浙江金兰教育合作组织2019-2020年高一第1学期期中考试数学试题及参考答案解析
高一数学上学期期中考试试卷含答案(共3套)
2019-2020学年度第一学期高一期中考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3] C．[3，+∞）D．（3，+∞）2．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m 的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．33．已知f（x）＝loga（x+1）﹣1（a＞0，a≠1），则此函数恒过定点是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，﹣1）D．（1，﹣1）4．函数f（2x+1）的图象可由f（2x﹣1）的图象经过怎样的变换得到（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位5．分段函数则满足f（x）＝1的x值为（）A．0B．3C．0或3D．6．下列各组函数中，表示相同函数的是（）A．f（x）＝x与g（x）＝B．f（x）＝|x|与g（x）＝C．f（x）＝与g（x）＝•D．f（x）＝x0与g（x）＝17．已知，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．函数f（x）＝log a|x+1|在（﹣1，0）上是增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是（）A．函数值由负到正且为增函数B．函数值恒为正且为减函数C．函数值由正到负且为减函数D．没有单调性9．已知函数f（x）＝，则下列的图象错误的是（）A．y＝f（x﹣1）的图象B．y＝f（﹣x）的图象C．y＝|f（x）|的图象D．y＝f（|x|）的图象10．函数y＝lgx+x有零点的区间是（）A．（1，2）B．（）C．（2，3）D．（﹣∞，0）11．已知函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜2 C．1＜a＜2 D．1＜a≤212．已知函数f（x）＝（x+1）2，若存在实数a，使得f（x+a）≤2x﹣4对任意的x∈[2，t]恒成立，则实数t的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分，答案填在．．．．．）．．．．Ⅱ．卷答题卡上13．求函数y＝的定义域．14．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣4x+1，写出分段函数f（x）的解析式．15．已知f（x）＝，则函数y＝f（f（x））+1的零点的个数是；16．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时总有x1＝x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）＝x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）＝x2﹣2x（x∈R）是单函数；②函数f（x）＝是单函数；③若y＝f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是（写出所有真命题的编号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
2024-2025学年浙江省金兰教育合作组织高一上学期期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年浙江省金兰教育合作组织高一上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则∁U(M∩N)=( )A. {5}B. {2,3}C. {1,4}D. {1,4,5}2.下列说法正确的是( )A. ∀x∈R，|x+1|>1B. “x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件C. ∃x>0，x3=−xD. “x2−x=0”是“x=1”的必要不充分条件3.已知集合{1,a,ba}={0,a2,a+b}，则a2024+b2024的值为( )A. 0B. 1C. −1D. 1或−14.设函数f(x)=2x−12x，则f(x)( )A. 是奇函数，且在(−∞,+∞)上单调递增B. 是奇函数，且在(−∞,+∞)上单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,+∞)上单调递增D. 是偶函数，且在(−∞,+∞)上单调递减5.下列函数中最小值为4的是( )A. y=x2+2x+4B. y=x+4xC. y=2x+22−xD. y=x2+5+1x2+56.函数y=−6xx2+2的图象大致为( )A. B.C. D.7.下列说法正确的是()．A. 若a >b >0，则ac 2>bc 2B. 若a >b ，则a 2>b 2C. 若a <b <0，则a 2>ab >b 2D. 若a <b ，则1a >1b 8.若定义在R 上的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(2)=0，则满足(x−1)f(x−2)≥0的x 的取值范围是( )A. [0,1]∪[4,+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [0,1]∪[2,+∞)D. [0,1]∪[2,4]二、多选题：本题共3小题，共18分。
2019-2020学年浙江省金兰教育合作组织高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省金兰教育合作组织高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 若集合A ={x|x 2−4x >0}，B ={−2,2，4，6}，则A ∩B = ( )A. ⌀B. {2,4，6}C. {−2,4，6}D. {−2,6}2. 已知幂函数f(x)=kx α(k ∈R,α∈R)的图象过点(12,√2)，则k +α= ( )A. 12B. 1C. −1D. 23. 已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( )A. 1<m <nB. 1<n <mC. m <n <1D. n <m <14. 函数f(x)=ln(2x −1)−1x+2的零点所在的大致区间是( )A. (12,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 已知函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1)，若a <b ，f(a)=f(b)，则实数2a +b 的取值范围为( )A. (−∞,e−72) B. (−∞,e−52)C. (−∞,1−e e) D. (−∞,1−3e 2e]6. 若数f(x)=ln(√1+4x 2+2x)+3，且f(log a 2019)=5，则f(log a 12019)=( )A. −5B. 4C. 3D. 1 7. 定义在R 的奇函数f(x)，当x <0时，f(x)=−x 2+x ，则f(2)等于( )A. 4B. 6C. −4D. −6 8. 函数f(x)=lg(1−x 2)的单调递减区间是( )A. (0,+∞)B. (0,1)C. (−∞,0)D. (−1,0) 9. 若关于x 的方程x 2− 2x + a = 0在区间[0,3]上有解，则实数a 的取值范围是( )A. (− 3,1)B. [− 3,1]C. (− 3,0)D. [− 3,0] 10. 若函数f (x )=x 2−2ax +1−a 在[0,2]上的最小值为−1，则a =( )A. 1或2B. 1C. 1或65D. −2二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知集合A ={1,2，3，4}，集合B ={x|x(4−x)<0}，则A ∩(∁ R B)=___________． 12. 函数f(x)=2x−1在区间[2,4]上值域为________． 13. 已知f(2x )=x +3，若f(a)=5，则a = ______ ．14. 已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2−x.若f (a)<4+f (−a)，则实数a 的取值范围是_____． 15. log 28−(−23)0=______．16. 已知函数f (x )={x +12,0≤x <122x−1,12≤x <2，若存在x 1，x 2，当0≤x 1<x 2<2时，f(x 1)=f(x 2)，则x 1f(x 2)−f(x 2)的最小值为_____________17. 设a 为实常数，y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=9x +a 2x+7，若f (x )≥a +1对一切x >0成立，则实数a 的取值范围为 _____ 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2+3x −10<0}，B ={x|x 2−2x −3≥0}，全集为R ，求A ∩B 和A ∪(∁R B)19. 已知函数． (1)若，求函数的解析式，并写出的定义域；(2)记．①若在[1,32]上的最小值为1，求实数的值； ②若，，为图象上的三点，且满足2=+的实数有且只有两个不同的值，求实数的取值范围．20. 某商品在30天内(包括30天)的交易价格P(单位：元/件)与时间t(单位：天)组成有序数对(t,P)，点(t,P)落在下图中的两条线段上．该商品在30天内的日交易量Q(单位：万件)与时间t(单位：天)的部分数据如下表所示：t4101622Q36302418(1)根据提供的图象，写出该商品的交易价格P关于时间t的函数关系式；(2)根据表中数据，确定日交易量Q关于时间t的一次函数关系式；(3)若用y(单位：万元)表示该商品日交易额，试写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天的日交易额最大，最大交易额为多少？21.二次函数f(x)=x2−16x+q+3.若函数在区间[−1,1]上存在零点，求实数q的取值范围．22.已知函数f(x)=x2+ax+b的图象关于x=1对称(1)求实数a的值；(2)若f(x)的图象过(2,0)点，求x∈[0,3]时f(x)的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析： 【分析】本题考查集合的交集运算，先求出集合A ，再求交集即可． 【解答】解：解不等式x 2−4x >0得，x >4或x <0， 所以A =｛x|x >4或x <0｝ 所以A ∩B =｛−2，6｝ 故选D ．2.答案：A解析： 【分析】本题考查了幂函数的概念，以及求函数解析式，根据题意得以k =1，α=−12，从而得到结果． 【解答】解：∵幂函数f(x)=kx α(k ∈R,α∈R)的图象过点(12,√2)， ∴k =1,(12)α=√2， ∴α=−12， ∴k +α=1−12=12． 故选A ．3.答案：B解析：本题考查比较大小，解题的关键是熟练掌握对数函数的单调性． 根据对数函数的单调性可直接作答． 【解答】解：log a m <log a n <0可化为log a m <log a n <log a 1， ∵0<a <1， ∴m >n >1． 故选B ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．由题意可知函数在(12,+∞)单调递增且连续，f(1)⋅f(2)<0，由根的存在性定理可求． 【解答】解：函数f(x)=ln(2x −1)−1x+2在区间(12,+∞)上为增函数，且连续， 因为f (1)=ln1−13=−13<0,f (2)=ln3−14=ln3−ln √e 4>0， 即f(1)⋅f(2)<0，所以函数零点所在的大致区间是(1,2)． 故选B ．5.答案：D解析： 【分析】本题考查了函数的单调性，考查换元思想，本题属于中档题． 结合函数的草图易知a ≤−1，2a +b =e a +12+2a ，由函数y =e x +12+2x 的单调性，从而求出实数2a +b 的范围．解：由题意，函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1)，若a <b ，f(a)=f(b)，所以a ≤−1，∵f(a)=e a ，f(b)=2b −1，且f(a)=f(b)， ∴e a =2b −1， 得b =e a +12，∴2a +b =e a +12+2a ，又∵函数y =e x +12+2x ，(x ≤−1)单调递增，∴y ≤1−3e 2e，∴实数2a +b 的范围是(−∞,1−3e 2e]，故选：D ．6.答案：D解析： 【分析】本题考查函数奇偶性的应用，考查对数的运算，属基础题．令g (x )=ln (√1+4x 2+2x)知g (x )为奇函数，根据f(log a 2019)=g(log a 2019)+3=5，求得g(log a 2019)=2，又f(log a 12019)=g(log a 12019)+3 =−g(log a 2019)+3，即可求得结果． 【解答】解：令g (x )=ln (√1+4x 2+2x)，则g (−x )=ln (√1+4x 2−2x)= √1+4x 2+2x =−g (x )，所以g (x )为奇函数，f(x)=g (x )+3，f(log a 2019)=g(log a 2019)+3=5，所以g(log a 2019)=2， f(log a12019)=g(log a12019)+3= −g(log a 2019)+3=−2+3=1，故选D ．7.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，属较易题． 根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可． 【解答】解：∵定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，∴f(2)=−f(−2)=−[−(−2)2−2]=6，故选：B．8.答案：B解析：解：令t=1−x2=(1+x)(1−x)>0，可得−1<x<1，故函数的定义域为(−1,1)，则f(x)=lgt．本题即求t=−x2+1在(−1,1)上的减区间，再利用二次函数的性质可得，t=−x2+1在(−1,1)上的减区间为(0,1)，故选：B．令t=1−x2>0，可得函数的定义域为(−1,1)，f(x)=lgt，本题即求t=−x2+1在(−1,1)上的减区间，再利用二次函数的性质求得t=−x2+1在(0,1)上为减区间．本题考查对数函数的单调性和应用、复合函数的单调性、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．9.答案：B解析：【分析】本题考查了方程与函数的转化运用，函数的交点，方程的根的关系，属于中档题．由x2−2x+a=0，得a=−x2+2x，令ƒ(x)=−x2+2x，求得f(x)在区间[0,3]的值域即可．【解答】解：由x2−2x+a=0，得a=−x2+2x，实数a的取值范围即函数ƒ(x)=−x2+2x在区间[0,3]上的值域，ƒ(x)的最大值为ƒ(1)=−12+2×1=1，ƒ(x)的最小值为ƒ(3)=−32+2×3=−3，所以ƒ(x)=−x2+2x的值域是[−3,1]，即实数a的取值范围是[−3,1]．故选B．10.答案：B解析：【分析】本题考查由二次函数的最值求参数的值，属于中档题目．利用二次函数的性质对a进行分类讨论求出f(x)的最小值得出a的值．【解答】解：函数f(x)=x2−2ax+1−a图象的对称轴为x=a，图象开口向上．(1)当a≤0时，函数f(x)=x2−2ax+1−a在[0,2]上单调递增，则f(x)min=f(0)=1−a，由1−a=−1，得a=2，不符合a≤0；(2)当0<a<2时，则f(x)min=f(a)=a2−2a2+1−a=−a2−a+1，由−a2−a+1=−1，得a=−2或a=1，∵0<a<2，∴a=1符合；(3)当a≥2时，函数f(x)=x2−2ax+1−a在[0,2]上单调递减，∴f(x)min=f(2)=4−4a+1−a=5−5a，，由5−5a=−1，得a=65∵a≥2，∴a=6不符合．5综上可知，a=1．故选B．11.答案：{1,2，3，4}解析：【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．化简集合B，根据补集与交集的定义写出A∩(∁ R B)即可．【解答】解：集合A={1,2，3，4}，B={x|x(4−x)<0}={x|x(x−4)>0}={x|x<0或x>4}，∴∁ R B={x|0≤x≤4}，∴A∩(∁ R B)={1,2，3，4}．故答案为：{1,2，3，4}．,2]12.答案：[23解析：【分析】本题主要考查分式函数的单调性，利用函数的单调性求函数的值域．【解答】解：f(x)=2x−1，则函数在[2,4]上单调递减，所以f(4)≤f(x)≤f(2)， 即23≤f(x)≤2，所以函数的值域为[23,2]． 故答案为[23,2]．13.答案：4解析： 【分析】本题考查了函数值的计算，属于基础题．令a =2x ，则f(a)=x +3=5，从而得出x 的值，进而得出a 的值． 【解答】解：令a =2x ，则f(a)=f(2x )=x +3=5， ∴x =2， ∴a =22=4， 故答案为4．14.答案：(−∞,2)解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式和一元二次不等式的解法，属于中档题．根据题意，由函数的奇偶性和解析式分析可得f(x)={x 2−x,x ≥0−x 2−x,x <0；据此可得f(a)<4+f(−a)等价于{a 2−a <2a ≥0或{−a 2−a <2a <0，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，设x <0，则−x >0， 则f(−x)=(−x)2−(−x)=x 2+x ，又由f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(x)=−f(−x)=−x 2−x ， 则f(x)={x 2−x,x ≥0−x 2−x,x <0；因为f(a)<4+f(−a)， 所以f(a)−f(−a)<4， 所以f(a)<2，所以{a 2−a <2a ≥0或{−a 2−a <2a <0, 解可得：a <2，即a 的取值范围为(−∞,2)；故答案为(−∞,2)．15.答案：2解析：解：log 28−(−23)0=3−1=2．故答案为：2．可以求出log 28=3,(−23)0=1，从而可求出原式的值． 考查对数的运算，以及x ≠0时，x 0=1．16.答案：−916解析：【分析】本题考查分段函数应用及二次函数，画出函数图象，分析x 1的范围，然后将x 1f(x 2)−f(x 2)用x 1表示，利用二次函数求解即可【解答】解： 画出f(x)的图象，如下图，设f(x 1)=f(x 2)=a ，由图知当√22≤a <1时，符合题意， 由x +12=√22得x =√22−12， 所以由图知x 1∈[√22−12,12), 则x 1f(x 2)−f(x 2)=x 1f(x 1)−f(x 1)=x 12−12x 1−12=(x 1−14)2−916，当x 1=14时，取得最小值−916．故答案为−916．17.答案：a ≤−87或a ≥85 解析： 【分析】本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键． 根据函数奇偶性的对称性求出当x >0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f(x)的最值即可得到结论．【解答】解：设x >0，则−x <0．∵当x <0时，f(x)=9x +a 2x +7，∴f(−x)=−9x −a 2x +7．∵y =f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(x)=−f(−x)=9x +a 2x −7．∵f(x)≥a +1对一切x >0成立，∴即9x +a 2x −7≥a +1对一切x >0恒成立由基本不等式可得9x +a 2x −7≥2√9x ·a 2x −7=6|a|−7，当且仅当由9x =a 2x 即x =|a|3时，等号成立，由恒成立可得6|a|−7≥a +1解得a ≤−87或a ≥85．故答案为a ≤−87或a ≥85．18.答案：解：集合A ={x|x 2+3x −10<0}={x|−5<x <2}，B ={x|x 2−2x −3≥0}={x|x ≤−1或x ≥3}，且全集为R ，所以A ∩B ={x|−5<x ≤−1}，∁R B ={x|−1<x <3}，A ∪(∁R B)={x|−5<x <3}．解析：化简集合A 、B ，根据交集与并集、并集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19.答案：解：(1)令，，则且∵∴∴，定义域为； (2) ①在∴函数在上单调减，在 上单调增； (Ⅰ)当a <1<32≤a +1，即12≤a <1时，当x =32时，y min =−log 3(32−a)=1，∴a =76>1(舍) (Ⅱ)当1<a +1<32，即0<a <12时，当时，(舍) (Ⅲ)当，即时，当时， ∴a =−2 ∴综上：a =−2；(a =76舍)②∵，即 化简得： (∗)∵满足条件的实数有且只有两个不同的值∴(∗)在上有两个不等实根， 设∴，解得：.解析：本题考查了函数与方程知识的综合运用，考查了计算能力，(1)构造函数可直接求出的定义域； (2)①化根据函数单调性直接求解；②利用一元二次方程有两个不同根的条件进行计算．20.答案：解：(1)P ={15t +2,0<t <20,且t ∈N −110t +8,20≤t ≤30,且t ∈N(2)设Q =at +b(a,b 为常数)，将(4,36)与(10,30)的坐标代入，得{4a +b =3610a +b =30. 日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q =40−t ，0<t ≤30，t ∈N ∗.(3)由(1)(2)可得y =PQ即y ={−15t 2+6t +80,0<t <20,且t ∈N 110t 2−12t +320,20≤t ≤30,且t ∈N ， 当0<t <20时，当t =15时，y max =125；当20≤t ≤30时，当t =20时，y max =120；所以，第15日交易额最大，最大值为125万元．解析：本题考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，理解分段函数的能力．(1)根据图象可知此函数为分段函数，在(0,20)和[20,30]两个区间利用待定系数法分别求出一次函数关系式联立可得P 的解析式；(2)因为Q 与t 成一次函数关系，根据表格中的数据，取出两组即可确定出Q 的解析式；(3)根据股票日交易额=交易量×每股交易价格可知y =PQ ，可得y 的解析式，分别在各段上利用二次函数求最值的方法求出即可．21.答案：解：∵二次函数f(x)=x 2−16x +q +3的对称轴为x =8，∴函数f(x)在区间[−1,1]上是减函数，∵函数在区间[−1,1]上存在零点，∴必有{f(1)≤0f(−1)≥0，即{1−16+q +3≤01+16+q +3≥0， 解不等式组可得−20≤q ≤12，∴实数q 的取值范围为[−20,12]解析：由二次函数的单调性易得{f(1)≤0f(−1)≥0，解关于q 的不等式组可得． 本题考查二次函数的零点分布，得出q 的不等式组是解决问题的关键，属基础题．22.答案：解：(1)因为函数f(x)=x 2+ax +b 的图象关于x =1对称，所以−a 2=1，∴a =−2．(2)因为f(x)的图象过(2,0)点，所以0=22−2×2+b ，所以b =0．所以函数f(x)=x 2−2xx ∈[0,3]时f(x)的最小值为：f(1)=−1；最大值为：f(3)=3，所以函数的值域为：[−1,3]．解析：(1)利用二次函数的对称轴，求出a的值．(2)利用函数的图象经过(2,0)，求出b，通过函数的定义域，求出函数的值域．本题考查用待定系数法求二次函数的解析式和求二次函数的最值问题，需注意区间与对称轴的位置关系．。
2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P ＝{x |x 2﹣3x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则（∁R P ）∩Q 等于（ ） A ．[0，1）B ．（0，3]C ．（1，3）D ．[1，3]2．命题“∀x ＜5，﹣x 2+2x ≥3“的否定是（ ） A ．∀x ＜5，﹣x 2+2x ＜3 B ．∃x ≥5，﹣x 2+2x ＜3 C ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ＜3D ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ≤33．已知函数f(x)={2−x 2，x ≤1x 2+2x −2，x ＞1，则f(2f(2))的值为（ ）A ．7136B ．6C ．74D ．1794．可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数y =x−1√4−x 2的定义域是（ ）A ．[﹣2，2]B ．（﹣2，2）C ．（﹣2，1）∪（1，2）D ．[﹣2，1）∪（1，2]6．设a =(54)14，b =(45)−15，c =(34)−13，则（ ） A ．c ＜b ＜a B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a7．某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t （n ）（单位：小时）大致服从的关系为t(n)={√n n ＜N 0√0n ≥N 0（t 0，N 0为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（ ） A ．6小时 B ．7小时C ．9小时D ．5小时8．已知函数f(x)=x+mx+1(1≤x ≤2)，函数g （x ）＝（m ﹣1）x （1≤x ≤2），若任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则m 的取值范围是（ ） A ．(1，53]B ．（1，+∞）C ．[2，52]D ．[53，52]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设f （x ）是定义在R 上的奇函数且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣4）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减 B ．f （8）＞0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣4）∪（0，4）D ．f （x ）的图象与x 轴只有2个公共点 10．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+42√x 2+4的最小值为2√2B ．已知a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ，则x ＜0时，f （x ）＝x 2+xD ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2是两个相同的函数11．已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于x ＝1对称，当x 1，x 2∈（﹣∞，0]，且x 1≠x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0成立，若f （4bx ）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的可能取值为（ ） A ．0B ．−12C ．﹣1D ．1212．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ）下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）的值域是[0，1]B ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1C ．f （x +2）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立D ．存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等腰直角三角形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 在第一象限单调递减，则f （m ）＝ ．14．0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6= ．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1在（﹣∞，a ）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +a 2+a +10（a ＞0），且f （a 2+3）＝f （3a ﹣2），则f(n)+6a n+1(n ∈N ∗)的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，B ＝{x |1＜x ≤5}，C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ；（2）若B ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知正数a 、b 满足1a +2b=2．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a 2a−1+2bb−1的最小值．19．（12分）已知函数f(x)=1−42a x +a （a ＞0且a ≠1）的定义域为R ，且f （0）＝0． （1）求函数f （x ）的解析式，并判断其奇偶性；（2）判断函数f （x ）在R 上的单调性，并利用单调性定义法证明． 20．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4． （1）若t ＝1，求f （x ）在[﹣1，3]上的值域；（2）若存在x ∈[4，10]，使得不等式f （x ）＜tx 有解，求实数t 的取值范围．21．（12分）2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每年生产x 千件，需另投入成本C （x ）．当年产量不足50千件时，C(x)=12x 2+20x （万元）；年产量不小于50千件时，C(x)=51x +3600x−600（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 22．（12分）已知函数f(x)=|x −a|−9x+a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求f （x ）的单调递增区间；（2）若函数f （x ）在[1，a ]上单调，且对任意x ∈[1，a ]，f （x ）＜﹣2恒成立，求a 的取值范围； （3）当a ∈（3，6）时，函数f （x ）在区间[1，6]上的最大值为M （a ），求M （a ）的函数解析式．2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P ＝{x |x 2﹣3x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则（∁R P ）∩Q 等于（ ） A ．[0，1）B ．（0，3]C ．（1，3）D ．[1，3]解：解不等式x 2﹣3x ≥0可得x ≥3或x ≤0， 即P ＝{x |x ≥3或x ≤0}，则∁R P ＝{x |0＜x ＜3}，又Q ＝{x |1＜x ≤3}， 所以（∁R P ）∩Q ＝{x |1＜x ＜3}＝（1，3）． 故选：C ．2．命题“∀x ＜5，﹣x 2+2x ≥3“的否定是（ ） A ．∀x ＜5，﹣x 2+2x ＜3 B ．∃x ≥5，﹣x 2+2x ＜3 C ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ＜3D ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ≤3解：命题“∀x ＜5，﹣x 2+2x ≥3“的否定是“∃x ＜5，﹣x 2+2x ＜3“． 故选：C ．3．已知函数f(x)={2−x 2，x ≤1x 2+2x −2，x ＞1，则f(2f(2))的值为（ ）A ．7136B ．6C ．74D ．179解：函数f(x)={2−x 2，x ≤1x 2+2x −2，x ＞1，则f （2）＝22+2×2﹣2＝6， 故f(2f(2))=f(13)=1−(13)2=179． 故选：D ．4．可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ）A ．B ．C．D．解：由函数的定义可知，每一个x有且只有一个函数值与之对应，故选：C．5．函数y=x−1√4−x2的定义域是（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，2）C．（﹣2，1）∪（1，2）D．[﹣2，1）∪（1，2]解：由题意得：4﹣x2＞0，解得：﹣2＜x＜2，故函数的定义域是（﹣2，2）．故选：B．6．设a=(54)14，b=(45)−15，c=(34)−13，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：b=(45)−15=(54)15，因为函数y=(54)x是增函数，所以(54)15＜(54)14，即b＜a，又c=(34)−13=(43)13＞(54)13＞(54)14=a，所以b＜a＜c．故选：C．7．某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为t(n)={t0√n n＜N0t0√0n≥N0（t0，N0为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（）A．6小时B．7小时C．9小时D．5小时解：因为第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以16＜N 0， 所以0√16=10，即t 0＝40， 所以√N 0=5，解得N 0＝64，所以t(n)={40√n n ＜645，n ≥64，所以第36天检测过程平均耗时t(36)=40√36=203≈7小时． 故选：B ．8．已知函数f(x)=x+mx+1(1≤x ≤2)，函数g （x ）＝（m ﹣1）x （1≤x ≤2），若任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则m 的取值范围是（ ） A ．(1，53] B ．（1，+∞） C ．[2，52]D ．[53，52]解：f(x)=x+m x+1=x+1+m−1x+1=1+m−1x+1(1≤x ≤2)，g （x ）＝（m ﹣1）x （1≤x ≤2）， ①当m ＞1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递减，函数g （x ）在区间[1，2]上单调递增， 可得f(x)∈[m+23，m+12]，g （x ）∈[m ﹣1，2m ﹣2]， 由题意，得m −1≤m+23＜m+12≤2m −2， 解得53≤m ≤52；②当m ＜1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递增，函数g （x ）在区间[1，2]上单调递减， 可得f(x)∈[m+12，m+23]，g （x ）∈[2m ﹣2，m ﹣1]， 由题意，得2m −2≤m+12＜m+23≤m −1， 解得m ∈∅；③当m ＝1时，f （x ）＝1，g （x ）＝0，显然不满足， 故实数m 的取值范围为[53，52]． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设f （x ）是定义在R 上的奇函数且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣4）＝0，则（ ）A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减B ．f （8）＞0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣4）∪（0，4）D ．f （x ）的图象与x 轴只有2个公共点解：对于A ，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣4）＝0，根据奇函数特征，f （x ）在 （﹣∞，0）上单调递减，f （4）＝﹣f （﹣4）＝0，f （0）＝0，故A 正确； 对于B ，由奇偶性及单调性可知 f （8）＜0，故B 错误；对于C ，由题意可知，不等式f （x ）＞0的解集为 （﹣∞，﹣4）∪（0，4），故C 正确； 对于D ，由题意得f （4）＝f （﹣4）＝f （0）＝0，即函数图象与x 轴有3个交点，D 错误． 故选：AC ．10．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+42√x 2+4的最小值为2√2B ．已知a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ，则x ＜0时，f （x ）＝x 2+xD ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2是两个相同的函数 解：对于A ，√x 2+42√x 2+4≥2√√x 2+42√x 2+4=2√2，当且仅当x 2+4＝2时取“＝”，显然不成立，所以A 错误； 对于B ，由a ≠0不能推出ab ≠0，而ab ≠0⇒a ≠0， 所以“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，所以B 正确； 对于C ，f （x ）为定义在R 上的奇函数，x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ， x ＜0时，﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）2﹣x ＝﹣f （x ）， 所以f （x ）＝﹣x 2﹣x ，则C 正确；对于D ，f （x ）＝|x |，g(x)=√x 2=|x|，两个函数的定义域，对应关系都一样， 所以是两个相同的函数，则D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于x ＝1对称，当x 1，x 2∈（﹣∞，0]，且x 1≠x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0成立，若f （4bx ）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的可能取值为（ ） A ．0B ．−12C ．﹣1D ．12解：因为函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于x ＝1对称，所以函数y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称，则f （x ）为偶函数， 又因为当x 1，x 2∈（﹣∞，0]，且x 1≠x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0成立，所以f （x ）在（﹣∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增， 则f （4bx ）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立， 即f （|4bx |）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立， 即|4bx |＜2x 2+1对任意x ∈R 恒成立， 当x ＝0时，0＜1成立；当x ≠0时，即|4b|＜2|x|+1|x|对任意x ∈R 恒成立， 而2|x|+1|x|≥2√2|x|⋅1|x|=2√2，当且仅当 2|x|=1|x|，即 |x|=√22时，等号成立， 所以 |4b|＜2√2，即 |b|＜√22．故选：ABD ．12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ）下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）的值域是[0，1]B ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1C ．f （x +2）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立D ．存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等腰直角三角形 解：对于A ，函数的值域为{0，1}，可知A 错误；对于B ，当x 为有理数时，f （x ）＝1，f （f （x ））＝f （x ）＝1， 当x 为无理数时，f （x ）＝0，f （f （x ））＝f （x ）＝1， ∴∀x ∈R ，f （f （x ））＝1，故B 正确；对于C ，当x 为有理数时，x +2为有理数，f （x +2）＝f （x ）＝1， 当x 为无理数时，x +2为无理数，f （x +2）＝f （x ）＝0， ∴f （x +2）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立，故C 正确； 对于D ，若△ABC 为等腰直角三角形，不妨设B 为直角，则f （x 1），f （x 2），f （x 3）的取值的可能性为：f （x 1）＝0，f （x 2）＝1，f （x 3）＝0， 或f （x 1）＝1，f （x 2）＝0，f （x 3）＝1，由等腰直角三角形的性质得|x 2﹣x 1|＝1， ∴f （x 1）＝f （x 2），这与f （x 1）≠f （x 2）矛盾，故D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 在第一象限单调递减，则f （m ）＝ ﹣1 ． 解：由幂函数定义可得m 2﹣2m ﹣2＝1， 即m 2﹣2m ﹣3＝0，解得m ＝3或m ＝﹣1，又函数f （x ）在第一象限单调递减，所以m ＝﹣1，即f （x ）＝x ﹣1，即可得f(m)=f(−1)=1−1=−1． 故答案为：﹣1． 14．0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6= 81 ．解：0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6=(18)−13−1+432+(212×313)6=813−1+23+23×32＝2﹣1+8+8×9 ＝81． 故答案为：81．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1在（﹣∞，a ）上是减函数，则实数a 的取值范围是 [0，32] ． 解：当a ＝0时，f （x ）＝﹣3x +1在（﹣∞，0）上是减函数，符合题意； 当a ≠0时，f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1为一元二次函数，对称轴为x =3+a2a ， 因为函数f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1在（﹣∞，a ）上是减函数， 所以{a ＞03+a 2a≥a，解得0＜a ≤32，综上，0≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是[0，32]． 故答案为：[0，32]．16．已知函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +a 2+a +10（a ＞0），且f （a 2+3）＝f （3a ﹣2），则f(n)+6a n+1(n ∈N ∗)的最小值为145．解：函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +a 2+a +10（a ＞0）的对称轴为x =a+42， 由题意可得a 2+3＝3a ﹣2或a 2+3+3a ﹣2＝2×a+42， 解得a ＝1或a ＝﹣3，由a ＞0，可得a ＝1， ∴f （x ）＝x 2﹣5x +12，即有f （n ）＝n 2﹣5n +12， ∴f(n)+6a n+1=n 2−5n+18n+1=n +1+24n+1−7≥2√24−7＝4√6−7， 当且仅当n +1=24n+1，即n ＝2√6−1时取等号， 但n 为正整数，且2√6−1∈（3，4）， 由n ＝3时，∴f(n)+6a n+1=3，n ＝4时，∴f(n)+6a n+1=145＜3，故当n ＝4时，原式取最小值为145．故答案为：145．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，B ＝{x |1＜x ≤5}，C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ；（2）若B ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围．解：（1）因为集合A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，B ＝{x |1＜x ≤5}， 所以A ∩B ＝{x |3≤x ≤5}，∁R A ＝{x |﹣4＜x ＜3} 所以（∁R A ）∪B ＝{x |﹣4＜x ≤5}； （2）因为B ∩C ＝C ，所以C ⊆B ， ①当C ＝∅时，m ﹣1＞2m ，解得m ＜﹣1， ②当C ≠∅时，则{m −1≤2mm −1＞12m ≤5，解得2＜m ≤52，综上所述：m 的取值范围是(−∞，−1)∪(2，52]． 18．（12分）已知正数a 、b 满足1a +2b=2．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a 2a−1+2bb−1的最小值．解：（1）因为a 、b 是正数，所以a +b =12(a +b)(1a +2b )=12(3+b a +2a b )≥32+√2当且仅当a =√2+12，b =2+√22时等号成立， 所以a +b 的最小值为32+√2．（2）因为1a+2b =2， 所以a ＞12，b ＞1，所以2a ﹣1＞0，b ﹣1＞0，（2a ﹣1）•（b ﹣1）＝1 则4a 2a−1+2b b−1=4+22a−1+2b−1≥4+2√22a−1⋅2b−1=8，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立，所以4a 2a−1+2b b−1的最小值为8．19．（12分）已知函数f(x)=1−42a x +a （a ＞0且a ≠1）的定义域为R ，且f （0）＝0．（1）求函数f （x ）的解析式，并判断其奇偶性；（2）判断函数f （x ）在R 上的单调性，并利用单调性定义法证明．解：（1）∵函数f(x)=1−42a x +a （a ＞0且a ≠1）的定义域为R ，f(0)=1−42+a=0，解得：a ＝2， ∴f(x)=1−22x +1，f(x)=2x −12x +1，f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x 2x +1∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．（2）设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，∴f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−1+22x 2+1=2(2x 1+1−2x 2−1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)， ∵2x 1+1＞0，2x 2+1＞0，2x 1−2x 2＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2），∴f （x ）在R 上单调递增．20．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4．（1）若t ＝1，求f （x ）在[﹣1，3]上的值域；（2）若存在x ∈[4，10]，使得不等式f （x ）＜tx 有解，求实数t 的取值范围．解：（1）根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4，因为t ＝1，则f （x ）＝x 2+4，又由﹣1≤x ≤3，当x ＝0时，f （x ）有最小值4，当x ＝3时，f （x ）有最大值13，则有4≤f （x ）≤13，即函数f （x ）的值域为[4，13]（2）f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4＜tx 整理得x 2+2x +4＜3tx因为x ∈[4，10]，所以3t ＞x 2+2x+4x =x +4x+2 令g(x)=x +4x ，设x 1，x 2∈[4，10]，且x 1＞x 2，则g(x 1)−g(x 2)=x 1+4x 1−(x 2+4x 2)=(x 1x 2−4)(x 1−x 2)x 1x 2， 因为x 1x 2﹣4＞0，x 1﹣x 2＞0，所以g （x 1）﹣g （x 2）＞0，即g （x 1）＞g （x 2），所以g(x)=x +4x 在[4，10]单调递增，所以当x ＝4时，(x +4x +2)min =7，所以t 的范围为{t |t ＞73}．21．（12分）2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每年生产x 千件，需另投入成本C （x ）．当年产量不足50千件时，C(x)=12x 2+20x （万元）；年产量不小于50千件时，C(x)=51x +3600x −600（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）∵每千件商品售价为50万元，∴x 千件产品销售额为50x ，当0＜x ＜50时，L （x ）＝50x −(12x 2+20x)−200=−12x 2+30x −200，当x ≥50时，L （x ）＝50x −(51x +3600x −600)−200=400−(x +3600x )． 综上所述，L （x ）={−12x 2+30x −200，0＜x ＜50400−(x +3600x )，x ≥50． （2）当0＜x ＜50时，L （x ）=−12(x −30)2+250，则L （x ）≤L （30）＝250万元，当x ≥50时，L （x ）=400−(x +3600x )≤400−2√x ⋅360x =400﹣120＝280，当且仅当x =3600x，即x ＝60时，等号成立，由于280＞250， 则当年产量为60千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是280万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −a|−9x+a ，a ∈R ．（1）若a ＝0，求f （x ）的单调递增区间；（2）若函数f （x ）在[1，a ]上单调，且对任意x ∈[1，a ]，f （x ）＜﹣2恒成立，求a 的取值范围；（3）当a ∈（3，6）时，函数f （x ）在区间[1，6]上的最大值为M （a ），求M （a ）的函数解析式． 解：（1）当a ＝0时，f(x)=|x|−9x (x ≠0)，x ＞0时，f(x)=x −9x ，由y ＝x 与y =−9x 在（0，+∞）单调递增可知，此时f （x ）的单调增区间为（0，+∞），x ＜0时，f(x)=−x −9x ，此时由对勾函数的性质可知，f （x ）的单调增区间为（﹣3，0），∴此时f （x ）的单调增区间为（0，+∞），（﹣3，0）．（2）当x ∈[1，a ]时，f(x)=−x −9x +2a ，因为函数f （x ）在[1，a ]上单调，所以1＜a ≤3，此时f （x ）在[1，a ]上单调递增，f(x)max =f(a)=−9a +a ，由题意：f(x)max =−9a +a ＜−2恒成立，即a 2+2a ﹣9＜0，所以−√10−1＜a ＜√10−1，又1＜a ≤3，∴1＜a ＜√10−1，即a 的取值范围为（1，√10−1）．（3）当x ∈[1，6]时，f(x)={−x −9x +2a ，x ∈[1，a]x −9x ，a ∈(a ，6]， 又a ∈（3，6），由上式知，f （x ）在区间（a ，6]单调递增，当a ∈（3，6）时，f （x ）在[1，3）上单调递增，在[3，a ]上单调递减，所以，f （x ）在[1，3）上单调递增，在[3，a ]上单调递减，（a ，6]上单调递增，则f(x)max =max{f(3)，f(6)}=max{2a −6，92}={92，a ∈(3，214)2a −6，a ∈[214，6)，综上所述，函数f（x）的最大值的表达式为：M(a)={92，a∈(3，214)2a−6，a∈[214，6)．。
浙江省2019-2020学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)
________
【答案】
1 (1). 3
4 (2). 3
【解析】
【分析】
化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案.
【详解】
42 3
27 3
2 3
2
32 3 1 3 3 2 33
3 1
32 1 3 3，
2 2 2 4 2log2 3
log2 4log2 3
log
2
4 3
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2019-2020 学年高一数学上学期 期中联考试题（含解析）
考生须知: 1.本卷共 4 页满分 120 分，考试时间 100 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
f (x) log1 (x 1)
3.设函数
2
，则（ ）
A. f (x) 在 (0, ) 单调递增
B. f (x) 在 (0, ) 单调递减
C. f (x) 在 (1, ) 单调递增
D. f (x) 在 (1, ) 单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
求出 f (x) 定义域，根据对数函数的单调性即可求解.
所以 3 2a 1 ，解得 a 1 ，故 0 a 1，
若 a 1，则 f x为增函数，由 f x的值域为1, ，
当
x
1 时，
f
x
ax
3
2a
3
a
，即函数
f
x
在区间
1,
上的值域为
C. y 轴对称
【答案】B
B. 原点对称
D. 直线 y x 对称
浙江省2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷及答案
浙江省2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷及答案 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.满足条件{}{}121,2,3M =，的集合M 的个数是A. 1B. 2C. 3D. 42.已知函数()f x =1()()y f x f x=+的定义域为A. 1[,2]2 B . 1[,2)2 C. [2,)+∞ D.1(0,]23.下列各组函数中表示同一函数的是 A. x x f =)(与2)()(x x g = B. ||)(x x f =与33)(x x g =C.2()(2)x f x =与()4xg x = D.11)(2--=x x x f 与()1g x x =+4.函数y =A.(,3)-∞- B.(,1)-∞- C. (1,)-+∞D.(1,)+∞ 5.已知函数()()()2212(3)x x f x x f x ≥⎧+⎪=⎨<+⎪⎩，则()()13f f -= A.7 B.12 C.18 D.276.已知,,a b c R ∈则下列命题成立的是 A.22a b ac bc >⇒>B.2211,0a b ab ab>>⇒<C.32a b a b >⇒>D.3311,0a b ab ab>>⇒<7. 若函数()f x 与()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，则 在区间(0,)+∞上A.()f x 与()g x 都是递增函数B.()f x 与()g x 都是递减函数C.()f x 是递增函数，()g x 是递减函数D.()f x 是递减函数，()g x 是递增函数 8.若函数(1)()(4)2(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+⎪⎩≤是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递减. 若实数x 满足22(1)(1)2(3)2121x x f f f -+++≤--，则x 的取值范围是A ．[1,1]-B ．[1,0)(0,1]- C ．(0,1]D ．(,1][1,)-∞-+∞10.已知函数2()2(4)4,()f x x m x m g x mx =+-+-=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，共24分.11. 13103211()()4(0.064)32--+-+= ▲ ．12. 若xx x f 2)1(+=-，则(3)f =▲ ；()f x =▲ ． 13. 已知3()2(,)f x ax bx a b R =++∈，若(2019)3f =，则(2019)f -=▲ ；14. 已知函数1()1f x x=-，把()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的解析式为 ▲ ；()y g x =的递减区间为 ▲ . 15. 已知函数1,01()41,02xxx x x f x x +⎧≤⎪⎪-=⎨+⎪>⎪⎩，则()f x 的值域为▲ ．16. 已知函数()11f x x x x =-+++，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则()f x的最小值为 ▲ ；满足条件的所有a 的值为 ▲ ．17. 已知函数()f x x =，2()252g x x mx m =-+-()m R ∈，对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共46分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 已知,x y 为正数.（1）当1x y +=时，求xy 的最大值； （2）当0x y xy +-=时，求2x y +的最小值.19.已知集合{}{}2230,26A x x x B x x x =--≥=-<.（1）求,()R AB C A B ；（2）已知集合13a C x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，若B C C =，求实数a 的取值范围.20.已知二次函数()f x 满足(0)(2)1f f ==-且(1)4f =-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若()(01)x y f a a a =>≠且在[1,1]x ∈-上的最大值为8，求实数a的值.21.已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x <时，()1xf x x =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 在R 上的图象； （3）解关于x 的不等式2()(1)f ax x f ax ->-（其中a R ∈）.22.已知函数()()f x x x a a a R =--∈.（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）当4a =时，求()f x 在[1,5]x ∈的值域；（3）若对任意[3,5]x ∈，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 答案 一、选择题1.D2.A3.C4.D5.A6.D7.A8. D9.B 10.C二、填空题11.12. 24；13. 1 14.；15. 16. 2；1或317.三、解答题18.（1），当时取到最大值；（2），，当时取到最小值. 19.（1），，；（2）.20.（1）；（2）.21.（1）；（2）图略；（3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，或.22.（1）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；（2）；（3）或.。
人教A版2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高一上学期期中数学试卷及答案 解析版
2019-2020学年高一第一学期（上）期中数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1}，集合B＝{y|y＝2x，x≥0}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{（1，2）} C．（1，2）D．∅2．已知点（2，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A．B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣2D．3．溶液的酸碱度是通过pH值来刻画的，已知某溶液的pH值等于﹣lg[H+]，其中[H+]表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为10﹣6mol/L，则该溶液的pH值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知y＝f（x）是R上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足|f（x）|＜3的x 的取值范围是（）A．（0，2）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）D．（2，+∞）5．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b6．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知y＝f（x﹣2）是偶函数，则下列选项正确的是（）A．f（0）＝f（﹣4）B．f（0）＝f（4）C．f（﹣2）＝f（2）D．f（2）＝0 8．已知关于x的不等式a（x+1）（x﹣3）+1＞0（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则下列结论中错误的是（）A．x1+x2＝2 B．x1x2＜﹣3 C．x2﹣x1＞4 D．﹣1＜x1＜x2＜39．已知函数恰有三个不同的零点，则该三个零点之和为（）A．5a B．5 C．3a D．310．已知定义在R上的函数f（x）满足，则下列函数中为增函数的是（）A．y＝f（）B．y＝f（|x﹣|）C．y＝f（）D．y＝f（lg|x|+1）二、填空题11．已知集合A＝{x|x2+ax+2＝0}，且满足1∈A，则a＝，集合A的子集个数为．12．已知3a＝5b＝c，若c＝3，则25b＝，，则c＝．13．函数的单调递减区间为；值域为．14．已知奇函数f（x）满足f（x）+f（x+2）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x，则＝；当x∈（3，5）时，f（x）＝．15．某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为．16．若不等式|x﹣a|+|x+1|≥3x对任意x∈[﹣2，2]都成立，则实数a的取值范围是．17．设a＞0，函数，y＝f（x）有无数个零点，则实数a的最大值为．三、解答题：5小题，共74分18．已知集合，集合B＝{x|x2﹣a＜0}．（1）求∁R A；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．19．函数．（1）解不等式f（x）＜1；（2）若方程有实数解，求实数m的取值范围．20．如图，已知△ABC，AB＝AC＝5，BC＝8，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC 的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设BP＝x，Ω的面积为S（x），Ω的周长为L（x）．（1）求S（x）和L（x）的解析式；（2）记，求F（x）的最大值．21．已知函数f（x）＝（x﹣a）（|x﹣a|+x）﹣1，a＜0．（1）当a＝﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（﹣2，2）内恰有一个零点，求实数a的取值范围．22．已知定义在R上的函数f（x）不恒为零，且对于任意x，y∈R满足f（x﹣y）＝f（x）f（1﹣y）﹣f（y）f（1﹣x）．（1）求f（0），f（1）的值，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若对任意的x∈R有f（1+x）＝f（1﹣x），且g（x）＝f（1﹣x）．①证明：2f（x）f（y）＝g（x﹣y）﹣g（x+y）；②证明：不等式恒成立．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1}，集合B＝{y|y＝2x，x≥0}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{（1，2）} C．（1，2）D．∅【分析】可看出集合A的元素是点（x，y），集合B的元素是实数y，元素不同，从而得出A∩B＝∅．解：A＝{（x，y）|y＝x+1}，B＝{y|y＝2x，x≥0}，∴A∩B＝∅．故选：D．2．已知点（2，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A．B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣2D．【分析】直接设出函数的关系式，进一步利用点的坐标的应用求出结果．解：设f（x）＝xα，由于点（2，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则，解得α＝﹣2，故f（x）＝x﹣2．故选：C．3．溶液的酸碱度是通过pH值来刻画的，已知某溶液的pH值等于﹣lg[H+]，其中[H+]表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为10﹣6mol/L，则该溶液的pH值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由题意直接列对数方程求解．解：由题意可得：该溶液的PH值为﹣lg10﹣6＝6．故选：C．4．已知y＝f（x）是R上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足|f（x）|＜3的x 的取值范围是（）A．（0，2）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1）D．（2，+∞）【分析】解不等式|f（x）|＜3，得﹣3＜f（x）＜3，由y＝f（x）是R上的增函数，得出结论．解：解不等式|f（x）|＜3，得﹣3＜f（x）＜3，而f（﹣1）＝﹣3，f（2）＝3，所以f（﹣1）＜f（x）＜f（2），已知y＝f（x）是R上的增函数，所以﹣1＜x＜2．故选：B．5．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【分析】由0＜b＝log53＜1，可得b＝（log53）2＜log53＜log54＜1，利用对数函数的单调性即可得出．解：∵0＜b＝log53＜1，∴b＝（log53）2＜log53＜log54＜1，又c＝log45＞1，∴b＜a＜c．故选：A．6．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f（x）→+∞排除C，D，故选：B．7．已知y＝f（x﹣2）是偶函数，则下列选项正确的是（）A．f（0）＝f（﹣4）B．f（0）＝f（4）C．f（﹣2）＝f（2）D．f（2）＝0 【分析】由y＝f（x﹣2）是偶函数，得f（x﹣2）＝f（﹣x﹣2），代入x＝2，0，计算即可．解：因为y＝f（x﹣2）是偶函数，所以f（x﹣2）＝f（﹣x﹣2），f（0）＝f（2﹣2）＝f（﹣2﹣2）＝f（﹣4），f（﹣2）＝f（0﹣2）＝f（﹣0﹣2）＝f（﹣2），故选：A．8．已知关于x的不等式a（x+1）（x﹣3）+1＞0（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则下列结论中错误的是（）A．x1+x2＝2 B．x1x2＜﹣3 C．x2﹣x1＞4 D．﹣1＜x1＜x2＜3 【分析】由关于x的不等式a（x+1）（x﹣3）+1＞0（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），可得a＜0，x1，x2是一元二次方程ax2﹣2ax+1﹣3a＝0．利用根与系数的关系等即可判断出结论．解：由关于x的不等式a（x+1）（x﹣3）+1＞0（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），∴a＜0，x1，x2是一元二次方程ax2﹣2ax+1﹣3a＝0．∴x1+x2＝2，x1x2＝＝﹣3＜﹣3．x2﹣x1＝＝＝2＞4．由x2﹣x1＞4，可得：﹣1＜x1＜x2＜4是错误的．故选：D．9．已知函数恰有三个不同的零点，则该三个零点之和为（）A．5a B．5 C．3a D．3【分析】设则根据方程at2﹣4at﹣2a+1＝0 （*）的根的情况，结合的根进行讨论．解：设，则f（x）恰有三个不同的零点，即方程at2﹣4at﹣2a+1＝0 （*）；当a＝0时显然不合题意；要使得f（x）恰有三个不同的零点，则方程at2﹣4at﹣2a+1＝0 （*）必须有两个不同的根，且其中一个必须为2或﹣2；若其中一个根且2，则，代入（*）方程得另一根也为2，则与条件不符合；若其中一个根且﹣2，则，代入（*）方程得另一根为6，此时满足条件；则，有x＝﹣1，由，得x2﹣6x+1＝0，两根之和为6，则三个实数根之和为5；故选：B．10．已知定义在R上的函数f（x）满足，则下列函数中为增函数的是（）A．y＝f（）B．y＝f（|x﹣|）C．y＝f（）D．y＝f（lg|x|+1）【分析】利用换元法先求出函数f（x）的解析式，再求出其单调性，然后利用复合函数“同增异减”一一验证每一个选项即可得出结论．解：令t＝＞0，则，两式相减得：，∴，∴（x＞0），当即0＜x≤1时，，，则f（x）在（0，1]上单调递减；同理可得f（x）在[1，+∞）上单调递增；对于A选项，令，其在（0，+∞）上单调递减，所以原函数（0，1]上单调递增；同理可得原函数在[1，+∞）上单调递减；对于B选项，令，其在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，所以原函数在（0，+∞）上单调递减；对于C选项，令u＝2x+1＞1且在R上单调递增，则原函数可化为在（1，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得原函数单调递增；对于D选项，令u＝lg|x|+1＞0得或，且其在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性知原函数不单调．故选：C．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．已知集合A＝{x|x2+ax+2＝0}，且满足1∈A，则a＝﹣3 ，集合A的子集个数为 4 ．【分析】把x＝1代入关于x的方程x2+ax+2＝0，求得a的值，然后可以求得集合A，则其子集的个数是2n．解：依题意得：1+a+2＝0，解得a＝﹣3．则x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以A＝{1，2}，所以集合A的子集个数为22＝4．故答案是：﹣3；4．12．已知3a＝5b＝c，若c＝3，则25b＝9 ，，则c＝．【分析】第一个空直接利用指数幂的运算即可求解；第二个空需要先利用指数和对数的相互转换求出+，再利用对数的运算性质求解即可．解：∵3a＝5b＝c，c＝3；∴5b＝3．∴25b＝（52）b＝52b＝（5b）2＝9．∵3a＝5b＝c；∴a＝log3c，b＝log5c；∴+＝+＝log c3+log c5＝log c15；∴log c15＝2；∴c2＝15，又c＞0∴c＝．故答案为：9，．13．函数的单调递减区间为[1，2] ；值域为[0，1] ．【分析】先求出函数的定义域，再根据函数y＝x（2﹣x）的单调性的性质，得出结论．解：∵函数＝，可得x（2﹣x）≥0，求得0≤x≤2，可得函数的定义域为[0，2]，．由于函数y＝x（2﹣x）的最大值为1，且y的图象的对称轴为x＝1，故函数的单调递减区间为[1，2]，值域为[0，1]，故答案为：[1，2]；[0，1]．14．已知奇函数f（x）满足f（x）+f（x+2）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝2x，则＝ 1 ；当x∈（3，5）时，f（x）＝2x﹣8 ．【分析】利用奇函数f（x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），又满足f（x）+f（x+2）＝0，得到周期T＝4，然后算出相应的值和解析式．解：因为奇函数f（x），所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以x∈（﹣1，1），f（x）＝2x，由f（x）+f（x+2）＝0，得f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），f（x）的周期为4，f（）＝﹣f（﹣）＝f（）＝2×＝1，当x∈（3，5）时，x﹣4∈（﹣1，1），所以f（x﹣4）＝2（x﹣4），又根据周期性f（x﹣4）＝f（x），所以f（x）＝2x﹣8．故答案为：1；2x﹣8．15．某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8 ．【分析】作出维恩图，结合维恩图列出方程组，能求出只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数．解：由题意作出维恩图如下：则，且m+n+x+y+z+8＝40，∴7﹣y+17﹣x+x+y+z+8＝40，解得z＝8．∴只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8．故答案为：8．16．若不等式|x﹣a|+|x+1|≥3x对任意x∈[﹣2，2]都成立，则实数a的取值范围是a≤﹣2 ．【分析】对x∈[﹣2，2]，进行分类讨论，当x∈[，2]时，两边平方，利用恒成立问题，求出a的范围．解：当x∈[﹣2，0]时，3x≤0，所以对任意的a，显然成立，当x∈[0，2]时，由|x﹣a|+|x+1|≥3x可得，|x﹣a|≥3x﹣x﹣1＝2x﹣1，当x∈[0，]时，显然成立，当x∈[，2]时，2x﹣1≥0，所以（x﹣a）2≥（2x﹣1）2，化简得3x2+x（2a﹣4）≤0，x＞0，所以2a≤4﹣4x，所以2a≤﹣4，即a≤﹣2．故答案为：a≤﹣2．17．设a＞0，函数，y＝f（x）有无数个零点，则实数a的最大值为 1 ．【分析】根据分段函数解析式，当x≤0时，图象是射线；当0＜x≤a时，﹣a＜x﹣a≤0，f（x）＝﹣2f（x﹣a）的图象是把（﹣a，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a个单位长度；当a＜x≤2a时，f（x）＝﹣2f（x﹣a）的图象是把（0，a]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a个单位长度；以此类推，因此如果f（x）有无数个零点，则只要f（x）在（﹣a，0]上有零点即可．解：因为a＞0，函数，当x≤0时，图象是射线；当0＜x≤a时，﹣a＜x﹣a≤0，f（x）＝﹣2f（x﹣a）的图象是把（﹣a，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a个单位长度；当a＜x≤2a时，f（x）＝﹣2f（x﹣a）的图象是把（0，a]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a个单位长度；以此类推；若f（x）有无数个零点，则只要f（x）在（﹣a，0]上有零点，即x＝∈（﹣a，0]，∴a∈（，1]，故a的最大值为1；故答案为：1．三、解答题：5小题，共74分18．已知集合，集合B＝{x|x2﹣a＜0}．（1）求∁R A；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）化简集合A，根据补集的定义写出集合∁R A；（2）由（∁R A）∩B＝B得出B⊆∁R A，讨论B＝∅和B≠∅时，分别求出实数a的取值范围．解：（1）集合＝{x|}＝{x|≤x＜3}，则集合∁R A＝{x|x＜或x≥3}；（2）若（∁R A）∩B＝B，则B⊆∁R A；当B＝∅时，有x2﹣a＜0不成立，解得a≤0，此时满足题意；当B≠∅时，a＞0，解不等式x2﹣a＜0得﹣a＜x＜a；有0＜a≤或﹣a≥3，此时a≤﹣3不满足条件；综上知，实数a的取值范围是a≤．19．函数．（1）解不等式f（x）＜1；（2）若方程有实数解，求实数m的取值范围．【分析】（1）直接利用对数函数的单调性解不等式，注意真数要大于0；（2）转化为（2x﹣1）2＝m﹣4x在x＞0上有解；分离参数即m＝﹣2•2x+2•4x+1在x＞0上有解．解：（1）等式f（x）＜1即＜1；∴0＜2x﹣1＜2，即1＜2x＜3，∴0＜x＜log23，故不等式f（x）＜1的解集为{x|0＜x＜log23}；（2）方程有实数解，即即＝有解；∵2x﹣1＞0，所以x＞0，且m﹣4x＞0；所以（2x﹣1）2＝m﹣4x在x＞0上有解；即m＝﹣2•2x+2•4x+1在x＞0上有解；设 2x＝t（t＞1）即m＝2t2﹣2t+1在t＞1上有解；当t＞1时，m＝2t2﹣2t+1＞1；故实数m的取值范围：m＞1．20．如图，已知△ABC，AB＝AC＝5，BC＝8，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P做BC 的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设BP＝x，Ω的面积为S（x），Ω的周长为L（x）．（1）求S（x）和L（x）的解析式；（2）记，求F（x）的最大值．【分析】（1）根据图象求出S（x）和L（x）；（2）求出F（x），分两种情况，求出最大值解：（1）做△ABC的高AD，AB＝AC＝5，BC＝8，AD＝3，sin B＝，cos B＝，tan B＝，设垂线段l长为h，当0＜x ≤4，tan B ＝＝，h ＝，S （x ）＝x ＝，L （x ）＝x +，当4＜x ≤8，tan B ＝，h ＝，S （x ）＝12﹣，L （x ）＝8﹣x +5+5﹣+＝14﹣，（2）当0＜x ≤4时，F （x ）＝≤2，最大值为2．当4＜x ≤8时，F （x ）＝＝＝，因为递减，所以x ＝8时，F （x ）由最大值．＞2 故最大值为．21．已知函数f （x ）＝（x ﹣a ）（|x ﹣a |+x ）﹣1，a ＜0． （1）当a ＝﹣2时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）在（﹣2，2）内恰有一个零点，求实数a 的取值范围． 【分析】（1）．根据绝对值的应用，结合函数的单调性进行判断．（2）．f （x ）＝（x ﹣a ）（|x ﹣a |+x ）﹣1＝，通过分析函数图象结合零点得到不等式，进而得出a 的取值范围． 解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝（x +2）（|x +2|+x ）﹣1＝（x +2）|x +2|+x （x +2）﹣1 ＝（x +2）|x +2|+x 2+2x ﹣1＝，函数f （x ）在（）上单调递减， 函数f （x ）在（）上单调递增．（2）f （x ）＝（x ﹣a ）（|x ﹣a |+x ）﹣1 ＝（x ﹣a ）|x ﹣a |+x （x ﹣a ）﹣1＝（x﹣a）|x﹣a|+x2﹣ax﹣1＝当x≥a时，f（x）＝2x2﹣3ax+a2﹣1的对称轴为x＝，∵a＜0，∴a，f（a）＝﹣1＜0，∴当x＜a时，f（x）与x轴交点（，0），当x≥a时，f（x）与x轴交点（，0），∴或，∴无解或，故a的取值范围．22．已知定义在R上的函数f（x）不恒为零，且对于任意x，y∈R满足f（x﹣y）＝f（x）f（1﹣y）﹣f（y）f（1﹣x）．（1）求f（0），f（1）的值，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若对任意的x∈R有f（1+x）＝f（1﹣x），且g（x）＝f（1﹣x）．①证明：2f（x）f（y）＝g（x﹣y）﹣g（x+y）；②证明：不等式恒成立．【分析】（1）通过赋值法，x＝y，可得f（0）；令y＝0，得f（x）＝f（x）f（1），求出f（1）＝1；令y＝1，得f（x﹣1）＝f（x）f（0）+f（1﹣x）f（1）＝﹣f（1﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），即可判定奇偶性．（2）①表示出g（x﹣y）及g（x+y），即可得证；②首先推导出f2（1﹣x）+f2（x）＝1，进而得出结论|f（x）|≤1且f2（x﹣20）+f2（19﹣x）＝f2（20﹣x）+f2（x﹣19）＝1，且＝，由此即可得证．解：（1）令x＝y，得f（x﹣y）＝f（x）f（1﹣x）﹣f（x）f（1﹣x）＝0，所以f（0）＝0，令y＝0，得f（x）＝f（x）f（1）﹣f（0）f（1﹣x）＝f（x）f（1），∵定义在R上的函数f（x）不恒为零，∴f（1）＝1，令y＝1，得f（x﹣1）＝f（x）f（0）+f（1﹣x）f（1）＝﹣f（1﹣x），即对于任意的x∈R，恒有f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f （x）为奇函数；（2）证明：①g（x﹣y）＝f（1+y﹣x）＝f（1+y）f（1﹣x）﹣f（x）f（﹣y）＝g（x）g（y）+f（x）f（y），同理g（x+y）＝g（x）g（y）﹣f（x）f（y），∴2f（x）f（y）＝g（x﹣y）﹣g（x+y）；②∵f（1）＝f（1+x﹣x）＝f（1+x）f（1﹣x）﹣f（x）f（﹣x）＝f2（1﹣x）+f2（x），∴f2（1﹣x）+f2（x）＝1，∴|f（x）|≤1且f2（x﹣20）+f2（19﹣x）＝f2（20﹣x）+f2（x﹣19）＝1，则＝＝＝＝，故＝f2（x﹣20）+f2（19﹣x），即得证．。
浙江省金兰教育合作组织2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
浙江省金兰教育合作组织2024学年第一学期期中考试高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，则()U M N = ð（）A.{5}B.{2,3}C.{1,4}D.{1,4,5}【答案】D【解析】【分析】根据交集和补集的概念计算即可.【详解】∵集合{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，∴{,}M N 23= ，又全集{1,2,3,4,5}U =，∴()U M N = ð{1,4,5}.故选：D.2.下列说法正确的是（）A.R x ∀∈，|1|1x +> B.“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件C.0x ∃>，3x x=- D.“20x x -=”是“1x =”的必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的性质可判断A ；根据充分条件与必要条件的概念可判断B ，D ；解方程可判断C.【详解】对于A ，R x ∀∈，|1|0x +≥，当=−1时，取等号，故A 错误；对于B ，当2x >且3y >时，可得5x y +>，充分性成立；当5x y +>时，不一定有“2x >且3y >”，如1,6x y ==，则“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件，故B 错误；对于C ，由3x x =-得2(1)0x x +=，因为210x +≠，所以0x =，则不存在0x >，使3x x =-成立，故C 错误；对于D ，()2010x x x x -=⇔-=⇔0x =或1x =，则当20x x -=时不一定有1x =，充分性不成立；当1x =时，一定有20x x -=，必要性成立，则“20x x -=”是“1x =”的必要不充分条件，故D 正确.故选：D.3.已知集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20242024a b +的值为（）A.0B.1C.1- D.1或1-【答案】B【解析】【分析】利用集合相等和集合中元素的互异性，以已知的0,1为突破口，分类讨论求出,a b 的值.【详解】集合{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，两个集合中元素完全相同，由0a ≠，则有0b a=，得0b =，有a b a +=，所以210a b aa a b⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，由集合中元素的互异性，有1a ≠，得1,0a b =-=，则有202420241a b +=.故选：B.4.设函数1()22x x f x =-，则()f x （）A.是奇函数，且在(,)-∞+∞上单调递增B.是奇函数，且在(,)-∞+∞上单调递减C.是偶函数，且在(,)-∞+∞上单调递增D.是偶函数，且在(,)-∞+∞上单调递减【答案】A【解析】【分析】由奇偶性的定义和指数函数的单调性可得结论．【详解】函数1()22x x f x =-的定义域为R ，111()222()222x x x x x x f x f x --⎛⎫-=-=-=--=- ⎪⎝⎭，可得()f x 为奇函数，函数2x y =和12x y =-在(,)-∞+∞上都单调递增，可得()f x 单调递增，故选：A ．5.下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x =++ B.4y x x =+C.2y 22x x -=+ D.y =【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A ；当0x <时，即可判断B ；利用基本不等式可判断C ；根据对勾函数的性质可判断D.【详解】对于A ，224y x x =++为二次函数，其对称轴为1x =-，则1x =-时，y 取最小值3，故A 错误；对于B ，当0x <时，40y x x=+<，故B 错误；对于C ，2220,0x x ->>，则2242x x y -≥==+=，当且仅当222x x -=，即1x =时等号成立，则2y 22x x -=+的最小值为4，故C 正确；对于D ,t t =≥1y t t=+，根据对勾函数的性质可知，当t ≥时，1y t t=+单调递增，则t =y 取最小值5，故D 错误.故选：C .6.函数262x y x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性及特值法可判定选项.【详解】令26()()2x f x x x -=∈+R ，则()2266()()22x x f x f x x x -===-+-+，则262x y x -=+为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C 、D ；当1x =时,62012y -==-<+，可排除A ，从而B 正确.故选：B.7.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若a b >，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若a b <，则11a b >【答案】C【解析】【分析】对于ABD ：举反例分析判断；对于C ：根据不等式的性质分析判断.【详解】对于选项A ：若0c =，则220ac bc ==，故A 错误；对于选项B ：若1,1a b ==-满足a b >，则221a b ==，故B 错误；对于选项C ：若0a b <<，则22,a ab ab b >>，即22a ab b >>，故C 正确；对于选项D ：若1,1a b =-=满足a b <，则1111a b=-<=，故D 错误；故选：C.8.若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足(1)(2)0x f x --≥的x 的取值范围是（）A.[0,1][4,)+∞B.(,2][2,)-∞-+∞ C.[0,1][2,)⋃+∞ D.[0,1][2,4] 【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性和单调性得出()f x 取值情况，进而解不等式即可.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)0f -=，所以，当2x ≤-或2x ≥时，()0f x ≥；当22x -≤≤时，()0f x ≤.不等式(1)(2)0x f x --≥可变形为10(2)0x f x -≥⎧⎨-≥⎩，或10(2)0x f x -≤⎧⎨-≤⎩，所以102222x x x -≥⎧⎨-≤--≥⎩或，或10222x x -≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得4x ≥或01x ≤≤，即x 的取值范围是[0,1][4,)+∞ .故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.少选得部分分，错选得0分.9.已知幂函数12()f x x =，则以下结论正确的是（）A.()f x 的定义域为[0,)+∞ B.()f x 是减函数C.()f x 的值域为[0,)+∞ D.()f x 是偶函数【答案】AC【解析】【分析】由幂函数的性质，判断12()f x x =的定义域值域单调性和奇偶性.【详解】幂函数12()f x x ==，函数定义域为[0,)+∞，A 选项正确；由幂函数的性质可知，12()f x x =在[0,)+∞上单调递增，值域为[0,)+∞，B 选项错误，C 选项正确；函数定义域不关于原点对称，()f x 不是偶函数，D 选项错误.故选：AC.10.已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则下列选项中正确的是（）A.集合A 有32个子集B.(2,1)B ∈C.B 中所含元素的个数为10个D.(2,3)B ∈【答案】ABC【解析】【分析】A 选项由公式计算集合的子集个数；由定义列举集合B 中的元素，判断选项BCD.【详解】集合A 中有5个元素，则集合A 有5232=个子集，A 选项正确；由{}(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则()()()()()()()()()(){}2,1,31,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,B =，B 中所含元素的个数为10个，C 选项正确；(2,1)B ∈，(2,3)B ∉，B 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.11.下列说法正确的是（）A.函数1()f x x =在定义域内是减函数B.若12x <，则函数4221y x x =+-的最大值为3-C.若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，则30k -<≤D.若0x >，0y >，3x y xy ++=，则x y +的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】对于A 取反例否定；对于B 、D 运用基本不等式逐一判断即可；对于C 分两种情况0k =与0k ≠判断是否恒成立即可【详解】对于A ：取121,1,x x ==-显然12()()f x f x >，所以A 不正确；对于B ：∵12x <，∴120x ->，4421212112y x x x x ⎛⎫=+=--++ ⎪--⎝⎭，因为412412x x -+≥=-，当且仅当41212x x -=-时取等号，当12x =-时取等号，所以412412x x ⎛⎫--+≤- ⎪-⎝⎭所以44212132112y x x x x ⎛⎫=+=--++≤- ⎪--⎝⎭，所以B 正确；对于C ：当0k =时，308-<恒成立；当0k ≠时，则220Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩，∴30k -<<.所以30k -<≤，故C 正确；对于D ：因为0x >，0y >，所以由()()()23362022x y x y xy x y xy x y x y x y +⎛⎫++=⇒-+=≤⇒+++-≥⇒+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取等号，故D 正确.故选：BCD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()f x 的定义域为[1,3]-，则()2f x 的定义域是__________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】利用抽象函数定义域的解法求解即可.【详解】因为()f x 的定义域为[1,3]-，对于函数()2f x，需使[]21,3x ∈-，解得x ⎡∈⎣，即()2f x 的定义域是⎡⎣，故答案为：⎡⎣13.计算3110.7535=64162---⎛⎫++ ⎪⎝⎭__________.【答案】414【解析】【分析】根据分数指数幂和指数运算可得.【详解】3110.753564162---⎛⎫++ ⎪⎝⎭()()()13113133425345327=4222464---⎛⎫⎛⎫+-+++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132********=422244-⎛⎫⎛⎫+-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331=24844-+++41=4故答案为：41414.设0,0,22x y x y >>+=的最大值为__________.【答案】29【解析】【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可.【详解】22x y +=，=，令t =又22x y =+≥，202t ∴<=，当且仅当21x y ==时等号成立,2144t t t t+==+,4y t t =+在0,2⎛ ⎝⎦上单调递减，2t ∴=时min min 4(2t t y =+=，max 19(4t t ∴=+的最大值为9.故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步器.15.已知集合{}21A x x =-≤≤，{}12B x x a =-<<.（1）若1a =，求A B ⋂，()U A B ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}11A B x x ⋂=-<≤，(){2U A B x x ⋃=<-ð或}1x >-（2）12a ≤【解析】【分析】（1）直接利用集合的运算求解即可；（2）由A B B = ，得B A ⊆，分两种情况讨论求a 的取值范围.【小问1详解】若1a =，则{}12B x x =-<<，又{}21A x x =-≤≤，∴{}11A B x x ⋂=-<≤；∵{2U A x x =<-ð或>1，∴(){2U A B x x ⋃=<-ð或}1x >-.【小问2详解】若A B B = ，则B A ⊆．当B =∅时，有12a -≥，解得12a ≤-，符合题意；当B ≠∅，由B A ⊆得1221a a -<⎧⎨≤⎩，解得1122a -<≤综上，a 的取值范围为12a ≤.16.已知()||(2)().(R)f x x a x x x a a =--+-∈（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围.【答案】（1）(),1-∞（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）1a =代入()f x ，零点分段去绝对值，解不等式()0f x <；（2）零点分段去绝对值，把()f x 表示成分段函数，利用()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，222,1()1(2)(1)242,1x x f x x x x x x x x -<⎧=--+-=⎨-+≥⎩，()0f x <等价于1220x x <⎧⎨-<⎩或212420x x x ≥⎧⎨-+<⎩，解得1x <.不等式()0f x <的解集为(),1-∞.【小问2详解】()222,()(2)()2222,x a x a f x x a x x x a x a x a x a -<⎧=--+-=⎨-++≥⎩，()f x 在R 上为增函数，且()f x 的图象是连续曲线，函数22y x a =-在(),a -∞上单调递增，符合题意；函数()22222y x a x a =-++在[),a +∞上单调递增，则有12a a +≤，解得1a ≥.所以a 的取值范围为[)1,+∞.17.某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：辆）满足函数：21380(0500),()275000(500).x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（1）将利润P （单位：元）表示为月产量x （单位：辆）的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）【答案】（1）()()2130015000,0500,26000080,(500).x x x P x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩（2）当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为30000元.【解析】【分析】（1）利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润=总收入-总成本即可得到答案；（2）分段函数()P x ，分别利用二次函数的性质以及函数的单调性求出定义区间内的最值，比较即可得到答案．【小问1详解】由题可知总成本为1500080x +，∴利润()2130015000(0500),()150008026000080(500).x x x P x R x x x x ⎧-+-≤≤⎪=--=⎨⎪->⎩.【小问2详解】当0500x ≤≤，()()21300300002P x x =--+，∴当300x =时，()f x 有最大值30000；当500x >时，()6000080P x x =-是减函数，∴()600008050020000P x <-⨯=.∴当300x =时，有最大值30000，即当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为30000元.18.（1）已知0a >，0b >，且1ab =，求114a b a b+++的最小值；（2）设0a >，1b >，若2a b +=，求211a b +-的最小值；（3）求函数()2f x x =+的最大值.【答案】（1）4；（2）3+；（3）3.【解析】【分析】（1）由题可将114a b a b +++化简为4a b a b+++，再利用基本不等式求解即可；（2）利用换元思想，原式可化为2212112132ba b b b b b +=+=----+-，再利用基本不等式即可；（3）由()f x 定义域[]1,1-可得()2f x x ==+()221()2x g x x -=+在区间[]1,1-上的最大值，令[]21,3x t +=∈，利用二次函数的性质求解，【详解】（1）因为0a >，0b >，且1ab =，所以()114444a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥=+++，当且仅当4a b a b+=+，即1a b ==时，等号成立，所以114a b a b+++的最小值为4．（2）设0a >，1b >，若2a b +=，则2a b =-，22121132121323b a b b b b b b b+=+==≥+----+---+当且仅当2b b=，即b =时等号成立，所以2a b ==时，211a b+-的最小值为3+；（3）函数()2f x x =+有意义，则有21020x x ⎧-≥⎨+≠⎩，解得11x -≤≤，即函数1()2f x x =+的定义域为[]1,1-，有()2f x x ==+求函数()2f x x =+的最大值，可先求()221()2x g x x -=+在区间[]1,1-上的最大值，令[]21,3x t +=∈，则2x t =-，故()()2224311341t t g x h t t t t -+-⎛⎫⎛⎫===-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令11,13s t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()2341311h t s s s s s ϕ==-+-=---，结合二次函数的图象，当23s =时，得()s ϕ有最大值2133ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则32t =时()h t 有最大值13，从而12x =-时()2f x x =+的最大值为33.19.已知定义在R 上的奇函数2()1ax bf x x +=+，且13310f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（3）设()()()()21112g x x f x m x =++++-⎡⎤⎣⎦，若[]11,2x ∃∈，对[]21,1x ∀∈-，有()()122g x f x ≤成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2()1xf x x =+（2）单调递增，证明见解析（3）(],1-∞-【解析】【分析】（1）利用函数为奇函数且13310f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求出,a b 的值得函数()f x 的解析式；（2）定义法判断并证明()f x 在[1,1]-上的单调性；（3）依题意有()()12min min 2g x f x ≤，分类讨论函数在定义区间内的最小值即可.【小问1详解】定义在R 上的奇函数2()1ax bf x x +=+，有(0)0f b ==，133131019af ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，解得1a =，得2()1x f x x =+，函数2()1x f x x =+定义域为R ，()22()()11x x f x f x x x --==-=-+-+，()f x 是奇函数，所以2()1xf x x =+.【小问2详解】()f x 在[1,1]-上的单调递增，理由如下，任取1211x x -£<£，则()()()()()()()()22122121211212222222121212111()()111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，由1211x x -£<£，有211x x <，2110x x -<，210x x ->，()()2212110xx++>，得12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在[1,1]-上的单调递增.【小问3详解】()()()()()22111211g x x f x m x x m x m ⎡⎤=++++-=+++-⎣⎦，若[]11,2x ∃∈，对[]21,1x ∀∈-，有()()122g x f x ≤，则需要()()12min min 2g x f x ≤，()f x 在[1,1]-上的单调递增，()()2min 2211f x f =-=-，()()211g x x m x m =+++-，函数图象抛物线开口向上，对称轴为12m x +=-，当122m +-≥，即5m ≤-时，()g x 在1,2上单调递减，()()()1min 242111g x g m m ==+++-≤-，解得2m ≤-，则有5m ≤-；当1122m +<-<，即53m -<<-时，()g x 在11,2m +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22m +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()21min111111222m m m g x g m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++-+-≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得()210m -≥恒成立，则有53m -<<-；当112m +-≤，即3m ≥-时，()g x 在1,2上单调递增，()()()1min 11111g x g m m ==+++-≤-，解得1m ≤-，则有31m -≤≤-；综上可知，实数m 的取值范围为(],1-∞-。
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浙江金兰教育合作组织2019－2020年度第一学期高一数学期中考试试卷一、选择题(本大题共10小题)1.已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2＜9},则A∩B＝()A.1,2,B.1,C. D.2.幂函数f(x)＝k•xα的图象过点,则k＋α＝()A. B.1 C. D.23.若a＝20.3,b＝logπ3,c＝log40.3,则()A. B. C. D.4.函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.5.函数y＝的图象大致为()A. B.C. D.6.已知函数,则等于()A. B.0 C.1 D.27.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝x2－3x.则方程f(x)－x＋3＝0的解集()A.1,B.1,C.1,D.8.若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞,－2]上是减函数,则实数a的取值范围是()A. B.C.,D.9.已知函数f(x)＝e x－1,g(x)＝－x2＋4x－3,若存在f(a)＝g(b),则实数b的取值范围为()A. B. C. D.10.已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2,g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x),g(x)},H2(x)＝min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A－B＝()A.16B.C.D.二、填空题(本大题共7小题,共36.0分)11.已知全集R,集合A＝{x|y＝ln(1－x)},B＝{x|2x(x－2)＜1},则A∪B＝______,A∩(∁R B)＝______.12.函数的定义域为______,值域为______.13.已知函数,则f(f(－2))＝______；若f(x)＝2,则实数x的值是______.14.已知函数是奇函数,则实数m的值是______；若函数f(x)在区间[－1,a－2]上满足对任意x1≠x2,都有成立,则实数a的取值范围是______.15.计算：＝______.16.已知函数f(x)＝若存在x1,x2,当0≤x1＜x2＜2时,f(x1)＝f(x2),则x1f(x2)的取值范围是______ .17.已知奇函数f(x)＝(a－x)|x|,常数a∈R,且关于x的不等式mx2＋m＞f[f(x)]对所有的x∈[－2,2]恒成立,则实数m的取值范围是______.三、解答题(本大题共5小题,共74.0分)18.已知全集为R,设集合A＝{x|(x＋2)(x－5)≤0},,C＝{x|a＋1≤x≤2a－1}.(1)求A∩B,(∁R A)∪B；(2)若C⊆(A∩B),求实数a的取值范围.19.已知函数.(1)求f(x)的定义域；(2)当x∈(1,＋∞),①求证：f(x)在区间(1,＋∞)上是减函数；②求使关系式f(2＋m)＞f(2m－1)成立的实数m的取值范围.20.经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数,且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50,t∈N).前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30,t∈N),后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50,t ∈N).(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值.21.已知函数f(x)＝x2＋ax＋a＋1.(1)若函数f(x)存在两个零点x1,x2,满足x1＜1＜x2＜3,求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f(2x)＝0有实数根,求实数a的取值范围.22.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5.(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值；(2)若a≤1,求函数y＝|f(x)|在[0,1]上的最大值.答案和解析1.【参考答案】D【试题分析】本题考查交集的求法,是基础题,解题时注意交集定义的合理运用.先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出A∩B的值.【试题答案】解：∵集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2＜9}＝{x|－3＜x＜3},∴A∩B＝{1,2}.故选D.2.【参考答案】C【试题分析】解：∵函数f(x)＝k•xα是幂函数,∴k＝1,∵幂函数f(x)＝xα的图象过点,∴()α＝,得α＝,则k＋α＝1＋＝.故选：C.由函数f(x)＝k•xα是幂函数,根据幂函数的定义可知,其系数k＝1,再将点的坐标代入可得α值,从而得到幂函数的解析式.本题考查幂函数的性质及其应用,解题时要认真审题,注意熟练掌握基本概念.3.【参考答案】B【试题分析】解：a＝20.3＞1,b＝logπ3∈(0,1),c＝log40.3＜0,则a＞b＞c.故选：B.利用对数函数的单调性即可得出.本题考查了对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.【参考答案】C【试题分析】解：∵函数(x＞0),∴y′＝＋1＋＞0,∴函数y＝ln x＋x－－2在定义域(0,＋∞)上是单调增函数；又x＝2时,y＝ln2＋2－－2＝ln2－＜0,x＝e时,y＝ln e＋e－－2＝＋e－－2＞0,因此函数的零点在(2,e)内.故选：C.先判断函数y是定义域上的增函数,再利用根的存在性定理,即可得出结论.本题主要考查了函数的零点问题,将零点问题转化为交点问题,是解决本题的关键.5.【参考答案】A【试题分析】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考查其余的性质.欲判断图象大致图象,可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑,还可从函数的单调性(在函数当x＞0时函数为减函数)方面进行考虑即可.【试题答案】解：函数有意义,需使e x－e－x≠0,其定义域为{x|x≠0},排除C,D,又因为,所以当x＞0时函数为减函数,故选A故选：A.6.【参考答案】D【试题分析】解：根据题意,函数,则f(－x)＝,则f(－x)＋f(x)＝ln1＋2＝2,则有f(lg2)＋f(lg)＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2,故选：D.根据题意,由函数的解析式求出f(－x),进而可得f(－x)＋f(x)＝2,据此可得f(lg2)＋f(lg)的值,即可得答案.本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及对数的计算,属于基础题.7.【参考答案】A【试题分析】解：若x＜0,则－x＞0,∵定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)＝x2－3x.∴当x＜0时,f(－x)＝x2＋3x＝－f(x).则当x＜0时,f(x)＝－x2－3x.若x≥0,由f(x)－x＋3＝0得x2－4x＋3＝0,则x＝1或x＝3,若x＜0,由f(x)－x＋3＝0得－x2－4＋3＝0,则x2＋4x－3＝0,则x＝＝－2±,∵x＜0,∴x＝－2－,综上方程f(x)－x＋3＝0的解集为{－2－,1,3}；故选：A根据函数奇偶性的性质求出当x＜0时的解析式,解方程即可.本题主要考查方程根的求解,根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.注意要进行分类讨论.8.【参考答案】D【试题分析】解：令t＝x2－ax－3a＝－－3a,则由题意可得函数f(x)＝log2t,函数t在区间(－∞,－2]上是减函数且t＞0恒成立.∴,求得－4≤a＜4,故选：D.令t＝x2－ax－3a,则得函数f(x)＝log2t,由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得,由此求得a的范围.本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质,属于中档题.9.【参考答案】D【试题分析】解：由题可知f(x)＝e x－1＞－1,g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1,若有f(a)＝g(b),则g(b)∈(－1,1],即－b2＋4b－3＞－1,即b2－4b＋2＜0,解得.所以实数b的取值范围为故选：D.确定两个函数的值域,根据f(a)＝g(b),可得g(b)∈(－1,1],即可求得实数b的取值范围.本题考查函数的值域,考查解不等式,同时考查学生分析解决问题的能力.10.【参考答案】B【试题分析】解：取a＝－2,则f(x)＝x2＋4,g(x)＝－x2－8x＋4.画出它们的图象,如图所示.则H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标,由解得或,∴A＝4,B＝20,A－B＝－16.故选：B.本选择题宜采用特殊值法.取a＝－2,则f(x)＝x2＋4,g(x)＝－x2－8x＋4.画出它们的图象,如图所示.从而得出H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标,再将两函数图象对应的方程组成方程组,求解即得.本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等,考查了数形结合的思想,属于中档题.11.【参考答案】{x|x＜2} {x|x≤0}【试题分析】解：集合A＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1},B＝{x|2x(x－2)＜1}＝{x|x(x－2)＜0}＝{x|0＜x＜2},则A∪B＝{x|x＜2},∁R B＝{x|x≤0或x≥2},所以A∩(∁R B)＝{x|x≤0}.故答案为：{x|x＜2}；{x|x≤0}.化简集合A、B,根据并集和补集与交集的定义,计算即可.本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.12.【参考答案】(－2,1] [－log23,＋∞)【试题分析】解：由题意可得,,解可得,－2＜x≤1,故定义域为(－2,1],∵在(－2,1]上单调递减,∴f(x)≥－log23.故答案为：(－2,1],[－log23,＋∞).由题意可得,,解不等式即可求解定义域；由在(－2,1]上单调递减,可求函数的值域.本题主要考查了函数的定义域及值域的求解,求解值域的关键是单调性的应用.13.【参考答案】2 1或－4【试题分析】解：∵函数,∴f(－2)＝log22＝1,f(f(－2))＝f(1)＝2,f(x)＝2,当x≥0时,f(x)＝2x＝2,解得x＝1,当x＜0时,f(x)＝log2(－x)＝2,解得x＝－4.∴实数x的值是1或－4.故答案为：1或－4.推导出f(－2)＝log22＝1,从而f(f(－2))＝f(1),由此能求出结果；由f(x)＝2,当x≥0时,f(x)＝2x＝2,当x＜0时,f(x)＝log2(－x)＝2,由此能求出实数x的值.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.【参考答案】2 1＜a≤3【试题分析】解：f(x)为奇函数,则f(－x)＝－f(x)；所以f(－1)＝1－m＝－(－1＋2)＝－1,则m＝2；函数f(x)在区间[－1,a－2]上满足对任意x1≠x2,都有成立；则函数f(x)在[－1,2]上为增函数；又函数f(x)的增区间为[－1,1]；则[－1,1]⊆[－1,a－2],得1＜a≤3；故答案为：2,1＜a≤3；f(x)为奇函数,有,可计算出m的值为2,；函数f(x)在区间[－1,a－2]上满足对任意x1≠x2,都有成立,即函数f(x)在[－1,2]上为增函数,由函数f(x)在[－1,1],则[－1,1]⊆[－1,a－2],得＜a≤3；考查函数奇偶性求参数,分段函数的单调性,根据函数单调性求参数的值,属于基础题.15.【参考答案】1【试题分析】解：：＝－1＋lg4,＝－1,＝1.故答案为：1.结合指数与对数的运算性质即可直接求解.本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用,属于基础试题.16.【参考答案】[,)【试题分析】本题主要考查了利用一元二次函数的单调性求函数的值域,较难.解题的关键是根据函数的图象得出x1的取值范围,进而转化为y＝＋在x1的取值范围上的值域,即为所求,先作出函数图象,然后根据图象可得,要使存在x1,x2,当0≤x1＜x2＜2时,f(x1)＝f(x2),则必有0≤x1＜且x＋在[0,)的最小值大于等于2x－1在[,2)的最小值,从而得出x1的取值范围,然后再根据x1f(x2)＝x1f(x1)＝＋,即问题转化为求y＝＋在x1的取值范围上的值域.解：作出函数的图象：∵存在x1,x2,当0≤x1＜x2＜2时,f(x1)＝f(x2)∴0≤x1＜∵x＋在[0,)上的最小值为；2x－1在[,2)的最小值为∴x1＋≥,x1≥∴≤x1＜∵f(x1)＝x1＋,f(x1)＝f(x2)∴x1f(x2)＝x1f(x1)＝＋令y＝＋(≤x1＜)∴y＝＋为开口向上,对称轴为x＝－的抛物线∴y＝＋在区间[,)上递增∴当x＝时y＝当x＝时y＝∴y∈[,)即x1f(x2)的取值范围为[,)故答案为[,).17.【参考答案】(,＋∞)【试题分析】解：∵f(x)是奇函数,∴f(－1)＝－f(1),即(a＋1)•1＝－(a－1)•1,∴a＝0,∴f(x)＝－x|x|,f[f(x)]＝x3|x|,∴mx2＋m＞f[f(x)]＝x3|x|,即对所有的x∈[－2,2]恒成立.∵x∈[－2,2],∴x2＋1∈[1,5]；∴＝＝≤,∴；∴实数m的取值范围为(,＋∞).故答案为：(,＋∞).由f(x)为奇函数求出a＝0,再求出f[f(x)]＝x3|x|,然后由关于x的不等式mx2＋m＞f[f(x)]对所有的x∈[－2,2]恒成立,可得对所有的x∈[－2,2]恒成立,进一步求出m的范围.本题考查了函数的奇偶性,基本不等式和函数恒成立问题,考查了转化思想和计算能力,属中档题.18.【参考答案】解：(1)集合A＝{x|(x＋2)(x－5)≤0}＝{x|－2≤x≤5},＝{x|－2≥0}＝{x|≤0}＝{x|3＜x≤6},所以A∩B＝{x|3＜x≤5},∁R A＝{x|x＜－2或x＞5},则(∁R A)∪B＝{x|x＜－2或x＞3}；(2)若C⊆(A∩B),则当C＝∅时,a＋1＞2a－1,解得a＜2；当C≠∅时,由,解得2＜a≤3；综上知,实数a的取值范围是a＜2或2＜a≤3.【试题分析】(1)化简集合A、B,根据交集、补集和并集的定义计算即可；(2)当C⊆(A∩B)时,讨论C＝∅和C≠∅时,分别求出对应a的取值范围.本题考查了集合的化简与运算问题,也考查了运算与推理能力,是基础题.19.【参考答案】解：(1)由＞0,得x＜－1或者x＞1,即函数的定义域为(－∞,－1)∪(1,＋∞).(2)①证明：设1＜x1＜x2,f(x1)－f(x2)＝()＝＝,因为1＜x1＜x2,所以x2－x1＞0,所以x1x2－1＋(x2－x1)＞x1x2－1－(x2－x1)＞0,所以,所以f(x₁)＞f(x₂),故f(x)在(1,＋∞)上是减函数.②由(1)知函数f(x)在(1,＋∞)上是减函数,由f(2＋m)＞f(2m－1),得1＜2＋m＜2m－1,得m＞3.【试题分析】(1)由＞0,得x＜－1或者x＞1,解出即可；(2)①设1＜x1＜x2,f(x1)－f(x2)＝()＝＝,判断正负得出结论；②由(1)知函数f(x)在(1,＋∞)上是减函数,由f(2＋m)＞f(2m－1)得出m.考查函数求定义域,判断函数单调性,单调性的应用,中档题.20.【参考答案】解：(1)当1≤t≤30时,由题知f(t)•g(t)＝(－2t＋200)•()＝－t2＋40t＋6000,当31≤t≤50时,由题知f(t)•g(t)＝45(－2t＋200)＝－90t＋9000,所以日销售额S与时间t的函数关系为S＝；(2)当1≤t≤30,t∈N时,S＝－(t－20)2＋6400,当t＝20时,S max＝6400元；当31≤t≤50,t∈N时,S＝－90t＋9000是减函数,当t＝31时,S max＝6210元.∵6210＜6400,则S的最大值为6400元.【试题分析】(1)根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式,此关系式为分段函数；(2)求出分段函数的最值即可.考查学生根据实际问题选择函数类型的能力.理解函数的最值及其几何意义的能力.21.【参考答案】解(1)函数f(x)存在两个零点x1,x2,满足x1＜1＜x2＜3,∴,即,解得；(2)设t＝2x(t＞0),则原方程可化为t2＋at＋a＋1＝0(*),原方程有实根,即方程(*)有正根,令g(t)＝t2＋at＋a＋1,①若方程(*)有两个正实根t1,t2,则,解得；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不符合题意,舍去),则g(0)＝a＋1＜0,解得a＜－1；③若方程(*)有一个正实根和一个零根,则g(0)＝0且－,解得a＝－1；综上所求：实数a的取值范围为(－∞,2－2].【试题分析】(1)根据函数的零点存在区间,利用零点存在定理,列出不等式组,即可求出实数a的取值范围. (2)利用换元法把原方程转化为一元二次方程,分3种情况讨论方程根的正负,利用根与系数的关系列出不等式组,求出实数a的取值范围.考查了二次函数的图象和性质,考查了一元二次方程根的分布,做题时注意对根的正负分情况讨论,是中档题.22.【参考答案】解：(1)函数f(x)＝x2－2ax＋5＝(x－a)2＋5－a2,且a＞1,∴f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均是[1,a],∴,即,解得a＝2.(2)①当a≤0时,函数y＝|f(x)|在[0,1]上单调递增,故y max＝f(1)＝6－2a,②当0＜a≤1时,此时△＝4a2－5＜0,且f(x)图象开口向上,对称轴在(0,1)内,故y max＝max{f(0),f(1)}＝max{5,6－2a}＝,综上所求：y max＝.【试题分析】(1)利用二次函数的图象,求出二次函数的最值,列出不等式组,即可解出a的值.(2)对对称轴的位置分类讨论,结合二次函数的图象,求出函数的最大值.考查了二次函数的图象和性质,考查了利用二次函数图象求最值的方法,是基础题.。