常微分方程第二章习题解答
《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社
= v0 + at.
dh dt |t=T
=0
2.一个湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1 立方米/时，流入湖泊内不含污
0 不得超过 m 5 。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？
解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得 V P (t) + P (t)(V1 + V2 ) = P (0) = 5m
w
ω )e−s ds = y (x)。
4.考虑方程
w
.k
w
其中p(x)和q (x)都是以ω 为周期的连续函数，试证：
(1)若q (x) ≡ 0，则方程(2.4.23)的任一非零解以ω 为周期当且仅当函数p(x)的平均值 p ¯= 1 ω
ω
hd aw
答
dy + a(x)y ≤ 0, (x ≥ 0). dx
−
x 2y
= 0, y (0) = 1;
−2 ，令z = y 2 ，方程两边再乘以因子e−2x ，得到 (1)显然y ≡ 0是方程的解，当y = 0时，方程两边乘以 1 2y
方程的通解为 y = (Ce2x − x 1 2 − ) 4 8
hd aw
1 1
案 网
1.试求下列微分方程的通解或特解： √ dy − 4xy = x2 y ; (1) x dx
w
w
(3) y =
dy dx
1 1−x2 y = 1 + x, x ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
(4)
=
(5) 2xydy − (2y 2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy ;
常微分方程第二章练习与答案
1 / 16习题２-１判断下列方程是否为恰当方程,并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P , 12),(+=x y x Q ,则0=∂∂y P ,2=∂∂xQ, 所以 x Q y P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程． ２．0)2()2(=+++dy y x dx y x 解：,2),(y x y x P +=,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂xQ所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax 〔a,b 和c 为常数〕． 解：,),(by ax y x P +=,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b xQ =∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -=,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b xQ=∂∂ 因为 0≠b , 所以x Q y P ∂∂≠∂∂,即 原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P +=u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t xQ=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t2 / 16两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye xxx解： xy e y x Q y e ye y x P xxx2),(,2,(2+=++=,则,2y e y P x +=∂∂,2y e xQx +=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e xxx两边积分得：.)2(2C xy e y x=++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx x y两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy xQ =∂∂ 所以 当x Q y P ∂∂=∂∂,即 c b =2时, 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212tss Q -=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2．3 / 1610．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy xQ '=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22<其中F 为f 的原积分>．习题２-2. 1. 求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：〔１〕yx dx dy 2= 解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．〔２〕)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+=4 / 16两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．〔３〕0sin 2=+x y dxdy解： 当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx y dy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．〔４〕221xy y x dx dy +++=；解：原方程即为：2(1)1dyx dx y =++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22, 即 )2(2c x x tg y ++=． 〔５〕2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0,即42ππ+=k y 也是方程的解. 〔N k ∈〕 〔６〕21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ． ②1±=y 也是方程的解.〔７〕．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx ex dy e y xy)()(--=+5 / 16两边积分得：c e x e y x y++=+-2222, 原方程的解为：c ee x y xy=-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题． 〔１〕,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos , 即c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ． 〔２〕．0=+-dy ye xdx x, 1)0(=y ； 解：原方程即为：0=+ydy dx xe x,两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2, 因为1)0(=y , 所以21-=c , 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x．〔３〕．r d dr=θ, 2)0(=r ； 解：原方程即为：θd rdr=,两边积分得：c r =-θln ,因为2)0(=r , 所以2ln =c ,所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．〔４〕．,1ln 2yx dx dy+=0)1(=y ; 解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y , 所以1=c ,所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-=6 / 16〔５〕．321xy dxdyx=+, 1)0(=y ； 解：原方程即为：dx xx y dy 231+=, 两边积分得：c x y ++=--22121, 因为1)0(=y , 所以23-=c ,所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx ．１． 解下列微分方程,并作出相应积分曲线的简图． 〔１〕．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ． 积分曲线的简图如下：〔２〕．ay dxdy=, 〔常数0≠a 〕； 解：①当0≠y 时,原方程即为：dx ay dy = 积分得：c x y a +=ln 1, 即 )0(>=c cey ax②0=y 也是方程的解． 积分曲线的简图如下：7 / 16〔３〕．21y dxdy-=； 解：①当1±≠y 时,原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x yy+=-+211ln ,即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：〔４〕．n y dx dy =, )2,1,31(=n ； 解：①当0≠y 时, ⅰ〕2,31=n 时,原方程即为 dx y dy n =,积分得：c y n x n=-+-111．8 / 16ⅱ〕1=n 时,原方程即为dx ydy= 积分得：c x y +=ln ,即 )0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发,沿x 轴正方向前进；同时某9 / 16B 从点开始跟踪A,即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意与导数的几何意义,则有22yb ydx dy --=,所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln21y b y b b y b b b x ----++=． 5. 设微分方程)(y f dxdy=〔2.27〕,其中f<y> 在a y =的某邻域〔例如,区间ε<-a y 〕内连续,而且a y y f =⇔=0)(,则在直线a y =上的每一点,方程〔2.27〕的解局部唯一,当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(〔发散〕． 证明：〔⇒〕首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点〔00,y x 〕恰有方程〔2.13〕的一条积分曲线, 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. 〔*〕 这些积分曲线彼此不相交. 其次,域1R 〔2R 〕内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条,比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。
常微分方程习题二
x c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) （4.5）
其中 c1 , c2 ,, cn 是任意常数，且通解（4.5）包括 方程（4.2）的所有解。
定理7
设x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 为方程（4.2）
的基本解组，而x(t ) 为方程（4.1）的某一解，则 方程（4.1）的通解可表为
记 lim n ( x) ( x), x [ x0 , x0 h].
n
(3.5)定义于 [ x0 , x0 h]上连续解 . 命题4 ( x)是积分方程
(3.5)定义于[ x0 , x0 h]上的 命题5 设 ( x)是积分方程 一个连续解 , 则 ( x) ( x), x [ x0 , x0 h].
5.解对初值和参数的连续性定理
设f ( x, y, )在区域G 连续, 且在G内一致地关于 y满足 局部Lipschitz条件, 则方程(3.1) 的解y ( x, x0 , y0 , ) 作为x, x0 , y0 , 的函数在它们存在范围 内是连续的 .
6.解对初值可微性定理
有复值解x U (t ) iV (t ), 其中ai (t )(i 1,2, n),
u (t ), v(t ) 都是实值函数，则U(t)和V(t)分别是方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x u (t ) n dt dt dt d x d x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x v(t ) 和 n dt dt dt
z (t ) 的实部 (t ) 和虚部 (t ) 以及共轭复数 z(t )
第二章习题解题过程和参考答案
第二章习题解题过程和参考答案第二章习题解题过程和参考答案2-1 试建立题2-1图所示各系统的微分方程 [其中外力)(t f ，位移)(t x 和电压)(t u r为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c为输出量；k （弹性系数），μ（阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数]。
解：2-1(a) 取质量m 为受力对象，如图，取向下为力和位移的正方向。
作用在质量块m 上的力有外力f(t)，重力mg ，这两个力向下，为正。
有弹簧恢复力[]0)(y t y k +和阻尼力()dy t dtμ，这两个力向上，为负。
其中，0y 为0)(=t f 、物体处于静平衡位置时弹簧的预伸长量。
根据牛顿第二定理F ma ∑=，有[]22()()()()dy t d y t f t mg k y t y m dt dtμ+-+-= 其中：0ky mg =代入上式得22)()()()(dt t y d mdt t dy t ky t f =--μ整理成标准式：22()()()()d y t dy t m ky t f t dt dtμ++=μμ()f t[()k y t +()dy t dt或也可写成：22()()1()()d y t dy t k y t f t dt m dt m mμ++=它是一个二阶线性定常微分方程。
2-1(b) 如图，取A 点为辅助质点，设该点位移为()Ax t ，方向如图。
再取B 点也为辅助质点，则该点位移即为输出量()y t ，方向如图A 点力平衡方程：1()()[()()][]AAdx t dy t k x t x t dt dtμ-=- ① B 点力平衡方程：2()()()[]Adx t dy t k y t dt dtμ=- ②由①和②:12[()()]()A k x t x t k y t -= 得：21()()()Akx t x t y t k=-二边微分：21()()()Adx t k dx t dy t dt dt k dt=-③将③代入②：221()()()()[]k dx t dy t dy t k y t dt k dt dtμ=--整理成标准式：1221()()()k k k dy t dx t y t k dt dtμ++=或也可写成：()A t AB1211212()()()()k k k dy t dx t y t dt k k k k dtμ+=++它是一个一阶线性定常微分方程。
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
常微分方程2.1习题参考解答
常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xx yx yxyyxyc c c c x dxx dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy yydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dx xx du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u xyxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程第二章
m
6：x
dy x− y =e dx 解：变量分离， e dy = e dx 两边积分得： e =e +c 11.
2 dy = ( x + y) dx y x y x
变量分离得：2
1 +1
12． 解
令x + y = t，则 变量分离
t2 dt = dx，两边积分t − arctgt = x + c，代回变量 t 2 +1 x + y − arctg ( x + y) = x + c dy 2 x − y − 1 = dx x − 2 y + 1
2
ww
w.
e
y x
解：变量分离，得
9 : x (ln x − ln y )dy − ydx = 0 y y 解：方程可变为： − ln • dy − dx = 0 x x y 1 ln u 令u = , 则有： dx = − d ln u x x 1 + ln u y 代回原变量得：cy = 1 + ln 。 x dy x− y 10： = e dx 解：变量分离 e dy = e dx 两边积分 e = e + c
w.
0
19. 已知 f(x) ∫ f ( x)dt = 1, x ≠ 0, 试求函数f ( x)的一般表达式 .
x
1 y = − 2 y' 1 y 解：设 f(x)=y, 则原方程化为 ∫ f (x)dt = 两边求导得 y 0 − y3 = dy 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; dx = − 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 两边积分得x + c = ; ; ; ; ; 所以y = ± 2 dx 2y y dy 2x + c 1 代入
常微分方程第四版课后练习题含答案
常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。
代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。
进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。
第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。
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例题
4 2 8 3 例1 解方程： x - y = 9 y' - 27 y' ，并判别方程是否存在 奇解。 答案：( x + C)3 = ( y + C)2。 4 奇解： x - y = 。 27
x ' ∂φ f ( s, y ∫ x0 =e ∂y0
( s ; x0 , y0 )) ds
三. 两个重要定理
1. Bellman引理 设y ( x), u ( x)在[a, b]上连续、非负 , a ≤ x0 ≤ b.如果存在常数δ ≥ 0
使得y ( x)满足不等式 y ( x) ≤ δ +∫ u (t ) y (t )dt , x ∈[a, b] x
dy f ( x, y) dx
在区域 D上确定了一个线素场 .
线素场与积分曲线的关系
(2.1)
曲线L是微分方程 (2.1)的积分曲线的充要条件是:在曲线L上任意 一点, L的切线方向与(2.1)所确定的线素场在该点的线素方向重 合.
二. 基本定理
1. 存在性定理
设f ( x, y)在平面区域 D上连续, 则对∀( x0 , y0 ) ∈ D, 方程(2.1) 存在满足初值条件 φ( x0 ; x0 , y0 ) = y0的解y = φ( x; x0 , y0 )。
0
x
则有 y ( x ) ≤ δe
x ∫ x0 u ( t ) dt
, x ∈[ a , b ]
2. 比较定理
设f ( x, y ), F ( x, y )在平面区域D上满足 (1) 解的存在、唯一性条件 ； (2) 不等式 : f ( x, y ) < (≤) F ( x, y);
记方程 dy = f ( x, y ) dx 和方程 dy = F ( x, y ) dx 的满足同一初值条件 y ( x0 ) = y0的解分别为y = φ( x; x0 , y0 )和y = Φ ( x; x0 , y0 ), 则在它们共同存在的区 间上有下列不等式： φ( x, x0 , y0 ) < (≤)Φ ( x, x0 , y0 ), x > x0 ; φ( x, x0 , y0 ) > Φ (≥)(x, x0 , y0 ), x < x0 .
第二章 基本定理 习题课
2012.11.20
一. 微分方程的几何解释
线素场
设f ( x , y )定 义 在 平 面 区 域 D上, 对D内 任 意 一 点 ( x , y ),以 点 ( x , y )为 中 点 ,作一斜率为 f ( x , y )的 单 位 线 段 ,称为在点 ( x, y) 处的线素 .这 样, 方 程
四. 奇解与包络
( 2) 求 包 络 的 C 判别式：由 ( x , y , C ) 0 ' C ( x , y , C ) 0 确定的连续可微曲线 l: x (C ) y (C ) 如果满足非退化条件 ( ' (C ))2 ( ' (C ))2 0, ( 'x ( x , y , C )'(C ))2 ( 'y ( x , y , C ))2 0 则曲线 l是 曲 线 族 (C )的 包 络 线 。
2. 存在唯一性、解关于初值的连续依赖性及延展性定理
设f ( x, y )在平面区域D上连续, 且关于y满足局部Lipschitz条件 则对∀( x0 , y0 ) ∈ D, 方程(2.1)满足初值条件 ( x0 ; x0 , y0 ) = y0的 解y = ( x; x0 , y0 )存在、唯一，关于初值 具有连续依赖性， 并且可以向左、右延拓 到D的边界。
3. 解关于初值的可微性定理
设f ( x, y ), f y' ( x, y )在平面区域D上连续, 则解y = φ( x; x0 , y0 ) ∂φ ∂φ ∂φ 关于x, x0 , y0的偏导数 , , 存在、连续并且有 ∂x ∂x0 ∂y0 ∂φ = f ( x, φ( x; x0 , y0 )) ∂x x ∂φ f ' ( s , ( s ; x0 , y0 )) ds ∫ x0 y = - f ( x0 , y0 )e ∂x0