数学竞赛专题讲座---复数

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高中数学竞赛专题讲座---复数

复数专题一复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(41i +的等比复数列．（1）求4z ．（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ．（3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和．解：（1）)6sin 6(cos 21)26(41ππi i r +=+=．i r z 2124834==．（2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6r 的等比数列．所以433=a ．（3）这个级数是公比816-==r 的无穷等比级数，从而和3128)81(148=--=．例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时）分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ．（1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(131tan ∞→→+-=n nn θ．（2）当1≠k 时，211111)1(a k kk a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++--=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(13313)13(1tan 1∞→⎪⎩⎪⎨⎧<<>+-→---+=-n k k k k k k k nn n θ．例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示．（2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数．解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,21223)(αα=-=-z z z z (1)211)(----=-=-n n n n n z z z z αα于是，从1≠α得，αα--=11nn z ．（2）)3sin 3(cos231ππαi i +=+=，所以)3sin 3(cos 2ππαn i n n n +=,要使n z 在圆10||=z 的内部，它的充分必要条件是10,z <，∴100||2<n z ．即100<⋅n n z z ，而)23cos 21(3121n n n n n z z +-=⋅+π，∴100)23cos21(3121<+-+n n n π．又n n n 2123cos 21+-+π221)21(221n n n -=+->+，能适合300)21(2<-n 的n 只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||=z 的内部，故符合条件的点共有5个．例4 设平面上有点 ,,10P P ，如图所示，其中，线段 ,,,21100P P P P OP ，的长成首项为1，公比为r 的等比数列．（1）若10<<r ，则当∞→n 时，n P 与哪一点无限接近？（2）将（1）中的极限点用Q 表示．若固定21=r 而θ变动时，点Q 所描述的是怎样的曲线？解：（1）)sin (cos θθωi r +=，此时，若将表示点n P 的复数记作n z ，则有nn n z z ω=--1，其中1-z 就是原点O ．于是)1(11112≠--=++++=+ωωωωωωn nn z ．|1||1||||11|11ωωωω-=-=--++n n n r z , 因此，若10<<r ，令∞→n ，则0|11|→--ωn z ，n z 所表示的点与ω-11所表示的点最靠近．（2）ω-=11z ，则有z z 1-=ω，21=r 固定，θ做变动，点ω总在以原点为圆心的圆周上．但因21||=ω，故有2|1|||=-z z ．于是当点ω在以原点为中心，21为半径的圆上，点ω-11相应的在以点34为圆心，32为半径的圆上．例5 设在复平面上:（1）原点为O ，表示复数Z 的点为A ，点B 由||||OA k AB =，OA AB , 的交角为θ所确定。

高三复数复习课件

三角函数图像的绘制方法
利用MATLAB绘制三角函数图像
使用MATLAB的绘图功能，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
利用Python绘制三角函数图像
使用Python的matplotlib库，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
04
复数在解方程中的应用
一元二次方程的解法及其应用
实数根与虚数根
一元二次方程的解可以是实数或虚数，通过判别式
复数解的形式
二元一次方程组的解也可以表示为复数形式，包括实部和虚部。
在几何中的应用
二元一次方程组的解可以表示平面上的点，通过几何意义可以直观地理解方程组的意义。
多元一次方程组的解法及其应用
01
消元法与代入法
多元一次方程组可以通过消元法和代入法求解，得到多个未知数的值。
02
复数解的形式
多元一次方程组的解也可以表示为复数形式，包括实部和虚部。
谢谢您的聆听
THANKS
复数的表示方法
复数可以用平面坐标系中的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标。
复数的性质及其运算规则
复数的性质
复数具有实部和虚部，可以比较大小，可以进行四则运算等。
复数的运算规则
复数的加法、减法、乘法和除法运算都有特定的规则，需要掌握。
复数的几何意义与坐标表示
复数的几何意义
复数可以用平面坐标系中的点来表示，也可以用向量来表示。
利用复数计算三角函数的值
对于复数$z = a + bi$，其三角形式为$r(\cos \theta + i \sin \theta)$，则 $\sin z = \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$，$\cos z = \cos \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$。

关于复数的一道竞赛

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这是没有注意到其几何意义使其转化之缘故这说明转化是本题的关键
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这三种方法第一种比较难想但转化的早巧解答也就显得容易省事因此引起了学生的注意后两种方法说明只要方向对头已知条件利用的也是可行的充分
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高中数学竞赛第十五章复数【讲义】

第十五章复数一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。

便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。

所有复数构成的集合称复数集。

通常用C 来表示。

2．复数的几种形式。

对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。

若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。

若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。

3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。

模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。

中学数学竞赛讲义——复数

中学数学竞赛讲义——复数一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。

便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。

所有复数构成的集合称复数集。

通常用C 来表示。

2．复数的几种形式。

若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。

3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。

模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z zz =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。

高中数学竞赛试题汇编一二《集合与简易逻辑》《复数》讲义

1. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定（A ）所有实数的平方都不是正数（B ）有的实数的平方是正数（C ）至少有一个实数的平方不是正数（D ）至少有一个实数的平方是正数2. 集合{11}P x x =-<{1},Q x x a =-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤ 3. 若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知全集U R =，集合112xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680M x x x =-+≤，图中阴影部分所表示的集合为（A ）{}0x x ≤（B ）{}24x x ≤≤ （C ）{}024x x x <≤≥或（D ）{}024x x x ≤<>或 5. 已知集合{}23100A x x x =--≤，{}121B x m x m =+≤≤-，当A B =∅ 时，实数m 的取值范围是(A) 24m << (B) 24m m <>或(C) 142m -<< (D) 142m m <->或6. 已知函数[](),0,1f x ax b x =+∈，“20a b +>”是“()0f x >恒成立”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件7. 已知{}11,10,,lg ,10A B y y x x A ⎧⎫===∈⎨⎬⎩⎭，则A B = .8. 设集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,18B =，{},C a b a A b B =+∈∈，则集合C 中所有的元素之和为 . 9. 设AB 是两个非空的有限集，全集U A B = 且U 中含有m 个元素，若()()U U C A C B 中含有n 个元素，则A B 中含有元素的个数为 . 10. 设{}2A x x a =-<，{}2230B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 . 11.设{}20122013log log A x x x =<，{}2B x x ax a x =-+< 且A B ⊆，则a 的取值范围是 . 12设{}0,1,2,3A =，{}2,2B x x A x A =-∈-∉，则集合B 的所有元素之和为 .13. 已知复数z 满足2z z i +=+，那么z = .14. 已知复数z 满足1z =，则21z z -+的最大值为 .15. 已知i 是虚数单位，2342013i i i i i+++++= .16. i 是虚数单位，23420131z i i i i i=++++++ ，复数z 的共轭复数记为z ，则z z = . 17. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（） (A) 22z i =+ (B) 22z i =--(C) 22,z i =-+或22z i =- (D) 22,z i =+或22z i =--UNM高中数学竞赛试题汇编一《集合与简易逻辑》《复数》讲义。

例谈强基和联赛题中复数的应用

２０２３年７月上半月㊀竞赛强基㊀㊀㊀㊀例谈强基和联赛题中复数的应用◉安徽省蚌埠第二中学㊀钟㊀铎㊀刘小树㊀㊀摘要:复数在强基㊁联赛中考查较多．基础题多以选择题和填空题的形式出现,主要考查复数的性质;拔高题多以压轴题形式出现,考查学生分析解决问题的能力,需要运用或构造复数的代数㊁几何性质,同时运用必备的技巧才能解决问题．本文中对一些高校强基㊁各类竞赛中的经典试题进行分析,为研究复数并备考强基及各类竞赛的读者助力．关键词:强基;联赛;共轭;几何意义;单位根;复数列１知识介绍１．１复数的四种形式代数形式:z ＝a ＋b i (a ,b ɪR )．向量形式:O Z ң＝(a ,b )(a ,b ɪR )．三角形式:z ＝r (c o s θ＋i s i n θ)(a ＝r c o s θ,b ＝r s i n θ,|r |＝a ２＋b ２)．指数形式:r e i θ＝r e x p(i θ)＝r (c o s θ＋i s i n θ)．１．２复数的常规运算(１)复数的加㊁减㊁乘㊁除四则运算都遵循代数式的运算规则．涉及虚数单位i 乘方的运算只需将i ２＝－１代入即可．复数加法㊁乘法运算满足交换律与结合律,复数的乘法对加法满足分配律．(２)复数的乘方与开方运算主要用于求关于z 的方程z n ＝z ０的根．若z n ＝r n (c o s n θ＋i s i n n θ)＝r n e i n θ,z ０＝r ０e i θ,r ,r ０是正实数,θ,θ０ɪR ,则z k ＝nr ０eθ０－２k πni,k ɪZ ,０ɤk ɤn －１．故z ０的n 次方根有n 个．１．３共轭复数的运算性质复数z ＝a ＋b i (a ,b ɪR ),共轭复数为z ＝a －b i ．共轭复数有以下两组重要的代数运算性质:(１)z １ʃz ２＝z １ʃz ２,z １ z ２＝z １ z ２,z n ＝(z )n(n ɪZ ),(z １z ２)＝z １z ２(z ２ʂ０)．即共轭对于复数的和差积商运算没有先后顺序．这是解决问题时具有技巧性的性质．(２)z ＋z ＝２R e (z );z －z ＝２I m (z );z ɪR ⇔z ＝z ;z ɪ{b i |b ɪR }⇔z ＋z ＝０．１．４复数模的运算性质以下两组重要运算性质小巧强悍,使用起来可以突破重大难题和压轴题的瓶颈．(１)|z |＝|z |,|z |２＝zz ,|z １||z ２|＝|z １z ２|,|z n |＝|z |n,|z １z ２|＝|z １||z ２|(z ２ʂ０)．即模运算对于积㊁商运算没有先后顺序．一个复数模的平方等于该复数与其共轭的乘积(化模为积形式)．(２)①m a x {|R e (z )|,|I m (z )|}ɤ|z |ɤ|R e (z )|＋|I m (z )|．②||z １|－|z ２||ɤ|z １＋z ２|ɤ|z １|＋|z ２|,此式即为复数的三角不等式,对多个复数也成立．１．５复数的单位根方程x n －１＝０(n ȡ２,n ɪN )有n 个互不相等的根ε＝e ２πin ＝c o s ２πn ＋i s i n ２πn,称为n 次单位根．复平面内,n 个n 次单位根对应的点恰好是单位圆内接正n边形的顶点．设εk ＝co s ２k πn ＋i s i n ２k πn(k ＝０,１,２, ,n －１),则εk ＝εk１,x n －１＝(x －１)(x n －１＋x n＋＋x ＋１)＝(x －１)ᵑn －１j ＝１(x －εj )＝０,１＋ðn －１j ＝１x j＝ᵑn －１j ＝１(x －εj )．于是|εk |＝１,εj εk ＝εj ＋k ,１＋ε１＋＋εn －１＝０,１＋εm １＋εm ２＋＋εmn －１＝n ,m |n ,０,m n ．{复数单位根的性质在解决复数多项式问题等方面运用普遍．１．６复数的几何意义和曲线方程的复数表示复数的常见几何意义:|z １－z ２|表示复数z １,z ２对应的点Z １,Z ２之间的距离．利用复数的模可以表示一些常规的曲线方程．圆的方程:|z －z ０|＝r (r ＞０)．线段垂直平分线方程:|z －z １|＝|z －z ２|．椭圆的方程:|z －z １|＋|z －z ２|＝２a (其中２a ＞|z １－z ２|,a ʂ０)．双曲线方程:||z －z １|－|z －z ２||＝２a (２a ＜|z １－z ２|,a ＞０)．２应用举例２．１基本性质的运用例１㊀(２０２２年北大强基)已知复数z １＝５－x ＋(６－４y )i ,z ２＝２＋２x ＋(３－y )i ,z ３＝３－x ＋(１＋５y )i ,当|z １|＋|z ２|＋|z ３|取最小值时,３x ＋６y ＝．解析:由复数三角不等式,得|z １|＋|z ２|＋|z ３|ȡ|z １＋z ２＋z ３|＝|５－x ＋(６－４y )i ＋２＋２x ＋(３－y )i ＋３－x ＋(１＋５y )i |＝|１０＋１０i |＝１０２,当且仅当５－x ＝６－４y ,２＋２x ＝３－y ,３－x ＝１＋５y ,即x ＝y ＝１３时７７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.竞赛强基２０２３年７月上半月㊀㊀㊀等号成立．所以３x ＋６y ＝３．评注:求模的和的最小值时,联想复数三角不等式|z １＋z ２＋＋z n |ɤ|z １|＋|z ２|＋＋|z n|,将已知约束条件构造配凑成定值．例２㊀(２０２２年清华强基)已知复数z 满足|z |＝１,则|(z －２)(z ＋１)２|的最大值为．解析:|(z －２)(z ＋１)２|＝|z －２||z ＋１|２＝|z －２|２(z ＋１)(z ＋１)＝５－２(z ＋z ) [(z ＋z )＋２]ɤ(５－２(z ＋z )＋(z ＋z )＋２＋(z ＋z )＋２３)３＝３３,当且仅当z ＝１ʃ３i２时,取到最大值３３．评注:由求复数积的最大值联想到转化,使用均值不等式通过放缩凑得和为定值,把问题转化为[５－２(z ＋z )][(z ＋z )＋２][(z ＋z )＋２],是破解的关键．２．２复数的几何意义例３㊀(２０２２年北大强基)若复数z 满足R e (z２)ɪ[－１,１],I m (z ２)ɪ[－１,１],R e (２z)ɪ[－１,１],I m (２z )ɪ[－１,１],则z 在复平面上形成轨迹的面积为．解析:设z ＝x ＋y i ,x ɪR ,y ɪR ,则z ２＝x ＋y i２,２z ＝２x －２y i x ２＋y２,即－２ɤx ɤ２,－２ɤy ɤ２,(x －１)２＋y ２ȡ１,(x ＋１)２＋y ２ȡ１,x ２＋(y －１)２ȡ１,x ２＋(y ＋１)２ȡ１．ìîíïïïïïï所以z 在复平面上形成的轨迹面积为４(２ˑ２－１－２ˑπ４)＝１２－２π．评注:根据复数模的性质把约束条件转化为平面直角坐标系内的可行域是本题的突破口．该题为基础题．例４㊀(２０２２年清华强基)已知复数z １终点在１＋i 和１＋a i 表示两点连成的线段上移动,且|z ２|＝１,若z ＝z １＋z ２在复平面内上表示的点围成的面积为π＋４,则a 的值可能为．解析:设z １＝１＋λi (λɪR ),z ２＝c o s θ＋i s i n θ,则若１ɤλɤa 时,z １＋z ２＝(１＋c o s θ)＋(λ＋s i n θ)i 表示以(１,λ)为圆心,１为半径的圆,从而S ＝２(a －１)＋π＝π＋４,即a ＝３．由对称性知,若λ＜１时,a ＝－１．因此a 的值可能为３或－１．评注:本题通过复数代数形式与三角形式的巧妙结合,将运动变化问题量化,最后由对称性得出两个值．２．３复数单位根的应用例５㊀(２０１９年中国科学技术大学少年班创新班)设复数z ＝c o s θ＋i s i n θ,其中θ＝２π２０１９,则ð２０１９z k＝．解析:首先做素因数分解,得到２０１９＝３ˑ６７３,则ð２０１９(k ,２０１９)＝１z k＝ð２０１９３k 且６７３kz k＝ð２０１９k ＝１z k－ð６７３k ＝１z ３k－ð２k ＝１z６７３k．由２０１９次单位根的性质,０＝ð２０２０１８k ＝０z k ＝ð２０１９k ＝１z k ,z ２０２０＝z ２０１９＋１＝z ,得ð２０２０k ＝１z k ＝ð２０１９k ＝１z k ＋z ＝z ．由２０１９次单位根的性质,令z ３＝ε,则ð６７３k ＝１z ３k ＝ð６７３k ＝１εk＝０．由３次单位根的性质,令z ６７３＝η,则ð２k ＝１z ６７３k ＝ð２k ＝１ηk ＝－１,因此ð(k ,２０１９)＝１z k＝ð２０１９３k 且６７３kz k＝ð２０１９k ＝１z k－ð６７３k ＝１z ３k－ð２k ＝１z６７３k＝０－０－(－１)＝１．评注:本题主要反复使用复数单位根的性质ðn －１j ＝０εj＝ðnj ＝１εj＝０．２．４复数的综合应用例６㊀(２０２１年全国高中数学联合竞赛A 卷)已知复数列{z n }满足:z １＝３２,z n ＋１＝z n (１＋z n i )(n ＝１,２, ),求z ２０２１的值．解析:设z n ＝x n ＋y n i ,x n ,y n ɪR ,n ɪN ∗,则z n ＋１＝x n ＋１＋y n ＋１i ,x １＝３２,y １＝０．于是z n ＋１＝z n (１＋z n i )＝z n z n i ＋z n ＝(x ２n ＋y ２n )i ＋x n －y n i ＝x n ＋(x ２n ＋y ２n －y n )i ．所以x n ＋１＝x n ,y n ＋１＝x ２n ＋y ２n －y n ,即x n ＋１＝x n ＝３２,y n ＋１＝y ２n －y n ＋３４．故y n ＋１－１２＝y ２n －y n ＋１４＝(y n －１２)２,所以迭代当n ȡ２,得y n＝１２＋(y １－１２)２n －１,即y n＝１２＋１２２n －１．于是z n ＝x n ＋y ni ＝３２＋(１２＋１２２n －１)i ．因此,z ２０２１＝x ２０２１＋y ２０２１i ＝３２＋(１２＋１２２２０２０)i ．评注:若要求复数列的通项公式,可预设复数代数形式,将复数列转化为实数列问题,然后运用实数列的递推求通项．例７㊀(２０２１年全国高中数学联合竞赛A １卷)设a ,b ɪR ．若关于z 的方程(z ２＋a z ＋b )(z ２＋a z ＋２b )＝０有四个互不相等的复数根z １,z ２,z ３,z ４,且它们在复平面上对应的点恰是一个边长为１的正方形的四个顶点,求|z １|＋|z ２|＋|z ３|＋|z ４|的值．８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀竞赛强基㊀㊀㊀㊀解析:设二次方程E １:z ２＋a z ＋b ＝０,E ２:z ２＋a z ＋２b ＝０．不妨设z １,z ２为E １的解,z ３,z ４为E ２的解．若z １,z ２,z ３,z ４均为实数,则它们在复平面上对应的点均在实轴上,不合题意;若z １,z ２,z ３,z ４均为虚数,则它们在复平面上对应的点均在直线R e (z )＝－a２上,不合题意．故z １,z ２,z ３,z ４中有两个实数㊁两个虚数．这表明,方程E １,E ２的判别式a ２－４b 与a ２－８b 异号,此时,b ＞０(若b ɤ０,则a ２－４b ȡ０且a ２－８b ȡ０,矛盾)．于是a ２－４b ȡ０,a ２－８b ＜０,从而z １,２＝－a ʃa ２－４b ２,z ３,４＝－a ʃ８b －４a ２i２．显然z １＋z ２２＝z ３＋z ４２＝－a ２．由正方形的边长为１,知|z １－z ２|＝a ２－４b ＝２,|z ３－z ４|＝８b －a ２＝２,则a ２－４b ＝２,a ２－８b ＝－２,即a ２＝６,b ＝１．注意到z １,z ２同号及|z ３|＝|z ４|,故|z １|＋|z ２|＋|z ３|＋|z ４|＝|z １＋z ２|＋２|z ３|＝|－a |＋a ２＋(８b －a )２＝６＋２２．评注:确定四个复数的模,需要确定复平面上复数的位置,通过分析转化为一元二次方程根的问题,进而达到目的．例８㊀(２０１９年全国高中数学联赛)称一个复数列{z n }为有趣的 :若|z １|＝１,且对于任意正整数n ,均有４z２n ＋１＋２z n z n ＋１＋z ２n＝０．求最大的常数C ,使得对于一切有趣的数列{z n }及任意正整数m ,均有|z １＋z ２＋＋z m |ȡC ．分析:联赛中命题经常为这个类型,如有趣的好点好数等,主要表达所求问题的特点．本题中寻找比|z １＋z ２＋＋z m |小的最大的实数C ,显然容易联想到复数模不等式,先放缩,再结合等比数列求和的极限思想找到３３,最后求S ２p ＋１的极限．仔细琢磨会发现,这种推理的逻辑具有高等数学数列极限的思想．因此,联赛中和数列有关问题的考查总有高等数学的影子．于是考虑有趣数列{z n },归纳可知z n ʂ０(n ɪN ∗)．解析:由条件得４(z n ＋１z n)２＋２ z n ＋１z n＋１＝０,从而z n ＋１z n ＝－１ʃ３i ４,则z n ＋１z n＝－１ʃ３i ４＝１２．于是|z n |＝|z １| １２n －１＝１２n －１(n ɪN ∗)．故|z n ＋z n ＋１|＝|z n|１＋z n ＋１z n ＝１２n －１３ʃ３i ４＝３２n (n ɪN∗)．令S m ＝|z １＋z ２＋＋z m |(m ɪN ∗)．当m ＝２p (p ɪN ∗)时,则S m ȡ|z １＋z ２|－ðpk ＝２|z ２k －１＋z ２k|＞３２－ðɕk ＝２３２２k －１＝３３．当m ＝２p ＋１(p ɪN ∗)时,则|z ２p ＋１|＝１２２p＜３３ˑ２２p －１＝ðɕk ＝p ＋１３２２k －１＝ðɕk ＝p ＋１|z ２k －１＋z ２k |．故S m ȡ|z １＋z ２|－ðpk ＝２|z ２k －１＋z ２k |－|z ２p ＋１|＞３２－ðɕk ＝p ＋１|z ２k －１＋z ２k |＝３３．当m ＝１时,S １＝|z １|＝１＞３３．以上表明C ＝３３满足要求．又当z １＝１,z ２k ＝－１＋３i ２２k ,z ２k ＋１＝－１－３i２２k ＋１(k ɪN ∗)时,可知{z n }为有趣数列．此时㊀l i m p ңɕS ２p ＋１＝l i m p ңɕz １＋ðpk ＝１z ２k ＋z ２k ＋１＝l i m p ңɕz １＋ðpk ＝１－３－３i２２k ＋１＝１＋－３＋３i ８４３＝３３．这表明,C 不能大于３３．综上,所求的C 为３３．评注:本题根据齐次方程求得通项,而对于复数列主要转化到模,利用模的性质再放缩转化为实数列问题．３综述复数是中学数学学习中的一个重难点知识,高考对复数的考查相对基础,这为强基㊁竞赛留下了更大的命题空间,同时也是诸多考生的短板．由于复数为类似平面向量的工具,故兼有代数和几何的特点,复数知识的技巧性和应用性极其广泛．近几年在各类强基㊁竞赛中逐渐成为热点,在联赛㊁冬令营㊁国家集训队题中都有渗透,常常作为压轴题．复数本身具备良好的运算性质,所以复数法兼具有解析法㊁三角法的优势．因此参加数学竞赛的选手,不仅要熟悉并掌握复数的基本知识和解题技巧,还要学会将复数作为强有力的工具应用于问题的解决中,同时还要具备高等数学的思想,这样在具体解答过程中,才能游刃有余．Z９７Copyright ©博看网. 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【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题12 复数(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题12 复数（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2021·全国·高三竞赛）已知z 为复数，且关于x 的方程2484i 30x zx -++=有实数根，则z 的最小值为__________．【答案】1 【解析】【详解】解析： x 为实数根，若0x =，则4i 30+=，矛盾；故0x ≠，故2431i 82x z x x +=+，于是我们可以得1z ==≥，当且仅当x =1．故答案为：1.2．（2018·辽宁·高三竞赛）设a 、b均为实数，复数11)i z b =-+与2z 2bi =+的模长相等，且12z z 为纯虚数，则a +b=_____.1 【解析】【详解】由题设知121z z =，且1122z z z z =为纯虚数，故12z i z =±.因此1,2.b b ⎧-=-⎪=或1,2.b b ⎧-=-⎪=-解得a b ==或a b ==1a b +=.13．（2020·江苏·高三竞赛）已知复数z 满足1z =，则22413iz z z -+--的最大值为__________．【答案】3 【解析】【详解】解析：由题意可得222224(1)3(1)3i 13i 13i 13i 13iz z z z z z z z -+-+--===-+------，则()13i 13i z z -+=--表示复平面上点Z 到()1,3-的距离．如图所示，()1,3C -，由此可得13ZC ≤≤．故22413iz z z -+--的最大值为3．故答案为：3.4．（2018·山东·高三竞赛）若复数z 满足132i 22z z -+--=z 的最小值为______．【答案】1 【解析】【详解】设()1,0A ，()3,2B ，22AB =z 的轨迹为线段AB ．因此min z 为原点O 到A 的距离，即min 1z OA ==．5．（2019·甘肃·高三竞赛）在复平面内，复数123,,z z z 对应的点分别为123,,Z Z Z ．若12122,0z z OZ OZ ==⋅=，1232z z z +-=，则3z 的取值范围是______．【答案】[]0,4【解析】【详解】因为12120z z OZ OZ ==⋅=，所以12+2z z =，因为123+2z z z -=，所以12312332|+|+||||=|||2|z z z z z z z =-≥--，从而332||22,0|| 4.z z -≤-≤≤≤6．（2018·福建·高三竞赛）设复数z 满足i 2z -=，则z z -的最大值为______．（i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数）【答案】6 【解析】【详解】设()i ,z x y x y R =+∈，则i z x y =-，()()i i 2i z z x y x y y -=+--=，2z z y -=，由i 2z -=，知()i i 2x y +-=，()2214x y +-=．所以()214y -≤，13y -≤≤．所以26z z y -=≤．当且仅当3y =，即3i z =时，等号成立．故z z -的最大值为6．7．（2018·全国·高三竞赛）已知定义在复数集上的函数()()24f z i z pz q =+++（p 、q 为复数）.若()1f 与()f i 均为实数，则p q +的最小值为__________．【解析】【详解】设p a bi =+，()q c di a b c d R =+∈、、、.由()()()141f a c b d i =+++++，()()()41f i b c a d i =--++-++为实数知1a d =-，1b d =--.则p q +==故当0c d ==（即1a =，1b =-）时，p q +8．（2021·全国·高三竞赛）设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为1220,,,z z z ，则复数1995199519951220,,,z z z 所对应的不同的点的个数是_______________．【答案】4 【解析】【详解】因为()39919955z z =，故考虑1250525,,,z z z 的不同个数.由201k z =，则()()()()2055550111k k k k k z z z z i z i =-=-+-+，可知5k z 只有4个取值，而()3155k k z z =的取值不会增加，故应为4个不同的点的个数．故答案为：4.9．（2021·全国·高三竞赛）设1()1iz F z iz +=-，其中i 为虚数单位，z C ∈.设011,(),3n n z i z F z n N +=+=∈，则2020z 的实部为___________.【答案】137【解析】【详解】i 1i ()i 1i z z F z z z +-==-+，故()()()ii 1i 1i1i ()i i 1i 1i 1i iz z z z F F z z z z z ---+-++===-+---++，故()()1ii 1()1i i 1z z F F F z z z z +--==++-，故()()2020002191i i316i 1i i 31z F z F z +-====+++，从而实部为137.故答案为：137. 10．（2021·全国·高三竞赛）设复数1z ､2z ､3z 满足1232z z z ===，则122331123z z z z z z z z z ++=++___________.【答案】2 【解析】【详解】解析：1231231213112312312313123111124t z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭==⋅⋅=++++++.故答案为：2.11．（2021·浙江·高三竞赛）复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z -=()()10101221z z z z +=______.【答案】203 【解析】【分析】【详解】如图所示，设12,z z 在复平面内对应的点分别为12,Z Z ,由已知得12123,OZ OZ Z Z ==-=由余弦定理得向量12,OZ OZ 所成的角为2π3, 不妨设()12223cos sin ,3cos sin 33z i z i ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()()12223cos sin ,3cos sin 33z i z i ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=--+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12229cos sin 33z z i ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1222 9cos sin 33z z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, ()10201220203cos sin 33z z i ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()1020122020 3cos sin33z z i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, ()()1010202020121220232cos32cos 333z z z z ππ+=⨯⨯=⨯⨯=, ()()10102012123z z z z +=.故答案为：203.12．（2021·浙江·高二竞赛）设复数i z x y =+的实虚部x ，y 所形成的点(),x y 在椭圆221916x y +=上.若1i i z z ---为实数，则复数z =______. 315i +或315i . 【解析】【分析】【详解】由1i 11i (1)i z z x y --=--+-，所以1y =，则315x =所以315i z =或315i z =. 故答案为：315i z =+或315i z =+. 13．（2021·全国·高三竞赛）已知1,1z z z∈+=C ，则z 的取值范围为___________． 5151z -+≤≤【解析】【分析】【详解】设()i z rer θ+=∈R ，则：221sin cos 1cos sin i z r ir z r r θθθθ=+=+-+222211cos sin r r r r θθ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212cos2r r θ=++．故22112cos23r r θ+=-≤2r ≤≤r ≤≤．故答案为：⎣⎦. 14．（2021·全国·高三竞赛）已知复数z =（i 虚数单位），则()22222212121212111z z z zz z ⎛⎫+++⋅+++= ⎪⎝⎭______________．【答案】36 【解析】【分析】【详解】由已知||1,||1,k kz z z k +===∈N ，故1k k z z=，再结合1212z z z z +=+，及2||zz z =，知所求式子为22221212z z z+++．又4i z e π==，是8次单位根．当1,3,5,7(mod8)k ≡时，21(mod8)k ≡．当2,6(mod8)k ≡时，24(mod8)k ≡．当4,8(mod8)k ≡时，28(mod8)k ≡，所以222221212482633|6|36z z z z z z z +++=++==．故答案为：36.15．（2021·全国·高三竞赛）已知复数a 、b 、c 满足2222221,1,i,a ab b b bc c c ca a ⎧++=⎪++=-⎨⎪++=⎩则ab bc ca ++=_________．【答案】i 【解析】【分析】【详解】由题意有333333,,i()a b a b b c c b c a c a -=--=--=-，三式相加有1i 1i 22b c a ++=+，代入第一个式中有2233ii i 1222a ac c +⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，与22i a ac c ++=联立，即有a 、c 均不为0且1(1i)c a a=--，故有42i(1i)i 0a a --+=，所以21a =或i ．当1a =时，有i,0c b ==，此时原式为i ．当1a =-时，有i,0c b =-=，此时原式为i ．当2i a =时，有2i 0c c +=，又0c ≠，所以21(1i)ii a c a a---=-==，得1a =，矛盾．综上所述，原式仅有i 一个值．故答案为：i.16．（2021·全国·高三竞赛）若复数1234z z z z 、、、满足条件12233441241,1,z z z z z z z z z z +=+=-+∈R ，则()()1324z z z z -+=______．【答案】0 【解析】【分析】【详解】对34411z z z z +=-取共轭，34411z z z z +=-．再与12231z z z z +=相加，并结合24z z +∈R 得： ()()()()32412413240z z z z z z z z zz =+++=++．若240z z +=，则所求式为0．否则，130z z +=．则13z z =-，从而13z z =-．代入条件二，得()3441z z z -=-．即3444112i Im z z z z ==⋅-．故3z 是纯虚数，有13130z z z z -=+=．从而，所求式也为0．故答案为：0.17．（2021·全国·高三竞赛）若复数z 满足20202019143340z iz iz ------=，则34(34)i i zz -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围为________. 【答案】[]10,10- 【解析】【分析】【详解】2020201912020143i 3i 40(43i )43i z z z z z z --------=⇔-=+()2020143i 43i z z z -⇔-=+2019(43i)z z =+. 设(,)z a bi a b R =+∈，则：2222|43||43||(43)3||4(43)|iz z i b ai a b i --+=+--++2222(43)916(43)b a a b =++--+()()2227171||a b z =--=-.若||1z >，则22|43i ||43i ||43i ||43i |0z z z z ->+⇒--+>，而()271||0z -<矛盾.同理||1z <，亦不可能，所以1z =.设cos isin ,34i 5(cos isin )z ααββ=++=+，则:34i 34i (34i)(34i)z z z z -+⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5[cos()isin()]5cos()isin()βαβαβαβα=+++++++10cos()βα=+，所求取值范围是[]10,10-. 故答案为：[]10,10-.18．（2021·全国·高三竞赛）若非零复数x ､y 满足220x xy y ++=，则20052005()()x y x y x y+++的值是________. 【答案】1 【解析】【分析】【详解】2()10x xy y ++=得12x y ω==-或12x y ω==-. （1）当12x y ω==-时，原式20052005200520051111()()()()11111y x x y ωω=+=+++++20052005200520051111()()()ωωωω=-+=-+-11()()1ωωωω=-+=-+=.（2）当12x y ω==-时，同理可得原式1=. 故答案为：1.19．（2020·全国·高三竞赛）设z 为复数．若2z z i--为实数（i 为虚数单位），则|3|z +的最小值为______．【解析】【分析】设(,)z a bi a b =+∈R ，由已知条件计算出a b 、的数量关系，然后运用不等式求解出结果；【详解】设(,)z a bi a b =+∈R ，由条件知22222(2)i (2)(1)22Im Im 0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z a b a b a b ⎛⎫--+---++-⎛⎫==== ⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭⎝⎭，故22a b +=．从而3||(3)2|5z a b +=≥++=，即|3|z +≥．当2,2a b =-=时，|3|z +【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是紧扣已知条件，计算出满足条件的数量关系，继而可以求出结果.20．（2019·浙江·高三竞赛）设12,z z 为复数，且满足1125,2z z i z ==+(其中i 为虚数单位)，则12z z -取值为____________.【解析】【详解】由15z =，设15(cos isin )z αα=+，由122i z z =+得2(2i)(cos isin )z αα=-+，于是，12|(3)(cos isin )|z z i αα-=++21．（2019·贵州·高三竞赛）已知方程5250x x -+=的五个根分别为12345,,,,x x x x x ，f (x )=x 2+1，则()51k k f x ==∏____________ .【答案】37 【解析】【详解】设52()5g x x x =-+，则()51()k k g x x x ==-∏.又f (x )=x 2+1=(x －i )(x +i )，所以()()()555111i i kkk k k k f x xx ====-⋅+∏∏∏()()g i g i =⋅-()5252i i 5(i)(i)5⎡⎤=-+⋅---+⎣⎦(6)(6)37i i =+-=.故答案为：37．22．（2019·四川·高三竞赛）满足(a +bi )6=a －bi (其中a ，b ∈R ，i 2=－1)的有序数组(a ，b )的组数是_____ . 【答案】8 【解析】【详解】令z =a +bi ，则6z z =，从而6||||||z z z ==.于是||0z =或者||1z =.当||0z =时，z =0，即a =b =0，显然(0，0)符合条件；当||1z =时，由6z z =知72||1z z z z =⋅==，注意到z 7=1有7个复数解.即有7个有序实数对(a ，b )符合条件. 综上可知，符合条件的有序实数对(a ，b )的对数是8. 故答案为：8．23．（2019·福建·高三竞赛）已知复数()1212,,z z z z z ≠满足22122z z ==--，且124z z z z -=-=，则||z =____________ .【答案】【解析】【详解】先求复数2--的平方根.设2()2(,)x yi x y +=--∈，则()222i 2x y xy -+=--.故有2222x y xy ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩，解得111x y =⎧⎪⎨=⎪⎩221x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.由2212122z z z z ==--≠，知12,z z为复数2--的两个平方根.由对称性，不妨设1211z z ==-.于是，1212124,4z z z z z z z z -=-=-=-=，复数12,,z z z 对应的点12,,Z Z Z 构成边长为4的正三角形.又复数12,z z 对应的点12,Z Z 关于原点O 对称，所以OZ 为△ZZ 1Z 2的高，故||||z OZ ==故答案为：24．（2019·山东·高三竞赛）已知虚数z 满足1w z z =+为实数，且112,1z w u z--<<=+，那么2u ω-的最小值是______ .【答案】1【解析】【详解】设z =x +yi (x ，y ∈R )，易知221x y +=，则222222(1)31(1)1y w u x x x x -=+=++-++，当x =0时等号成立. 故答案为：1．25．（2019·重庆·高三竞赛）已知复数123,,z z z 使得12z z 为纯虚数，121z z ==，1231z z z ++=，则3z 的最小值是_______ .1 【解析】【详解】设123z z z z =++，则||1z =，由已知11220z z z z ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以12210z z z z +=.所以()2121212()z z z z z z +=++11221212z z z z z z z z =+++2=.所以12z z +=. 所以312z z z z =+-12||z z z+-1.当1231,i,i)z z z ===+时，最小值能取到. 1．26．（2019·上海·高三竞赛）若复数z满足||4z z +=，则||zi +的最大值为________. 【解析】【详解】由复数的几何意义知，z 在复平面上对应的曲线是椭圆：2214x y +=.设2cos isin ,02z θθθπ=+<，则222211616|i |4cos (sin 1)3sin 333z θθθ⎛⎫+=++=--+ ⎪⎝⎭，所以43||3z i +，当1sin 3θ=，即421i 33z =+时等号成立，故最大值为433. 故答案为：433． 27．（2019·江苏·高三竞赛）在复平面中，复数3－i 、2－2i 、1+5i 分别对应点A 、B 、C ，则△ABC 的面积是________ .【答案】4 【解析】【详解】如图所示，△ABC 的面积为：ABC CDEF ABE BFC ADC S S S S S =---△△△△，即△ABC 的面积是17276422⨯---=.故答案为：4．28．（2018·河南·高三竞赛）已知i 为虚数单位，则在)103i的展开式中，所有奇数项的和是______．【答案】512 【解析】【详解】易知)103i的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部．又)()()1010101013133i2i 2i 22⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1310245123i 2⎛⎫=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭．故填512．29．（2018·全国·高三竞赛）设复数1sin 2z i α=+，()21cos z i R αα=+⋅∈.则2121213z iz f z iz -+=-的最小值为__________．【答案】2 【解析】【详解】令12z iz t -==，则t ⎡∈⎣且此时有()222212sin cos 310sin212z iz t ααα+=-+=-=-. 故2212121312z iz t f z iz t-++==≥-当1t =，即()4k k Z παπ=-∈时，f 的最小值为2.30．（2019·全国·高三竞赛）设方程()10101310x x +-=的10个复根分别为1210,,,x x x ⋅⋅⋅.则112255111x x x x x x ++⋅⋅⋅+=______. 【答案】850 【解析】【详解】设cossin1010i ππε=+.则101ε=-.由于方程()10101310x x +-=的10个复根分别为1210,,,x x x ⋅⋅⋅，不妨设其为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、1x 、2x 、3x 、4x 、5x .由()1010131x x -=-，知()211311,2,,5k k k x x k ε--==⋅⋅⋅.于是，21113k kx ε-=-. 故()()5212111122551111313k k k x x x x x x εε---=++⋅⋅⋅+=--∑ ()52121117013k k k εε---=⎡⎤=-+⎣⎦∑ ()52121185013850k k k εε---==-+=∑. 31．（2019·全国·高三竞赛）若n 为大于1的正整数，则2462coscos cos cos n n n n nππππ+++⋅⋅⋅+=______. 【答案】0 【解析】【详解】2112cos Re 0k i nn n k k k e n ππ====∑∑. 32．（2018·全国·高三竞赛）已知复数123,,z z z 满足121,1z z ≤≤，()312122z z z z z -+≤-.则3z 的最大值是______.【解析】【详解】注意到3122z z z -+ ()312122z z z z z ≤-+≤-.则312122z z z z z ≤++- ≤=.当()2113121,z i z z z z z =±⋅==+时，3z .33．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，复数1z 对应的点在联结1和i 两点的线段上运动，复数2z 对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上运动．则复数12z z +对应的点所在区域的面积为______．【答案】π 【解析】【详解】设()11z t i t =+-（01t ≤≤），2cos sin z i θθ=+．则()12cos 1sin z z x yi t i t θθ+=+=++-+．故()()2211x t y t ⎡⎤-+--=⎣⎦为圆心在1y x =-上的一组圆，该区域面积为π． 34．（2018·广西·高三竞赛）设a 、b 为正整数，且()()22b ia i i i-++=-.则a b +=______. 【答案】8. 【解析】【详解】由题意得()()()()2222212212552455b b a a b a b a +-⎛⎫⎛⎫-++=+⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又因为5b a +与5b a -为奇偶性相同的整数，所以，512,52b a b a +=⎧⎨-=⎩或56,5 4.b a b a +=⎧⎨-=⎩ 解得1a =，7b =. 故8a b +=.35．（2019·全国·高三竞赛）化简12arcsin 23=______.【答案】π4【解析】【详解】令11z =，22i z =，则有()2121211arg arg arg 22z z z z +=()()1arg 42i 2⎡⎤=-+⎣⎦ ()13πarg 18i 24=-=.从而，122πarcsin13π3arg arg 224z z -+==，故12πarcsin 234=. 36．（2019·全国·高三竞赛）复数列01,,z z ⋅⋅⋅满足01z =，1nn niz z z +=.若20111z =，则0z 可以有_________种取值. 【答案】20112 【解析】【详解】显然，对任意的非负整数n 均有1n z =.设[)()0,2n i n o z e θθπ=∈.则12122n n ni i n n i ee e πθθθπθθ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭+-=⇒=+1022222n n n πππθθθ+⎛⎫⎛⎫⇒+=+=⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由20111z =，得()20112k k Z θπ=∈，即201102222k ππθπ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. 由[)00,2θπ∈，得2010201022252k ππππ≤+<⨯20112011200920092152125244k k -⨯-⇒≤<⇒≤<⨯.因此，满足条件的n z 共有2009200920115222⨯-=（个）. 故答案为2011237．（2019·全国·高三竞赛）设复数123,2)z i z i z i θθ=-=++.则12z z z z -+-的最小值是________.【答案】2+ 【解析】【详解】()1212122z z z z z z z z z z -+-≥---=-=+ 其等号成立的条件是()()12arg z z arg z z -=-，=2sin θθ=，即()601,150sin θθ-︒==︒.因此12z z z z -+-的最小值是2+38．（2021·全国·高三竞赛）若e 为自然对数的底，则满足11z z e z -=+，且100z <的复数z 的个数为________．【答案】32 【解析】【分析】【详解】记i 为虚数单位．设z 是一个满足题意的复数，且i(,)z x y x y =+∈R 首先，容易直接验证0,1,1z ≠-．由ii ·z x y x y x e ee e e +===，知1||||1z x z e e z -==+．若0x <，则1||11x z e z -=<+．但22|1||1|(1)(1)(1)(1)2()40z z z z z z z z x --+=---++=-+=->，则1||11z z ->+，矛盾．若0x >，则1||11x z e z -=>+．但22|1||1|(1)(1)(1)(1)2()40z z z z z z z z x --+=---++=-+=-<，则1||11z z -<+，矛盾．故只能有0x =，于是，()i 0z y y =≠．注意到z 满足题意当且仅当z -满足题意，故不妨设0y >，下求满足i1i1iy y e y -+=+的正实数y的个数．由以上讨论，知iy e 与1i1iy y -++在复平面中所对应的点都在单位圆上，故y 应使两者的辐角主值相等．当y 从0连续递增变动到+∞时，1i y -+的辐角主值从π连续递减变到(),1i 2y π++的辐角主值从0连续递增变到()2π-故1i1i y y -++的辐角主值从π连续递减变到0+另一方面，对于n N ∈，考察i y e 在())2,22y n n ππ∈+⎡⎣时的变化情况．当y 从2n π连续递增变动到()21n π+时，i y e 的辐角主值从0连续递增变到π；当y 从()()21n π++连续递增变动到()()22n π-+时，i y e 的辐角主值从π+连续递增变到()2π-．由以上分析，知对每个i1i,1iy y n N e y -+=+∈在()2,21n n ππ+⎡⎤⎣⎦上恰有一个解，在()()()21,22n n ππ++上无解．那么，注意到0100y <<，且3110032ππ<<．故i1i,1iy y n N e y -+=+∈在()0,100上有16个解，故答案为32．故答案为：32.39．（2019·上海·高三竞赛）设a 是实数，关于z 的方程(z 2－2z +5)(z 2+2az +1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a 的取值范围是________. 【答案】{a |－1<a <1}∪{－3} 【解析】【详解】由z 2－2z +5=0，得1212i,12i z z =+=-.因为z 2+2az +1=0有两个不同的根，所以△=4(a 2－1)≠0，故a ≠±1.若△=4(a 2－1)<0，即－1<a <1时，3,4z a =-因为1234,,,z z z z 在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，11a -<<满足条件.若△=4(a 2－1)>0，即|a |>1时， 3.4z a =-当z 1、z 2对应的点在以34,z z 对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为22343422z z z z x y +-⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()2234340x z z x z z y -+++=，即x 2+2ax +1+y 2=0，将点(1，±2)代入得a =－3. 综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是{a |－1<a <1}∪{－3}. 故答案为：{a |－1<a <1}∪{－3}. 二、解答题40．（2021·全国·高三竞赛）设,[0,2)a θπ∈∈R ，复数123cos isin ,sin i cos ,(1i)z z z a θθθθ=+=+=-.求所有的(,)a θ，使得1z ､2z ､3z 依次成等比数列.【答案】答案见解析【解析】【详解】因为2132z z z =，所以：()()2(1)cos isin sin icos a i θθθθ-+=+，整理得：()()22cos sin sin cos i sin cos 2isin cos a a θθθθθθθθ++-=-+，所以(cos sin )(cos sin )(sin cos ),(sin cos )2sin cos .a a θθθθθθθθθθ+=+-⎧⎨-=⎩（1）3cos sin 04πθθθ+=⇒=或74π，34πθ=时，代入得2a =-74πθ=时，代入得a = （2）若cos sin 0θθ+≠，则有：22(sin cos )2sin cos tan 4tan 10θθθθθθ-=⇒-+=，故tan 2θ=θ的值为12π或512π或1312π或1712π，对于的a 分别为、故所有的(,)a θ为：53131771212412124ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.41．（2021·全国·高三竞赛）设点Z 是单位圆221x y +=上的动点，复数W 是复数Z 的函数：21(1)W Z =+，试求点W 的轨迹．【答案】214y x =-+．【解析】【分析】【详解】因为1Z =，所以设cos isin ,12cos cos isin 222Z Z θθθθθ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭．令i W x y =+，则：22211i (1)4coscos isin 222x y Z θθθ+==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭2211(cos isin )4cos(cos isin )4cos22θθθθθθ==-+．所以2cos 4cos2x θθ=①，2sin 4cos2y θθ=-②．②÷①得tan yxθ=-③．由②得22sin cos122tan 224cos 2y θθθθ=-=-．所以tan22y θ=-，代入③得222tan42141tan 2y y x y θθ--==--．所以轨迹方程为：214y x =-+． 42．（2021·全国·高三竞赛）已知z C ∈，存在唯一的a ∈C ，使得322(2)(13)0z a z a z a a +-+-+-=，求2420201z z z ++++．【答案】0 【解析】【分析】【详解】由322(2)(13)0z a z a z a a +-+-+-=，得()22323120a a z z z z z -+++++=，得()()22231210a a z z z z z -+++++=．所以()2()210a z a z z ⎡⎤--++=⎣⎦．由a 的值唯一，故221z z z =++，即210z z ++=，所以()2(1)10z z z -++=，即31z =，所以 ()()2420202462016111z z z z z z z ++++=+++++()()26201611z z z z =+++++0=．43．（2021·全国·高三竞赛）求证：存在非零复数c 与实数d ，使得对于一切模长为1的复数12z z ⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭均有221111c d z z z z --=++++ 【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】对于满足1z =的复数z ．设()cos sin 02z t i t t π=+≤<．则不难计算得21cos sin 12cos 1t i tz z t -=+++．设22cos 11Re Im 12s 1121in ,cos cos x y t tt t z z z z -====++++++，则,si cos n 1212x y t t x x-==--．由22cos sin 1t t +=，得2211212x y x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即2229313x y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ ①①即211z z ++在复平面中对应的点的轨迹方程．可以看到，此轨迹是双曲线，其焦点为4(0,0),,03⎛⎫⎪⎝⎭.由双曲线的定义，知取42,33c d ==满足题意．44．（2021·全国·高三竞赛）若关于z 的整系数方程320z pz qz r +++=的三个复数根在复平面内恰好成为一个等腰直角三角形的三个顶点，求这个等腰直角三角形的面积的最小值.【答案】1 【解析】【分析】【详解】设该等腰直角三角形斜边中点对应的复数为1z ，直角顶点对应的复数为()1220z z z +≠，则另外两个顶点对应的复数分别为12z z i +和12z z i -，依题意有： 32121212()()()z pz qz r z z z z z z i z z z i +++=-----+，化简得223223111221112223,32,z x z p z z z z q z z z z z z r +=-++=+++=-，所以3222221223,489z z q p Z z z pq r Z =-+=-∈∈.进而122z z Q +∈，与123z z p Z +=-∈联立就有2z Q ∈.再由22223x q p Z =-∈知2z Z ∈，于是21z ≥，所以等腰直角三角形的面积最小为1.另一方面，3210z x z +++=的三个复数根恰是面积为1的等腰直角三角形的顶点. 45．（2021·全国·高三竞赛）已知实数0,a b C >∈．若方程32310x ax bx +++=的三个复数根的正三角形，求a b 、的值．【答案】a =b =【解析】【分析】【详解】设方程三根为123z z z 、、，正三角形中心对应的复数为z ，则有1233z z z z a ++==-．进一步可设2123,,z a z z a z z a z ωω''=-+=-+=-+．其中12ω=-是三次单位根．由Vieta 定理知：()()22223221223313113b z z z z z z a az z a ωωωωωωω''=++=-++++++++=．因此方程是实系数三次方程，必有实根，不妨设1z ∈R ．由1z a a +=且0不是方程的根知12z a =-．进一步地，2,31i 2z a =-．由312321z z z a =-=-得a =进一步地，23b a ==46．（2019·全国·高三竞赛）123z z z 、、为多项式()3P z z az b =++的三个根，满足222123250z z z ++=，且复平面上的三点123z z z 、、恰构成一个直角三角形.求该直角三形的斜边的长度.【答案】【解析】【详解】由韦达定理得123123003z z z z z z ++++=⇒= ⇒以123z z z 、、两为顶点的三角形的重心为原点.不妨设1213,z z x z z y -=-=为两条直角边.由于顶点与重心的距离等于该顶点所对应的中线长的23，2222214419499y z x x y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故. 类似地，2222224149499x z y x y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 22222341194499x y z x y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 则222123z z z ++=222266222509933x y x y +=+==47．（2019·全国·高三竞赛）设a 、b 、c 是正实数，22λ-<<.证明：()()()2221a b c ab bc ca λ≥+++-++.【答案】见解析【解析】【详解】注意到，()()22222244a ab b a b a b λλλ-+-+=++-.于是，可构造复数))1z a b a b i =++-，))2z b c b c i =+-，))3z c a c a i =+-. 易得()()()2221223311z z z z z z a b c ab bc ca λ++=+++-++.故要证不等式的左边122331122331122331z z z z z z z z z z z z z z z z z z =++=++≥++ ()()()()()()22222211a b c ab bc ca a b c ab bc ca λλ=+++-++≥+++-++.48．（2021·全国·高三竞赛）设122020,,,z z z 和122020,,,w w w 为两组复数，满足：202020202211i i i i z w ==>∑∑．求证：存在数组()122020,,,εεε（其中{1,1}i ε∈-），使得2020202011i ii ii i zwεε==>∑∑．【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】用()()1212,,,,,,nn f εεεεεε∑表示对所有数组()12,,,n εεε的求和，下面用数学归纳证明如下的等式：()12221122,,,12n nnn n ii z z z zεεεεεε=+++=∑∑ ①(1)当1n =时，①式显然成立；当2n =时，()()()()()()222212121212121211221222z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++-=+++--=+=+，即①式成立．（2）假设n k =时，①式成立，则1n k =+时，我们有()1212112211,,,k k k z z z εεεεεε+++⋅⋅⋅+++∑()()12221122111221,,,k k k k k k k z z z z z z z z εεεεεεεεε++⋅⋅⋅=++++++++-∑()()122211221,,2kk k k z z z z εεεεεε+⋅⋅⋅⋅=++++∑1221111222k k k k i n i i i z z z +++==⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，即1n k =+时①式成立．由（1）（2）可得：()12221122,,,12,n nnn n i i z z z z n εεεεεε+⋅⋅⋅=+++=∈∑∑N ．回到原题，由202020202211i ii i z w==>∑∑，可得2020202022202020201122iii i zw==>∑∑，即()()12202012202022112220202020112220202020,,,,,,z z z w w w εεεεεεεεεεεε⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++>+++∑∑，所以存在数组()122020,,εεε（其中{1,1}i ε∈-，使得222020202011i ii ii i zwεε==>∑∑，即2020202011i ii ii i zwεε==>∑∑．49．（2019·全国·高三竞赛）设复数数列{zn }满足：11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=.证明：对任意正整数m ，均有122m z z z +++<【答案】证明见解析【解析】【分析】很明显，复数列恒不为零，且)1N n n z n z ++∈.据此结合递推关系分类讨论m 为偶数和m 为奇数两种情况即可证得题中的结论. 【详解】由于11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=,故()0n z n +≠∈N .由条件得()2114210n n n n z z n z z +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，解得)1N n n z n z ++=∈. 因此1112n n nn z z z z ++===，故()1111122n n n z z n +--=⋅=∈N ①进而有)111112n n n n n n z z z z n z +++-+=⋅+=∈N ② 当m 为偶数时，设m =2s (s ∈N +).利用②可得 122121smk k k z z z zz -=++++∑2121kk k z z ∞-=<+∑1k ∞==当m 为奇数时，设m =2s +1(s ∈N ).由①､②可知2121221112s k k s k s k s z z z ∞∞+-=+=+===+∑∑，故12212211smk k s k z zz z z z -+=⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭∑2121k kk z z ∞-=<+=∑. 综上结论获证. 【点睛】本题主要考查复数列的递推关系，复数的运算法则，放缩法证明不等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.50．（2021·全国·高三竞赛）设{}n a 、{}n x 是无穷复数数列，满足对任意正整数n ，关于x 的方程210n n x a x a +-+=的两个复根恰为n x 、1n x +（当两根相等时1n n x x +=）．若数列{}n x 恒为常数，证明：（1）2n x ≤；（2）数列{}n a 恒为常数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意和韦达定理可得()211n n n x x x ++=-，取模得211n n n x x x ++=-，若0n x =，结论2n x ≤显然成立，否则，由于数列{}n x 恒为常数，则11n x -=，即结论也成立；（2）由（1）和题意知，数列{}n x 恒为常数，则n x 只有互为共轭的两种取值，不妨设为ε和ε，依据题意即可证明. 【详解】由题意和韦达定理得,111,.n n n n n n x x a x x a ++++=⎧⎨=⎩ 则1112n n n n n x x a x x ++++==+，即()21111n n n n n n x x x x x x ++++=-=-． ① （1）由①取模得211n n n x x x ++=-，若0n x =，结论2n x ≤显然成立；否则，由于数列{}n x 恒为常数，则11n x -=，即有112n n x x ≤-+=．（2）由（1）知，对任意的,11n n x +∈-=N ，又数列{}n x 恒为常数，因此n x 只有互为共轭的两种取值ε和ε．若存在n +∈N ，使得1n n x x +=，不妨设1n n x x ε+==，则22{,}n x εεεε+=-∈．若2n x ε+=，则220εε-=，即0ε=或2；若2n x ε+=，则2εεε=+∈R ，且|1|1ε-=．因此，要么ε∈R ，要么{}n x 呈ε、ε周期．故显然1n n n a x x +=+是常数，即证数列{}n a 恒为常数. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列不等式的证明，解题关键在于利用韦达定理得出()211n n n x x x ++=-，再取模，对0n x =这种特殊情形和一般情形11n x -=讨论即可证明结论成立；（2）本题主要考查常数列的证明，解题关键在于n x 的取值情况和1n n x x ε+==的假设，由（1）和题意知，数列{}n x 恒为常数，则n x 只有互为共轭的两种取值，不妨记为ε和ε，若存在n +∈N ，使得1n n x x +=，不妨设1n n x x ε+==，则22{,}n x εεεε+=-∈，对2n x +分类讨论即可证明.【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题12 复数（50题竞赛真题强化训练）一、填空题 1．（2021·全国·高三竞赛）已知z 为复数，且关于x 的方程2484i 30x zx -++=有实数根，则z 的最小值为__________．2．（2018·辽宁·高三竞赛）设a 、b均为实数，复数11)i z b =-+与2z 2bi =+的模长相等，且12z z 为纯虚数，则a +b=_____.3．（2020·江苏·高三竞赛）已知复数z 满足1z =的最大值为__________．4．（2018·山东·高三竞赛）若复数z满足132i z z -+--=z 的最小值为______． 5．（2019·甘肃·高三竞赛）在复平面内，复数123,,z z z 对应的点分别为123,,Z Z Z．若12120z z OZ OZ ==⋅=，1232z z z +-=，则3z 的取值范围是______．6．（2018·福建·高三竞赛）设复数z 满足i 2z -=，则z z -的最大值为______．（i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数）7．（2018·全国·高三竞赛）已知定义在复数集上的函数()()24f z i z pz q =+++（p 、q 为复数）.若()1f 与()f i 均为实数，则p q +的最小值为__________．8．（2021·全国·高三竞赛）设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为1220,,,z z z ，则复数1995199519951220,,,z z z 所对应的不同的点的个数是_______________．9．（2021·全国·高三竞赛）设1()1iz F z iz +=-，其中i 为虚数单位，z C ∈.设011,(),3n n z i z F z n N +=+=∈，则2020z 的实部为___________.10．（2021·全国·高三竞赛）设复数1z ､2z ､3z 满足1232z z z ===，则122331123z z z z z z z z z ++=++___________.11．（2021·浙江·高三竞赛）复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z -=()()10101221z z z z +=______.12．（2021·浙江·高二竞赛）设复数i z x y =+的实虚部x ，y 所形成的点(),x y 在椭圆221916x y +=上.若1i i z z ---为实数，则复数z =______.13．（2021·全国·高三竞赛）已知1,1z z z∈+=C ，则z 的取值范围为___________． 14．（2021·全国·高三竞赛）已知复数z =（i 虚数单位），则()22222212121212111z z z zz z ⎛⎫+++⋅+++= ⎪⎝⎭______________． 15．（2021·全国·高三竞赛）已知复数a 、b 、c 满足2222221,1,i,a ab b b bc c c ca a ⎧++=⎪++=-⎨⎪++=⎩则ab bc ca ++=_________． 16．（2021·全国·高三竞赛）若复数1234z z z z 、、、满足条件12233441241,1,z z z z z z z z z z +=+=-+∈R ，则()()1324z z z z -+=______．17．（2021·全国·高三竞赛）若复数z 满足20202019143340z iz iz ------=，则34(34)i i zz -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围为________.18．（2021·全国·高三竞赛）若非零复数x ､y 满足220x xy y ++=，则20052005()()x y x y x y+++的值是________.19．（2020·全国·高三竞赛）设z 为复数．若2z z i--为实数（i 为虚数单位），则|3|z +的最小值为______．20．（2019·浙江·高三竞赛）设12,z z 为复数，且满足1125,2z z i z ==+(其中i 为虚数单位)，则12z z -取值为____________.21．（2019·贵州·高三竞赛）已知方程5250x x -+=的五个根分别为12345,,,,x x x x x ，f (x )=x 2+1，则()51k k f x ==∏____________ .22．（2019·四川·高三竞赛）满足(a +bi )6=a －bi (其中a ，b ∈R ，i 2=－1)的有序数组(a ，b )的组数是_____ .23．（2019·福建·高三竞赛）已知复数()1212,,z z z z z ≠满足22122z z ==--，且124z z z z -=-=，则||z =____________ .24．（2019·山东·高三竞赛）已知虚数z 满足1w z z =+为实数，且112,1z w u z--<<=+，那么2u ω-的最小值是______ .25．（2019·重庆·高三竞赛）已知复数123,,z z z 使得12z z 为纯虚数，121z z ==，1231z z z ++=，则3z 的最小值是_______ .26．（2019·上海·高三竞赛）若复数z 满足|3||3|4z z -++=，则||z i +的最大值为________. 27．（2019·江苏·高三竞赛）在复平面中，复数3－i 、2－2i 、1+5i 分别对应点A 、B 、C ，则△ABC 的面积是________ .28．（2018·河南·高三竞赛）已知i 为虚数单位，则在)103i的展开式中，所有奇数项的和是______．29．（2018·全国·高三竞赛）设复数1sin 2z i α=+，()21cos z i R αα=+⋅∈.则2121213z iz f z iz -+=-的最小值为__________．30．（2019·全国·高三竞赛）设方程()10101310x x +-=的10个复根分别为1210,,,x x x ⋅⋅⋅.则112255111x x x x x x ++⋅⋅⋅+=______. 31．（2019·全国·高三竞赛）若n 为大于1的正整数，则2462coscos cos cos n n n n nππππ+++⋅⋅⋅+=______. 32．（2018·全国·高三竞赛）已知复数123,,z z z 满足121,1z z ≤≤，()312122z z z z z -+≤-.则3z 的最大值是______.33．（2019·全国·高三竞赛）在复平面上，复数1z 对应的点在联结1和i 两点的线段上运动，复数2z 对应的点在以原点为圆心、1为半径的圆上运动．则复数12z z +对应的点所在区域的面积为______．34．（2018·广西·高三竞赛）设a 、b 为正整数，且()()22b ia i i i-++=-.则a b +=______. 35．（2019·全国·高三竞赛）化简12arcsin 23=______.36．（2019·全国·高三竞赛）复数列01,,z z ⋅⋅⋅满足01z =，1nn niz z z +=.若20111z =，则0z 可以有_________种取值.37．（2019·全国·高三竞赛）设复数123,2)z i z i z i θθ=-=++.则12z z z z -+-的最小值是________.38．（2021·全国·高三竞赛）若e 为自然对数的底，则满足11z z e z -=+，且100z <的复数z 的个数为________．39．（2019·上海·高三竞赛）设a 是实数，关于z 的方程(z 2－2z +5)(z 2+2az +1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a 的取值范围是________. 二、解答题40．（2021·全国·高三竞赛）设,[0,2)a θπ∈∈R ，复数123cos isin ,sin i cos ,(1i)z z z a θθθθ=+=+=-.求所有的(,)a θ，使得1z ､2z ､3z 依次成等比数列.41．（2021·全国·高三竞赛）设点Z 是单位圆221x y +=上的动点，复数W 是复数Z 的函数：21(1)W Z =+，试求点W 的轨迹．42．（2021·全国·高三竞赛）已知z C ∈，存在唯一的a ∈C ，使得322(2)(13)0z a z a z a a +-+-+-=，求2420201z z z ++++．43．（2021·全国·高三竞赛）求证：存在非零复数c 与实数d ，使得对于一切模长为1的复数12z z ⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭均有221111c d z z z z --=++++ 44．（2021·全国·高三竞赛）若关于z 的整系数方程320z pz qz r +++=的三个复数根在复平面内恰好成为一个等腰直角三角形的三个顶点，求这个等腰直角三角形的面积的最小值. 45．（2021·全国·高三竞赛）已知实数0,a b C >∈．若方程32310x ax bx +++=的三个复数根的正三角形，求a b 、的值．46．（2019·全国·高三竞赛）123z z z 、、为多项式()3P z z az b =++的三个根，满足222123250z z z ++=，且复平面上的三点123z z z 、、恰构成一个直角三角形.求该直角三形的斜边的长度.。

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复数专题一复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(41i +的等比复数列．（1）求4z ．（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ．（3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和．解：（1）)6sin 6(cos 21)26(41ππi i r +=+=．i r z 2124834==．（2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6r 的等比数列．所以433=a ．（3）这个级数是公比816-==r 的无穷等比级数，从而和3128)81(148=--=．例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时）分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ．（1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(131tan ∞→→+-=n nn θ．（2）当1≠k 时，211111)1(a k k k a a n n n --++--=kk k k k n n n ---++--=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(13313)13(1tan 1∞→⎪⎩⎪⎨⎧<<>+-→---+=-n k k k k k k k nn n θ．例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示．（2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数．解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,21223)(αα=-=-z z z z (1)211)(----=-=-n n n n n z z z z αα于是，从1≠α得，αα--=11nn z ．（2）)3sin3(cos231ππαi i +=+=，所以)3sin 3(cos2ππαn i n n n +=,要使n z 在圆10||=z 的内部，它的充分必要条件是10,z <，∴100||2<n z ．即100<⋅n n z z ，而)23c o s 21(3121n n n n n z z +-=⋅+π， ∴100)23cos21(3121<+-+n n n π．又n n n 2123cos 21+-+π221)21(221n n n -=+->+，能适合300)21(2<-n 的n 只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||=z 的内部，故符合条件的点共有5个．例4 设平面上有点 ,,10P P ，如图所示，其中，线段 ,,,21100P P P P OP ，的长成首项为1，公比为r 的等比数列．（1）若10<<r ，则当∞→n 时，n P 与哪一点无限接近？（2）将（1）中的极限点用Q 表示．若固定21=r 而θ变动时，点Q 所描述的是怎样的曲线？解：（1）)sin (cos θθωi r +=，此时，若将表示点n P 的复数记作n z ，则有n n n z z ω=--1，其中1-z 就是原点O ．于是)1(11112≠--=++++=+ωωωωωωn nn z ．|1||1||||11|11ωωωω-=-=--++n n n r z , 因此，若10<<r ，令∞→n ，则0|11|→--ωn z ，n z 所表示的点与ω-11所表示的点最靠近．（2）ω-=11z ，则有z z 1-=ω，21=r 固定，θ做变动，点ω总在以原点为圆心的圆周上．但因21||=ω，故有2|1|||=-z z ．于是当点ω在以原点为中心，21为半径的圆上，点ω-11相应的在以点34为圆心，32为半径的圆上．例5 设在复平面上:（1）原点为O ，表示复数Z 的点为A ，点B 由||||k =，, 的交角为θ所确定。

试求表示点B 的复数。

这里k 是实数。

（2）点列 ,,,,,210n A A A A 由下述方式确定：0A 取)0,0(，1A 取)0,1(，),3,2,1(1 =+n A n 由||2||11n n n n A A A A -+=，以及n n n n A A A A 11,-+的夹角θ所定义。

试求被表示为n A 复数n z 。

（3）若（2）中，2πθ=，且记12311-+++=n z z z S ，n z z z S 2422+++= ，将212iS S +化简。

解：（1）将表示B 的复数记作ω，则对有关系AB OC =的点C 表示为复数，就是z -ω，从而)sin (cos θθωi kz z +=-，所以z ik k ]sin )cos 1[(θθω++=。

（2）A A A A n n n n ==+-11,所表示的点Q P ,，则用复数分别表示为n n n n z z z z --+-11,。

由θ=∠POQ ，推出n n z z -+12=)s i n )(c o s (1θθi z z n n +--，因此，数列}{1--n n z z 是首项为10101=-=-z z ，公比为)sin (cos 2θθi +的等比数列。

所以1--n n z z 11)sin (cos 2--+=n n i θθ（n 是正整数）。

所以)sin (cos 21)sin (cos 21θθθθi n i n z n n +-+-=。

（3）数列}{},{212k k z z -仍为等比数列，故可求得ni iS S =+212。

专题二复数与几何1. 有关轨迹问题：例1 已知一圆B 及圆外一点A ，在圆上任取一点Q ，以AQ 为边按逆时针作正三角形AQP ，求点P 的轨迹.解：如图：建立复平面，设a AB =，圆B 半径为r .P 、Q 分别对应复数为1,z z则r a z =-1.令3sin 3cos 0ππi z +=， 3π=∠QAP ，∴01,01z z z z z z =⋅=故r a z z=-0,∴r z r az z ==-00.故点P 的轨迹是圆，圆心对应的复数为0az ，即i a a 232+，半径为r . 例2 已知复数2121,,z z z z +在复平面上分别对应点A 、B 、C ，O 为复平面的原点.(1) 若i z 21231+=，向量逆时针旋转︒90，模变为原来的2倍后与向量重合，求2z ；（2）若)(22121z z z z +=-，试判断四边形OACB 的形状.解：向量逆时针旋转︒90，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为i z 21⋅，而对应的复数为21z z +，故21z z +=i z 21⋅.故=+-=)21(12i z z )21)(2123(i i +-+ 整理可得：i z 21322322-++-=. (2) )(22121z z z z +=-,OC BA ⊥.又四边形OACB 为平行四边形，∴四边形OACB 为菱形.2. 复数的模与辐角求复数的辐角主值常有两种方法：(1) 利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.(2) 根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解.例3 设复数z 满足1=z ,求复数2-z 的辐角主值的最大值与最小值。

解：1=z ∴可设)20(sincos πθθθ<≤+=i z ,θθsin 2cos 2i z +-=-∴.设a z =-)2arg(,由于,1sin1,02cos ≤≤-<-θθ故232ππ<<a . 令,2cos sin -==θθtga y 则可先求出y 的最值。

由,2cos sin ,sin 2cos y y y y -=-=-θθθθ得)(2)sin(12y tg y y =-=-+ϕϕθ其中,1)sin(≤-ϕθ ,212y y +≤-∴,即,3333,1422≤≤-+≤y y y 3333≤≤-∴tga ,故67)2arg(,65)2arg(max min ππ=-=-z z .方法二:由1=z ，知z 对应的点Z 在单位圆122=+y x 上，设A （2，0），根据复数减法的几何意义，复数2-z 对应的向量是AZ .（如图），当射线AZ 是圆O 的切线时，2-z 对应的向量分别为21AZ AZ 和，其中Z 1，Z 2为切点.连接OZ 1，则11AZ OZ ⊥，可知1OAZ ∆为直角三角形.由2,11==OA OZ ,故67)2arg(,65)2arg(max min ππ=-=-z z例4 设{}{},,1z 12 C z z z z A ∈≤⋂≤+=求A 中辐角主值最大的复数z .解：12≤+z 满足的点在以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周），满足1≤z 的点在单位圆内，（包括圆周），A ∴对应如图两圆共同部分 .A ∴中辐角主值最大的复数P 点对应的复数i i z 222245sin 45cos--=+=ππ 例5 若c z z ∈21,,求证：21211z z z z ⋅-=-成立的充分必要条件是21z z 、中至少有一个是1.证：必要性：212211z z z z ⋅-=- ,2212211z z z z ⋅-=-∴,故有()()()()2121212111z z z z z z z z ⋅-⋅⋅-=-⋅-.根据互为共轭的复数间关系有： ()())1)(1(21212121z z z z z z z z ⋅-⋅-=--.化简整理得：212122111z z zz z z z z ⋅⋅+=⋅+⋅222122211z z z z ⋅+=+∴,()()0112221=--∴z z ,1z ∴、2z 至少有一个为1 。

充分性：以上过程均可逆。

∴ 结论成立。

常用到的与复数的模相关的结论：（1）22||||z z z z ==⋅ （2）||||||2121z z z z ⋅=⋅ )(||||N n z z n n ∈=⇒ （3）)0(||||||22121≠=z z z z z （4）||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-. （5）)(|||||,|||bi a z z b z z a z +=≤≤-≤≤-,.||2||2||||2221221221z z z z z z +=-++ 例6 某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐︒90走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐︒90走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。