文科2017高考-专题6第3讲随机变量及其分布列-课件

6．离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 简称期望． Dξ＝(x1－Eξ)2· p1＋(x2－Eξ)2· p2＋„＋(xn－Eξ)2· pn＋„ 叫做随机变量 ξ 的方差． x1 p1 x2 p2 „ „ xn pn „ „
则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋„＋xnpn＋„为 ξ 的数学期望，
(2)ξ 的可能取值为 2,3. 由于各局比赛结果相互独立，所以 P(ξ＝2)＝P(A3· A4＋B3· B4) ＝P(A3· A4)＋P(B3· B4 ) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52. P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝2)＝1－0.52＝0.48. ∴ξ 的分布列为 ξ P 2 0.52 3 0.48
4．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1， x2， „， xi， „， ξ 取每一个值 xi 的概率为 P(ξ＝xi)＝pi，则称下表： ξ P x1 p1 x2 p2 x3 p3 „ xi „ pi „ „
为离散型随机变量 ξ 的分布列． (2) 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 具 有 两 个 性 质 ： ①pi≥0，②p1＋p2＋„＋pi＋„＝1(i＝1,2,3，„)．
5．常见的离散型随机变量的分布 (1)两点分布 分布列为(其中 0<p<1) ξ 0 1 P p 1－p (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中， 事件 A 发生的次数 ξ 是一个 随机变量，其所有可能取的值为 0,1,2,3，„，n，并 k n －k 且 P(ξ＝k)＝Ck p (其中 k＝0,1,2， „， n， q＝1－p)． n q n k k n－k 显然 P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，„，n)，∑ ＝1. k＝0Cnp q 称这样的随机变量 ξ 服从参数 n 和 p 的二项分布，记 为 ξ～B(n，p)．
(2)甲射击 4 次恰击中 2 次的概率为 8 22212 P2＝C43 3 ＝ ， 27 乙射击 4 次恰击中 3 次的概率为 1 27 333 P3＝C44 × ＝ ， 4 64 由乘法公式，所求概率 8 27 1 P＝P2P3＝ × ＝ . 27 64 8 (3)乙恰好 5 次停止射击， 则最后两次未击中， 前三次或 都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中， 故所求概率为 3 1 45 3 2 13213 P＝4 4 ＋C24 4 ＝ . 1 024
探究提高 (1)注意区分互斥事件和相互独立事件，互斥
事件是在同一试验中不可能同时发生的情况， 相互独立 事件是指几个事件的发生与否互不影响， 当然可以同时 发生． (2)一个事件若正面情况比较多， 反面情况较少， 则一般 利用对立事件进行求解．对于“至少”，“至多”等问 题往往用这种方法求解．
变式训练 1 已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个 黑球，乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑球．现 从甲、乙两个盒内各任取 2 个球． (1)求取出的 4 个球均为红球的概率； (2)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率．
解 (1)设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 A ， “从乙盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 B.由于 2 C2 1 C 5 3 5 事件 A，B 相互独立，且 P(A)＝ 2＝ ，P(B)＝ 2＝ ， C7 7 C9 18 故取出的 4 个球均为红球的概率是 1 5 5 P(A· B)＝P(A)· P(B)＝ × ＝ . 7 18 126
变式训练 2
口袋里装有大小相同的 4 个红球和 8 个白
球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸 出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人 继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则换成 对方进行下一次摸球；②每一次摸球彼此相互独立， 并约定由甲开始进行第一次摸球．在前三次的摸球中 分别求： (1)乙恰好摸到一次红球的概率； (2)甲至少摸到一次红球的概率； (3)甲摸到红球的次数 ξ 的分布列及数学期望．
思维启迪
(1)第(1)问先求其对立事件的概率．
(2)第(2)问利用相互独立事件和独立重复试验的概率公式． (3)第(3)问中，甲恰好射击 5 次被中止，可分为前 3 次击中 后两次未击中和前 2 次有一次未击中，第 3 次击中，后两 次未击中两种情况．
解 (1)甲至少一次未击中目标的概率 P1 是 P1＝P4(1)＋P4(2)＋P4(3)＋P4(4) 2 1 65 4 0 ＝1－P4(0)＝1－ 3 3 ＝81.
1．条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率： P(AB) P(B|A)＝ . P(A) 2．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 3．独立重复试验 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 k n －k Pn(k)＝Ck p (1 － p ) ，k＝0,1,2，„，n. n
即 S＝{x|－2≤x≤3}． 由于 m，n∈Z，m，n∈S 且 m＋n＝0，所以 A 包含的 基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于 m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以 ξ＝m2 的所有不同取值为 0,1,4,9， 1 2 1 2 1 且有 P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ＝ ，P(ξ＝4)＝ ＝ ， 6 6 3 6 3 1 P(ξ＝9)＝ . 6 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 4 9 1 1 1 1 P 6 3 3 6 1 1 1 1 19 所以 Eξ＝0× ＋1× ＋4× ＋9× ＝ . 6 3 3 6 6
(2)设“从甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是 黑球； 从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 C， “从 甲盒内取出的 2 个球均为黑球； 从乙盒内取出的 2 个球 中，1 个是红球，1 个是黑球”为事件 D.由于事件 C、 D 互斥，且 1 2 2 1 1 C1 C C 2 C 10 3 4 4 4 C5 C4 P(C)＝ 2 · 2＝ ，P(D)＝ 2· 2 ＝ . C7 C9 21 C7 C9 63 故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 2 10 16 P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝ ＋ ＝ . 21 63 63
题型二 例2
随机变量的分布列、期望和方差 甲、 乙二人进行一次围棋比赛， 约定先胜 3 局者
获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲 获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结 果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局． (1)求甲获得这次比赛胜利的概率； (2)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数， 求 ξ 的分布列及数学期望． 思维启迪
考题分析 本题考查了基本事件的概念， 考查了离散型 随机变量的分布列及其数学期望的计算． 考查考生综合 应用数学知识解决问题的能力． 易错提醒
(1)易忽略特例(0,0)这一基本事件． (2)搞不清 ξ 的所有可能值与 m 的所有可能值的关系． 基 本事件确定有误． (3)书写不规范，计算错误．
主干知识梳理
∴Eξ＝2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3) ＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.
探究提高
(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正
确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件， 然后综 合应用各类求概率的公式，求出概率． (2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变 量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用 公式求解．
第3讲
随机变量及其分布列 明确考向
感悟高考
n∈S.
(2010· 福建)设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集， 整数 m， (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 ξ＝m2，求 ξ 的分布列及其数学期望 Eξ.
解
(1)由 x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
7．正态分布 (1)一般地，如果对任意实数 a<b，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝ʃb a 1 2π σ
e
( x )2 2 2
dx，x∈(－∞，＋∞)，
则称 X 的分布为正态分布． (2)正态曲线的特点 如图所示． ①曲线位于 x 轴上方， 与 x 轴不相交． ②曲线是单峰的， 它关于直线 x＝μ 对称．
期望． 甲获胜的三种情形→求甲获胜的概率→
ξ 的所有可能值及其概率→ ξ 的分布列→ξ 的数学
解 记 Ai 表示事件：第 i 局甲获胜，i＝3,4,5， 记 Bj 表示事件：第 j 局乙获胜：j＝3,4. (1)记 B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利． 因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛的胜 利当且仅当在后面的比赛中， 甲先胜 2 局， 从而 B＝A3· A4 ＋B3· A4· A5＋A3· B4· A5， 由于各局比赛结果相互独立，故 P(B)＝P(A3· A4)＋P(B3· A4· A5)＋P(A3· B4 · A5) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)· P(B4)· P(A5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
(3)根据题意，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，则 2 1 2 3 14 P(ξ＝0)＝P( A · B)＋P( A · B· A )＝ × ＋( ) ＝ ， 3 3 3 27 1 2 2 2 1 10 P(ξ＝1)＝P(A· A )＋P( A · B· A)＝ × ＋( ) × ＝ ， 3 3 3 3 27 12 2 2 P(ξ＝2)＝P(A· A· A )＝( ) × ＝ ， 3 3 27 13 1 P(ξ＝3)＝P(A· A· A)＝( ) ＝ . 3 27 故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 14 10 2 1 P 27 27 27 27 14 10 2 1 17 数学期望 Eξ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ . 27 27 27 27 27