第五章 统计

聚类分析
例：用xik表示第i个样本第k个指标的数据， xjk表示第j个样本第k个指标数据；dij表 示第i个样本和第j个样本之间的距离,根 据不同的需要，距离可以定义为许多类 型，最常见、最直观的距离是欧几里德 距离，即：
依次求出任何两个点的距离系数dij(i， j＝l，2，…，n)以后，则可形成一个距 离矩阵
q=0.6,非欧氏距离
i
( yi y j )
0.6 1/ 0.6
n 维非匀质空间距离计算
dij ( xi x j )

0.6

几何量算
线长度可由两点间直线距离 相加得到。 面积和周长的计算。在平面 直角坐标系中，计算面积时， 计算y值以下面积．按矢量方 向，分别求出向右向左两个 方向各自的面积，它们的绝 对值之差，便是多边形面积 值，周长则是线段之和。
– 离差平方和增量：设样本已分成ωp,ωq两类，若 把ωp,ωq合为ωr类，则定义离差平方：
D pq S r ( S
2 p
Sq ) ,
其中 S p , S q 分别为 p 类于 q 类的离差平方和 S r 为 r 类的离差平方和 增量愈小，合并愈合理 。
• 例：如下图所示
G3 G1
跟踪某些地理分布的变 化，如人口变迁、土地 类型变化等。 简化复杂目标的模型建 立等
几何量算
几何量算对点、线、面、体4类目标物 而言，其含义不同的： 点状目标：坐标； 线状目标：长度、曲率、方向； 面状目标：面积、周长等； 体状目标：表面积、体积等。
几何量算
n 维匀质空间广义距离公式
2、3 类合 并为c， 1、4 类合 并为d
判别分析
判别分析与聚类分析同属分类问题，所 不同的是，判别分析是预先根据理论与实 践确定等级序列的因子标准，再将待分析 的地理实体安排到序列的合理位置上的方 法，对于诸如水土流失评价、土地适宜性 评价等有一定理论根据的分类系统定级问 题比较适用。
判别分析
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（2) 由相关系数矩阵计算特征值，以及各 个主成分的贡献率与累计贡献率。由表可 知，第一，第二，第三主成分的累计贡献 率已高达86.5％，故只需求出第一，第二， 第三主成分z1，z2，z3即可。
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（3)对于特征值λ1=5.043，λ2=1.746，λ3=0.997 分别求出其特征向量e1，e2，e3，并计算各 变量x1，x2，……，x9在各主成分上的载荷 得到主成分载荷矩阵
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层次分析法(AHP)
AHP方法把相互关联的要素按隶属关系分为 若干层次，请有经验的专家对各层次各因素的相 对重要性给出定量指标，利用数学方法综合专家 意见给出各层次各要素的相对重要性权值，作为 综合分析的基础。 例如要比较n个因素y＝{yl，y2，…，yn }对目 标Z的影响，确定它们在z中的比重，每次取两个 因素yi和yJ，用aij表示yi与yJ对Z的影响之比，全 部比较结果可用矩阵A＝(aij)n*n表示，A叫成对 比矩阵，它应满足： aij>0,aji=1/aij (i,j=1,2,...n) 使上式成立的矩阵称互反阵，必有aii＝l。
G2
G5
G4 G6
x
• 1、设全部样本分为6类 • 2、作距离矩阵D(0)
ω1
ω2 ω3 ω4 ω5 9 1 49 25
ω2
ω3
ω4
ω5
16 16 4 64 36 4
ω6
64
25
81
1
9
d 3、求最小元素：31 d 64 1
4、把ω1,ω3合并ω7=(1,3) ω4,ω6合并ω8=(4,6) 5、作距离矩阵D(1)

形状量算
地物外形是影像处理中模式识别的一 个重要部分。例如海岸线的外形是岛屿的 重要特征，森林中不同类型的土地外形对 野生生物显得非常重要。目标物的外观是 多变的，很难找到一个准确的量对其进行 描述。 基本考虑：空间完整性、多边形形状特征
形状量算
第一种量算方法：
首先统计线段的总长度得 到多边形的周长，然后 与同该多边形面积相同 的圆的周长进行比较。 将多边形周长与圆周长相 除得到一个参数，可以 很快比较出多边形的不 同来。
形状量算
第二种量算方法： 从多边形中心画出一组 规则半径，设其半径 长为 L ，圆的半径 长为 L ，然后计算参 量 L
多变量统计分析
主成分分析

通过数理统计分析，求得各变量之间的 线性关系表达式，进而将众多的变量信 息压缩表达成具有若干代表性的合成变 量，克服变量选择时的冗余和相关，然 后选择信息最丰富的因子进行各种分析 和模型构建
主成分分析
主成分分析是把原来多个变量化为少数几 个综合指标的一种统计分析方法，从数学角 度来看，这是一种降维处理技术。假定有n 个地理样本，每个样本共有p个变量描述， 这样就构成了一个n×p阶的地理数据矩阵：
d 13 d 23
3
1
d
2 0

1 2
d
2 12

1 2
d 13 d 23
2
其中 为参数，－
1 4
0
• 4、重心距离：均值间的距离 • 5、类平均距离：两类中各个元素两两之间的 距离平方相加后取平均值
D
2
pq
N
1
p
Nq
x i x j

d
p q
2 ij
其中 : N
p
在旅游问题中，假设某人考虑5个因素：费用yl、 景色y2，居住条件y3,饮食条件y4、旅途条件y5。 他用成对比较法得到的互反阵是：
1
在上式中a12＝2表示yl与景色y2对选择旅游点(目 标Z)的重要性之比为2:1；a13＝7，表示费用yl 与居住条件y3之比为7:1；a23＝4，则表示景色 y2与居住条件y3之比为4：1。
判别分析要求根据已知的地理特征值进行线 性组合，构成一个线性判别函数Y，即：
式中，Ck(k＝l，2，…，m)为判别系数，它 可反映各要素或特征值作用方向、分辨能力和贡 献率的大小。只要确定了Ck，判别函数y也就确 定了。Xk为已知各要素(变量)的特征值。
空间数据的量算
空间信息的自动化量算是地理信息系 统所具有的重要功能，也是进行空间分析 的定量化基础。其中的主要量算有： 质心量算 几何量算 形状量算
聚类分析
聚类分析的主要依据是把相似的样本归 为一类，而把差异大的样本区分开来。在由 m个变量组成为m维的空间中可以用多种方法 定义样本之间的相似性和差异性统计量。 基本思想：首先是n个样本各自成一类， 然后计算类与类之间的距离，选择距离最小 的两类合并成一个新类，计算新类与其它类 的距离，再将距离最小的两类进行合并，这 样每次减少一类，直到达到所需的分类数或 所有的样本都归为一类为止。
ω7 ω2 ω8
ω5
ω2
ω8
9 49
25
16
4 4
6、若合并的类数没有达到要求，转3。
否则停止。 3、求最小元素： d 52 d 58 4
4、ω8,ω5,ω2合并,
ω9=（2,5,4,6）
10
9
1 2 3 4 5 6
7
8
枝状图
栅格数据的聚类分析
根据设定的聚类条件对原有数据系统进行有选择 的信息提取而建立新的栅格数据系统的方法。
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主成分分析实例
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主成分分析
对于某区域地貌-水文系统，其57个流域盆地的九 项地理要素：x1为流域盆地总高度（m) ， x2为流域盆 地山口的海拔高度（m)，x3为流域盆地周长（m)，x4 为河道总长度（km) 等
步骤： （1)首先将表中的原始数据作标准化处理，由公 式（4)计算得相关系数矩阵。
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主成分分析的计算步骤
（1)计算相关系数矩阵p183 rij（i，j=1，2，…，p)为原来变量xi与xj的相关系数， 其计算公式为
（2)计算特征值与特征向量 首先解特征方程｜λI-R｜=0求出特征值λi（i=1， 2，…，p)，并使其按大小顺序排列，即λ1≥λ2≥…， ≥λp≥0；然后分别求出对应于特征值λi的特征向量ei （i=1，2，…，p)。 （3)计算主成分贡献率及累计贡献率 （4)计算主成分载荷
在四种类型要素中提取其中要素2的聚类
栅格数据的聚合分析
根据空间分辨力和分 类表，进行数据类型 的合并或转换以实现 1、2 类合 空间地域的兼并。空 并为b， 间聚合的结果往往将 3、4 较复杂的类别转换为 类合 较简单的类别，并且 并为a 常以较小比例尺的图 形输出。当从地点、 地区到大区域的制图 综合变换时常需要使 用这种分析处理方法。
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第一主成分z1与x1，x3，x4，x5，x8，x9有较大的 正相关，这是由于这六个地理要素与流域盆地的规 模有关，因此第一主成分可以被认为是流域盆地规 模的代表：第二主成分z2与x2有较大的正相关，与 x7有较大的负相关，而这两个地理要素是与流域切 割程度有关的，因此第二主成分可以被认为是流域 侵蚀状况的代表；第三主成分z3与x6有较大的正相 关，而地理要素x6是流域比较独立的特性——河系 形态的表征，因此，第三主成成可以被认为是代表 河系形态的主成分。 以上分析结果表明，根据主成分载荷，该区域地貌水文系统的九项地理要素可以被归为三类，即流域 盆地的规模，流域侵蚀状况和流域淮海区 4：黄土高 原区 5：长江中下游区 西南区 6：
7：华南区 8：甘新区 9：青藏区

（1）两类间的距离 1、最短距离：两类中相距最近的两样 品间的距离。
D pq min d ij
xi
p
x j q
2、最长距离 ：两类中相距最远的两个 样本间的距离。
D pq max d ij
: p 样本数 , N
q
: q 样本数