试论常微分方程的奇解

试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method．While whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples．Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method.1．引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P －判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C －判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2．奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall 不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线Γ,q ∈Γ.在曲线族(),,0V x y C =中都有一条曲线()*K C 通过q 点并在该点与Γ相切,而且()*K C 在q 点的某一邻域内不同与Γ,则称曲线Γ为曲线族(),,0V x y C =的一支包络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络（如果它存在的话）一定是奇解;反之,微分方程的奇解（若存在的话）也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P －判别式和C －判别式.定理[]11:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G ∈是连续的,而且对y 和p 有连续的偏微商'y F 和'p F ,若函数y= (x) (x J)ϕ∈是微分方程'(,,)0F x y y =的一个奇解,并且()'x. (x). (x)G (x J)ϕϕ∈∈则奇解y=ϕ(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程(,,)0F x y p = , ()',,0p F x y p =其中p y =.定理[]12:设微分方程(,,)0F x y y =有通积分(,,)0V x y c =又设积分曲线(,,)0V x y c =有()y= (x) x J ψ∈则y= (x)ψ满足C －判别式的联立方程 (,,)0V x y c = ,'(,,)0c V x y c =.以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C －判别式和P －判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由[]1中奇解部分的定理2和定理5知,只要求解是微分方程的解,用P －判别式求出的解满足:'''(,,)0(,,)0y pp F x y p F x y p ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩, 用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:()()()()()()'''',0,0,0,0x y C C V V ϕψ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩,则此解就是奇解,既然C －判别式和P －判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式（C －判别式和P －判别式）对所有一阶微分方程求奇解都有效?3．几个例子利用P －判别式和C －判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?【例1】: 求的奇解()2'0y y x +-=解: 令'y p =,利用P －判别式:2020p y x p ⎧+-=⎨=⎩; 消去P 得y x =,但y x =不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P －判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C －判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.【例2】: 求2'33y 5y -=的奇解.解:原方程的通解为:()35y x c =+C －判别式为:()()35230305y x cx c -⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ ; 消去C 得y=0,但y=0不是方程的解,所以原方程无奇解.以上两个例子充分说明了C －判别式和P －判别式是求奇解的必要条件.【例3】: 求微分方程()2'1xyy y ye ⎡⎤-=⎣⎦的奇解.解: 原方程的P －判别式为:()()22210210xy y p ye p y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩ ; 消去P 得y=0易知y=0是微分方程的解. 而且:'''(,,)10(,,)20y pp F x y p F x y p ⎧=-≠⎪⎨=≠⎪⎩所以y=0是微分方程的奇解.【例4】[]1: 求()2'419y y y ⎡⎤-=⎣⎦. 解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:()()2230x c y y ---= ()* 由C －判别式:()()()223020x c y y x c ⎧---=⎪⎨--=⎪⎩（其中C 为任意常数） 确定二支连续可微的曲线0y =和3y =,对他们分别作如下形式的参数表示式:1A :x c = 0y = ()c -∞<<∞ 2A : x c = 3y = ()c -∞<<∞ 容易验证1A 满足相应的非蜕化条件:()()()()()()'''',0,0,0,0x y C C V V ϕψ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩, 因此1A 是积分曲线族()*的一支包络,从而它是微分方程的奇解.而2A 不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言2A 是否为包络,不过我们可以利用简单的作图得知2A 不是曲线族()*的包络,因此它不是奇解,虽然它是微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P －判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C －判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P －判别式时满足:'''(,,)0(,,)0y pp F x y p F x y p ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩; 用C －判别式时满足:()()()()()()'''',0,0,0,0x y C C V V ϕψ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩. 对于一些微分方程既能用P －判别式又能用C －判别式求奇解,我们接着看一道例题.【例5】[]5: 求20dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的奇解．解: 法一:令dyp dx=,则P-判别式: 2020p xp y p x ⎧+-=⎨+=⎩ ; 消去P 得24x y =-.法二:方程的通解为2y cx c =+ C －判别式:2020y cx c x c ⎧--=⎨+=⎩ ; 消去C 得24x y =-,满足非蜕化条件:()()()()()()()()'''',2,20,0,,10,0x y C C V V c ϕψ⎧=-≠⎪⎨=-≠⎪⎩ 所以24x y =-是奇解.由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P －判别式来求奇解又可用C －判别式求奇解.那么能否将P －判别式和C －判别式联合起来求奇解呢?4．新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P －判别式和C －判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P －判别式和C －判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C －P 消去法【例6】[]9: 求()()23''48927x y y y -=-的奇解. 解: 令'y p = P －判别式:()23248927809x y p p p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩; 消去P 得:y x =及427y x =-方程的通解为:()()23y c x c -=-C －判别式:()()()()2320230y c x c y c x c ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩; 消去C 得427y x =-.则427y x =-为奇解. 例6中介绍了一种新方法, C －P 消去法:定义:联合P-判别式和C-判别式,从P －判别式得到解(),0x y ϕ=和从P －判别式得到解(),0x y ψ=中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解.在例6中,由P －判别式得到()4027y x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭,由C －判别式得到4027y x -+=,它们的公共单因式为4027y x -+=,令其为零,即427y x =-. 【例7】: 求220xp xp y +-=的.解: 从220xp xp y +-=和220xp x +=中消去P 得:y=-x 再求通解,将方程写成22y xp xp =+211(222)dx dy p dy pxdp pdx xdp p p==+++ 即 2d x d px p-= 通积分为: 2()4y c xc -= 从2()4y c xc -=和 2()4y c c --=中消去C 得:0x =及y x =- 按C －P 消去法知y x =-是奇解.就特殊方程:(),dyf x y dx= 假设(),f x y 连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法.4.2. 自然法[]6定义:当点集L ＝(,)|fx y y ⎧⎫∂=∞⎨⎬∂⎩⎭不是孤立点集,而是有分支()y x ϕ=时,则()y x ϕ=可能是奇解.对于(),dy f x y dx = 当(),f x y 连续,则只要f y∂∂有界,就能保证(),dyf x y dx =的解存在唯一,所以当fy∂=+∞∂时,他就可能破坏了解的唯一性. 【例8】: 求'21y y =- （|y|≤1）的奇解. 解: ()2,1f x y y =-21f yy y∂-=∂- 当1y =±时,fy∂=+∞∂ 所以 1y =±可能破坏解的唯一性,它可能是奇解.验证: (1) 1y =± 显然是方程的解.(2) 由分离变量法求得通解是:sin()y x c =+ ()22x c ππ-≤+≤在1y =上任取一点()0,1x 通解表达式中有解00sin()cos()2y x x x x π=+-=-通过点()0,1x 且其上导数'0y = ,即此解与1y =相切,故1y =是奇解.同理:1y =-也是方程的奇解.4.3. 拾遗法[]7定义:当方程(),dyf x y dx=在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x 、y 的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.【例9】: 求210x x dy dx --= ()1x ≤的奇解. 解: 除以因式21x x -得:21dx dy x x=-积分后得通解:2ln ||11x y c x=++-但令消去因子为零,即210x x -=得0x =;1x =±验证: (1) 它们都是方程的解;(2) 有2limln ||11x x x→=-∞+-2211lim ln ||lim ln ||01111x x x x xx-+→→==+-+-前者说明通解表达式中没有解与0x =相交;后者说明通解表达式中有解与1x =±.相交,且从方程本身看出交点上的斜率都是'y =±∞ 因此得结论:0x =是正常解,1x =±是奇解.5．结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C －判别式(),0x y ψ=和P －判别式(),0x y ϕ=容易求得时,方法C －P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况: (1) P －判别式和C －判别式均可用来求奇解; (2) P －判别式与C －判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P－判别式不可求奇解,但C－判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C－判别式不可求奇解,并且导致P－判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献[]1丁同仁、李承志.常微分方程教程[]M.高等教育出版社,1991年. 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