 222-+++=++=++θθθθθθθθr r r r xy y x ．令]2,2[,c o s s i n -∈=+t t θθ，则]1)1[(21)1(22222r rt t r rt xy y x --+=-+=++．易知当01=+rt 时，1)(,0])1[(m in 2m in 2-=-=+r rt ．此时，1,1-==t r ，即1x =-或1-=y 时，1)(m in -=++xy y x ．关于xy y x ++的最大值，还有下列解法．解法3 22222222212,1,()2()2,22x y xy x y x y x y x y xy +≤++≤∴+≤+≤≤≤ ，2122)(22222+≤+++≤++∴y x y x xy y x ，当且仅当22==y x 时取等号． 212)(m ax +=++∴xy y x ． 解法4 22221111111122()1122222222x y x y x y ++⋅+⋅≤+=++≤+⨯= ，2≤+∴y x ．又212,21222+≤++∴≤+≤xy y x y x xy ，当且仅当22==y x 时取等号．故212)(m ax +=++xy y x . 评析 解法2由122≤+y x 考虑到三角换元，这是很自然的事．解法3运用基本不等式)(2)(222y x y x +≤+及222y x xy +≤，再由122≤+y x ，分别求出y x +与xy 的最大值（注意：必须是x 与y 取相同值时y x +与xy同时取得最大值），从而得到xy y x ++的最大值．解法4与解法3路子不同，实质一样．但解法3、4都只能解决题中的最大值问题，如何求最小值是本题的难点．解法1中将xy y x ++变形为1)1)(1(-++y x ，并由已知得出01,01≥+≥+y x ，是突破这一难点的关键．第九届高二第一试第15题：“实数y x ,适合条件2122≤+≤y x ，则函数22232x xy y ++的值域是 ．”其形式与实质都与本题一样．以三角代换法求解最为简捷．（答案为]7,21[）拓展 由题引伸，可以得到：定理1 设xy y x z y x λλ++=≤+≥,1,022，则（1）当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ； （2）当202λ≤≤时，2222λλ+≤≤+-z ． 证明 设b a y b a x -=+=,，则2122≤+b a ．又设θθsin ,cos r b r a ==， 220≤≤r ，则2222222()2cos (cos sin )z x y xy a a b r r r λλθλθθ=++=+-=+-λλλθλ22221)21(cos 2r r r --+=．1cos 1,θ-≤≤∴1、当121≤λr ，即1222r λ≥≥时， （1）)220(221212≤≤--≥--≥r r z λλλλ，当且仅当λλθ2121cos -=-=r 时取等号． （2）2222112122222z r r r r r λλλλλλ⎛⎫≤+--=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当22,1cos ==r θ时取等号． 2、当112r λ≥，即12022r λ≤≤≤时 （1）当22,1cos ==r θ时，22m ax +=λz ． （2）当1cos -=θ时，λ22r r z +-≥．又函数222,0,2y x x λλ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，当20,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时是减函数，故2222λλ+-≥+-r r ．综上所述，当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；当202λ≤≤时， 2222λλ+≤≤+-z ．进一步引伸，可得定理2 0,≥n m ，若nxy y x m z y x ++=≤+)(,122，则（1）当22≥m n 时，22222n m z n m n +≤≤--； （2）当202n m ≤≤时，2222nm z n m +≤≤+-． 简证 n z m x y xy m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令nt x y xy m=++，再由定理1即可得证． 再引伸，还可得到定理3 设12,,,n x x x R +∈ ，且12()m m mn x x x S m N ++++≤∈ ，则有11212.nm m m n n n S x x x x x x nS n -++++≤+证明 1212,,,,()mmmn n x x x R x x x S m N ++∈+++≤∈ 及平均值不等式1121212,mm m mnn nn x x x x x x x x x n n ⎛⎫++++++≥≥ ⎪⎝⎭111212,,n n m mm m m n n n S S S x x x n n S x x x n n n -⎛⎫⎛⎫∴+++≤⋅=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11212.nm m mn n nS x x x x x x nS n-∴++++≤+ 24.解法1 引入参数t,22222222y 1y t 1xy tx t x x y t 2t 22t⎛⎫=⋅≤+=+ ⎪⎝⎭ ，又22xy 3x 3y 20=+- ，222222t 1x y 3x 3y 20,22t∴+≥+-2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫∴-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．考虑到待求最值的二元式是228x 23y +，故令22t 38212332t -=-，解得2t 4=或22t 23=-（舍去），故只需令t 2=，即可得()22132x 3y 208⎛⎫-+-≤ ⎪⎝⎭．因此，228x 23y 160+≤，当且仅当y 2x 2=，即y 4x =时取等号.()22max8x 23y 160∴+=． 解法2 已知条件式即2213520x y y 6363⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.令120x y cos ,633520y sin ,63⎧-=α⎪⎪⎨⎪=α⎪⎩即202x cos sin ,32112y sin .21⎧=α+α⎪⎪⎨⎪=α⎪⎩代入待求式,并化简, 得()22223211288x 23y sin 22121+=+α-ϕ223211281602121≤+=.故当且仅当y 4x =时，228x 23y +有最大值160．解法3 令2228x 23y t +=.从而有8x t cos,23y t sin,⎧=α⎪⎨=α⎪⎩即t t x cos ,y sin .823=α=α代入已知等式,得222223t t 3t cos sin cos sin 20823184α-αα+α=, ()222202036820368t 160.3139347cos 29347cos sin 2sin 823736⨯⨯∴==≤=+α+ϕ-α-α+α即228x 23y 160+≤．解法4 ()22116x y xy 4x y 48+=⋅≤ ,而22xy 3x 3y 20,=+-222216x y 3x 3y 20,8+∴+-≤即228x 23y 160+≤．解法5 设x m n,y m n,=+=-代入条件得225m 7n 20.+=令20m 2cos ,n sin 7=α=α,则()()22228x 23y 8m n 23m n +=++- 2231m 30mn 31n =-+()225620162cos 60sin 2sin 744376cos 2777=α-α+α=+α+ϕ⎡⎤⎣⎦()17443761607≤+=． 解法6 设228x 23y s,+=则()()2222s 3x xy 3y208x23y ,-+=+即()()223s 160x sxy 3s 460y 0--+-=①.由题设x,y 不同时为0,故不妨设y 0≠,则将①式两边同除以2y ,得()()2x x 3s 160s 3s 4600.y y ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3s 1600-≠时,由()()2s 43s 1603s 4600,∆---≥=解得368s 1607≤≤;当3s 1600-=时,x 45y 8=-．综上,368s 1607≤≤.故()22max 8x 23y 160+=． 解法7 ()()()22222228x 23y 83x x y3y 16x8x y y 8204x y 160+=-+--+=⋅--≤.故当4x y =时,()22max8x23y 160+=．评析 破解此题的关键是消去条件式中的xy 项.命题组给出的解法1,通过引入参数t,将xy 变形为ytx t ⋅,再运用基本不等式,从而得到2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而要求的是228x 23y +的最大值,故令22t 38212332t-=-,从而使问题获解,极其巧妙.此法还具有普遍性,是解决此类问题的通法．解法2将223x xy 3y 20-+=变为2213520x y y 6363⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而为三角代换创造了条件，进而运用三角函数的有界性求得最值.此法也具一般性,且对于求式中含xy 项时同样适用．解法5通过对称换元消去了已知式中的乘积项.当式中2x 项与2y 项系数相等时这也是一种通法．解法4的技巧性特强.要知道,若2219x y xy (3x y)36+=⋅≤,由22xy 3x 3y 20=+-,得22229x y 3x 3y 206++-≤,即229x 17y 120+≤,则仍然不能解决问题．解法6运用整体思想及方程思想,由二次方程有实根的条件使问题获解,这也是一种常用的方法．解法7巧用配方法,使得问题的解决极其简洁.可能有人要说这是不是碰巧了,换个题目此法就不灵了,其实不然,请看下面的问题:例1 若x,y 22R,2xy y 7∈+-=且x , 则22x y +的最小值是________．（第十届高二培训题第66题）解 2222227x 2x y y 2(xy )(21)x 2x y(21)y⎡⎤=+-=+---++⎣⎦2222212(x y )(21)x y 2(x y )21⎛⎫=+---≤+ ⎪-⎝⎭，即227x y 22+≥，当且仅当1x y 21=-时取等号，故所求最小值为 2.72再看一例：例2 实数x,y 适合221x y 2≤+≤,则函数222x 3xy 2y ++的值域是 ．(第九届高二第一试第15题)解 （1）()()2222221x y 22x 3xy 2y3x2xy y ≤+=++-++()()()2222222122x 3xy 2y 3x y 22x 3xy 2y .2x 3xy 2y .2=++-+≤++∴++≥（2）()()()()22222222273732x 3xy 2y x y x 2xy y x y x y 2222++=+--+=+--7207.2≤⨯-=故所求值域为1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 到底如何配方，读者可从上面的例子中体会.配方法是高考明确要求学生掌握的一种数学方法,在解决一些竞赛问题时也有较广泛的应用.我们必须切实掌握好．请用配方法解决下列问题:1.实数x,y 满足22x 3xy y 2-+=,则22x y +的值域是 ．（答：4[,5+∞)）(第六届高二第二试第17题)2.若x,y R ∈,且221x y 22≤+≤,则22x 2xy 4y -+的取值范围是 ．（答：1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦） 3.已知x,y 满足22x xy y 1++=,求22x xy y -+的取值范围．（答：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦）4.已知22x xy 2y 1-+=,求表达式22x 2y +的最大值与最小值．（答：822822,77+-）25.解法1 由x x x y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--=+-==+⋅+-1)1(1cos 1)1(1sin )sin(1)1(222y y y y x y ααα，1)1()sin(2+-=+∴y y x α.1)sin(≤+αx ，11)1(2≤+-∴y y ，解得1≤y .故1max =y .解法2 令2tan x t =，则22222221121121211t t t t t t y t t t t -++-++==++++，化为0)1()22()1(2=-+-++y t y t y ，R x ∈ ，0≥∆∴t ，即0)1(4)22(22≥---y y ，解得1≤y .故1max =y .解法3 由1cos ≤x ，得1sin cos sin +≤+x x x （1cos =x 时取等号），0sin 1≠+x ，0sin 1>+∴x ，1sin 1cos sin ≤++∴xxx ，故1max =y .解法4 xx x x x y sin 11cos 1sin 11cos sin 1+-+=+-++= .1cos 1≤≤-x ，1sin 1x -<≤，01cos 2≤-≤-∴x ，21sin 0≤+<x .∴当cos 1x =时，max 1y =.解法5 由xxx y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，[][])cos (sin 1)1(cos sin )1(222222x x y x x y y ++-≤+-=∴，2221)1(+-≤∴y y ，解得1≤y .1m ax =∴y .解法6 1sin 1cos 1sin 1cos sin +-+=++=x x x x x y .令1sin 1cos +-=x x u ，它表示动点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，即u 表示单位圆上的点与点)1,1(-的连线的斜率，由图易知0max =u ，1m ax =∴y .解法7 显然，1sin -≠x .由xx x y sin 1cos sin ++=得0cos sin )1(=-+-y x x y ①，又1cos sin 22=+x x ②.由①、②可知点)cos ,(sin x x 是uov 坐标系中的直线0)1(=-+-y v u y 与圆122=+v u 的公共点，圆心)0,0(到直线①的距离不大于圆的半径1，即2(1)001(1)1y y d y -⋅+-=≤-+，解之得1≤y ，1m ax =∴y .评析 类似本题分子、分母中含有x sin 、x cos 的一次式的函数的最值问题，总可以通过去分母、移项变为c x b x a =+cos sin 的形式，进而变为c x b a =++)sin(22ϕ（其中ab=ϕtan ）的形式，再由1)sin(≤+ϕx 求得最值，解法1正是这样做的，也是解决这类问题的通法. 万能公式可将角x 的各种三角函数表示成2x的正切，这在实质上起到了消元的作用.故解法2令2tan x t =后，便将原函数转化成t 的二次分式函数，进而运用判别式法解决了问题.解法3直接利用分子x x cos sin +不大于分母1sin +x ，从而分式之值不大于1，简捷之至.解法4则是将已知函数变为xx y sin 11cos 1+-+=后，分别求出分子、分母的范围，进而确定y 的范围.解法5将已知函数式变为y x x y =+-cos sin )1(，考虑到左边x x y cos 1sin )1(⋅+-的形式，联想到柯西不等式，巧妙地利用1cos sin 22=+x x 而建立了关于y 的不等式，进而求出最大值，可说是匠心独具.解法7将已知函数式变为0cos sin )1(=-+-y x x y 后，将)cos ,(sin x x 看作坐标系uov 中直线0)1(=-+-y v u y 上的点，而点)cos ,(sin x x 又在单位圆122=+v u 上，故直线与圆应有公共点，从而圆心到直线的距离不大于圆的半径，由此求出了y 的最大值.综合运用了方程思想，转化思想，数形结合思想，充分揭示了数学不同内容之间的内在联系.解法6则是把已知函数式变形为1sin 1cos 1+-+=x x y 后，将1sin 1cos +-x x 看作单位圆上的点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，故将求y 的最大值问题转化为求此斜率的最大值问题，本题中此斜率的最大值可由图象直观地得到，若不能直观地看出，则可设斜率为k ，写出过点)1,1(-且斜率为k 的直线方程.由圆心到直线的距离不大于圆的半径便可求出k 的最大值.解法6也是求函数)0(sin cos ≠++=ac d x c b x a y 或)0(cos sin ≠++=ac dx c bx a y 的最值的通法.例 求函数9cos 34sin 2+--=x x y 的最值解 2sin 42sin 23cos 93cos 3x x y x x --==-⋅-+-.令3cos 2sin --=x x u ，则u 是单位圆122=+y x 上的点(cos ,sin )x x 与点)2,3(的连线的斜率.设此斜率为k ，则连线的方程为)3(2-=-x k y ，即032=-+-k y kx ①.由单位圆圆心)0,0(到直线①的距离应当不大于单位圆半径1，即11322≤+-k k ，解得433433+≤≤-k ，即k 的最小值与最大值分别为433-，433+，从而y 的最大值与最小值分别为43332-⋅-、43332+⋅-,即633-，633+-.26.解法1 由均值定理，知()()332332334444111111sin 3sin ,cos 3cos .444444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⋅++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，得()()121244223131sin cos sin cos 12sin cos 16161616x x x x x x +≥+-=--= 2311sin 232832x -+≥.当4x π=时以上不等式同时取等号.故min 132y =. 又[]121222max sin ,cos 1,1,sin cos sin cos 1.1x x y x x x x y ∈-∴=+≤+=∴=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法2 由柯西不等式，知()()()2121212126644111sin cos 11sin cos sin cos (sin cos 222x x x x x x x x +=++≥+=+-22222131sin cos )1sin 22432x x x ⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.又由[]sin ,cos 1,1x x ∈-，知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法3 121212121111111sin x cos x sin x cos x 64646464646464⎛⎫⎛+=+++++++++ ⎪ ⎝⎭⎝ ()5512122266511110115156sin 6cos 6sin cos 64646464646432232x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫++-≥+-=⋅+-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭651323232=-=，又()61212221sin cos sin cos 1,,1.32x x x x y ⎡⎤+≤+=∴∈⎢⎥⎣⎦解法4 22sin x cos x 1+= ，且22sin 0,cos 0,x x ≥≥∴可设21sin 2x t =+， 663322211111111cos ,,222222444x t t y t t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=--≤≤∴=++-=++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣)3222134tt t ⎛⎫⎤++ ⎪⎦⎝⎭，由所设2104t ≤≤，故当20t =时，3min 112432y ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当214t =时， max 1.y =∴所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦.评析 因为[]s i n,c o s 1,1x x ∈-，所以[]22sin ,cos 0,1x x ∈ ，由指数函数单调性，易知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=，故求得了y 的最大值1.如何求y 的最小值是本题的难点，破解的关键在于如何将1212sin cos x x +降次，最好直接与22sin cos x x +建立联系.解法1运用均值定理，解法2运用柯西不等式，都达到了目的，解法3与解法1为同一解法，但显得格外简捷，运用均值定理一步到位地解决了问题.解法4通过对称换元将三角函数的值域问题转化为整式函数的值域问题加以解决，起到了化难为易的作用.解法3显得特别优美，但运用均值定理，必须注意配凑技巧的运用.为什么将12sin x +12cos x 配凑成1212111111111110sin cos 6464646464646464646464x x ⎛⎫⎛⎫+++++++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭呢？这里有两个问题：一是为什么各凑成6项的和？二是为什么都加5个164？原因就在于只有凑成6项的和，运用均值定理时才会出现六次根号内()1212sin cos x x 与5个数的积，从而才会出现22sin cos 1x x +=（常数）.至于为什么各加5个164，是因为运用均值定理时要使两处的“≥”中都取等号，必须221sin cos 2x x ==，而只有12121sin cos 64x x ==时才会有2sin x 21cos 2x ==. 拓展 仿照解法3，我们可以证明下面的 定理 函数()22sincos nn y x x n N +=+∈的值域是12,1n-⎡⎤⎣⎦.证明 222112111sin cos sin 222n n n n n n n n y x x x -⎛⎫⎪⎪=+=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个222(1)(1)1121112211cos sin cos 222222nn n n n n n n n n n n n n n n x n x n x ---⎛⎫⎪- ⎪+++⋅⋅⋅+-≥⋅⋅+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 个 ()12211min 222222222sin cos 2,222222n n nn n n n nn n n n n x x y -------=⋅+-=-==∴=. 又()2222sincos sin cos 1nnn x x x x +≤+=，即m a x 1y =.故函数()22sin cos n n y x x n N +=+∈的值域为12,1n-⎡⎤⎣⎦.据此定理，我们易知函数100100sincos y x x =+的值域为492,1-⎡⎤⎣⎦.27.解 可从绝对值的几何意义上去想，以|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 为例，如图：1 2 3 4所给的式子的几何意义是数轴上坐标为n 的点N 与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和．显然，当N 在线段AB 之外时，和大于N 在线段AB 上时的和；当N 在线段AB 上时，N 接近AB 的中点，和就逐渐变小，N 重合于AB 的中点时，和达到最小．因为+∈N n ，所以当n 取2或3时，|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 最小．对于和式S=|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n ，设数轴上的点A 、B 分别表示1949、2001，则线段AB 的中点的坐标是,1975220011949=+|19751949||19751950|S ∴=-+-最小|19752001|(26251)(1226)+⋯+-=+++++++ (261)2627022+⋅=⨯=． 评析 本题运用了数形结合的思想方法，根据两数差的绝对值的几何意义，很直观地解决了问题． 拓展 运用同样的思想方法，可以得到下面的 定理1 对于函数)(||)(211n ni ia a a ax x f <⋯<<-=∑=，B A若n 是奇数，则当21+=n a x 时，)(x f 取得最小值∑∑-=+=-21123n t tnn j jaa ；若n 是偶数，则当],[122+∈n n a a x 时，)(x f 取得最小值∑∑=+=-2112n t tnn j jaa ．例1 求函数|10||7||3||4|-+-+-++=x x x x y 的最小值．解 4=n 为偶数，-4<3<7<10,∴当]7,3[∈x 时，y 取得最小值（7+10）-（-4+3）=18. 例2 求函数|10||5||3||6||7|y x x x x x =++++-+-+-的最小值．解 5=n 为奇数，-10<-5<3<6<7,∴当3=x 时，y 取得最小值（6+7）-（-10-5）=28. 例3 已知,,x y R ∈且{1,3},y ∉求函数|16123||74||2||3||7|),(22+-++-+-+-++++=y y x y y x x x x y x f 的最小值．解 2(,)|(7)||(3)||2||(47)|f x y x x x x y y =--+--+-+--+2|(31216)|x y y +--+-，2247(2)33,y y y -+=-+≥ 161232-+-y y =}3,1{.44)2(32∉-≤---y y ， 2222312167.(247)(731216)41632y y y y y y y y ∴-+-≠-∴+-+---+-=-+ 1616)2(42≥+-=y ．故当且仅当x =-3且y =2时，),(y x f 取得最小值16．若定理1中的“12,,,n a a a ⋯”中有一组或几组相同的值，则定理仍然成立．但当n 为偶数且122+=n n a a 时，定理中的“122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦”应该改为“2n a x =”．例4 求函数|3|2|2|2|1|-+-++=x x x y 的最小值．解 已知函数就是|3||3||2||2||1|-+-+-+-++=x x x x x y ，n =5为奇数，12233-<=<=，y x 时，当2=∴取得最小值(33)(12)5+--+=.例5 求函数|5|4|3|3|1||2||10|-+-++++++=x x x x x y 的最小值． 解 n =10为偶数，10213335555-<-<-<==<===．故当3x =时，y 取得最小值(354)(102133)30+⨯----++=．更一般地，还有下面的定理2 设函数1()||(,,1,2,,,)niiiii f x a x b a b R i n x R ==-∈=∈∑ ，则（1） 当01>∑=ni ia时，)(x f 有最小值min{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2） 当01=∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{12(),(),,()n f b f b f b },最小值min{12(),(),,()n f b f b f b }．（3） 当01<∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},但无最小值．证明 不失一般性，设n b b b ≤⋯≤≤21，则 -)(111b x b a x a n i ni ii i≤+∑∑==,)(x f = )1,,2,1,)(()(11111-⋯=≤≤---++==+==∑∑∑∑n i b x bb a b a x aai ini j jj ij j j ni j jij j,)(11nni ni ii ib x b a x a ≥-∑∑==,由此可见，函数)(x f 的图象是左右两侧两射线和中间的（n-1）条线段依次连结而成的“折线形”．(1)若01>∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向上无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最小值mi n{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2）若01=∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向左右沿平行于x 轴方向无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},最小值min{)(),(),(21n b f b f b f ⋯}．（3）若01<∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点()1,1,()b f b 和点(),,()n n b f b 向下无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值{}12max (),(),,()n f b f b f b ,但无最小值．根据定理1，不难知道本赛题所求最小值为（1976+1977+…+2001）-（1949+1950+…+1974）=702（当n=1975时取得）．想一想下面的问题：假设有一座大楼，从第1949层到第2001层，每层指定1人集中到该楼第k 层（20011949≤≤k ）的会议室开会，为使参会人员上、下楼梯所走的路程总和最小，求k 及最短路程（假定每相邻两层楼之间的楼梯长均为1）．这一问题与本赛题实质是否是同一问题？ 下面的问题供读者练习：1、 求)(|1|2|1|2||)(R x x x x x f ∈-++-=的最小值．2、 求()|26||33||816|f x x x x =-+---的最大值．3、 求()|1||2||3||4||1998||1999|()f x x x x x x x x R =---+---+--+-∈ 的最小值．答案：1、-3 2、5 3、99928.解 若}{n a 是等差数列, n a >0,则da a a a a a a a n n n n n n n n 11111-----=--=+(d N n n ,,2+∈≥是公差).由此，得666111222211123223321101010s =++++=++++<+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++++=-+++++110101231121211101022326666 ()()()()66612213210101121101999⎡⎤=+-+-++--=+-+=⎢⎥⎣⎦.又知110102232122110131211666-++++++>-++++> s =()199810126=+-.19991998<<∴s ，[]1998=s ，∴选B.评析 s 显然是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前610项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两项之和呢？考虑到111--=-+n n n n ，于是将n1变为nn +2，再放大为12-+n n ，或缩小为21n n++，便使问题获解.这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。
【精编范文】希望杯数学竞赛试题-word范文模板 (9页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==希望杯数学竞赛试题篇一：最全希望杯数学竞赛真题及答案“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题........................................ 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题........................................ 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题........................................ 018-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题........................................ 024-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题........................................ 032-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题........................................ 038-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题........................................ 048-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题........................................ 056-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题........................................ 064-066题 ..................................... 071-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 ...................................... 078-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题 ...................................... 085-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题 ...................................... 096-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题 ...................................... 103-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题 ...................................... 111-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题 ...................................... 118-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题 ...................................... 127-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题 ...................................... 136-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题 ...................................... 145-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题 ...................................... 148-15121.希望杯第十一届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 159-16122.希望杯第十一届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 167-16923.希望杯第十二届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 171-17424.希望杯第十二届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 176-17825.希望杯第十三届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 182-184题 .................................. 186-18927.希望杯第十四届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 193-19628.希望杯第十四届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 198-20029.希望杯第十五届（201X年）初中一年级第一试试题 (203)30.希望杯第十五届（201X年）初中一年级第二试试题 (204)31.希望杯第十六届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 213-21832.希望杯第十六届（201X年）初中一年级第二试试题 (204)33.希望杯第十七届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 228-23334.希望杯第十七届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 234-23835.希望杯第十八届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 242-24626.希望杯第十八届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 248-25137.希望杯第十九届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 252-25638.希望杯第十九届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 257-26239.希望杯第二十届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 263-26620.希望杯第二十届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 267-271。
高中数学希望杯典型例题100道1-10
高中数学希望杯典型例题100道题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0Θ.解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1,Θ. 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2,Θ.解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A（a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）. 由图象，显然有AB BCk k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t a t t =+-，tt a at f ++=)(Θ单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x . 如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点ABCxyO b-a b b+a图1A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>AB k ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ，即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x ，322+>Q 10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ）A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确.总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可AB Oxyb 图2 aa b + A BD Cb图3a ab +b a -b取的.题2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（第十一届高二第一试第7题） 解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 Θc b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3 由c b a >>，知0,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ． 解法4 Θc b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 Θc b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,baa b R a b++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． 此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >>Q ， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x Θ恒成立， ∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a Θ，()222a b a b x y x y +∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即2222c b a z c y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a Λ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111Λ． 证明 021>>>>n a a a ΛΘ，n n a a a a a a ---∴-13221,,,Λ都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈=L ,则22111n i ni i ni iii x x y y ===⎛⎫ ⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212n n x x x y y y ===L 时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++--L L L ． 也可以这样证明：021>>>>n a a a ΛΘ，12231,,,0n n a a a a a a -∴--->L ．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦---L L ()()211111n -≥+++L 1442443个 ()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn Λ．01>-n a a Θ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111Λ． 由此可得本赛题的如下解法：Θc b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ．由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>>L ，并且122320002001111m a a a a a a =+++---L ，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( )A 、n m <B 、n m >C 、n m ≥D 、n m ≤ 解 12320002001a a a a a >>>>>Q L ，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为 ( )A 、21()b a +B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2 b n a b m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx a b )( ≤ny ab 22222222()()()()222b b b m x n y m n x y a a a ++++++==.2b b a a b=+⋅nymx +∴,ab ab b =≤当且仅当b m x a =且,b n y a=即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab = 解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=,mx ny ab ∴+≤当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=.解法4 设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n+≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是22k b m n≤+，即()max ,k mx ny ab mx ny ab =+≤∴+=.解法6 设12,z m ni z x yi =+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴()()()2221212,z z mx ny nx my mx ny mx ny mx ny mx ny z z ⋅=++-≥+=+≥+∴+≤12z z =⋅2222,m n x y ab =+⋅+=当且仅当my nx =时取等号，故()max mx ny ab +=．解法7 构造函数()()()222222f X m nXmx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m n xy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max .mx ny ab mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90,ACB ADB ︒∠=∠=,b AC m a =,b BC n a= ,,BD x AD y AB b ===为圆的直径，由托勒密定理,ADBC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,b bm x n y b a a⋅+⋅≤，从而得mx ny ab +≤，当且仅当my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ab ∴+=．评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m nXmx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．BCDA拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++=K K 则()1122max n n a b a b a b +++Kpq =（当且仅当()1,2,,i i qa b i n p==K 时取得最大值）. 证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭K K .q = 1122a b a b ∴+++K 1122n n n n p qqqa b a b a b a b q p pp ⎛⎫=⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭K p q ≤2222221122222n n q q q a b a b a b p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K =(),22222222122221pq q p p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++K K 当且仅当()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴==K K 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n nn n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++K K K （当且仅当nn b a b a b a ===K 2211时取等号）直接得到的一个结论．推广有十分广泛的应用，现举一例：例 已知123,,,,,,234,8.a b c x y z R a b c x y z +∈++=++=且求23a b c x y z++最大值． 解 ()()()222123234234,8a b c a bcx y z ++=⇒++=++=2212x y ⎛⎫⎛⎫⇒+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23z ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝8．由推广知23a b c x y z ++123234842,a b c x y z =⋅+⋅+⋅≤⨯=当且仅当81,4a x=82832,3,44b c y z==即12ax by cz ===时取等号．max23a b c x y z ⎛⎫∴++= ⎪ ⎪⎝⎭.24 题4 对于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1 题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1120122x x m x 或⎪⎩⎪⎨⎧--><-1120122x x m x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-11210122x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-11210122x x x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ,所以21<<x 或113<<-x 或1=x ，即)2,13(-∈x . 解法2 已知不等式即()()01212<---x m x ，令()()121)(2---=x m x m f ，则当012≠-x ，即1±≠x 时，)(m f 是m 的一次函数，因为1≤m ，即11≤≤-m 时不等式恒成立，所以)(m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-0121)1(0121)1(22x x f x x f ，即⎩⎨⎧<->-+0202222x x x x ，解得213<<-x )1(≠x .又当1=x 时，1)(-=m f ，适合题意，当1-=x 时，()3f m =不合题意. 故x 的取值范围是213<<-x .评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于x 的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x 分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x 的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m 的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=x m x m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②, ②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a ,得02a <≤,2max =∴a .解法2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Θ, 又 =-+x a x 11 +a 4(1a 2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当xa xx x a -=- 且x a x -=11, 即 2ax = 时取等号. Θ 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a .解法4 Θ22)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又Θ2122≥+x x 恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=ax a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a + α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a .Θ)22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2sin 2sin 242-1≥)12sin (2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则 2为222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2 xO半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x ==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22aXY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a =>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤2max =∴a .解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i Λ=∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121Λ),()(21221*++++++nn y y y x x x ΛΛ当且仅当k y x y x y x n n ====Λ2211（常数）时取等号.”Θ0x a <<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得x a x -+11a4≥②.故,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a .解法8 运用结论“212122311111(1),,n n n n n a a a a a a a a a a a -->>>+++≥----L L 若则当且仅当n a a a ,,,21Λ成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 评析 Θ2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x .故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广 1 若1210n x x x a -<<<<<L ，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x Λ23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121-Λ成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<<L ，则12x x -0>，23x x -0>，,Λ1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n Λ ≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭L 2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x Λ23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121-Λ成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<<L ，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i Λ则++kk x b 111kk n k n k n k k a b b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++-ΛΛ，当且仅当∑==ni ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a Λ ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i Λ=,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++444344421Λ个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即kik i c b 1+k n i b b b k kMc ))(1(21++++≥+Λi b ⋅，则11111(1)()k nn n k i i i k i i i i b kM c k b c ++===+≥+∴∑∑∑1111()k n n k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki ki ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑， 11111()nk k i ni i k k ni ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+Λk k n a b b b 121)(++++≥Λ. 题6 已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2Θ，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤Θ，()2pq q p pq +≤∴，pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21sin =θ，3cos 2θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θΘ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθΘ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 . （第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2log 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a.Θ指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log121->-x ，即22121121log log-⎪⎪⎭⎫⎝⎛->x .又Θ对数函数12logx 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x .Θ对数函数121log-x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a af xg x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aaf xg x <⇔<； ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a af xg x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aaf xg x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log ac a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04Y .应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a Y . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x x x f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是 （ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52,Y ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函直线应数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,距在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θcos =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθΘ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1,2]θθ∴-∈-.由题意得2>t .故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥. (3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出． 根据这一结论，请回答下列问题：1.不等式213x x t -≥+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ．yx122- -11 o2.不等式213x x t -≤+的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ．3.不等式213x x t -≥+有解，则实数t 的取值范围是 ．4.不等式213x x t -≤+有解，则实数t 的取值范围是 ．5.不等式213x x t ->+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．6.不等式213x x t -<+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．答案 1. ()2,+∞ 2.(),3-∞- 3.)3,⎡-+∞⎣4.(],2-∞5.(),3-∞- 6.()2,+∞题9 不等式03422≥+---x x x 的解集是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253,Y D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法 1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x 或3535322x x ++≥∴≤<，. 综上，所求解集为3555,33,,22⎡⎫⎡⎤++⎪⎢⎢⎥⎪⎣⎭⎣⎦U 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由 1 3A B()2122-=--x x 可解得255+=B x ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A.解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照 选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决. 选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3].1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y Θ即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3]. 评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ； 当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ; 当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ; 当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ. 根据这一结论，不难求得下列不等式的解集： 1、 2sinx+3cosx>4; 2、 322163-->-x x ;3、 x x x -<-+-433)1(log 4;4、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ 2、[2，+∞) 3、φ 4、R。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二第一试
一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内）
1、已知关于x 的方程x 2-4x+a=0和x 2-4x+b=0 (a,b ∈R,a ≠b)的四个根组成首项为–1的等差数列，则a+b 的值等于 ( )
A.2
B.-2
C. 4
D. – 4
2、函数y=g(x)的图象与y=f(x)=arccos(x-1)图象关于原点对称，则y=g(x)解析式是（ ） A.arccos(x+1)-π B.arccos(x+1)+π C.π-arccos(x+1) D.-arccos(x+1) 3.在以下关于向量的命题中，不正确的命题是 （ ）
A.若向量()y x a ,= ，向量()x y b ,-= ，则b a
⊥
B.四边形ABCD 是菱形的充要条件是DC AB =
C.若点G 是△ABC 的重心，则0=++CG GB GA
D. △ABC 中，CA AB 和的夹角等于180°-A
4.某个命题与自然数n 有关.如果当n=k(k ∈N)时,当n ＝10时该命题不成立，那么可推得( )
A. 当n=11时,该命题不成立.
B.当n=11时,
C. 当n=9时,该命题不成立
D.当n=9时, 5.如图1,设ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,AB=AC,∠BAC=90°点，P 点在A 1B 1上且A 1P:PB 1=1:2. 如果AA 1=AB,则AM 与( )
A.90°
B.1arccos
C. 60°6x
1-
attain the equal minimum at the same
D. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-21,41 n (n ∈N)中最小的是( )
15
92
=1上，以AB 为边作正三角形ABC(A 、B 、C 按顺 的直线，交椭圆于A 、B 两点。
若3:1:=BF AF ，
3
3
3
3
二、A 组填空题
11．当4
0π
θ<<时，θθcsc sin +=p 和θθcot tan +=q 的大小关系是
12．凸四边形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=BC=CD=1，AB=2。
以它的一边为轴旋转，所得旋转体的体积最大可达到
13．记号[x]表示不超过x 的最大整数，则方程[][]6)1(log 3
3-=-x x 的解是
14．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和S n ，T n 的比7
213++=
n n T S n
n 。
用n 表示，则
=++1
212n n b a
15．使
(
)
2
3i +为纯虚数的正整数n 的最小值等于
16．为使函数2sin 32cos 2)(2+-++=θθx x x f 的值恒为正，则参数θ在区间(0，π)上的取值范围是 17．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(满足f(-1)>0，且方程f(x)=0有三个根0、1、2，那么c 的取值范围是
18．抛物线)20(4422≤<+--=a a a x x y 和x 轴交于A 、B 两点，动圆M 过点A 、B 且和y 轴切于点C ，O 是原点，则OC 的取值范围是 19．从点P(2a,0)看椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x
20．to New York, then flying southward to Santiago; (B) be approximately considered as: Beijing (120°east east longitude, 40°north latitude), Santiago(70°east longitude, 30°三、B 组填空题
21．若方程a x x x =-+-34222．已知点A(3，1)，点M ，N 分别在直线y=x 和y=0点N 的坐标是
a 1=5，则通项公式a n =
n A 、B 、C 、D 的数量分别是1
A 、
B 、D 的数量分别是1吨、4吨、1吨。
由于原80吨、80吨、60吨、70吨。
若甲、
、A 10、D 11、p>q 12、
π4
7 13、[4，5] 14、
9
8412++n n 15、3 16、⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫
⎝
⎛
πππ,656,
0 17、(-∞，0) 18、(0，2) 19、2
3 20、(A)
三、B 组填空题
21、43
1--或 22、⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0253535，；， 23、25);,2,1(n 511251
=⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-n
24、(][)+∞⋃-∞-,11, 25、13
830
;13
100。