常微分方程教案(王高雄)第二章
第二章目录
内容提要及其它 (1)
第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2)
第一节变量分离方程与变量变换 (2)
一、变量分离方程 (2)
二、可化为变量分离方程的类型 (6)
1、齐次方程 (6)
2、可化为变量分离方程 (7)
三、应用例题选讲 (10)
第二节线性方程与常数变易法 (11)
第三节恰当方程与积分因子 (15)
一、恰当方程 (15)
二、积分因子 (20)
第四节一阶隐含方程与参数表示 (23)
一、可以解出y（或x）的方程 (24)
二、不显含y（或x）的方程 (25)
本章小结及其它 (27)
内容提要及其它
授课题目
（章、节）
第二章：一阶微分方程的初等解法
教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74
主要参考书：
[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，
p1-70
[2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20
[3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004，
p1-12
[4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169
[5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999，
p15-158
[6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124
目的与要求：
掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法．
能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．
教学内容与时间安排、教学方法、教学手段：
教学内容：
第1节变量分离方程与变量变换；
第2节线性方程与常数变易法；
第3节恰当方程与积分因子；
第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或
y x）的方程、不显含（或
y x）的方程．时间安排：8学时
教学方法：讲解方法
教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。
教学重点分析：
熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。
教学难点分析：
本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。
第二章 一阶微分方程的初等解法（初等积分）
一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。
初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的微分方程之求解问题转化为积分（求原函数）问题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程，才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一个很重要而又有实际意义的问题。
本章将着重研究一阶微分方程
),('y x f y =
中几类可积方程的求解问题。同时对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特殊可积函数类型的求解问题，也可作适当地介绍。
第一节 变量分离方程与变量变换
一、变量分离方程
形如
)()('y x f y ?= （2.1）
的方程，称为变量分离方程，这里)(),(y x f ?分别是y x ,的连续函数。 下面讨论方程（2.1）的解法。 如果0)(≠y ?，可将（2.1）改写为
dx x f y dy
)()
(=? 这样，变量就“分离”出来了。两边积分，得到
c dx x f y dy
+=∫∫)()(? （2.2）
这里把积分常数明确写出来，而把
c ∫∫dx x f y dy )(,)(?分别理解为)(,)
(1
x f y ?的某一个原函数。 把（2.2）作为确定是y x 的隐函数的关系式。于是，对于任一常数c ，微分（2.2）的两边，就知（2.2）所确定的隐函数满足方程（2.1），因而，（2.2）是（2.1）的通解。
注：如果存在，使0y 0)(0=y ?，直接代入，可知0y y =也是（2.1）的解，可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上。
例1 求解方程
y
x dx dy ?= 解：将变量分离，得到：
xdx ydy ?=
两边积分，有：
2
2222c
x y +?= 因而，通解为：
c y x =+22
这里是任意正常数，或者，解出c y ，写出显函数形式的解
2x c y ?±=
例2 求解方程
x y dx
dy
cos 2=，并求满足初始条件：当0=x 时，1=y 的特解。 解：将变量分离，得到：
xdx y
dy
cos 2= 两边积分，有：
c x y
+?=sin 1
因而，通解为：
c
x y +?
=sin 1
这里是任意正常数，此外，方程还有解c 0=y
把初始条件当时，代入通解中，得：0=x 1=y 1?=c ，因而，所求特解为：
x
y sin 11
?=
例3 求
y x p dx
dy
)(=的通解。其中是)(x p x 的连续函数。 解：将原方程进行变量分离，得到
dx x p y
dy
)(= 两边积分，即得：
c
dx x p y ~)(ln +=∫ 这里是任意常数，由对数定义，即有
c dx x p e y ~
)(+∫=
即
∫±=dx x p c e e y )(~
令c e c ~
±=，得到
∫=dx x p ce y )( （2.4）
此外，显然也是（2.3）的解，如果在（2.4）中允许0=c ，则0=y 也就包括在（2.4）中，其中c 是任意常数． 例4 求方程
x
y
dx dy = （2.5） 的通解．
解 将方程（2.5）改写为（对称）形式
0=?xdy ydx （2.6）
当时，分离变量后积分，依次得：
,x y ≠≠00x
dx y dy = 1ln c x dx
y dy +=∫∫ ()01>c
1ln ln ln c x y += ()01>c
取指数函数，得到：
x c y 1= ()01>c
或 cx x c y =±=1 （2.7）
其中可以取正值也可以取负值，但不能为零。因为在积分过程中的积分常数时无意义．
c 01=c 讨论：和的情形．
)0(0≠=x y )0(0≠=y x
从方程（2.6）或（2.5）不难看出，0=y 是它的一个解，这个解是由于分离变量时用除而失掉的．如果认定常数可以取值0=c ，那么失掉的解0=y 就包含在解（2.7）中，故方程（2.6）即（2.5）的通解为
cx y = （2.8）
其中是任意常数，它可以在c 1
R 上任意取值，这样一来，虽然在积分过程中，对积分常数作了一定限制，但最终结果表明，这个限制将被取消而不影响积分常数的任意性．
当时，方程（2.5）的右端无意义，应该考虑方程
0=x y
x
dy dx = 此方程的（对称）形式仍然是方程（2.6）．
显然也是方程（2.6）的一个解，而这个解不能从通解（2.7）中得到，因为只有0=x ∞→c 时才有．然而积分常数c 虽然可以任意取值，但所取的值都必须是有限制，所以说通解（2.7）中不包括解，如果允许c ，那么也就包括在通解（2.7）中．
0=x 0=x ∞→所以，这个结果与用积分曲线方法求的解一样． 例5 R-L 电路（参见本书P4例2）
如图（1.2）的R-L 电路，它包含电感L 电阻R 和电源E 。设0=t 时，电路中没有电流。 问题：当开关K 合上后，电流I 应该满足的微分方程。 基本假定：假定R 、L 、E 都是常数。 解：第一步建立微分方程
分析：引用关于电路的基尔霍夫（Kirchhoff ）第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。
又有电学中的基本知识得：经过电阻R 的电压降是RI ，而经过电感L 的电压降是dt
dI L ， 于是，由基尔霍夫（Kirchhoff ）第二定律得到：
0=??RI dt
dI
L
E （1.8） 或： L
E
I L R dt dI =+ （1.8’）
求出的应当满足的条件：
)(t I I =当时， （1.9）
0=t 0=I 如果假定在时，，电源突然短路，因而E 变为零，此后亦保持为零，那么电流I 满足方程
0t t =0I I =
0=+I L
R
dt dI （1.10） 及条件：当时， （1.11） 0t t =0I I =第二步：利用分离变量方法求解微分方程
仿例1的方法，利用分离变量法，联合（1.10）和（1.11）可以求解得到：
t L
R e
C I ?=0，
其中，00L
R e
C =
二、可化为变量分离方程的类型
有的微分方程从表面上看，不是可分离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替换，就可以很容易地化为“变量分离方程”，在这里，介绍两类这样的方程。
1、齐次方程
形如
(x
y
g dx dy = （2.9） 的方程，称为齐次方程，这里是的连续函数。
下面讨论齐次（2.9）的求解方法。该方法的要点是：利用变量代换将（2.9）化为变量分离方程。利用变换来解微分方程是一种常用的技巧。 作变量变换
x
y
u =
（2.10） 即ux y =，于是（求复合函数的导数）
u dx du x dx
dy += （2.11）
将（2.10）和（2.11）代入（2.9），则原方程变为
)(u g u dx
du
x
=+ 整理后，得到
x
u
u g dx du ?=
)( （2.12） 于是方程（2.12）就是一个分离变量方程。 例6 求解方程
tan(x
y x y dx dy +=。
解：解题要点： z 作变量变换x
y u =
z 求复合函数的导数； z 整理
z 分离变量微分方程
z 利用分离变量方法求解该微分方程
注意：讨论零解是否在通解中？结果表明零解在通解中。 例7 求解方程)0(2<=+x y xy dx
dy
x 解：解题要点：
z 改写原方程为齐次微分方程 z 作变量变换x
y u =
z 求复合函数的导数； z 整理
z 分离变量微分方程
z 利用分离变量方法求解该微分方程
注意：讨论零解是否在通解中？结果表明零解不在所求通解中，于是要把零解补充完备。 例8 求解方程
)0()ln('>=+xy xy y y xy 解：解题要点：
z 变形：改写原方程为齐次微分方程：)0()ln()(>=xy xy y xy dx
d
z 变量变换：xy u =，则x
u
y =
，代入原方程即可得到可分离变量方程： u u dx
du x ln = 分离变量后积分，依次得到：
x
dx
u u du =
ln cx u =ln
cx e u =
原方程的通解为：
cx
cx
e x
y e xy 1=
=或
下面再介绍一个可分离变量方程的应用。
2、可化为变量分离方程
形如：
2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++= （2.13） 的方程经过适当地变量变换可转化为变量分离方程。均为常数． 222111c ,b ,a ,c ,b ,a 下面分三种情形来讨论， (1)、 的情形
0c c 21==此时，（2.13）变为齐次方程，于是可用第一类方程的求解方法来求解。 事实上，有
)x
y (g x
y b a x y
b a y b x a y b x a dx dy 2
21
12211=++=
++= (2)、
0b a b a 2211=，即2
121b b
a a =的情形 事实上，此时有
2
1
21b b a a =，可设比值为，即k k b b a a 2121==，则（2.13）变为
)y b x a (f c y b x a c )y b x a (k c y b x a c y b x a dx dy 222
221
22222111+=++++=++++= （2.14） 令，则方程（2.14）可化为
y b x a u 22+=)u (f b a dx
du
22+= 即为分离变量方程。
(3)、
0b a b a 2
21
1≠及不全为零的情形 21c ,c 通过分析知道，此时方程（2.13）右端的分子、分母都是的一次式，因此
y ,x ??
?=++=++0
c y b x a 0
c y b x a 222111 （2.15）
代表xy 平面上两条相交的直线，设交点的坐标（βα,）。
显然，0≠α或0≠β，因为否则0==βα，即交点为坐标原点，此时必有，就变为第一种情形了（1）。于是，根据解析几何的知识，要将所考虑的情形化为情形（1），只需作坐标平移即可，即把坐标原点移至（0c c 21==)0,0(βα,）就行了。事实上，若令
?
?
??=?=βα
y Y x X （2.16） 则（2.15）化为
??
?=+=+0Y b X a 0
Y b X a 22
11 从而（2.13）变为
X
Y
(g Y b X a Y b X a dX dY 2211=++= （2.17） 大家分析知道，（2.17）为齐次方程。 因此，有求解这种情形的一般步骤为：
z 解联立代数方程（2.15），设其解为βα==y ,x ； z 作平移变换（2.16）将方程化为齐次方程（2.17）； z 利用齐次方程的求解方法求解； z 代回原变量，得到原方程的解。
推广：一、求解（2.13）的方法和步骤可用于求解更一般形式的方程：
)c y b x a c y b x a (f dx dy
2
22111
++++= 一、以下形式的方程均可以通过适当的变量变换变为变量分离方程
)c by ax (f dx dy ++=、0dy )xy (xg dx )xy (yf =+、)xy (f dx dy
x 2= )x
y (xf dx dy 2=， 0)ydx xdy )(y ,x (N )ydy xdx )(y ,x (M =?++（其中为的齐次函数，但次数可以不
同）。 )y ,x (N ),y ,x (M 例9 求解方程
3
y x 1
y x dx dy ?++?= （2.18）
解：1、解联立方程
??
?=?+=+?0
3y x 0
1y x 得 ，令
2y ,1x ==?
?
?+=+=2y Y 1
X x 代入原方程（2.18），则有
Y
X Y
X dX dY +?=
再令X
Y
u =
，即 uX Y =则（2.18）化为
du u u 21u
1X dX 2
??+= 两边积分，得
c ~1u 2u ln X ln 22+?+?=
记1c
~c e =±，并代回原变量，就得
122c X XY 2Y =?+
即
12
2
c )1x ()1x )(2y (2)2y (=????+?此外，容易验证，，即，也是方程（2.18）的解。 01u 2u 2=?+0X XY 2Y 22=?+所以，原方程的通解为：
c )1x ()1x )(2y (2)2y (22=????+?
其中c 是任意常数。
三、应用例题选讲
例10 探照灯反射镜面的形状
问题：在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。
解：分析：取光源所在处为坐标原点，而轴平行于的反射方向，如图（2.3），设所求曲面由曲线
x 光?
?
?==0z )
x (f y 上
的 绕轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为平面的曲线y =问题。
x xy )x (f
假设：过曲线上任一点作切线，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易得到：)x (f y =)y ,x (M NT 21αα= 从而 ON OM = 注意到
NP
MP
tan dx dy 2=
=α 及22y x OM ,y MP ,x OP +=
==
就得到函数所满足的微分方程
)x (f y =2
2y x x y
dx dy ++=
这就是齐次方程，以下利用齐次方程的求解方法即可得到问题的解。 注意：在求解齐次方程时除了作变换x
y
u =以外，还可以作变换y x v =，也可以将原方程化为可分离变
量方程。 例11 已知，试求函数的一般表达式。
0x ,1dt )t (f )
x (f x
≠=∫
)x (f 解：解题思路：设法变成微分方程。
利用变上限积分所确定的定积分是变上限的函数。 于是，假定，再利用变上限定积分与被积函数的关系，有
∫
=
x
dt )t (f )x (F )x (f )'dt )t (f ()x ('F x
0==∫
所以原方程化为：
1)x (F )x ('F =
上述方程就是一个可分离变量微分方程，则可以用可分离变量方程的方法求解。
第二节 线性方程与常数变易法
一阶线性微分方程
0)x (c y )x (b dx
dy
)
x (a =++ 在的区间上可以写成
0)x (a ≠)x (Q y )x (P dx
dy
+= （2.19）
今后主要讨论形如（2.19）的方程，对于有零点的情形分别在)x (a 0)x (a ≠的相应区间上讨论。这里假设在考虑的区间上是的连续函数。
)x (Q ,y )x (P x 若，（2.19）变为
0)x (Q ≡y )x (P dx
dy
= （2.3） （2.3）称为一阶齐次线性方程。
若，（2.19）变为一阶非齐次线性方程。
0)x (Q ≠（2.3）是分离变量方程，已在前一节讨论过了，它的通解为：
∫
=dx
)x (P ce y
这里c 是任意常数。
所以，主要讨论非齐次线性方程（2.19）的通解的求法。通过分析，不难看出，（2.3）是（2.19）的特殊情形，两者既有联系又有差别。因此，可以设想它们的解之间也应该有某种联系而又有区别。于是，我们试图从方程（2.3）的通解（2.4）的形式去求出方程（2.19）的通解。显然，如果（2.4）中恒保持为常数，它必不可能是（2.19）的通解。故，我们假想，在（2.4）中，将常数变为的待定函数，使它满足方程（2.19），从而求出。为此，令
c c x )x (c )x (c ∫
=dx
)x (P e )x (c y （2.20）
对（2.20）两端微分，得到
∫+∫=dx )x (P dx
)x (P e )x (P )x (c e
dx
)x (dc dx dy （2.21） 把（2.20）、（2.21）代入（2.19），得到
)x (Q e )x (c )x (P e )x (P )x (c e dx
)x (dc dx )x (P dx )x (P dx
)x (P +∫=∫+∫ 即
∫
=?dx )x (P e )x (Q dx
)
x (dc 积分得到
c ~e )x (Q )x (c dx
)x (P +∫=∫? （2.22）
这里c ~是任意常数。将（2.22）代入（2.20），得到
)c ~e )x (Q (dx )x (P y dx )x (P +∫∫=∫? （2.23）
这就是（2.19）的通解。
这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法。
注意：1、常数变易法的本质实际上是一种变量变换方法，通过变换（2.20）将原方程变为可分离变量方程。2、常数变易方法的特点强调求解过程。 例12 求方程1n x )1x (e ny dx
dy
)1x (++=?+的通解，这里为常数。 n 解：
步骤：改写原方程为标准的一阶非齐次线性方程； 求对应齐次方程的通解；
应用常数变易法求原方程的通解。 例13 求方程
2
y x 2y
dx dy ?=
的通解。 解：问题：原方程不是未知函数的线性方程，于是设法改写原方程为非齐次线性方程。 所以，有
y
y x 2dy dx 2
?= 即
x y
2
y dy dx +?= （2.24） 如果把看成未知函数，看作自变量，这样，对于及
x y x dy
dx
来说，方程（2.24）就是一个线性方程。下面的求解过程就是和标准的一阶非齐次线性方程的求解方法一样了。 步骤：改写原方程为标准的一阶非齐次线性方程； 求对应齐次方程的通解；
应用常数变易法求原方程的通解。 例14 一类特殊方程的求解。
形如
n y )x (Q y )x (P dx
dy
+= （2.25） 的方程。称为伯努利（Bernoulli ）方程。这里为的连续函数，是常数。 )x (Q ),x (P x 1,0n ≠解：利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程。事实上，对于0y ≠，用乘（2.25）的两端，得
到
n
y ?)x (Q y )x (P y dx
dy
y n 1n
+=?? （2.26） 引入变量变换 （2.27）
n
1y z ?=从而
)x (Q )n 1(z )x (P )n 1(dx
dz
?+?= （2.28） （2.28）是一阶非齐次线性方程，于是可以利用上述求解一阶非齐次线性方程的方法求解。然后代回原来的变量，得到原方程的通解。主意，在时，还有解0n >0y =。 例15 求方程y x 2y 4'xy 2
=?的通解。
解：改写原方程为
21
xy 2y x
4
'y =?
这是一个伯努利（Bernoulli ）方程，2
1
n =
，作变换 2
12
11n
1y y
y
u ===?
?
于是，有
dx
dy
y
21dx du 21
?= 将此代入原方程，整理得到一阶非齐次线性方程
x u x
2
dx du =? 它的通解为
)c x (ln x u 2+=
将换成u 2
1y ，便得到原方程的通解
24)c x (ln x y +=
例16 黎卡堤（Riccati ）方程
)x (f y )x (q y )x (p 'y 2++= （2.29）
其中是在区间内的已知连续函数。
)x (f )x (q ),x (p 和)b ,a (分析：方程（2.29）看起来很简单，但是早在1841年法国数学家刘维尔（Liouville ）就已经证明了这个方程，在一般情况下，它的解是不能用初等函数的有限次积分以及有限次代数运算而而得到。
但是，在特殊情况下，可以求出黎卡堤方程的解来。即在知道黎卡堤方程的一个或几个特解的情况下，就可以求出黎卡堤方程的解来。
注：在这里“观察法”起到了很大的作用。
设是黎卡堤方程（2.29）的一个已知解，则有
)x (y y 1=)x (f y )x (q y )x (p y 121'1++= （2.30）
若令 ：，其中u 是新的未知函数，将它代入方程（2.29），并注意到恒等式（2.30），立刻得到关于的伯努利方程
u y y 1+=u 21u )x (p u )]x (q y )x (p 2['u =+? （2.31）
再令 u
1
v =
，则方程（2.31）化为关于的线性方程 'v v 和)x (p v )]x (q y )x (p 2['v 1?=++ （2.32）
因此，如果知道黎卡堤方程的一个特解，那么它的通解通过两次求积得到。实际上，只要作代换
v
1
y y 1+
= （2.33） 可将黎卡堤方程（2.29）化为关于的线性方程（2.32），于是利用常数变易法找出线性方程（2.32）
的通解，然后利用代换（2.33）便得到黎卡堤方程（2.29）的通解。 'v v 和例17 求方程
0x 4y )1x 4(y 'y )1x 2(x 2=++?+?
的通解
解：分析：原方程是黎卡堤方程，于是就要用观察法找出一个特解来，并得到是该方程的一个特解。
1y =求解过程：
z 利用黎卡堤方程的解体方法，作变换：u
11y +=； z 代入原方程，则原方程化为线性方程：
)
1x 2(x 1
u )1x 2(x 1x 4'u ?=
??+
由一阶非齐次线性方程的求解方法不难得到线性方程的通解为：
)
1x 2(x c
x )x (u ?+=
故原方程的通解为：
c
x c x 2c x )1x 2(x 1y 2++=+?+=
到目前为止，所介绍的可分离变量方程，齐次方程和线性方程都是利用初等积分求解的标准方程。
在实际问题中出现的微分方程是多种多样的，如果能够找到适当地变量代换，把有关的微分方程化为上述标准方程之一，那么原来的微分方程的通解也就容易求出来了，这时初等积分法中最常用的方法。当然如何确定变量代换，是比较困难的无通法可循。一般而言，主要根据每一个方程的特点去寻找，这就要靠在实践中多总结经验，才能够逐步达到熟能生巧的地步。
同时，通过黎卡堤方程的求解，还可以看出，初等积分法的局限性，即并非所有一阶方程都能使用这个方法求解。所以，在以后的讨论中以二元函数的全微分为基础来介绍一阶方程的另一种求解方法：积分因子方法。
第三节 恰当方程与积分因子
一、恰当方程
定义：设给定方程
(,)(,)0M x y dx N x y dy += （3.1）
其中(,)M x y 和是在平面上某区域内的已知连续函数，且在内的每一点处，(,)N x y D D (,)M x y 和
(,)N x y 不同时为零。如果方程（3.1）的左端是某一个已知函数的全微分，即
(,)u x y (,)(,)M x y dx N x y dy du +=
那么，就说方程是恰当方程或全微分方程。 【补充：全微分的定义
如果二元函数的偏导数在平面上某区域内有存在，且(,)u u x y =D ,x y u u 在内连续，则函数
在内可微，即有：
D (,)u u x y =D x y du u dx u dy =+】
于是，由全微分的定义，有
u u du dx dy x y
??=
+?? 因此，当而且仅当存在函数，使得
(,)u u x y =(,),(,)u
u
M x y N x y x y
??==?? （3.2） 时，方程（3.1）才是恰当方程，并可写成下列形式
(,)0du x y =
设方程（3.1）是恰当方程，则
(,)0du x y =
现在证明隐函数方程
(,)u x y c = （3.3）
是恰当方程的通解，这里是积分常数。
c 事实上，设可微函数(,)y x c ?=是由隐函数方程（3.3）所确定的隐函数，将它代入（3.3）中得关于x 的恒等式
(,(,))u x x c c ?≡
上式对求微分，并利用等式（3.2）得关于的另一恒等式
x x (,(,))(,(,))'(,)M x x c dx N x x c x c dx ???+≡0
故隐函数方程（3.3）是恰当方程（3.1）的通解。
这样一来，就建立了函数和（3.1）恰当方程的通解之间的关系，而函数称为已给恰当方程的通解。 (,)u x y (,)u x y 例18 求方程
0ydy xdx =+
的通解。
解：容易看出，方程的左端是函数(,)u x y x y =
+21122
2
的全微分，因此，原方程的通解是 x y c +=22111
222
或
x y c +=22
例19 求方程
()()x y dx x y dy ++?=30
的通解。
解：方程的左端一下看不出是拿一个函数的全微分，不过可以将方程中的括号打开，重新组合为若干组，使得每组都容易知道它是某一个函数的全微分，于是有：
()x dx ydx xdy ydy ++?=30
或
()d x xy y +?=4211
042 所以， (,)u x y x xy y =+?4211
42
因此，原方程是一个恰当方程，它的通解为：
x xy y c +?=42114214
或
x xy y c +?=4242
显然，如果事先知道方程（3.1）确实是恰当方程，那么，只有在这种情况下，将方程（3.1）的左端重新分组，才有可能求得函数。当然这并不是说，事先知道方程（3.1）是一个恰当方程，总是可以通过重新分组比较容易求得函数(,)u u x y =(,)u u x y =，因此，就出现如下两个问题需要解决： z 如何判断方程（3.1）是一个恰当方程？
z 当是一个恰当方程时，又如何求出函数(,)u u x y =和方程（3.1）的通解？ 于是，有定理回答这两个问题：
定理：设方程
(,)(,)M x y dx N x y dy +0= （3.1）
的函数(,)M x y 和在单连通区域内连续和有关于(,)N x y D x 和的一阶连续偏导数函数，且在内的每一点处，y D (,)M x y 和不同时为零，那么方程（3.1）为恰当方程的充分和必要条件是：
(,)N x y (,)(,)
M x y N x y y x
??=?? （3.4）
在内恒成立。
D 证明：（必要性），设（3.1）是一个恰当方程，则必存在着一个函数，使得
)y ,x (u (,),(,)u u
M x y N x y x y
??==?? 在内恒成立。由假设
D M u y x y ??=???2和N u
x y x
??=???2 在内都是连续的，因此
D u u
x y y x
??=????22 从而可知（3.4）在内恒成立。
D （充分性），设判定条件（3.4）在内恒成立，如果能够找到满足条件（3.2）的函数，那么方程（3.1）便是恰当方程。为此，在区域D 内任意选取一定点D (,)u x y (,)x y 00，则由等式
(,)(,)()
x
x u x y M y d h y ττ=+∫0
（3.5）
定义的二元函数，显然满足（3.2）中的第一个等式，其中是的任意可微函数。下面的任务是如何选择使得由（3.5）表示的函数满足（3.2）中的第二个等式。今在（3.5）中，对求微分，并应用积分对参数(,)u x y ()h y y ()h y (,)u x y y y 的微分法则，有
(,)'()x x u
M y d h y y y
ττ??=+??∫0 由条件（3.4），上式又可写为
(,)'()(,)(,)'()
x x u N y d h y y N x y N x y h y τττ??=+??=?+∫00 为了使
(,)u
N x y y
?=?，只须令，亦即只要选取 '()(,)h y N x y =0()(,)y
y h y N x t dt =∫00 （3.6）
这样，就得到了满足条件（3.2）的函数
)y ,x (u (,)(,)(,)x y
x y u x y M y d N x t dt ττ=+∫∫0
0 （3.7）
根据前面已证明的结论，令（为任意常数），即得恰当方程（3.1）的通解：
(,)u x y c =c
(,)(,)x
y
x y M y d N x t dt c ττ+=∫
∫0
0 （3.8）
【注意：同理，可以由下面等式
(,)(,)()y
y u x y N x t dt k x =+∫0
定义二元函数，用类似的推导，从
(,)u x y (,)u
M x y x
?=?定出 ()(,)x
x k x M y d ττ=∫0
0 （3.9）
从而得到
(,)(,)(,)x y
x y u x y M y d N x t dt ττ=+∫∫0
0 （3.10）
再令，即得到恰当方程（3.1）的通：
(,)u x y c =(,)(,)x
y
x y M y d N x t dt c ττ+=∫
∫0
0 （3.11）
】 公式（3.8）或（3.11）中的积分下限和在选取时应注意积分有意义和计算简单，容易求出通解。
如果应用线积分与路径无关的理论，那么不用上述推导，就可立即得到公式公式（3.8）或（3.11）。 其实，在实际求解时，不必记住公式（3.8）或（3.11），比较简单的方法是将上面推证过程的定积分用不定积分代替去求函数，求解恰当方程的具体步骤归纳如下： (,)u x y z 先将所给的方程化成对称形式方程
(,)(,)M x y dx N x y dy +0= （3.1）
然后检验方程是否是满足判定条件
(,)(,)
M x y N x y y x ??=??
（3.4） 如果判定条件（3.4）成立，则方程（3.1）是恰当方程，从而下列等式成立
(,),(,)u
u
M x y N x y x y
??==?? z 由（3.2）中的第一个等式，对积分，得
x (,)(,)()u x y M x y dx h y =+∫ （3.12）
其中不定积分中的当作参数，是的任意可微函数。
y ()h y y z 在等式（3.12）两端对求微分，利用（3.2）中的第二个等式，用代替左端的
y (,)N x y u
y
??，得 (,)((,))'()N x y M x y dx h y y
?
=
+?∫, 或
'()(,)(h y N x y y
?
=?
?∫(,))M x y dx
线性系统的时域分析法(第七讲)
第三章 线性系统的时域分析法 3.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程
常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案
常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即. ()()()t A t t Φ=Φ， . 1 ()()() A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。 2.证明：因为()t ?，()t ψ分别是. ()x A t x = 和. ()T x A t x =-的解，所以 11 1 () ()()n k k k n nk k k a d t A t t dt a ????==?? ? ?== ? ? ? ??? ∑∑ ， 11211111122222* 121 ()()()n n k k k n n kn k n n n nn k a a a a a a a d t A t t dt a a a a ψψψψψψ==?????? ? ? ? ? ? ?=-ψ=-=- ? ? ? ? ? ? ????? ??? ∑∑ 因而 1111 112 2 1 1 (,)(,)(,),,n n k k k k k k n n kn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψ??ψψ ??ψ?ψ ψ?ψ?ψ?====?? ?? ?????????? ?-?? ? ? ??? ??? ? ? ???=+= ?+?? ? ? ??? ?-?? ? ? ??? ????? ???? ??????? ?? ∑∑∑∑ 11 111 1 1 1()0 n n n n n n n n n n n n m m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ?ψψ??ψ?ψ?ψ?ψ== === = == == = = -= += -=-=∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑所以 (),() ()()1 n t t t t k k k ?ψ?ψ≡≡ ∑=常数。 3.证明：设)t Φ(为系统. ()x A t x = 的一个基本解矩阵，则由定理2.11知 [ ]1 () T t -Φ是系统. ()T x A t x =-的基本解矩阵，由定理 2.4知系统. ()x A t x = 满足初始条件00()x t x =的特解为1 00()))t t t x ?-=Φ(Φ(，[) 0,0,t t ∈+∞由题可 知)t Φ(与[ ]1 () T t -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0 k k t ?=>
2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。 解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=， 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21
即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1
第九章常微分方程[1].
第九章 常微分方程（1、2） 陈建英 主编 第一节 微分方程的基本概念（1、2） 教学目的：理解微分方程、方程的阶，方程的解、通解、初始条件和特解概念。 教学重点、难点： 微分方程的概念。方程的通解与特解异同。 教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课 初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。 方程的定义：含有未知数的的等式。它表达了未知量所必须满足的某种条件。根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。 20ax bx c ++= （一元二次方程） 214211 x x x x -=++- （分式方程） = （无理方程） 对未知量x 施行的是代数运算。因此它们是代数方程。而方程 2sin3cos 3sin 20x x x -+-= （三角方程） 1272214x x x x ---++= （指数方程） 2lg(1)2lg(3)ln 20x x +-++=（对数方程） 对未知量x 所施行的是超越函数运算。因此是超越方程。 二、新授课 1。微分方程的定义： 含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微方程 如果未知函数是一元函数，则其满足的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数，其导数就是偏导数，则其所满足的微分方程式称为偏微分方程。 例如，22;d y x y x dx =+=dx 和是常微分方程dy z xy x ?=?是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。 一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '=
常微分方程教案(王高雄)第二章
第二章目录 内容提要及其它 (1) 第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2) 第一节变量分离方程与变量变换 (2) 一、变量分离方程 (2) 二、可化为变量分离方程的类型 (6) 1、齐次方程 (6) 2、可化为变量分离方程 (7) 三、应用例题选讲 (10) 第二节线性方程与常数变易法 (11) 第三节恰当方程与积分因子 (15) 一、恰当方程 (15) 二、积分因子 (20) 第四节一阶隐含方程与参数表示 (23) 一、可以解出y（或x）的方程 (24) 二、不显含y（或x）的方程 (25) 本章小结及其它 (27)
内容提要及其它 授课题目 （章、节） 第二章：一阶微分方程的初等解法 教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74 主要参考书： [1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005， p1-70 [2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20 [3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004， p1-12 [4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169 [5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999， p15-158 [6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124 目的与要求： 掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法． 能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程． 教学内容与时间安排、教学方法、教学手段： 教学内容： 第1节变量分离方程与变量变换； 第2节线性方程与常数变易法； 第3节恰当方程与积分因子； 第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或 y x）的方程、不显含（或 y x）的方程．时间安排：8学时 教学方法：讲解方法 教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。 教学重点分析： 熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。 教学难点分析： 本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。
高等数学第九章微分方程试题及答案
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
微积分第九章微分方程
第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),() (y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次 线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常 系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(0 2?+=可微 3、2 1222sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(2 4=+-xydx dy x y 5、2 1)0(,1)0(,022 -='=='+''y y y x y 6、2 y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1 )(10x f f x f da ax f 求可微+=?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成 45角的曲线；
常微分方程第二章练习与答案
习 题 ２-１ 判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x 解：13),(2-=x y x P ， 12),(+=x y x Q ， 则0=??y P ，2=??x Q ， 所以 x Q y P ??≠?? 即 原方程不是恰当方程． ２．0)2()2(=+++dy y x dx y x 解：,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -= 则,2=??y P ,2=??x Q 所以x Q y P ??=??，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx 两边积分得：.2 222 2C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax （a,b 和c 为常数）． 解：,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q += 则 ,b y P =??,b x Q =?? 所以x Q y P ??=??，即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx 两边积分得：.2 22 2C cy bxy ax =++ 4．)0(0 )()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax 解：,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -= 则 ,b y P -=??,b x Q =?? 因为 0≠b , 所以x Q y P ??≠??，即 原方程不为恰当方程 ５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t 解：,cos )1(),(2 u t u t P += u t u t Q sin 2),(= 则 ,cos 2u t t P =??,cos 2u t x Q =?? 所以x Q y P ??=??，即 原方程为恰
第九章-偏微分方程差分方法汇总
第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解. 习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解. 微积分第九章微分方 程 第九章微分方程 一、教学目标及基本要求 （1）了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2）掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3）会用降阶法解下列方程：?Skip Record If...?。 （4）理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6）会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 （7）会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、?Skip Record If...? 2、?Skip Record If...?可微 3、?Skip Record If...? 4、?Skip Record If...? 5、?Skip Record If...? 6、?Skip Record If...? 7、已知可微函数?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?； 8、已知?Skip Record If...?； 9、求与曲线族?Skip Record If...?相交成?Skip Record If...?角的曲线； 170 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 常微分方程习题答案 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== , 0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由： 习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=--=0 )1(22y y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31; )(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数， 第九章 常微分方程初值问题 的数值解法 在自然科学的工程技术的许多领域中，常会遇到常微分方程初值问题，但这种问题大多数情况下不存在初等形式的解析解，只能用近似方法来求解。近似解法主要有两类：一类叫做近似解析方法，它能给出解得近似表达式，例如熟知的级数解法和逐次逼近法等；另一类近似解法称为数值解法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。数值方法便于电子计算机求解微分方程。本章讨论初值问题常用的数值解法，并介绍有关的基本理论。 假设给定一阶常微分方程的初值问题： (,),()dy f x y a x b dx y a a ?=≤≤???=? （9.1）（9.2） 其中f 为x, y 的已知函数，α为给定的初始值。 由微分方程的理论可知，如果 f (x,y )在区域a x b ≤≤， y -∞<<+∞ 内连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存 在常数L ，使 |(,)(,)||f x y f x y L y y -≤- 对所有的a x b ≤≤及任何y ，y 均成立，则初值问题（9.1），（9.2） 有连续可微的解y (x )存在且唯一。所谓初值问题的数值解，则是问题的解y (x )在一系列点 01212...N N a x x x x x b --=<<<<<= 处的值()n y x 的近似值n y (n =0,1,…,N )。这里相邻两个节点之间的 距离1n n n h x x -=-通常称为步长，通常将步长n h 取为常数h 。 §9.1 欧拉方法与改进的欧拉方法 欧拉(Euler)方法是最简单的数值方法，由于它的精确程度较差，已不常用于实际计算。但构造这个方法的基本原理，对于构造一般的数值方法具有普遍意义，因此首先对它进行讨论。 9.1-1 欧拉方法的构造 将方程（9.1）中点n x 处的导数()n y x '用差商近似地表示为 1()() ()n n n y x y x y x h +-'≈ 即在该点有近似等式 1()() (,())n n n n y x y x f x y x h +-≈ 用近似值n y 代替()n y x ，由上式可以导出其近似值满足的差分方程： 1(,()), 0,1,...,1n n n n y y hf x y x n N +=+=- （9.3） （9.3）式称为欧拉方法的计算公式或称为欧拉公式。当初始值 0y α =给定时，利用欧拉公式就可以逐次计算出初值问题的数值 解01,,...,N y y y 。 9.1-2 后退的欧拉公式 如果在点1 n x +处用向后差商近似(9.1)式中的导数 1()() ()n n n y x y x y x h +-'≈ 即有 11 1()()(, ()) n n n n y x y x h f x y x +++≈+ 再用近似值i y 代替()i y x (,1)i n n =+，则可导出近似值满足的差分方程 习题2.2 求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-21) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 23 4xy x x += 解：dx dy 23 4xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2 u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解. \ 习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 & 解：y 2 dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 、 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- { 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+2 2y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx } arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 ` 2 e x 3-3e 2 y -=c. (lnx-lny)dy-ydx=0 1 常微分方程学习活动4 第二章 基本定理的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1. 方程)sin(d d 22y x y x y +=的任一非零解 与x 轴相交． 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 3. 方程y '+ y sin x = e x 的任一解的存在区间必是 ． 4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是 ． 5．方程 22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 6．方程y x x y cos sin d d ?=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 7．方程y x x y sin d d 2+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 8．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 9．方程2 21)1(d d y x y y x y ++-=满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ． 10．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 二、计算题 1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？ （1）2 2y x y +=' （2）y x y sin +=' 2．讨论方程312 3d d y x y =在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过)0,0(的一切解． 3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解． （1） x y x y -=d d （2）y x x x y 2d d 2+±-= 第七讲 常微分方程 Ⅰ. 考试要求 1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念． 2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法． 3．理解线性微分方程解的性质及解的结构． 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法． 5．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程． 6．会用微分方程解决一些简单的应用问题． 注： (1) 数一要求：会解伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降阶法解下列形式的微分方程：),(,),(,)()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解欧拉方程． (2) 数二要求：会用降阶法解下列形式的微分方程：),(,)()(y x f y x f y n '=''=， ),(y y f y '=''；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程． (3) 数三要求：了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，了解一阶常系数线性差分方程的求解方法，会用微分方程求解简单的经济应用问题． Ⅱ. 考试内容 一．基本概念 1. 表示未知函数, 未知函数的导数和自变量之间的关系的方程称为微分方程. 一般形如() (,,,)0n F x y y y '=. 2. 微分方程中导数的阶数的最大值称为微分方程的阶. 3. 使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 4. 如果解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数, 称其为微分方程的通解. 5. 对于一阶(或二阶)微分方程, 给定0x x =时的函数值(或再给出此时的导数值), 则可将任意常数唯一确定. 这个唯一解称为特解. 确定特解的条件称为初始条件(定解条件). 二．一阶微分方程 形式:(,)y f x y '=, (,)dy f x y dx =, (,)(,)0P x y dx Q x y dy +=. 1．可分离变量方程：dy y g dx x f )()(= 通解为 C dy y g dx x f +=??)()(． 2．齐次方程： )(x y f dx dy = 令x y u =，有dx du x u dx dy xu y +==,，得x dx u u f du =-)(，常微分方程课后答案(第三版)王高雄
常微分方程王高雄第三版答案
最新微积分第九章微分方程
第九章 偏微分方程差分方法汇总
常微分方程(第三版)(王高雄周之铭朱思铭)高等教育出版社课后答案
常微分方程王高雄第三版答案3.1
第九章+常微分方程初值问题数值解法
常微分方程第三版答案2.2
常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.doc
常微分方程学习活动4 第二章基本定理的综合练习
第七讲常微分方程概论