离散数学自考第一章(课后习题和答案)

６．命题联结词在使用中的优先级
（１）先括号内，后括号外
（２）运算时联结词的优先次序为： ¬ Λ ∨ → ↔ （由高到低）
（３）联结词按从左到右的次序进行运算
（２P）定义（由Q真值表给出）P∨：Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
当且仅当Ｐ、Ｑ均为“Ｆ”时，（Ｐ∨Ｑ）为“Ｆ”。 否则，其真值为“Ｔ”
区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析 取词为可兼或即:P和Q均为“T”时（P∨Q）为“T”， “不可兼或”中当P和Q均为“T”时，则P异或Q为“F”
可兼“或”：
1.2 复合命题与联结词
原子命题：不能再分解的命题，不包含 任何联结词的命题。
复合命题：经过一些联结词复合而成的 命题。
在命题演算中也有类似的日常生活中的联 结词称做：“命题联结词”下面先介绍 五个常用的命题联结词。
１．否定词：（否定运算、非运算）
（１）符号 ¬ ,读作“非”，“否定”，设命题 为Ｐ，则在Ｐ的前面加否定词¬ ，变成¬Ｐ， ¬Ｐ读做“Ｐ的否定”或“非Ｐ”
离散数学
离散数学与计算机科学的其他课程 如：数据结构、操作系统、编译原理、算 法分析、逻辑设计、系统结构、容错技术、 人工智能等有密切的联系。它是这些课程 的先导和基础课程。
第一部分：数理逻辑 第二部分：集合论 第三部分：代数系统 第四部分：图论
第一章 命题演算
命题概念 基本连接词与复合命题 合式公式与联结词优先顺序 命题公式的等价变化、命题符号化 构造真值表证明等价式 不构造真值表证明蕴含式 范式与主范式，∏，∑互化 应用P、T规则的推理证明 CP规则与间接推理证明
不可兼“或”：
灯泡有故障或开关有故障。 他通过电视看杂技或到剧场看
今晚写字或看书。
杂技。
今天下雨或打雷。
他乘火车去北京或乘飞机去
北京。
４．单条件联结词：
（１）符号“→”，读作：“如果…则…”、“如果…那 么…”
Ｐ、Ｑ为二个命题，（Ｐ→Ｑ）为新的命题，读作：“如 果Ｐ则Ｑ”，“Ｐ仅当Ｑ”，“Ｑ当且Ｐ”，“Ｐ是Ｑ 的充分条件”。
F
T
F
T
F
F
T
T
T
每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，则（Ｐ↔Ｑ）的真值 为“Ｔ”，否则（Ｐ↔Ｑ）的真值为“Ｆ”。
（３）举例：
▪ 春天来了当且仅当燕子飞回来了。 ▪平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。 ▪２＋２＝４当且仅当雪是白色的。 （两者没有关系，但是确实命
题）
（４）Ｐ,Ｑ中，Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ 交换位置不会改变真值表中的值。
（b）P：月亮出来了 Q：3×3=9
P→Q：如果月亮出来了，则 3×3=9。（善意推定）
５．双条件联结词（“等价”词、“同”联结词、 “等同”词）
（１）符号“↔”设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ↔ Ｑ读作：“Ｐ当且仅当Ｑ”，“Ｐ等价 Ｑ”,“Ｐ是Ｑ的充分必要条件”。
（２）定义（见真值表）：
P
Q
P↔QFBiblioteka FT符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ 与Ｑ的合取，读作：“Ｐ与Ｑ”、“Ｐ与Ｑ的 合取”、“Ｐ并且Ｑ”等。
定义（由真值表给出）：
P
Q
PΛ Q
QΛP
F
F
F
F
F
T
F
F
T
F
F
F
T
T
T
T
当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为“Ｔ”，则（ＰΛＱ）的真值为“Ｔ”。 否则，其真值为“Ｆ”。
注意：Ｐ和Ｑ是互为独立的；地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交 换而不会影响ＰΛＱ的结果。在日常生活中，合取词应用在二个 有关系的命题之间。而在逻辑学中，合取词可以用在二个毫不相 干的命题之间
判断下列句子中哪些构成命题
1. 8是偶数； 2. 雪是黑的； 3. 明年国庆节是个春天；
命题 命题 命题
4. 3+8>9 5. 我是大学生； 6. 火星上有生物； 7. 星期五下午开会吗？ 8. 请勿吸烟； 9. 这束花多么的好看啊！
命题 命题 命题 疑问句 不是命题 祈使句 不是命题 感叹句 不是命题
举例：
（a）P：王华的成绩很好
Q：王华的品德很好。
则ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。
（b P：我们去种树
Q：房间里有一台电视机
则ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。
(c) P：今天下大雨
Q：3+3=6
则ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6
３．析取词（或运算）
（１）符号“∨” 设Ｐ、Ｑ为二个命题，则 （Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与Ｑ的“析取”，读作： “Ｐ或Ｑ”。
1.1 命题概念
命题：具有唯一真值的陈述句叫命题，亦可简 称为语句。
(1)命题可以是真的，或者是假的，但不能同时为真又为 假
(2)命题所用符号：常用大写２６个英文字母表示命题。 用Ａ、Ｂ、Ｃ．．．．Ｚ表示。
(3)命题中所有的“真”用“Ｔ”表示， 命题中所有的“假”用“Ｆ”表示。
(4)命令句，感叹句，疑问句均不是命题。
10. x+y >5.
无法确定真值 不是命题
表示命题的符号称为命题标示符，
例：P：今天中午十点下雨； [24]：今天上午十点下雨；
此处的P，[24]就是标示符。
一个命题标示符如表示确定命题，就称为命题 常量，如果命题标示符只标志命题的位置，就 称为命题变元，因为命题变元可以表示任意命 题，他不能确定真值因此不是命题
（２）定义P（由真值表Q 定义）：P→Q
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
当Ｐ为“Ｔ”，Ｑ为“Ｆ”时，则 （Ｐ→Ｑ）为“Ｆ”，否则（Ｐ→Ｑ）均为
“Ｔ”。 Ｐ：称为前件、条件、前提、假设 Ｑ：称为后件、结论。 （３）举例：
（a）P：我拿起一本书 Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。
离散数学
杨老师 yangjj@
离散数学（又称计算机数学）是现代数学 的重要分支，是计算机专业课程中的核 心基础课程之一。
离散数学以是研究：离散量的结构和相互 之间的关系为主要目标，其研究对象一 般为：有限或可数个元素（例如：自然 数、整数、真假值、有限个结点等）， 而离散性也是计算机科学的显著特点。
例：Ｐ：北京是一座城市。
¬Ｐ：北京不是一座城市。 Ｑ：每一种生物均是动物。F
P ¬P
¬Ｑ：有一些生物不是动物。T
TF
这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物”为假命题了。
对量化命题的否定，除对动词进行否定外，
FT
同时对量化词也要加以否定。
（2） ¬Ｐ的真值由P的真值来确定
２．合取词（“合取”、“积”、“与”运算）