第四章题解

式中 λ0 为光在真空中的波长。 为光在真空中的波长。 解答：方法（ 题方法。 解答：方法（1）导出衍射图形辐照度分布，按 4.5 题方法。 导出衍射图形辐照度分布，
a λ2 I ( x ) = I ( 0 ) sinc ( sin θ − sin β ′ ) ， ∆θ ≈ a cos β ′ λ2
和辐照度分布。 和辐照度分布。设波长为 λ，透镜焦距为 f。 ， 。 的方孔衍射的中央辐照度之比。 (2) 假设 l=L/2，试求方环衍射与边长为 L 的方孔衍射的中央辐照度之比。 ， (3) 假设 R2=R1/2，试求圆环衍射与半径为 R1 的圆孔衍射的中央辐照度之比。 的圆孔衍射的中央辐照度之比。 ， 答案： (a)方环 答案： (1) 图(a)方环
解答：反射光的衍射( 解答：反射光的衍射( n2 = n1 = 1 ),
∆θ =
a0 cos β
λ0
∆θ 0 = 0.6 ×10−4 rad ∆θ 60 = 1.2 ×10−4 rad ∆θ89 = 3.4 ×10−3 rad
折射光的衍射( n1 = 1, 折射光的衍射(
n2 = 1.5 ),
题结论) (利用 4-6 题结论)
物理光学
第四章习题解
第四章学习要点
• 1.掌握下述基本概念： 光的衍射，衍射的三要素，惠更斯－菲涅 耳原理，光的衍射与光的干涉的异同，菲 涅耳衍射，夫琅和费衍射，爱里分布，衍 射受限分辨本领，瑞利判据，巴比内原理， 光栅，光谱，光栅分辨本领，光栅色散， 色散范围，菲涅耳半波带，菲涅耳波带板。
2.在有限距离观察夫琅和费衍射的装置； 2.在有限距离观察夫琅和费衍射的装置； 在有限距离观察夫琅和费衍射的装置 3.应用标量衍射理论计算简单孔径的夫琅和费 3.应用标量衍射理论计算简单孔径的夫琅和费 衍射的方法（单缝，双缝，园孔，园屏， 衍射的方法（单缝，双缝，园孔，园屏，一维 振幅光栅） 夫琅和费衍射图形的特点。 振幅光栅）,夫琅和费衍射图形的特点。 4.夫琅和费衍射的性质 夫琅和费衍射的性质。 4.夫琅和费衍射的性质。 5.光学系统的衍射受限分辨本领 光学系统的衍射受限分辨本领。 5.光学系统的衍射受限分辨本领。 6.应用半波带法分析园孔的菲涅耳衍射 应用半波带法分析园孔的菲涅耳衍射； 6.应用半波带法分析园孔的菲涅耳衍射； 7.菲涅耳波带板的设计和成像性质 菲涅耳波带板的设计和成像性质。 7.菲涅耳波带板的设计和成像性质。
wk.baidu.comα +β
2 sin
利用： 利用： sin α − sin β = 2 cos
α −β
2
θ θ sin ( β + ∆θ ) − sin β = 2sin cos β + 2 2
≈ ∆θ cos β =
λ
a0
→ ∆θ =
λ
a0 cos β
方法二:由等效狭缝宽度: 方法二:由等效狭缝宽度: a0′ = a0 cos β 和中央亮斑半角宽度: 和中央亮斑半角宽度: ∆θ =
2
a0 x 其中 α = π λf
2
级次级大位于相邻两个暗点的中点， 相邻两个暗点的中点 近似计算时认为第 m 级次级大位于相邻两个暗点的中点，即：
1 1 α = m + π ，所以： Lm = L0 所以： 2 m + 1 2) π (
实际位置由下式决定 （2）次极大的实际位置由下式决定 ）次极大的实际位置由下式决定:
E (r ) =
K e f
Rr R r 2 J1 2π 1 2 J1 2π 2 λ f λ f − πR 2 (π R1 )2 ( 2) R1r R r 2π 2π 2 λf λf
λ
a0
,可导出结论. 可导出结论.
4.6 如果上题中其他条件不变，只是衍射屏左、右两侧媒质不同，折射率 如果上题中其他条件不变，只是衍射屏左、右两侧媒质不同， 试证明此时衍射图形中央亮斑半角宽度为： 分别为 n1 和 n2。试证明此时衍射图形中央亮斑半角宽度为：
∆θ ≈
λ0
2 a n2 − n12 sin 2 β
2
Rr R r 2 J1 2π 1 2 J1 2π 2 λ f 1 2 λ f − πR 2 L ( r ) = 2 2 (π R1 ) ( 2) λ f R1r R2 r 2π λ f 2π λ f
1 ○ ∑屏沿 ξ 轴平移，但不超出入射光照明范围； 屏沿 轴平移，但不超出入射光照明范围；
回答： ∑平移等价于光源 S 平移； ∑平移，衍射图形随之平移。 平移， 回答： 平移等价于光源 平移； 平移 衍射图形随之平移。
2 ○ ∑屏绕 z 轴旋转； 屏绕 轴旋转；
(3) 光源 S： ：
1 是点光源， 方向有一移动； 方向平移，结果又如何？） ○ S 是点光源，但沿 x 方向有一移动； 若 S 沿 y 方向平移，结果又如何？） （
2

1 λ2 f 2
2 Lx L sin c λf
Lx sin c λf
2 lx − l sin c λf
lx sin c λ f
图(b)圆环 (b)圆环
r2 jk f + 2f
2
代入:
sin β ′ =
n1λ0 n1 sin β , λ2 = n2 n2
方法（2） 用等效狭缝概念。在 n2 介质中，等效狭缝宽度： 方法（ 用等效狭缝概念。 介质中，等效狭缝宽度：
λ n12 ′ a0 = a0 cos β ′ = a0 1 − 2 sin 2 β ， ∆θ = 2 n2 a′
2 x1 = 1.1mm, 2∆θ = 1.1× 10−3 rad = 0.0630
2 2a0 sin ( 2π 0.546 ) L2 （2） = sin c 2 = 0.0057 = 2 L0 ( 2π 0.546 ) λf
4.5 如图所示，一束单色平行光以 β 角射向宽度为 a 的单缝，并在屏 П 上形成夫琅和费衍射 如图所示， 的单缝， 图形。 上的辐照度表达式； （2） 图形。 （1）试求屏 П 上的辐照度表达式； ）试问衍射图形中心应位在何处？ ） （ 试问衍射图形中心应位在何处？ （3）证明中央亮斑的半角宽度 ∆θ ≈ ）
∆θ =
λ0
a0 n2 − n sin β
2 2 1 2
∆θ 0 = 0.4 ×10−4 rad ∆θ 60 = 0.42 ×10−4 rad ∆θ89 = 0.54 ×10−4 rad
4.8 （1）试证明单缝夫朗和费衍射第 m 级次级大的辐照度可以近 ） 似地表示为： 似地表示为：
1 Lm = L0 ( m + 1 2) π
x2 + y 2 jk f + 2f
K E ( x, y ) = e f
L ( x, y ) =
2 Lx L sin c λf
Lx sin c λf
2 lx − l sin c λf
lx sin c λf
（2）当 m=2 时， ） 实际计算所得的次级大值： L2 = 0.01694 L0 实际计算所得的次级大值：
1 而近似值： 而近似值： L2′ = L0 = 0.01621L0 ( m + 1 2)π
2
′ L2 − L2 所以相对误差： = 4.5% 所以相对误差： ′ L2
问题： 原理，有必要吗？ 问题：有人应用 Babinet 原理，有必要吗？
补充题一：利用单缝夫琅和费衍射原理， 补充题一：利用单缝夫琅和费衍射原理，可以在线检测拉丝机生产的金属细 丝的直径误差。 （1 自行设计检测装置，画出原理示意图； 丝的直径误差。 1） 自行设计检测装置，画出原理示意图；说明其工作原 （ 理及装置构造。 理及装置构造。 （2） 设光波长 λ = 0.633µm ，透镜焦距 f = 3m ，金属细丝直径的设计值
（2）图(a)方环 (a)方环
2 2 L环 ( 0, 0 ) ( L − l ) 9 = = = 56.25% 4 L孔 ( 0, 0 ) 16 L 2
（3）图(b)圆环 (b)圆环
L环 ( 0, 0 ) ( R − R2 = L孔 ( 0, 0 ) R14
2 1
2 2
)
=
9 = 56.25% 16
2
是衍射图形中心的辐照度。 其中 L0 是衍射图形中心的辐照度。 为例，分别计算近似值和实际值， （2） 以 m = 2 为例，分别计算近似值和实际值，求近似值的 ） 相对误差有多大？ 相对误差有多大？
轴的衍射光强度分布为: （1）沿 x 轴的衍射光强度分布为 ）
sin α L = L0 α
λ
a cos β
。
a ( sin θ − sin β ) 解答： 解答： 1） I ( x ) = I ( x0 ) sinc （ λ
2
（2） x0 = f sin β
（3） 方法一: 方法一: 由第一极小条件
a
λ
( sin θ − sin β ) = 1 ，以及 θ = ∆θ + β
方法（ 的结论， 方法（3）利用习题 4.5 的结论，在 n2 介质中 ∆θ =
a0 cos β ′
λ2
代入:
sin β ′ =
nλ n1 sin β , λ2 = 1 0 n2 n2
4.7
一束单色平行光在空气－玻璃界面上反射和折射。 一束单色平行光在空气－玻璃界面上反射和折射。如果在界面上放置
n λ 的狭缝光阑(如图所示 并设 n1=1.0， 2=1.5，0=600nm， 如图所示)， 一个宽度 a 为 10mm 的狭缝光阑 如图所示 ， ， ， ， 试分别求出 β=0，60°，89°时，反射光束和折射光束的衍射中央亮斑角宽 ， ° 9 度(即“衍射发散角”)。 即 衍射发散角” 。
d sin α =0, 即 dα α
ta n α
= α
这一方程可以利用图解法求解。如图所示， 这一方程可以利用图解法求解。如图所示，在同一坐标系中 其交点即为方程的解。 分别作出曲线 F=tanα和 F=α，其交点即为方程的解。
头几个次极大所对应的α 头几个次极大所对应的α值， 已列于表 3 - 1 中
误差越小 由图看出,m 越大 误差越小 看出 越大,误差越小.
4.9 试以单缝夫琅和费衍射装置 如图所示)为例，讨论装置作如下变化时对 试以单缝夫琅和费衍射装置(如图所示 为例 如图所示 为例， 衍射图形的影响。 衍射图形的影响。 (1) 透镜 L2：焦距变大； 焦距变大； (2) 衍射屏 ：设为单缝。 衍射屏∑：设为单缝。
4.4 波长为 546nm 的绿光垂直照射缝宽为 1mm 的狭缝， 的狭缝， 在狭缝后面放置一个焦距为 1m 的 透镜，将衍射光聚集在透镜后焦面的观察屏。试求： 透镜，将衍射光聚集在透镜后焦面的观察屏。试求： (1) 衍射图形中央亮斑的宽度和角宽度； 衍射图形中央亮斑的宽度和角宽度； (2) 衍射图形中央两侧 2mm 处的辐照度与中央辐照度的比值。 处的辐照度与中央辐照度的比值。
2 2 答案： 答案： (1) L ( x ) = L ( 0 ) sin c a0 fξ = L ( 0 ) sin c
(
)
a0 sin θ λ
a x = L ( 0 ) sin c 2 0 ， λf
2 x1 = ω =
2λ f λ ， ∆θ = a0 a0
回答：衍射图形不变；仅中央亮斑随之移动。 回答：衍射图形不变；仅中央亮斑随之移动。
2 是平行于狭缝的线光源。 是垂直于狭缝的线光源 结果又如何？） 于狭缝的线光源， ○S 是平行于狭缝的线光源。 若 S S 是垂直于狭缝的线光源，结果又如何？） （
4.11
(1) 试求在正入射照明下，图示两种衍射屏的夫琅和费衍射图形的复振幅分布 试求在正入射照明下，