B070100005微积分A卷答案
大学一年级上学期-微积分试题-微积分A第一学期期末试题答案
⎟⎞ ⎠
=
e
2.
dy = 1 , d x 2(1 + t)2
d2 y = − 1 . d x 2 2(1 + t)2
当 t = 1时，
dy = 1, dx 8
d2 y = − 1 . d x2 32
曲率半径
R
=
[1 +
y′2 ]3 / 2 y′′
=
[1 +
1 ]3 / 2 64
=
65
65
1
16
t =1
y
=
C1
cos
2x
+
C2
sin
2x
+
1 4
x
+
1 5
e
x
4. 解法一，取 x 为积分变量
2/5
V = ∫012π (3 − x) ⋅ 2x 2 d x = 4π [∫013 x 2 d x − ∫01 x 3 d x]
= 3π
解法二，取 y 为积分变量
∫ V = 2π(3 − y / 2)2 d y − π ⋅ 22 ⋅ 2 . 0 = 3π .
k
= lim x →∞
f
(x) x
=
⎡ lxi→m∞ ⎢⎣
(1
x +
2
x)2
+
3⎤
x
⎥ ⎦
= 1.
ห้องสมุดไป่ตู้
b
=
lim[ f
32
3. 对应齐次方程的特征方程： r 2 + 4 = 0. 于是，特征根为： r1,2 = ±2 i .
对应齐次方程的通解为：Y (x) = C1 cos 2x + C2 sin 2x
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1） 求图形D 的面积；（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
微积分(A1卷)答案
一、选择题：1、函数)(x f 和)(x g 相同的是（ D ）A . 2()ln f x x = ()2ln g x x = B. ()f x x =()g x =C. ()f x x =-()g x = D. ()f x= 31x x )x (g -=2、当0→x 时，1)sinx (x +是x 的（ D ）． A ．高阶无穷小 B ．低阶无穷小 C ．同阶但不等价无穷小 D ．等价无穷小3、如图所示函数f(x)的导函数)x ('f 的图像，关于f(x)的说法，正确的是( B )A. 函数y=f(x)在x 1点取零点B. 函数y=f(x)在[x 1,x 2]上单调递增C. 函数f(x)在x 2点取极小值D. 函数y=f(x)在(–∞，x 1)内单调递增4、若)x (f )x ('F =，则下面正确的是（C ）A. )x (F dx )x (f =⎰.B. )x (f ]dx )x (f [d =⎰.C.)x (f )'dx )x (f (=⎰. D.c )x (f )x (dF +=⎰5、()()f x dx F x C =+⎰，则()x x e f e dx --⎰=（ B ）A . ()xF e +C B. ()xF e C --+ C. ()xF e C -+ D.()x F e C x-+ 二、填空题 6、=→x xsin limx ___1____，=∞→x x sin x lim___0___，=→xx sin 1x lim _sin1___. 7、nx si x (f =），则=)x (f)n ( ___)2nsin(x π+_____________.8、已知0]b ax 1x 1x [lim 2x =--++∞→，则常数a = 1 ___ ，b = -1 .9、⎰dx 2x -1=________c )x 2131-23+-（__________________________.10、设曲线方程为4x x y 2++=，该曲线在点)61(，处的切线方程_y-6=3(x-1)___. 三 、计算题 11、设)a x ln(x y 22++=，求dy 。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答
清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答微积分A (A) 答案一．填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！）1. ∑=∞→++ni n i n i n n 1)2)((lim = 。
答案：2ln 3ln ?2. ∫dx e x x 2= 。
答案：C e xe e x x x x ++?2223. =∫→3020)sin(lim x dt t x x 。
答案：31 4. ∫+x x t d t dx d 22)sin 1ln(= 。
答案：)sin 1ln(2)2sin 1ln(22x x x +?+5. 求曲线x e y =、x y πcos ?=、21?=x 、21=x 围成的区域面积。
答案：π22121+??e e6. =?∫π03sin sin dx x x 。
答案：34 7. ∫=+)1(2x x dx 。
答案：C x x ++?)1ln(21ln 2 8. =+∫21xx dx 。
答案：2ln 2)12ln(2?+9. 悬链线 )(21x x e e y ?+=，1||≤x 的弧长 =L 。
答案：1e e10. 二阶方程 03'''2=??y xy y x 的通解为。
答案：x c x c y /231+= 11. 常微分方程组+=+=z y dxdz zy dx dy 22的通解为。
答案：+=?x x x x e e C e e C z y 3321 12. 设2,x x 是二阶齐次线线性常微分方程解，则该微分方程为。
答案：0222=+′?′′y xy x y 13. 0106=+′+′′y y y 的通解为。
答案：x e C x eC y x x sin cos 3231??+= 14. xy x y dx dy tan +=的通解为。
答案：Cx xy =sin 15. 常微分方程26xy y xy ?=?′的通解为。
答案：8126x x C y +=二．计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）1．计算∫+4/022cos 3sin πxx dx . 解：原式 =∫+4/022)tan 3(cos πx x dx ∫=+=102tan 3t dt x t = 363arctan 3110π=t 。
微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
微积分下A卷答案
一．填空题（本题总计30分，每小题3分）1. 02. 2π 3. 充分4. y x +25.41 6. ⎰⎰2010)sin ,cos (πθθθrdr r r f d 7. 432 8. 收敛9. 310. 312x x y C e C e -=+ （12,C C 为任意常数）二．（本题总计6分）计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积。
dy y y s )24(422⎰--+=4232)642(--+=y y y 18= 三．求下列函数的偏导数（本题总计10分，每小题5分）1．xy y x z cos)sin(2+= 2．dt e y z x y t ⎰-=2 1．x y x y y x xy x z sin )cos(222+=∂∂x y x y x x y z sin 1)cos(22-=∂∂ 2．2x ye xz -=∂∂ 22y x yt ye dt e y z ---=∂∂⎰四．计算下列二重积分（本题总计12分，每小题6分）1．⎰⎰+D22σd y x :D y y x 222=+围成的区域解：原式dr r d ⎰⎰=πθθ0sin 202θθπd r sin 20033⎰= ⎰=πθθ03sin 38d θθπcos )cos 1(3802d ⎰--= πθθ03)cos 3cos (38-=932= 2．dy y x dx x ⎰⎰101332)sin( 解：原式dx y x dy y ⎰⎰=10033)sin( dy x y y041034)sin(⎰=dy y y )sin(413102⎰= 3103)s i n (121dy y ⎰= 103)c o s (121y -=)1c o s 1(121-= 五．（本题总计6分）判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性 ，并说明原因。
解： 221)!()!2()!22(])!1[(lim lim n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ )22)(12()1(lim 2+++=∞→n n n n 41=<1 原级数收敛 六．（本题总计6分）级数∑∞=12sin n n n α是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛，并说明原因。
2021微积分A期末试题及答案
2021⭌᮶㢔⫕➶᮷ᱤAᱥᱤ㔋ᱥ⒴㋜ㄯⶌ㗎㗎㝘(2022年1⽉3⽇，⽤时120分钟)专业班级学号姓名题号⼀⼆三四总分分数㮥ᮢ㫍㵗㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎16➶)阅卷⼈得分1.下列说法正确的是(D)A.有界数列⼀定收敛；B.有限区间上的连续函数⼀定⼀致连续；C.函数f在R上处处可导，它的导函数f1⼀定是连续的;D.有界数集⼀定存在上确界。
2.下列哪个极限不存在(B)A.limxÑ0x sin1xB.limxÑ0D(x)，其中D(x)是Dirichlet函数C.limxÑ0|sgn(x)|D.limnÑ+8(1+122+¨¨¨+1n2)3.当xÑ0时，下⾯哪个函数不是与y=x等阶的⽆穷⼩(D)A.sin xB.arcsin xC.ln(1+x)D.1´cos x4.函数f(x)定义在R上，在x0处可导⽽且f(x0)ą0。
下列说法错误的是（A）A.函数f(x)在x0处的微分是f1(x0)；B.函数f(x)在x0处连续；C.存在x0的⼀个邻域U(x0)，使得在该邻域内f(x)ą0；D.当xÑx0时，f(x)=f(x0)+o(1)。
✠ᮢ㝤ⶥ㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎20➶)阅卷⼈得分5.集合A=t(1+1n)n|n P N,ną0u，那么inf A=2，sup A=e。
6.函数φ(t),ψ(t)在R上⼆阶可导，⽽且φ1(t)‰0。
由参数⽅程x=φ(t),y=ψ(t)确定了函数关系y=y(x)。
那么d yd x =ψ1(t)/φ1(t)，d2yd x2=ψ2(t)φ1(t)´ψ1(t)φ2(t)φ13(t)。
7.函数y=2x3+3x2´12x+18在区间[´3,3]上的最⼤值是63，最⼩值是11。
8.函数y=x4+8x3+1图像的垂直渐近线是x=´1，斜渐近线是y=x。
9.函数f(x)在R上的连续，F(x)=şxf(x+t)dt，那么F1(x)=2f(2x)´f(x)。
微积分试卷及规范标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
2018级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
2018—2019学年度第一学期《微积分（上）》期末考试试卷（A 卷）考试时间：2小时 考试方式：闭卷复查总分 总复查人一、求下列极限（每小题8分，共56分）1．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→x x x x x x x 2sin 211sin 1arctan lim 32. 【解】原式x x x x arctan 1lim 2+=∞→212101cos 11sin lim 3=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x x x . 其中0arctan 1lim2=+∞→x x x x （因01lim 2=+∞→x x x ，且2arctan π≤x ）； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1cos 11sin lim 3【等价】21121.1.lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→x x x x .2.()322021sin limx x x dt t ex tx ⎰+---→.【解】原式220031sin lim x x x e xx +--=-→200031lim x x e x x +-=-→6131613sin lim 220-=-=-→x x x . 其中2031limx x e xx +--→x e xx 61lim 00+-=-→616lim 000==-→x x e . 3.设()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,1,0,sin 2x x x x xx f 讨论()x f 在0=x 点的连续性与可导性.【解】因()()11lim lim 20=+=--→→x x f x x ；()1sin lim lim 0==++→→xxx f x x ，故 ()=-→x f x 0lim ()()01lim 0f x f x ==+→，所以()x f 在0=x 点处连续.又()()()0lim 00lim 000==--='--→→-x x f x f f x x ； ()()()xx x x f x f f x x 1sin lim 00lim 000-=--='++→→+20sin lim x x x x -=+→021cos lim 000=-=→x x x ， 故()x f 在0=x 点处不可导. 4.设()xx x y sin 2tan 22++=，求|=x dy .【解】因()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++='22sin 22tan 22.sin 2ln cos 2sec .2ln 2x x x x x x x y xx ，故 ()dx dx y dy x 2ln 20|='==.5. 求dx xx⎰24cos sin . 【解法一】()dx xx ⎰-222cos cos 1dx x x )cos 2(sec 22+-=⎰dx x x )2cos 2123(sec 2+-=⎰ C x x x ++-=2sin 4123tan .【解法二】dx x x ⎰24cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰x xd cos 1sin 3【分部】()⎰-=x d x x x 33sin cos 1cos sin ⎰-=xdx x x 23sin 3cos sin ()⎰--=dx x x x 2cos 123cos sin 3 C x x x x ++-=2sin 4323cos sin 3. x x x 2sin 42cos sin 3+x x x x cos sin cos sin 3+=()x xxx x tan cos cos sin sin 22=+=，故x x x x 2sin 4323cos sin 3+-x x x x x 2sin 41232sin 42cos sin 3+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x 2sin 4123tan +-=. 【解法三】dx xx⎰24cos sin ()xdx x xdx x ⎰⎰-==2222sin 1sec sin tan ()xdx x d x ⎰⎰-=22sin tan sin ⎰-=xdx x x 22sin 3tan .sin()⎰--=dx x x x 2cos 123tan .sin 2C x x x x ++-=2sin 4323tan .sin 2. 【注意】因x x x x 2sin 4323tan .sin 2+-x x x x 2sin 4323cos sin 3+-=、=x x x 2sin 4123tan +-=.表明三解法的原函数是一样的.【解法四】dx x x ⎰24cos sin dx xxdx x x x ⎰⎰-+=24244cos cos cos cos sin ()dx x dx xx x x x ⎰⎰--+=2222222cos cos cos sin 2cos sin()dx x dx x x ⎰⎰--=222cos sin 2sec ()⎰⎰--=dx dx x x 22sin sec x dx x x ---=⎰22cos 1tan C x x x x +-+-=2sin 412tan C x x x ++-=2sin 4123tan .【解法五】dx x x ⎰24cos sin ()dx x x ⎰+-=24cos 11sin ()()⎰⎰+-+-=dx x dx xx x 2222cos 1sin 11sin 1sin ()⎰⎰++-=xdx dx x 22sec 1sin x dx x tan 122cos 1+⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎰ C x x x +++-=tan 2sin 4123.6.求()xdx x x arctan 11⎰-+.【解】原式xdx x arctan 11⎰-=xdx x arctan 11⎰-+【对称性】0arctan 21+=⎰xdx x()210tan x xd rc a ⎰=dx x x x x ⎰+-=10221021arctan |12arctan 14|10-=+-=ππx . 7.将函数()3212---=x x x x f 展开为x 的幂级数.【解】()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=113121x x x f ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=x x 11311.3121 ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=∑∑∞=∞=003312111311.3121n n n n x x x x ()11,3112101<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∞=+x x n n n n. 二、（共12分）全面讨论函数xey x=的性态，并作出它的图形. 【解】（一）函数的定义域为()()+∞⋃∞-=,00,D ；（二）因0lim=-∞→x e x x ，+∞==+∞→+∞→1lim lim x x x x e x e ，故0=y 是曲线x e y x=的一条水平渐近线；因∞=→x e x x 0lim ，故0=y 是曲线x e y x=的一条铅直渐近线；又因 =+→x x e xx 0lim ∞=→20lim x e x x ,故曲线x e y x =无斜渐近线.（三）令()21x x e y x -='，()3222x x x e y x +-=''.（四）令()012=-='x x e y x ，得1=x ；令()02232=+-=''xx x e y x ，无解； （五）列表如下：三、求下列积分（共12分）设D 由上半圆22x x y -=与直线x y =所围成.（1）求D的面积；（2）求D 绕x 轴旋转所生成旋转体的体积. 【解法一】()()()21411211212-=---=--=⎰⎰⎰πxdx dx x dx x x x D S ；()()3332212212πππππ=-=--=⎰⎰dx x dx x x D V .【解法二】显见D 的面积为四分之一圆的面积减去一个直角三角形的面积，即()21411211412-=⨯⨯-⨯⨯=ππD S ；显见D 绕x 轴旋转所生成旋转体的体积为四分之一球体的体积减去一个圆锥体的体积，即()333211311342123πππππ=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=D V . 四、 （共10分）证明：（1）方程01=-+nx x n 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内有唯一实根(),...3,2=n x n ；（2）级数()12>∑∞=ααn nx 收敛； （3）级数()n n nx ∑∞=-21收敛.【证明】（1）令()1-+=nx x x f n .则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n 1,11上连续.又因 0111111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n f n ；011>⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n f ，故由根值定理知方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内至少有一实根；又因()()+∞∈>+='-,0,01x n nx x f n ，故方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内至多有一实根. 综上所述，方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内有且仅有唯一实根n x .（2）因n x n 10<<，故ααn x n 1<，又已知∑∞=21n n α收敛，所以级数∑∞=2n n x α收敛；（3）因{}n x 单减，且0lim =∞→n n x ，故由莱布尼兹判别法知()n n nx ∑∞=-21收敛.五、（共10分）已知函数()x f 在[)+∞,a 上有二阶导数，()()()0,0,0>''>'=x f x f a f ，设a b >，曲线()x f y =在()()b f b ,处的切线与x 轴的交点是()0,0x .证明：b x a <<0.【证明】（一）曲线()x f y =在()()b f b ,处的切线方程为：()()()b x b f b f y -'=-. 令0=y ，可得()()b f b f b x '-=0.因()()0,0=>'a f x f ，故()()0=>a f b f ，所以()()b b f b f b x <'-=0；（二）又()()()()()b f ab a b a f b f b b f b f b x '----='-=.0【由拉格朗日定理】 ()()()a b b f f b -''-=ξ,()b a ,∈ξ. 注意到已知()0>''x f ，故()(),b f f '<'ξ所以()()()a a b b f b f b x =-''->0. 综合（一）、（二）知b x a <<0.。
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山东管理学院
2014-2015 学年第 二 学期期末考试试卷A 答案
课程代码：B070100005 课程名称：《微积分》
一、 单项选择题（2*10=20）
1. C
2. D
3. C
4. D 5． B 6．D 7．D 8． B 9． D 10． C
二、填空题（3*10=30）
11．c x e x +-+)1ln(2
12．c x x x +-+21arcsin
13．ln(1cos )x + 14．1 15．0
16．2
x y Ce =
17．312x x y c e c e -=+.
18．e ； e
19．22xdx ydy +
20．4x 三、计算题（5*6=30）
21.计算：解：2222111()(1)1dx dx x x x x =-++⎰⎰…………(2分)
22111arctan 1dx dx x C x x x
=-=--++⎰⎰…………(3分) 22.（1）计算 ⎰102dx x .
解: 由于33
1x 是2x 的一个原函数, 所以按牛顿--莱布尼茨公式,有 1
23133001111[]103333x dx x ==⋅-⋅=⎰. …………(2分) （2）计算502
cos sin x xdx π⎰.
解: 设cos t x =,则sin dt xdx =-,且
当0x =时,1t =；当2x π=
时,0t =. …………(1分) 于是
550022cos sin cos (cos )x xdx xd x ππ=-⎰⎰ 01
155601011[]66t dt t dt t =-===⎰⎰. …………(2分)
23.求方程()52211dy y x dx x -=++的通解. 解： 用通解公式求解 522(),()(1)1
p x q x x x =-=++， …………(2分) 2
()125()12(())((1))dx p x dx x dx p x dx x y e q x e dx C e x e dx C -⎰⎰+-+⎰⎰=+=++⎰⎰ 532222
22(1)(1)(1)(1)((1))3x x x dx x x C -=+++=+++⎰ …………(3分) 24.求02sin()lim x y xy x
→→. 解：0022sin()sin()lim lim x x y y xy xy y x xy →→→→=⋅ 02
sin()lim lim 122xy y xy y xy →→=⋅=⋅=. …………(5分) 25. 设22240x y z z ++-= , 求z x
∂∂. 解：设222
(,,)4F x y z x y z z =++- , 则2,x F x = 24z F z =-．应用公式(4)，得…………(2分) 2242x
z
F z x x x F z z ∂=-=-=∂--…………(3分) 26、图形略。
…………(1分) 211s x dx x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭⎰…………(2分) 22
1
13ln ln 222x x ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦…………(2分) 四、证明题 （10*2=20）
27.分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解：2043dx x x +∞
++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰
…………(5分) = 011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+
…………(4分) = ln 32
．…………(1分) 28.解：图形略 …………(2分) D
可用不等式表示为21x y x ≤≤≤ (2)
) 10D xdx σ=⎰⎰⎰…………(3分)
()
3
7114
240022263355x x x y dx x x dx ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰…………(3分)。