C语言程序设计漫谈之从“杨辉三角形”谈起
从“杨辉三角形”谈起
杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲,帕斯卡(1623~1662)在1654年发现这一规律,所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年。
如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由小到大排列,就可以得到下面的等式:
(a+b)0=1 ,它只有一项,系数为1;
(a+b)1=a+b ,它有两项,系数分别是1,1;
(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别是1,2,1;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别是1,3,3,1;
……
由此,可得下面的图表,这个图表就是杨辉三角形。
观察上图表,我们发现每一行的首末都是1,并且下一行的数比上一行多1个,中间各数都写在上一行两数中间,且等于它们的和,可以按照这个规律继续将这个表写下去。
【例1】杨辉三角形。
输入n(1<=n<=30),输出杨辉三角形的前n行。
(1)编程思路1。
用一个二维数组y[31][31] 来保存杨辉三角形每一行的值。杨辉三角形第row行可以由第row-1行来生成。
例如:
由上表知:当row=5时,y[5][1] = 1,
y[5][2] = y[4][1] + y[4][2],y[5][3] = y[4][2] + y[4][3],
y[5][4] = y[4][3] + y[4][4] ,y[5][5] = y[4][4] + y[4][5]
一般的,对于第row(1~30)行,该行有row+1个元素,其中:
y[row][1]=1
第col(2~row+1)个元素为:y[row][col] = y[row-1][col-1] + y[row-1][col]。(2)源程序1。
#include
int main()
{
int n,i,j,y[31][31]={0};
for (i=1;i<=30;i++) // 赋行首与行尾元素值为1
y[i][1]=y[i][i]=1;
for (i=3;i<=30;i++) // 每行中间元素赋值
for (j=2;j
y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j];
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=i;j++)
{
if (j!=1) printf(" ");
printf("%d",y[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
return 0;
}
(3)编程思路2。
用一个一维数组y[30] 来保存杨辉三角形某一行的值。杨辉三角形第row行可以由第row-1行来生成。
由上表知:当row=4时,y[4] = y[4]+y[3], y[3] = y[3]+y[2],
y[2] = y[2]+y[1] , y[1] = y[1]+y[0],
y[0]=1
一般的,对于第row(0~9)行,该行有row+1个元素,
第col(row~1)个元素为:y[col]=y[col]+y[col-1],
y[0]=1
(4)源程序2。
#include
#include
int main()
{
int y[30],row,col,n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
memset(y,0,sizeof(y)); // 数组元素初始化为0
y[0]=1;
printf("%d\n",y[0]);
for (row=1;row { for (col=row;col>=1;col--) y[col]=y[col]+y[col -1]; for (col=0;col<=row;col++) { if (col!=0) printf(" "); printf("%d",y[col]); } printf("\n"); } printf("\n"); } return 0; } 将上面的两个源程序提交给HDU 2032“杨辉三角”,均可以Accepted。 下面我们进一步讨论一下杨辉三角形。 我们根据杨辉三角形前16行中每个数的奇偶性决定是否输出一个特定字符。比如如果是奇数,输出一个“*”号;是偶数,输出一个空格。编写如下的程序: #include int main() { int n,i,j,y[17][17]={0}; for (i=1;i<=16;i++) // 赋行首与行尾元素值为1 y[i][1]=y[i][i]=1; for (i=3;i<=16;i++) // 每行中间元素赋值 for (j=2;j y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j]; for (i=1;i<=16;i++) { for (j=1;j<=i;j++) if (y[i][j]%2==1) printf("* "); else printf(" "); printf("\n"); } return 0; } 运行上面的程序,可以得到如下的运行结果。 运行结果的图形是一个递归深度为4的三角形。通过这个图形,我们感觉杨辉三角形中每个数字的奇偶应该满足一定的规律。 组合数C(n,m)是指从n个元素中选出m个元素的所有组合个数。其通用计算公式为: C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!] C(0,0)=1 C(1,0)=1 C(1,1)=1 从n个元素中取m个元素,考虑第n个元素,有两种情况:(1)不取。则必须在前n-1个元素中取m个元素,方案数为C(n-1,m);(2)取。则只需在前n-1个元素中取m-1个元素,方案数为C(n-1,m-1)。因此, C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1) 这正好符合杨辉三角形的递推公式。即杨辉三角中第i行第j列的数字正是C(i,j)的结果。因此,下面对杨辉三角形中各行各列数字的讨论转化为对组合数C(n,m)的讨论。 【例2】组合数的奇偶性。(POJ 3219) 二项式系数C(n, m)因它在组合数学中的重要性而被广泛地研究。二项式系数可以如下递归的定义: C(1, 0) = C(1, 1) = 1; C(n, 0) = 1 对于所有n > 0; C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m) 对于所有0 < m ≤ n。 给出n和k,确定C(n, m)的奇偶性。 (1)编程思路1。 对于给定C(n,m),检查n!中2因子的个数与m!和(n-m)!中2因子个数和的关系,假设n!中2因子个数为a,m!中2因子个数为b,(n-m)!中2因子个数为c,则显然有a>=(b+c);并且当a==b+c时,一定为奇,否则为偶。 (2)源程序1。 #include int getTwo(int x) // x!中2的因子的个数 { int cnt=0; while (x/2!=0) { cnt += x/2; x=x/2; } return cnt; } int main() { int n,k; while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF) { if (getTwo(n)-getTwo(k)-getTwo(n-k)>0) printf("0\n"); else printf("1\n"); } return 0; } (3)编程思路2。 前面通过杨辉三角形中数字的奇偶性输出“*”图时,我们感觉其数字的奇偶性与数字所在的行号和列号有一定的关系,即组合数C(n,m)的奇偶性与n和m有对应关系。 根据网络上的资料,给出结论如下: 组合数的奇偶性判定方法为: 对于C(n,m),若n&m == m 则C(n,m)为奇数,否则为偶数。 这个结论可以采用数学归纳法进行证明,在这里省略证明方法。感兴趣的读者可以查阅相关资料。在此知道结论好了! (4)源程序2。 #include int main() { int n,k; while (scanf("%d%d", &n,&k)!=EOF) { if ((n&k)==k) printf("1\n"); else printf("0\n"); } return 0; } 根据组合数的奇偶性判定方法: 对于C(n,m),若n&m == m 则C(n,m)为奇数,否则为偶数。 可以写出如下一个程序。 #include int main() { int n,i,j; while (scanf("%d",&n) && n!=0) for (i=0;i<(2<<(n-1));i++) { for (j=0;j<=i;j++) if ((i&j)==j) printf("* "); else printf(" "); printf("\n"); } } return 0; } 运行这个程序,输入4,可以得到前面所示的星号图形。有一次,我在网上随意浏览时,发现上面这个程序,当时觉得有些奇妙,有些小神奇。因为,要输出一个递归形式的星号图形,我习惯性地采取递归的方法。例如,为达到上面程序的功能,根据输入的n,输出相应的递归图形,我会编写如下的程序: #include #define N 64 void draw(char a[][N], int n, int row, int col) { if(n==1) { a[row][col] = '*'; return; } int w = 1; int i; for(i=1; i<=n-2; i++) w *= 2; draw(a, n-1, row, col); draw(a, n-1, row+w, col+w); draw(a, n-1, row+w,col); } { char a[N][N]; int n,w,i,j; while (scanf("%d",&n) && n!=0) { for(i=0;i for(j=0;j a[i][j] = ' '; w=1; for(i=1; i<=n-1; i++) w *= 2; draw(a,n,0,0); for(i=0; i { for(j=0; j printf("%c ",a[i][j]); printf("\n"); } } return 0; } 一个简单的二重循环即可完成递归图形的描绘,我当时还琢磨半天,怎么会这样?怎么想出来的?怎么会这样,我现在明白了,组合数的奇偶性判断规则。怎么想出来的,也只能归结于小神奇了,毕竟组合数的奇偶性恰好和一个递归图形完美结合起来,单靠想是难想出来的。 【例3】一个递归图形。 小明在X星球的城堡中发现了如下图形: 编写一个程序,实现该图形的打印。 (1)编程思路。 设row代表行号,col代表列号。用组合数的奇偶性判断规则,如果是奇数(row & col ==col),输出“*”;如果是偶数,就输出空格。 输入n(代表度,即递归深度,题干中给出的两个图形的都分别为4和6),输出的行数row=2n-1。由于最后一行抵左端,从下往上每行向后缩进一个位置(通过输出空格实现)。因此,第row行应先输出的空格数为 2n-1-row-1。 (2)源程序。 #include int main() { int n,i,w,row,col; while (scanf("%d",&n) && n!=0) { w=1; for (i=1; i<=n-1; i++) w *= 2; for (row=0; row { for (col=1; col printf(" "); for (col=0;col<=row;col++) if ((row & col)==col) printf("* "); else printf(" "); printf("\n"); } } return 0; } 杨辉三角形作为二项式系数有着重要的应用价值。熟练地构造出杨辉三角形的各项(见例1的源程序),可以用来解决实际问题。 【例4】新生晚会(HDU 2519)。 Problem Description 开学了,杭电又迎来了好多新生。ACMer想为新生准备一个节目。来报名要表演节目的人很多,多达N个,但是只需要从这N个人中选M个就够了,一共有多少种选择方法? Input 数据的第一行包括一个正整数T,接下来有T组数据,每组数据占一行。 每组数据包含两个整数N(来报名的人数,1<=N<=30),M(节目需要的人数0<=M<=30)Output 每组数据输出一个整数,每个输出占一行 Sample Input 5 3 2 5 3 4 4 3 6 8 0 Sample Output 3 10 1 1 (1)编程思路。 本题实质求组合数C(n,m)的值。构造一个杨辉三角形即可。 (2)源程序。 #include int main() { int n,m,i,j,t,y[31][31]={0}; for (i=1;i<=30;i++) // 赋行首与行尾元素值为1 y[i][0]=y[i][i]=1; // 注意列标从0开始 for (i=2;i<=30;i++) // 每行中间元素赋值 for (j=1;j y[i][j]=y[i-1][j-1]+y[i-1][j]; scanf("%d",&t); while (t--) { scanf("%d%d",&n,&m); printf("%d\n",y[n][m]); } return 0; } 【例5】Code (POJ 1850)。 Description Transmitting and memorizing information is a task that requires different coding systems for the best use of the available space. A well known system is that one where a number is associated to a character sequence. It is considered that the words are made only of small characters of the English alphabet a,b,c, ..., z (26 characters). From all these words we consider only those whose letters are in lexigraphical order (each character is smaller than the next character). The coding system works like this: ? The words are arranged in the increasing order of their length. ? The words with the same length are arranged in lexicographical order (the order from the dictionary). ? We codify these words by their numbering, starting with a, as follows: a - 1 b - 2 ... z - 26 ab - 27 ... az - 51 bc - 52 ... vwxyz - 83681 ... Specify for a given word if it can be codified according to this coding system. For the affirmative case specify its code. Input The only line contains a word. There are some constraints: ? The word is maximum 10 letters length ? The English alphabet has 26 characters. Output The output will contain the code of the given word, or 0 if the word can not be codified. Sample Input bf Sample Output 55 (1)编程思路。 题目的意思是:已知26个英文字母的组合和数值的对应关系,如a~z表示第1~26列,ab~az表示第27~51,…。输入字母组成的字符串str,问它对应的整数为多少。 首先判断输入的str是否是升序序列,如果不是升序序列,则输入不合法,直接输出0。 如果是升序序列,则先计算比str长度少的所有字符串个数。 假设str为vwxyz ,其长度为5。则 长度为1的字符串有a,b,c,…,y,z 共C(26,1)=26 个。 长度为2的字符串 以a开头的有ab,ac,ad,…,ay,az共C(25,1)=25个; 以b开头的有bc,bd,…,by,bz共C(24,1)=24个; 以x开头的有xy,xz 共C(2,1)=2个; 以y开头的有yz 共C(1,1)=1个。 由数学公式: 知,长度为2的字符串共有C(1,1)+C(2,1)+…+C(24,1)+C(25,1)=C(26,2) 个。 同理,长度为3的字符串共有C(26,3) 个。 长度为4的字符串共有C(26,4) 个。 因此,长度比5小的字符串的总数 为: C(26,1)+C(26,2)+C(26,3)+C(26,4)=26+325+2600+14950=17901。 然后,从高位到低位处理长度为5,但比str小的字符串的个数。 首位为”v“,因此,首位为a,b,…,u的字符串均比str小。 首位为a 的字符串有abcde,abcdf, …,awxyz,共C( 25,4)个,即后4个字母可以在b~z这25个字母中任取4个。 首位为b 的字符串有bcdef,bcdeg, …,bwxyz,共C( 24,4)个,即后4个字母可以在c~z这24个字母中任取4个。 …… 首位为u 的字符串有uvwxy,uvwxz,uvwyz,uvxyz,uwxyz,共C(5,4)个,即后4个字母可以在v~z这5个字母中任取4个。 因此,考虑首位后,比str小的字符串个数有 C(25,4)+C(24,4)+……+C(6,4)+C(5,4)=12650+10626+8855+7315+5985+4845+3876+30 60+2380+1820+1365 +1001+ 715+ 495+ 330+ 210+ 126+ 70+ 35+ 15+ 5=65779 次位为”w“,因为首位为v,次位为w,后3位的又都要比w大,否则不满足升序,因此只有xyz可选,考虑次位后,比str小的字符串个数为0。 同理,考虑第3位、第4位及最后1位,比str小的字符串个数均为0。 故vwxyz 对应的数字为:17901+65779+1(代表自身)=83681。与题干一致。 (2)源程序。 #include #include int main() { char s[15],ch,t; int c[27][27],len,ans=1,flag; int i,j; for (i=1;i<=26;++i) { c[i][0]=1; c[i][i]=1; for (j=1;j c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1]; } scanf("%s",s); len=strlen(s); flag=1; for (i=1;i if (s[i]<=s[i-1]) { flag=0; break; } if (flag==0) printf("0\n"); else { for (i=1;i ans+=c[26][i]; for(i=0;i { ch=(i==0? 'a':(s[i-1]+1)); for (t=ch;t ans+=c['z'-t][len-1-i]; } printf("%d\n",ans); } return 0; } POJ 1496 “Word Index”与本题类似,在理解了本题后,可以顺手通过POJ 1496。